Đề cương Toán 11 năm học 2017 - 2018 trường THPT Hùng Vương - Thái Bình - Có đáp án

h n tr nh 

1, Cosx Cos 

x k2 

 

kZ 

x 

k2 

c bi t 

Cosx 0 

n i c c bản 

 

 

x k 

2 

Cosx 1 

x 

k2 

Cosx 1 

 

k2 

2, Sinx Sin 

x k2 

kZ 

x 

k2 

 

c bi t 

Sinx 0 x k 

 

Sinx 1 x k2 

2 

 

Sinx 1 x k2 

2 

1. 

2. 

3. 

n th c 

 

n i c c bản 

2 2 

Sin x Cos x 1 

1 

2 

1 Tan x 

2 

Cos x 

1 

2 

1 Cotg x 

2 

Sin x 

4. Cotgx.tan x 1 

5. Sin 2 x 1 Cosx1 

Cosx 

6. 

1 

2 

1 Tan x 

2 

Cos x 

7. Sina b Sin aCosb 

CosaSinb 

8. Cos a b 

CosaCosb SinaSinb 

3, Tanx Tan 

x k 

k Z 

c bi t 

Tanx 0 x k 

 

 

 

n h n c định hi x k 

2 

 

Cosx 

0 

4, Cotgx Cotg 

x k k Z 

c bi t 

 

 

Cotgx 0 x k 

2 

Cotgx h n 

 

x k Sinx 

13. 

2 

Sin x 

0 

 

2 

Tan x 

 

2 

1 Tan x 

2 1 

Cos2x 

14. Tan x 

1 Cos2x 

CosxCosy 

1 

2 

c định hi 

 

Cos x y Cos x y 

1 

2 

 

SinxCosy Sinx y Sinx y 

1 

2 

 

SinxSiny Cos x y Cos x y 

 

 

9. Sin2x 

2SinxCosx 

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

2 2 2 

10. Cos2x Cos x Sin x 2Cos x 1 

11. 

2 

1 

2Sin x 

1 

2 

1 Cotg x 

2 

Sin x 

12. Sin 2 x 1 Cosx1 

Cosx 

x y x y 

Sinx Siny 2Sin Cos 

 

2 2 

x y x y 

Sinx Siny 2Cos Sin 

2 2 

x y x y 

Cosx Cosy 2Cos Cos 

 

2 2 

x y x y 

Cosx Cosy 2Sin Sin 

2 2 

ch iải t s ph n tr nh n i c th ờn p 

2 

at bt c 

0 

sin x,cos x, tan x ,cotgx ) 

asin 

x bcos 

x c 

sin x 

 

1;1 

cos x 

- Nế a 2 b 2 c 

2 

ệ 

- Nế a 2 b 2 c 

2 

ế 

a 

b 

2 2 

ế sin x 

2 2 

a 

c 

b 

 

cos 

a 

a 

b 

2 2 

a x b x x c x d 

TH1: cos x 0 

2 2 

sin sin cos cos 0 

 

TH2: cos x 0 x k2 

2 

B. 

ế 

2 

cos x tan x ế 

Câu 1: T 

x 

y sin 

x 1 

A. D R\ 1 

B. D 1; 

C. ; 1 0; 

 

D D. D 

R 


Câu 2: T 

y cos 

x 1 

x 

A. D 1;0 B. D R\ 0 

C. D ; 1 0; 

D. D 0; 

 

Câu 3: T 

2 

y cos x 1 1 

cos x 

 

A. D R \ 

 

k k R 

2 

B. D 0 

C. D R \ k k R 

D. D k2 

k R 

Câu 4: T 

k 

D R \ 

 

k R 

2 

A. y tan x B. y cotx C. y cot 2x 

D. y tan 2x 

Câu 5: T 

 

y cot 

x 

 

3 

 

A. D R \ 

 

k2 k R 

B. D R \ 

 

k k R 

6 

 

3 

 

C. D R \ 

 

 

k k R 

D. D R \ 

k2 k R 

6 

 

3 

 

Câu 6: 

y 

sin x ;0 . 

