Matematická analýza I

Podmienky, obsah, literatúra 

Niečo z histórie 

I. Číselné množiny 

Matematická analýza I. 

(prezentácia k prednáške MANa/10) 

doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1 

1 ondrej.hutnik@upjs.sk 

umv.science.upjs.sk/analyza 

Prednáška 1 

18. septembra 2015 

Ondrej Hutník Matematická analýza I.




O čom by malo byt’ štúdium (a výučba) matematiky 

„Matematika by nemala byt’ o vzorcoch, úpravách výrazov, či 

formálnom reprodukovaní algoritmických postupov bez vnútorného 

porozumenia. Mala by študentov naučit’ 

vyjadrovat’ sa jasne a jednoznačne 

vštepovat’ im potrebu neustále si klást’ otázku PREČO? 

vyžadovat’ argumenty a zároveň vecne a logicky diskutovat’ a 

argumentovat’...“ 





Podmienky 

nepovinná účast’ na prednáškach (!nie na cvičeniach!) 

+10 minút kvôli dvom písomkám (zdôvodnenie, skorší odchod) 

jedinečná možnost’ pýtat’ sa!!! 

podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra) 

Obsah 

I. Číselné množiny – reálne čísla, ohraničenost’, supremum a 

infimum [cca 4 prednášky] 

II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnosti 

reálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohraničenost’, 

monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky] 

III. Postupnosti reálnych čísel – základné vlastnosti, konvergencia 

[cca 4 prednášky] 

IV. Rady reálnych čísel – súčet nekonečného radu, kritériá 

konvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky] 





Podmienky 

nepovinná účast’ na prednáškach (!nie na cvičeniach!) 

+10 minút kvôli dvom písomkám (zdôvodnenie, skorší odchod) 

jedinečná možnost’ pýtat’ sa!!! 

podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra) 

Obsah 

I. Číselné množiny – reálne čísla, ohraničenost’, supremum a 

infimum [cca 4 prednášky] 

II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnosti 

reálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohraničenost’, 

monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky] 

III. Postupnosti reálnych čísel – základné vlastnosti, konvergencia 

[cca 4 prednášky] 

IV. Rady reálnych čísel – súčet nekonečného radu, kritériá 

konvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky] 





Literatúra k prednáškam 

1. Mihalíková, B. – Ohriska, J.: Matematická analýza 1, el. skriptá 

UPJŠ, Košice, 2012. 

http://www.upjs.sk/public/media/5596/Matematicka-analyza-I.pdf 

2. Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I., Alfa, 

Bratislava, 1966 (v závislosti od vydania). 

3. časti elektronického textu sprístupňovaného na stránke 

umv.science.upjs.sk/analyza pri predmete MANa/10 

4. d’alšie dostupné texty... 





Historická exkurzia 

vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz 

kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange 

upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann, 

Weierstrass, Cantor 

20. storočie – konglomerát teórií 

Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu 

sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú 

určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou 

algebrických operácií. 





























































Reálne čísla 

Dôsledky axióm sčítania a násobenia 

Dôsledky axióm usporiadania 

Definícia - množina reálnych čísel 

Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na 

ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia 

usporiadania ≤ také, že: 

• (R, +, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j. 

S 1 : (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita sčítania); 

S 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita sčítania); 

S 3 : (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity); 

S 4 : (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opačného prvku). 












• (R, +, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j. 

S 1 : (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita sčítania); 

S 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita sčítania); 

S 3 : (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity); 

S 4 : (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opačného prvku). 












• (R \ {0}, ·, 1) je abelovská multiplikatívna grupa kompatibilná s 

aditívnou grupou (R, +, 0), t.j. 

N 1 : (∀x, y ∈ R) x · y = y · x (komutativita násobenia); 

N 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobenia); 

N 3 : (∃1 ∈ R, 1 ≠ 0)(∀x ∈ R) x · 1 = x (existencia multiplikatívnej 

jednotky); 

N 4 : (∀x ∈ R \ {0})(∃y ∈ R) x · y = 1 (existencia prevrátenej 

hodnoty); 

N 5 : (∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z (distributivita násobenia 

vzhl’adom na sčítanie). 












• Pre každé dva prvky x, y ∈ R platí aspoň jeden zo vzt’ahov x ≤ y 

alebo y ≤ x, pričom 

U 1 : (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria ≤); 

U 2 : (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita ≤); 

U 3 : (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ sčítania 

vzhl’adom na ≤); 

U 4 : (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia 

vzhl’adom na ≤). 












• Axióma (H) o hornej hranici: Každá neprázdna zhora ohraničená 

podmnožina množiny R má najmenšie horné ohraničenie, t.j. ak 

M ⊂ R, M ≠ ∅ a (∃z ∈ R)(∀x ∈ M) x ≤ z, tak (∃!S ∈ R) 

(i) (∀x ∈ M) x ≤ S (S je horné ohraničenie M); 

(ii) (∀t ∈ R, t < S)(∃x 0 ∈ M) t < x 0 (S je najmenšie horné 

ohraničenie M). 








Veta I.1 

(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x; 

(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x; 

(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0; 

(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1. 

Tvrdenie I.2 

(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y); 

1 

(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0) 

x·y = 1 x · 1 

y . 

Veta I.3 

(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b; 

(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b. 








Veta I.1 

(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x; 

(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x; 

(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0; 

(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1. 

Tvrdenie I.2 

(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y); 

1 

(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0) 

x·y = 1 x · 1 

y . 

Veta I.3 

(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b; 

(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b. 








Veta I.1 

(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x; 

(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x; 

(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0; 

(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1. 

Tvrdenie I.2 

(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y); 

1 

(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0) 

x·y = 1 x · 1 

y . 

Veta I.3 

(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b; 

(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b. 








Veta I.4 

(∀x, y, z ∈ R) 

(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z; 

(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z; 

(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0; 

(iv) x < y ⇒ x + z < y + z; 

(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0. 

Veta I.5 (trichotómia relácie ≤) 

(∀x, y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) 








Veta I.4 

(∀x, y, z ∈ R) 

(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z; 

(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z; 

(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0; 

(iv) x < y ⇒ x + z < y + z; 

(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0. 

Veta I.5 (trichotómia relácie ≤) 

(∀x, y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) 








Tvrdenie I.6 

(∀x, y ∈ R) 

(i) x > 0 ⇒ −x < 0 ∧ 1 x > 0; 

(ii) (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ x · y > 0; 

(iii) (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0) ⇒ x · y < 0; 

(iv) (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1 y < 1 x . 

Veta I.7 

(∀x, y, z ∈ R) 

(i) (x ≤ y ∧ z > 0) ⇒ xz ≤ yz; 

(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ xz ≥ yz. 








Tvrdenie I.6 

(∀x, y ∈ R) 

(i) x > 0 ⇒ −x < 0 ∧ 1 x > 0; 

(ii) (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ x · y > 0; 

(iii) (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0) ⇒ x · y < 0; 

(iv) (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1 y < 1 x . 

Veta I.7 

(∀x, y, z ∈ R) 

(i) (x ≤ y ∧ z > 0) ⇒ xz ≤ yz; 

(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ xz ≥ yz.

Matematická analýza I

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?