Matematická analýza I
Matematická analýza I. - (prezentácia k prednáške MANa/10)
Matematická analýza I. - (prezentácia k prednáške MANa/10)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Monotónne postupnosti: Eulerovo číslo<br />
Veta (o postupnostiach súvisiacich s Eulerovým číslom)<br />
Nech a n = ( 1 + 1 n<br />
) n<br />
a bn = ( 1 + 1 n<br />
) n+1,<br />
n ∈ N. Potom<br />
(i) postupnost’ (a n ) ∞ 1<br />
(ii) postupnost’ (b n ) ∞ 1<br />
je rastúca;<br />
je klesajúca;<br />
(iii) (∀k ∈ N)(∀n ∈ N) a k < b n ;<br />
(iv) obe postupnosti sú ohraničené a (∀n ∈ N) a n < 3;<br />
(v) (∀n ∈ N) b n − a n < 3 · 1<br />
n .<br />
Nevlastná limita postupnosti<br />
Monotónne, vybrané, fundamentálne postupnosti<br />
podl’a Vety o konvergencii monotónnej ohraničenej postupnosti obe<br />
postupnosti sú konvergentné!!!<br />
podl’a častí (iii), (v) a Vety o zovretí máme<br />
(∀n ∈ N) 0 < b n − a n < 3 n ⇒<br />
lim (b n − a n ) = 0 ⇔<br />
n→∞<br />
lim b n = lim a n<br />
n→∞ n→∞<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.