Matematická analýza II
Matematická analýza II. - (prezentácia k prednáške MANb/10)
Matematická analýza II. - (prezentácia k prednáške MANb/10)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
VI. Integrálny počet<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.<br />
(prezentácia k prednáške MANb/10)<br />
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1<br />
1 ondrej.hutnik@upjs.sk<br />
Prednáška 22<br />
21. mája 2015<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(c) Integrovanie goniometrických funkcií – pripomenutie<br />
(I) Integrály typu ∫<br />
R(sin x, cos x) dx<br />
– univerzálna substitúcia: tg x 2<br />
= u pre x ∈ (−π, π)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(c) Integrovanie goniometrických funkcií<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
∫<br />
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R<br />
(i) prevod súčinu na súčet<br />
sin α · sin β = 1 (cos(α − β) − cos(α + β))<br />
2<br />
cos α · cos β = 1 (cos(α + β) + cos(α − β))<br />
2<br />
sin α · cos β = 1 (sin(α + β) + sin(α − β))<br />
2<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(c) Integrovanie goniometrických funkcií<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
∫<br />
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R<br />
(ii) použitie Moivreovej vety:<br />
(∀x ∈ R)(∀n ∈ Z) (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(c) Integrovanie goniometrických funkcií<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
∫<br />
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R<br />
(iii) metóda ∫ neurčitých koeficientov: riešenie integrálov typu<br />
I = (P(x) sin ax + Q(x) cos bx) dx, kde a, b ∈ R a P, Q sú<br />
polynómy, hl’adáme v tvare<br />
I = ˜P(x) sin ax + ˜Q(x) cos bx,<br />
st ˜P ≤ st P, st ˜Q ≤ st Q<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(d) Integrovanie transcendentných funkcií<br />
(I) Integrály typu<br />
∫<br />
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
(<strong>II</strong>I) Integrály typu<br />
∫<br />
∫<br />
R(ln x) dx<br />
x<br />
P n (x) e ax+b dx<br />
(IV) Integrály typu<br />
∫<br />
P n (x) ln R(x) dx<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(d) Integrovanie transcendentných funkcií<br />
(I) Integrály typu<br />
∫<br />
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
(<strong>II</strong>I) Integrály typu<br />
∫<br />
∫<br />
R(ln x) dx<br />
x<br />
P n (x) e ax+b dx<br />
(IV) Integrály typu<br />
∫<br />
P n (x) ln R(x) dx<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(d) Integrovanie transcendentných funkcií<br />
(I) Integrály typu<br />
∫<br />
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
(<strong>II</strong>I) Integrály typu<br />
∫<br />
∫<br />
R(ln x) dx<br />
x<br />
P n (x) e ax+b dx<br />
(IV) Integrály typu<br />
∫<br />
P n (x) ln R(x) dx<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
(d) Integrovanie transcendentných funkcií<br />
(I) Integrály typu<br />
∫<br />
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0<br />
(<strong>II</strong>) Integrály typu<br />
(<strong>II</strong>I) Integrály typu<br />
∫<br />
∫<br />
R(ln x) dx<br />
x<br />
P n (x) e ax+b dx<br />
(IV) Integrály typu<br />
∫<br />
P n (x) ln R(x) dx<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
Skúška z MANb/10<br />
VI. Integrálny počet<br />
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015<br />
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v<br />
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)<br />
PRIEBEH:<br />
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)<br />
a) 4 úlohy (20 b):<br />
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,<br />
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)<br />
vyšetrenie priebehu funkcie<br />
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,<br />
približné výpočty, optimalizačné úlohy)<br />
nájdenie primitívnej funkcie<br />
b) 10 testových otázok (10 b)<br />
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)<br />
definícia kl’účového pojmu<br />
formulácia definície a vety s názvom<br />
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet<br />
formulácia a dôkaz t’ažkej vety<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
Skúška z MANb/10<br />
VI. Integrálny počet<br />
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015<br />
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v<br />
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)<br />
PRIEBEH:<br />
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)<br />
a) 4 úlohy (20 b):<br />
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,<br />
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)<br />
vyšetrenie priebehu funkcie<br />
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,<br />
približné výpočty, optimalizačné úlohy)<br />
nájdenie primitívnej funkcie<br />
b) 10 testových otázok (10 b)<br />
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)<br />
definícia kl’účového pojmu<br />
formulácia definície a vety s názvom<br />
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet<br />
formulácia a dôkaz t’ažkej vety<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
Skúška z MANb/10<br />
VI. Integrálny počet<br />
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015<br />
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v<br />
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)<br />
PRIEBEH:<br />
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)<br />
a) 4 úlohy (20 b):<br />
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,<br />
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)<br />
vyšetrenie priebehu funkcie<br />
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,<br />
približné výpočty, optimalizačné úlohy)<br />
nájdenie primitívnej funkcie<br />
b) 10 testových otázok (10 b)<br />
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)<br />
definícia kl’účového pojmu<br />
formulácia definície a vety s názvom<br />
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet<br />
formulácia a dôkaz t’ažkej vety<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
Skúška z MANb/10<br />
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ PÍSOMKY:<br />
arcsin x<br />
1. Vypočítajte (ak existuje) limitu lim<br />
− 1 .<br />
x<br />
√<br />
2. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = arcsin 1 − sin 4 x.<br />
x→0<br />
ln(1+x)<br />
3. Pod grafom funkcie g : y = e −x v prvom kvadrante nájdite<br />
trojuholník s najväčším obsahom.<br />
√<br />
x<br />
4. Nájdite primitívnu funkciu k funkcii h =<br />
2 + x + 1 − x<br />
√<br />
x 2 + x + 1 + x .<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
Skúška z MANb/10<br />
UKÁŽKA SKÚŠKOVÉHO TESTU:<br />
Zapíšte ako kvantifikované výroky:<br />
Funkcia f je darbouxovská na množine M.<br />
Množina nemá žiaden hromadný bod.<br />
Rozhodnite o platnosti nasledujúcich výrokov:<br />
Ak f , g : R → R sú periodické a lim<br />
x→∞<br />
(f (x) − g(x)) = 0, tak f = g.<br />
Každý Taylorov polynóm nepárnej funkcie je nepárna funkcia.<br />
Spojitost’ funkcie je nutnou podmienkou existencie k nej<br />
primitívnej funkcie.<br />
Skonštruujte:<br />
Funkciu f takú, že f ′ (x 0 ) = −∞ a x 0 je bod neodstránitel’nej<br />
nespojitosti 1. druhu.<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
Skúška z MANb/10<br />
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ OTÁZKY:<br />
vyslovte definíciu nevlastnej derivácie funkcie v bode<br />
zaved’te pojem hromadný bod množiny<br />
vyslovte Dirichletovu vetu<br />
vyslovte a dokážte vetu o vzt’ahu spojitosti a rovnomernej<br />
spojitosti funkcie na množine<br />
vyslovte a dokážte vetu o výpočte koeficientov asymptoty so<br />
smernicou<br />
sformulujte a dokážte l’ahké L’Hospitalovo pravidlo<br />
ĎAKUJEM ZA CELOROČNÚ POZORNOSŤ!<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
VI. Integrálny počet<br />
Skúška z MANb/10<br />
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ OTÁZKY:<br />
vyslovte definíciu nevlastnej derivácie funkcie v bode<br />
zaved’te pojem hromadný bod množiny<br />
vyslovte Dirichletovu vetu<br />
vyslovte a dokážte vetu o vzt’ahu spojitosti a rovnomernej<br />
spojitosti funkcie na množine<br />
vyslovte a dokážte vetu o výpočte koeficientov asymptoty so<br />
smernicou<br />
sformulujte a dokážte l’ahké L’Hospitalovo pravidlo<br />
ĎAKUJEM ZA CELOROČNÚ POZORNOSŤ!<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.