Matematická analýza I

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Matematická analýza I.
(prezentácia k prednáške MANa/10)
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1
1 ondrej.hutnik@upjs.sk
Prednáška 9
13. novembra 2015
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Zopakovanie
Číslo +∞ nazývame nevlastnou limitou postupnosti (a n ) ∞ 1
, akk pre
každé K ∈ R nerovnost’ a n > K platí pre skoro všetky prirodzené
čísla n, t.j.
lim a n = +∞ ⇔ (∀K ∈ R)(∃n 0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n 0 ) a n > K
n→∞
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
lim a n = +∞ ⇔ (∀K ∈ R)(∃n 0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n 0 ) a n > K
n→∞
Veta III.9 („policajti pre nevlastné limity“)
Nech a n ≤ b n pre skoro všetky n ∈ N.
(i) Ak lim
n→∞
a n = +∞, tak lim
n→∞
b n = +∞.
(ii) Ak lim
n→∞
b n = −∞, tak lim
n→∞
a n = −∞.
Veta (o operáciách s nevlastnými limitami)
Nech lim
n→∞
a n = +∞.
(i) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola, tak lim (a n + b n ) = +∞.
n→∞
(ii) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola kladnou konštantou, tak
lim a nb n = +∞.
n→∞
http://www.youtube.com/watch?v=RHDsg0DmN8s&feature=related
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
lim a n = +∞ ⇔ (∀K ∈ R)(∃n 0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n 0 ) a n > K
n→∞
Veta III.9 („policajti pre nevlastné limity“)
Nech a n ≤ b n pre skoro všetky n ∈ N.
(i) Ak lim
n→∞
a n = +∞, tak lim
n→∞
b n = +∞.
(ii) Ak lim
n→∞
b n = −∞, tak lim
n→∞
a n = −∞.
Veta (o operáciách s nevlastnými limitami)
Nech lim
n→∞
a n = +∞.
(i) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola, tak lim (a n + b n ) = +∞.
n→∞
(ii) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola kladnou konštantou, tak
lim a nb n = +∞.
n→∞
http://www.youtube.com/watch?v=RHDsg0DmN8s&feature=related
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
lim a n = +∞ ⇔ (∀K ∈ R)(∃n 0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n 0 ) a n > K
n→∞
Veta III.9 („policajti pre nevlastné limity“)
Nech a n ≤ b n pre skoro všetky n ∈ N.
(i) Ak lim
n→∞
a n = +∞, tak lim
n→∞
b n = +∞.
(ii) Ak lim
n→∞
b n = −∞, tak lim
n→∞
a n = −∞.
Veta (o operáciách s nevlastnými limitami)
Nech lim
n→∞
a n = +∞.
(i) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola, tak lim (a n + b n ) = +∞.
n→∞
(ii) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola kladnou konštantou, tak
lim a nb n = +∞.
n→∞
http://www.youtube.com/watch?v=RHDsg0DmN8s&feature=related
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
lim a n = +∞ ⇔ (∀K ∈ R)(∃n 0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n 0 ) a n > K
n→∞
Veta III.9 („policajti pre nevlastné limity“)
Nech a n ≤ b n pre skoro všetky n ∈ N.
(i) Ak lim
n→∞
a n = +∞, tak lim
n→∞
b n = +∞.
(ii) Ak lim
n→∞
b n = −∞, tak lim
n→∞
a n = −∞.
Veta (o operáciách s nevlastnými limitami)
Nech lim
n→∞
a n = +∞.
(i) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola, tak lim (a n + b n ) = +∞.
n→∞
(ii) Ak (b n ) ∞ 1
je ohraničená zdola kladnou konštantou, tak
lim a nb n = +∞.
n→∞
http://www.youtube.com/watch?v=RHDsg0DmN8s&feature=related
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti – zopakovanie pojmov
Postupnost’ (a n ) ∞ 1
nazývame
(i) rastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 > a n ;
(ii) klesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 < a n ;
(iii) nerastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≤ a n ;
(iv) neklesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≥ a n .
