Matematická analýza I

Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo
Veta (o postupnostiach súvisiacich s Eulerovým číslom)
Nech a n = ( 1 + 1 n
) n
a bn = ( 1 + 1 n
) n+1,
n ∈ N. Potom
(i) postupnost’ (a n ) ∞ 1
(ii) postupnost’ (b n ) ∞ 1
je rastúca;
je klesajúca;
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) a k < b n ;
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) a n < 3;
(v) (∀n ∈ N) b n − a n < 3 · 1
n .
Nevlastná limita postupnosti
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti
podl’a Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe
postupnosti sú konvergentné!!!
podl’a častí (iii), (v) a Vety o zovretí máme
(∀n ∈ N) 0 < b n − a n < 3 n ⇒
lim (b n − a n ) = 0 ⇔
n→∞
lim b n = lim a n
n→∞ n→∞
Ondrej Hutník Matematická analýza I.