Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)

http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy
luận và kết luận nghiệm .
Lưu ý : Một số tính chất : a, a 2 + b 2 2ab
b. a + c < ; c > 0 => a < b
a
c. 1 nếu a > b > 0 .
b
- Các ví dụ :
Bài 1 : Giải hệ phương trình :
3 2
x
2y
4y
3 0
2 2 2
x x y 2y
0
(1) x 3 = - 1 - 2(y - 1) 2 x 3 - 1 x - 1 . (*)
2y
1
y
(2) x 2
2
1 ( vì 1 + y 2 2y) -1 x 1 (**)
Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
- Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương
trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
Bài 2 : Giải hệ phương trình :
x
4
x y z 1
y
4
z
4
xyz
Giải :
Áp dụng : BĐT : A 2 + B 2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B
Ta có : x 4 + y 4 2x 2 y 2 ; y 4 + z 4 2y 2 z 2 ; z 4 + x 4 2z 2 x 2 .
=> x 4 + y 4 + z 4 x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 (*)
Mắt khác : x 2 y 2 + y 2 z 2 2x 2 yz
y 2 z 2 + z 2 x 2 2xy 2 z
x 2 y 2 + z 2 x 2 2xyz 2
=> 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
=> x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 xyz . (**)
Từ (*) và (**) => x 4 + y 4 + z 4 xyz
1
Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 3
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 3
1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;
31