Supremom (infimom) postupnosti (a n ) ∞ 1
nazývame supremum
(infimum) množiny členov postupnosti, označujeme sup a n ( inf a n).
n∈N n∈N
Poznámka: na základe Vety I.14 a Tvrdenia I.16 máme
(i) a = sup a n ⇔ (∀n ∈ N) a n ≤ a ∧ (∀ε > 0)(∃n 0 ∈ N) a − ε < a n0 ;
n∈N
(ii) b = inf n
n∈N
⇔ (∀n ∈ N) b ≤ b n ∧ (∀ε > 0)(∃n 1 ∈ N) b n1 < b + ε.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti – zopakovanie pojmov
Postupnost’ (a n ) ∞ 1
nazývame
(i) rastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 > a n ;
(ii) klesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 < a n ;
(iii) nerastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≤ a n ;
(iv) neklesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≥ a n .
Supremom (infimom) postupnosti (a n ) ∞ 1
nazývame supremum
(infimum) množiny členov postupnosti, označujeme sup a n ( inf a n).
n∈N n∈N
Poznámka: na základe Vety I.14 a Tvrdenia I.16 máme
(i) a = sup a n ⇔ (∀n ∈ N) a n ≤ a ∧ (∀ε > 0)(∃n 0 ∈ N) a − ε < a n0 ;
n∈N
(ii) b = inf n
n∈N
⇔ (∀n ∈ N) b ≤ b n ∧ (∀ε > 0)(∃n 1 ∈ N) b n1 < b + ε.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti – zopakovanie pojmov
Postupnost’ (a n ) ∞ 1
nazývame
(i) rastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 > a n ;
(ii) klesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 < a n ;
(iii) nerastúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≤ a n ;
(iv) neklesajúca, akk (∀n ∈ N) a n+1 ≥ a n .
Supremom (infimom) postupnosti (a n ) ∞ 1
nazývame supremum
(infimum) množiny členov postupnosti, označujeme sup a n ( inf a n).
n∈N n∈N
Poznámka: na základe Vety I.14 a Tvrdenia I.16 máme
(i) a = sup a n ⇔ (∀n ∈ N) a n ≤ a ∧ (∀ε > 0)(∃n 0 ∈ N) a − ε < a n0 ;
n∈N
(ii) b = inf n
n∈N
⇔ (∀n ∈ N) b ≤ b n ∧ (∀ε > 0)(∃n 1 ∈ N) b n1 < b + ε.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti
Veta (o limite monotónnej postupnosti I.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je neklesajúca postupnost’.
nie je ohraničená zhora, tak lim a n = +∞.
n→∞
je ohraničená zhora, tak lim a n = sup a n .
n→∞
Veta (o limite monotónnej postupnosti II.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je nerastúca postupnost’.
n∈N
nie je ohraničená zdola, tak lim a n = −∞.
n→∞
je ohraničená zdola, tak lim a n = inf a n.
n→∞ n∈N
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti
Veta (o limite monotónnej postupnosti I.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je neklesajúca postupnost’.
nie je ohraničená zhora, tak lim a n = +∞.
n→∞
je ohraničená zhora, tak lim a n = sup a n .
n→∞
Veta (o limite monotónnej postupnosti II.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je nerastúca postupnost’.
n∈N
nie je ohraničená zdola, tak lim a n = −∞.
n→∞
je ohraničená zdola, tak lim a n = inf a n.
n→∞ n∈N
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti
Veta (o limite monotónnej postupnosti I.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je neklesajúca postupnost’.
nie je ohraničená zhora, tak lim a n = +∞.
n→∞
je ohraničená zhora, tak lim a n = sup a n .
n→∞
Veta (o limite monotónnej postupnosti II.)
