Matematická analýza II

V. Diferenciálny počet
Matematická analýza II.
(prezentácia k prednáške MANb/10)
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1
1 ondrej.hutnik@upjs.sk
Prednáška 16
17. apríla 2015
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Taylorov polynóm
Veta V.30
Nech f je n-krát diferencovatel’ná v bode x 0 , kde n ∈ N. Potom
existuje práve jeden polynóm T n stupňa nanajvýš n taký, že
T (k)
n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) pre k = 0, 1, . . . , n.
Poznámka: polynóm tvaru
T n(f , x 0 )(x) := f (x 0 ) + f ′ (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
(x − x 0 ) 2 + · · · + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
nazývame Taylorov polynóm n-tého stupňa funkcie f v bode x 0 (ako
polynóm premennej x)
Poznámka: Maclaurinov polynóm = Taylorov polynóm v bode x 0 = 0
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Taylorov polynóm
Veta V.30
Nech f je n-krát diferencovatel’ná v bode x 0 , kde n ∈ N. Potom
existuje práve jeden polynóm T n stupňa nanajvýš n taký, že
T (k)
n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) pre k = 0, 1, . . . , n.
Poznámka: polynóm tvaru
T n(f , x 0 )(x) := f (x 0 ) + f ′ (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
(x − x 0 ) 2 + · · · + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
nazývame Taylorov polynóm n-tého stupňa funkcie f v bode x 0 (ako
polynóm premennej x)
Poznámka: Maclaurinov polynóm = Taylorov polynóm v bode x 0 = 0
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Taylorov polynóm
Veta V.30
Nech f je n-krát diferencovatel’ná v bode x 0 , kde n ∈ N. Potom
existuje práve jeden polynóm T n stupňa nanajvýš n taký, že
T (k)
n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) pre k = 0, 1, . . . , n.
Poznámka: polynóm tvaru
T n(f , x 0 )(x) := f (x 0 ) + f ′ (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
(x − x 0 ) 2 + · · · + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
nazývame Taylorov polynóm n-tého stupňa funkcie f v bode x 0 (ako
polynóm premennej x)
Poznámka: Maclaurinov polynóm = Taylorov polynóm v bode x 0 = 0
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x
T n (cos, 0)(x) = 1 − x 2
2! + x 4
x
2k ( n
)
+ · · · + (−1)k
4! (2k)! , k = E 2
Akej chyby sa dopustíme, ked’ namiesto f na okolí bodu x 0 vezmeme
T n (f , x 0 )(x)?
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Chyba aproximácie Taylorovým polynómom
Príbeh zo života: Počas ruskej revolúcie bol IGOR TAMM zatknutý
anti-komunistickými povstalcami ned’aleko Odesy ako anti-ukrajinský
komunistický agitátor. Pri vypočúvaní sa ho vodca povstalcov pýtal,
kde pracuje. Tamm odpovedal, že je matematik. „Ak je tak, napíš mi
zvyšok po n-tom Taylorom polynóme. Ak to urobíš, si vol’ný, ak nie,
zastrelíme t’a.“ Tamm napísal trasúcou rukou niekol’ko formúl a podal
ich vodcovi. Ten ho v zápätí prepustil na slobodu.
IGOR JEVGENJEVIČ TAMM (1895–1971)
nositel’ Nobelovej ceny za fyziku (1958)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Chyba aproximácie Taylorovým polynómom
Zvyšok po n-tom Taylorovom polynóme funkcie f v bode x 0
R n (f , x 0 )(x) := f (x) − T n (f , x 0 )(x), x ∈ O(x 0 )
alebo tiež Taylorov vzorec f (x) = T n (f , x 0 )(x) + R n (f , x 0 )(x)
Veta V.31
Nech R n (x) := R n (f , x 0 )(x) je zvyšok po n-tom Taylorovom polynóme
funkcie f v bode x 0 . Potom
(i) R n (x 0 ) = R ′ n(x 0 ) = · · · = R (n)
n (x 0 ) = 0;
(ii) existuje funkcia ω spojitá v bode x 0 taká, že
R n (x) = (x − x 0 ) n ω(x) pre x ∈ O(x 0 ) a lim
x→x0
ω(x) = ω(x 0 ) = 0.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Chyba aproximácie Taylorovým polynómom
Zvyšok po n-tom Taylorovom polynóme funkcie f v bode x 0
R n (f , x 0 )(x) := f (x) − T n (f , x 0 )(x), x ∈ O(x 0 )
alebo tiež Taylorov vzorec f (x) = T n (f , x 0 )(x) + R n (f , x 0 )(x)
Veta V.31
Nech R n (x) := R n (f , x 0 )(x) je zvyšok po n-tom Taylorovom polynóme
funkcie f v bode x 0 . Potom
(i) R n (x 0 ) = R ′ n(x 0 ) = · · · = R (n)
n (x 0 ) = 0;
(ii) existuje funkcia ω spojitá v bode x 0 taká, že
R n (x) = (x − x 0 ) n ω(x) pre x ∈ O(x 0 ) a lim
x→x0
ω(x) = ω(x 0 ) = 0.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Veta (Taylorova)
Nech f ∈ D (n) (O(x 0 )) a f (n) ∈ D(O ∗ (x 0 )). Ak g ∈ D(O(x 0 )) a
(∀x ∈ O ∗ (x 0 )) g ′ (x) ≠ 0, tak (∃θ ∈ (0, 1)) (∀x ∈ O ∗ (x 0 ))
R n (x) = (x − x 0) n (1 − θ) n
n!
·
g(x) − g(x 0 )
g ′ (x 0 + θ(x − x 0 )) f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 )).
BROOK TAYLOR (1685–1731)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Tvary zvyšku po Taylorovom polynóme
(i) pre g(t) = (x − t) n+1 máme Lagrangeov tvar zvyšku
L n (x) = (x − x 0) n+1
(n + 1)!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(ii) pre g(t) = t máme Cauchyho tvar zvyšku
C n (x) = (x − x 0) n+1 (1 − θ) n
n!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(iii) pre iné vol’by funkcie g dostávame iné tvary zvyškov, napr.
Bernsteinov a pod.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Tvary zvyšku po Taylorovom polynóme
(i) pre g(t) = (x − t) n+1 máme Lagrangeov tvar zvyšku
L n (x) = (x − x 0) n+1
(n + 1)!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(ii) pre g(t) = t máme Cauchyho tvar zvyšku
C n (x) = (x − x 0) n+1 (1 − θ) n
n!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(iii) pre iné vol’by funkcie g dostávame iné tvary zvyškov, napr.
Bernsteinov a pod.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Tvary zvyšku po Taylorovom polynóme
(i) pre g(t) = (x − t) n+1 máme Lagrangeov tvar zvyšku
L n (x) = (x − x 0) n+1
(n + 1)!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(ii) pre g(t) = t máme Cauchyho tvar zvyšku
C n (x) = (x − x 0) n+1 (1 − θ) n
n!
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ));
(iii) pre iné vol’by funkcie g dostávame iné tvary zvyškov, napr.
Bernsteinov a pod.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.