Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)

a
1
2bc
b
1
2ca
c
1
2ab
2 2
2
9
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Giải :
Đặt : a 2 + 2bc = x ; b 2 + 2ca = y ; c 2 + 2ab = z
Khi đó : x + y + z = a 2 + 2bc + b 2 + 2ca + c 2 + 2ab
= (a + b + c) 2 1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .
Cứng minh rằng :
1 1 1
9
x y z
Ta chứng minh được : (x + y + z)( ) 9
Theo bất đẳng thức Côsi
Mà : x + y + z 1 nên suy ra 9 .
9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
1
x
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng
phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n 0 )
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n 0 )
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n 0 )
- Ví dụ :
Bài 9.1 :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì
2 n > 2n + 1 (*)
Giải :
+ Với n = 3 , ta có : 2 n = 2 3 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng
thức (*) đúng với n = 3 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2 k > 2k + 1
ta phải chứng minh : 2 k+1 > 2(k + 1) + 1
hay : 2 k+1 > 2k + 3 (**)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+ Thật vậy : 2 k+1 = 2.2 k , mà 2 k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
23
1
x
1
y
1
y
1
z
1
z
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN