Matematická analýza II

V. Diferenciálny počet
Matematická analýza II.
(prezentácia k prednáške MANb/10)
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1
1 ondrej.hutnik@upjs.sk
Prednáška 7
12. marca 2015
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

Spojitost’ funkcie na množine
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Definícia – spojitost’ funkcie na množine
Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M ⊆ D f , akk f je spojitá
v každom bode množiny M, t.j.
(∀x 0 ∈ M)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M) |x − x 0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x 0 )| < ε.
Ak f je spojitá na množine M, budeme písat’ f ∈ C (M).
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Weierstrassova veta o ohraničenosti
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale
ohraničená.
Weierstrassova veta o maxime a minime
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale nadobúda na tomto intervale
maximum a minimum.
KARL THEODOR WILHELM WEIERSTRASS (1815–1897)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Weierstrassova veta o ohraničenosti
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale
ohraničená.
Weierstrassova veta o maxime a minime
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale nadobúda na tomto intervale
maximum a minimum.
KARL THEODOR WILHELM WEIERSTRASS (1815–1897)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Definícia – darbouxovská vlastnost’
Hovoríme, že funkcia f je darbouxovská na M ⊆ D f , akk pre každé a, b ∈ M
a každé y medzi f (a) a f (b) existuje ξ ∈ (a, b) také, že f (ξ) = y.
Veta (Darbouxova)
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale
darbouxovská.
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Definícia – darbouxovská vlastnost’
Hovoríme, že funkcia f je darbouxovská na M ⊆ D f , akk pre každé a, b ∈ M
a každé y medzi f (a) a f (b) existuje ξ ∈ (a, b) také, že f (ξ) = y.
Veta (Darbouxova)
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale
darbouxovská.
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Dôsledok
Nech f ∈ C (M), kde M je interval. Potom
(i) ak M = 〈a, b〉, tak f nadobúda každú hodnotu medzi max f (x) a
x∈〈a,b〉
min f (x) aspoň v jednom bode intervalu (a, b);
x∈〈a,b〉
(ii) N = {y = f (x); x ∈ M} je jednoprvková množina alebo interval.
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Veta (Bolzanova)
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.
BERNARD BOLZANO (1781–1848)
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf
♠ metóda bisekcie prakticky
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Veta (Bolzanova)
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.
BERNARD BOLZANO (1781–1848)
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf
♠ metóda bisekcie prakticky
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Veta (Bolzanova)
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.
BERNARD BOLZANO (1781–1848)
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf
♠ metóda bisekcie prakticky
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f sme nazvali spojitá na množine M ⊆ D f , akk
(∀ε > 0)(∀x ∈ M)(∃δ > 0)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε
?? a čo ak jednoducho prehodíme poradie kvantifikátorov ??
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f sme nazvali spojitá na množine M ⊆ D f , akk
(∀ε > 0)(∀x ∈ M)(∃δ > 0)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε
?? a čo ak jednoducho prehodíme poradie kvantifikátorov ??
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
Ako to zažit’ na vlastnej koži?: Nech na reálnej osi je v každom bode
určité napätie. Ak funkcia určujúca napätie je rovnomerne spojitá, môžeme
nájst’ dĺžku kroku, s ktorou sa môžeme po reálnej osi (bezpečne)
prechádzat’ (takzvané „krokové napätie“), t.j. ak požadujeme rozdiel napätia
ε, nájdeme vel’kost’ kroku δ.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
Ako to zažit’ na vlastnej koži?: Nech na reálnej osi je v každom bode
určité napätie. Ak funkcia určujúca napätie je rovnomerne spojitá, môžeme
nájst’ dĺžku kroku, s ktorou sa môžeme po reálnej osi (bezpečne)
prechádzat’ (takzvané „krokové napätie“), t.j. ak požadujeme rozdiel napätia
ε, nájdeme vel’kost’ kroku δ.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
Geometrická predstava rovnomernej spojitosti: Predstavme si, že po
grafe funkcie letí dvojplošník, ktorý sa nesmie dotknút’ grafu dolným ani
horným krídlom. Pred letom si môžeme upravit’ lietadlo (krídla sú od seba
vzdialené o ε a sú dlhé δ). Ak sa let podarí, je funkcia rovnomerne spojitá.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
f ∈ C u (M) ⇔ (∀x n , y n ∈ M) lim
n→∞
|x n − y n | = 0 ⇒
Veta V.13
C u (M) ⊆ C (M)
lim |f (x n ) − f (y n )| = 0
n→∞
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
f ∈ C u (M) ⇔ (∀x n , y n ∈ M) lim
n→∞
|x n − y n | = 0 ⇒
Veta V.13
C u (M) ⊆ C (M)
lim |f (x n ) − f (y n )| = 0
n→∞
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.