Nech (a n ) ∞ 1
(i) Ak (a n ) ∞ 1
(ii) Ak (a n ) ∞ 1
je nerastúca postupnost’.
n∈N
nie je ohraničená zdola, tak lim a n = −∞.
n→∞
je ohraničená zdola, tak lim a n = inf a n.
n→∞ n∈N
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Veta (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti)
Monotónna postupnost’ je konvergentná práve vtedy, ked’ je ohraničená.
Úloha 1
význam vety je v tom, že umožňuje rozhodnút’ o konvergencii
(divergencii) danej postupnosti bez výpočtu jej limity
vzhl’adom na to, že konečný počet členov nerozhoduje o konvergencii
postupnosti, veta ostáva v platnosti aj pre postupnosti monotónne pre
skoro všetky prirodzené čísla, t.j. počnúc nejakým členom
Veta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti je
ekvivalentná s Axiómou o hornej hranici!!!
Vypočítajte (ak existuje) limitu
lim
n→∞ nq , q ∈ R.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Veta (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti)
Monotónna postupnost’ je konvergentná práve vtedy, ked’ je ohraničená.
Úloha 1
význam vety je v tom, že umožňuje rozhodnút’ o konvergencii
(divergencii) danej postupnosti bez výpočtu jej limity
vzhl’adom na to, že konečný počet členov nerozhoduje o konvergencii
postupnosti, veta ostáva v platnosti aj pre postupnosti monotónne pre
skoro všetky prirodzené čísla, t.j. počnúc nejakým členom
Veta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti je
ekvivalentná s Axiómou o hornej hranici!!!
Vypočítajte (ak existuje) limitu
lim
n→∞ nq , q ∈ R.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Veta (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti)
Monotónna postupnost’ je konvergentná práve vtedy, ked’ je ohraničená.
Úloha 1
význam vety je v tom, že umožňuje rozhodnút’ o konvergencii
(divergencii) danej postupnosti bez výpočtu jej limity
vzhl’adom na to, že konečný počet členov nerozhoduje o konvergencii
postupnosti, veta ostáva v platnosti aj pre postupnosti monotónne pre
skoro všetky prirodzené čísla, t.j. počnúc nejakým členom
Veta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti je
ekvivalentná s Axiómou o hornej hranici!!!
Vypočítajte (ak existuje) limitu
lim
n→∞ nq , q ∈ R.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Veta (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti)
Monotónna postupnost’ je konvergentná práve vtedy, ked’ je ohraničená.
Úloha 2
význam vety je v tom, že umožňuje rozhodnút’ o konvergencii
(divergencii) danej postupnosti bez výpočtu jej limity
vzhl’adom na to, že konečný počet členov nerozhoduje o konvergencii
postupnosti, veta ostáva v platnosti aj pre postupnosti monotónne pre
skoro všetky prirodzené čísla, t.j. počnúc nejakým členom
Veta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti je
ekvivalentná s Axiómou o hornej hranici!!!
Vyšetrite konvergenciu postupnosti
a 1 = 0, a n+1 = √ 1 + a n , n ∈ N.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Veta (o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti)
Monotónna postupnost’ je konvergentná práve vtedy, ked’ je ohraničená.
Úloha 3
význam vety je v tom, že umožňuje rozhodnút’ o konvergencii
(divergencii) danej postupnosti bez výpočtu jej limity
vzhl’adom na to, že konečný počet členov nerozhoduje o konvergencii
postupnosti, veta ostáva v platnosti aj pre postupnosti monotónne pre
skoro všetky prirodzené čísla, t.j. počnúc nejakým členom
Veta o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti je
ekvivalentná s Axiómou o hornej hranici!!!
Vyšetrite konvergenciu postupností
a n =
(
1 + 1 ) n (
, b n = 1 + 1 ) n+1
, n ∈ N.
n n
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Veta (o postupnostiach súvisiacich s Eulerovým číslom)
Nech a n = ( 1 + 1 n
) n
a bn = ( 1 + 1 n
) n+1,
n ∈ N. Potom
(i) postupnost’ (a n ) ∞ 1
(ii) postupnost’ (b n ) ∞ 1
je rastúca;
je klesajúca;
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) a k < b n ;
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) a n < 3;
(v) (∀n ∈ N) b n − a n < 3 · 1
n .
Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
podl’a Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe
postupnosti sú konvergentné!!!
podl’a častí (iii), (v) a Vety o zovretí máme
(∀n ∈ N) 0 < b n − a n < 3 n ⇒
lim (b n − a n ) = 0 ⇔
n→∞
lim b n = lim a n
n→∞ n→∞
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Veta (o postupnostiach súvisiacich s Eulerovým číslom)
Nech a n = ( 1 + 1 n
) n
a bn = ( 1 + 1 n
) n+1,
n ∈ N. Potom
(i) postupnost’ (a n ) ∞ 1
(ii) postupnost’ (b n ) ∞ 1
je rastúca;
je klesajúca;
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) a k < b n ;
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) a n < 3;
(v) (∀n ∈ N) b n − a n < 3 · 1
n .
Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
podl’a Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe
postupnosti sú konvergentné!!!
podl’a častí (iii), (v) a Vety o zovretí máme
(∀n ∈ N) 0 < b n − a n < 3 n ⇒
lim (b n − a n ) = 0 ⇔
n→∞
lim b n = lim a n
n→∞ n→∞
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Veta (o postupnostiach súvisiacich s Eulerovým číslom)
Nech a n = ( 1 + 1 n
) n
a bn = ( 1 + 1 n
) n+1,
n ∈ N. Potom
(i) postupnost’ (a n ) ∞ 1
(ii) postupnost’ (b n ) ∞ 1
je rastúca;
je klesajúca;
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) a k < b n ;
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) a n < 3;
(v) (∀n ∈ N) b n − a n < 3 · 1
n .
Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
podl’a Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe
postupnosti sú konvergentné!!!
podl’a častí (iii), (v) a Vety o zovretí máme
(∀n ∈ N) 0 < b n − a n < 3 n ⇒
lim (b n − a n ) = 0 ⇔
n→∞
lim b n = lim a n
n→∞ n→∞
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Definícia (Eulerovho čísla e)
Eulerovo číslo e je spoločnou hodnotou limít postupností (a n ) ∞ 1
a (b n) ∞ 1 , t.j.
(
lim 1 + 1 ) n
= e = lim
(1 + 1 ) n+1
.
n→∞ n n→∞ n
Veta III.10
Nech a n > 0 pre skoro všetky n ∈ N a lim
n→∞
a n = +∞. Potom
(
lim 1 + 1 ) an
= e.
n→∞ a n
Dôsledok
(∀x ∈ R)
( )
lim 1 +
x n
n→∞ n = e
x
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Definícia (Eulerovho čísla e)
Eulerovo číslo e je spoločnou hodnotou limít postupností (a n ) ∞ 1
a (b n) ∞ 1 , t.j.
(
lim 1 + 1 ) n
= e = lim
(1 + 1 ) n+1
.
n→∞ n n→∞ n
Veta III.10
Nech a n > 0 pre skoro všetky n ∈ N a lim
n→∞
a n = +∞. Potom
(
lim 1 + 1 ) an
= e.
n→∞ a n
Dôsledok
(∀x ∈ R)
( )
lim 1 +
x n
n→∞ n = e
x
Ondrej Hutník Matematická analýza I.

Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Definícia (Eulerovho čísla e)
Eulerovo číslo e je spoločnou hodnotou limít postupností (a n ) ∞ 1
a (b n) ∞ 1 , t.j.
(
lim 1 + 1 ) n
= e = lim
(1 + 1 ) n+1
.
n→∞ n n→∞ n
Veta III.10
Nech a n > 0 pre skoro všetky n ∈ N a lim
n→∞
a n = +∞. Potom
(
lim 1 + 1 ) an
= e.
n→∞ a n
Dôsledok
(∀x ∈ R)
( )
lim 1 +
x n
n→∞ n = e
x
Ondrej Hutník Matematická analýza I.