đ n 

A. T 

 

; 

 

2 ; 

2 

;0 

 

 

 

ế 

B. T 

 

 

; 

 

ế 

;0 

2 

2 

ế 

C. T 

 

 

; 

 

ế 

;0 

2 

2 

ế 

D. T 

 

; 

 

2 ; 

2 

;0 

 

 

 

ế 

Câu 9: 

y tan x 

 

 

; 

2 2 đ n 

A. T 

 

 

; 

2 2 

ế 

B. T 

 

 

ng 

;0 

ế 

0; 

2 

2 

ế 

C. T 

 

 

 

;0 

ế 

0; 

2 

2 

ế 


D. Trên k 

 

 

; 

2 2 

ế 

Câu 10: 

sai 

A. y sinx 

B. y cos x 

C. y tanx 

D. y 

cot x 

Câu 11: T 

A. y sin 2x 

B. y 3sinx 1 C. y sinx cosx D. y cos2x 

Câu 12: y sin 2x 

A. 2 B. 

 

C. 2 

D. 4 

 

Câu 13: 

x 

y cos 3 

A. 2 B. 3 

 

C. 6 D. 3 

Câu 14: 

A. 2 B. C. 2 

 

D. 4 

Câu 1: N ệ cos x 1 

 

A. xk B. x k2 C. xk2 D. 

2 

Câu 2: N 

ệ 

 

A. x k2 B. 

3 

Câu 3: N 

ệ 

1 

sin x 

2 

 

x k 

2 

 

 

x k C. xk D. x k2 

6 

6 

1 

cos x 

2 

 

 

 

A. x k2 B. x k2 C. x k2 D. 

3 

6 

3 

Câu 4: N 

ệ 

 

A. x k2 B. 

2 

cos 

x 

2 

2 1 

Câu 5: N ệ sin3x 

cos x 

 

x k 

6 

 

 

 

x k C. x k2 D. x k2 

4 2 

3 

4 


A. x k ; x k B. x k2 ; x k2 

8 2 4 

2 

 

C. x k; 

x k D. x k; 

x k 

4 

2 

Câu 6: N 

ệ 

2 

sin x sinx 0 

ệ 

A. x 0 

B. x C. 

 

Câu 7: N ệ 2sin4x 

1 0 

3 

 

x D. 

3 

 

 

A. x k ; x k 

B. x k2 ; x k2 

8 2 24 2 

2 

C. x k; x k2 D. x k2 ; 

x k 

2 

Câu 8: N ệ cos x sinx 1 : 

 

 

A. x k2 ; x k2 B. x k; x k2 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 D. x k; 

x k 

6 

4 

Câu 9: N ệ sinx.cosx.cos2x 0 

 

x 

2 2 

 

x 

2 

A. xk B. x k. 

C. x k. 

D. x k. 

2 

8 

4 

Ị 

Câu 1: y 3sin 2x 

5 

A. - -2 B. C. - D. - 

 

Câu 2: y 7 2cosx 

 

4 

A. - B. - C. D. 

Câu 3: y 4 sinx 3 1 

A. 2 B. C. 4 2 D. 4 2 1 

Câu 4: 

Trang 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 

Ị 

2 

sin x 4sinx 

5 

A. -20 B. -9 C. 0 D. -8 

Câu 5: 

2 

y 1 2cos x cos x 

A. 2 B. 5 C. 0 D. 3

Câu 6: TNN TLN y 5cos2x 12sin 2x 

4 

A. - B. C. - D. - 

Câu 7: T TLN TNN y 2sinx cosx2cos x 

sinx 

A. 5 2 

5 

B. 7 

2 

2 

7 

C. 1 

2 

2 

1 

D. 

2 

Câu 8: y 3sin 2x 

5 

A. - -2 B. C. - -2 D. - 

 

Câu 9: y 7 2cosx 

 

4 

A. - B. - C. D. 

Câu 10: y 4 sinx 3 1 

A. 2 B. C. 4 2 D. 4 2 1 

Câu 11: 

y 

2 

sin x 4sinx 2 

A. -20 B. -1 C. 0 D. 9 

Câu 12: 

2 

y 4 2cos x cos x 

A. 2 B. 5 C. 0 D. 3 


a) 

b) 

c) 

d) 

2 

2sin x 5cos x1 0 

2 2 

3 4cos x 2sin x 

sinx 

4 2 

2cos x 3sin x 2 0 

4 2 

4sin x12cos x 7 0 

e) 5cos2x 22sinx 17 0 

f) 

2 x 

cos2x3cos x 

4cos 2 

g) 5tanx 2cotx 3 0 

a) sinx 

3cos x 1 

b) 3cos3xsin3x 

2 

d) 3cos x sinx 4sinx.cosx 

e) cos7x sin5x 3cos5x sin 7x 

c) sin3x 3cos3x 

2sinx 

a) 

b) 

2 2 

6sin x 7 3sin 2x 8cos x 6 

2 2 

2cos x 2sin 2x 4sin x 1 

c) 

3 

sin x 4sin x cos x 0 

a) cos2x cos x 3sin x 2 0 

b) cos2x 3cos x 2 sin x 

c) sin2x 2cos2x 1 sin x 4cos x 

d) 2sin2x cos2x 7sin x 2cos x 4 

2 2 

e) 2sin 2x sin 6x 2cos x 

3 

f) 2sin x cos2x cos x 0 

sin x cos x 1 2sin x cos x sin 2x 

g) 

2: TỔ H P – XÁC SU T – NHỊ TH 

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 

I. QUI T M . 

1. Quy tắc cộng: Gi sử công việc có thể tiến hành theo m A 

P A ể thực hiện bở ; ể thực hiện bở K 

công việ c thực hiện theo n + m cách. 

2. Quy tắc nhân: Gi sử công việc bao g A n A có thể thực 

hiện bở ; n B có thể thực hiện bở K ệ c thực hiện 

bởi n.m cách. 

3. Giai thừa 


! ; ! … 

Tính ch t: 

n!=n(n-1)! 

II. HOÁN VỊ – CHỈNH H P – TỔ H P 

1. Hoán vị: 

a. Định nghĩa: Cho t p A có n ph n tử. Mỗi sự sắp xếp c a n ph n tử t thứ tự 

c là m t phép hoán v các ph n tử c a t p A. 

Đ nh lý: S phép hoán v c a t p h p có n ph n tử , kí hiệ P P ! … 

2. Chỉnh hợp: 

a. Định nghĩa: Cho t p h p A có n ph n tử. Xét s k mà 1k n. Khi l y ra k ph n tử 

trong s n ph n tử r ắp xếp k ph n tử t thứ tự c, c m t phép 

chỉnh h p ch p k c a n ph n tử. 

b. Định lý: S phép chỉnh h p ch p k c a n ph n tử, kí hiệu 

 

k 

A n. n 1 .... n k 1 

 

n 

3. Tổ hợp: 

n! 

n 

k ! 

 

 

k 

A 

n 

là: 

a. Định nghĩa: Cho t p h p A có n ph n tử và s k mà 1k n. M t t p h p con c a 

A có k ph n tử 

c g i là m t t h p ch p k c a n ph n tử. 

b. Định lý: S t h p ch p k c a n ph n tử, kí hiệu 

C 

k 

n 

 

 

1 .... 1 

n! 

n n n k 

 

k! n k ! k! 

c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: 

Cho 

* 

ak , : 

k nk 

C C 0 k n 

n 

n 

k k k 1 

C n 1 

C 

n 

Cn 

1 k n 

III. KHAI TRIỂN NHỊ TH C NEWTON 

Nhận xét: 

 

0 1 1 

 

 

 

 

k 

C 

n 

là: 

n 

n 

k n k k n n k n k k n 

n n n n n 

n 

k 0 

a b C a b C a C a b ... C a b ... C b 

– Trong khai triển nh thức Newton có n + 1 s h ng. 

– Trong m t s h ng thì t ng s ũ a a và b b ng n. 

– Các hệ s c a khai triểu nh thứ ếu s h u và cu i thì b ng nhau. 


k n k k 

– S h ng t ng quát thứ k + 1 kí hiệu T 

k1 

Cna b . 

– 

C C C .... C 

2 

0 1 2 

n 

n n n n 

0 1 2 3 

k k 

– 

n 

C C C C .... 1 C .... 1 C 0 

Chú ý: 

n n n n n n 

– 

n 

n 

k nk k 

n 

k 0 

n 

a b C a b là khai triển theo s ũ a a gi m d n. 

– 

n 

n 

k n n k 

n 

k 0 

a b C a b là khai triển theo s ũ ă d n. 

IV.XÁC SU T 

1. Khái niệm: 

Không gian mẫ Ω 

Biến c A là t p h p con c Ω 

n 

p h p t t c kết qu có thể x y ra c a m t phép thử. 

Hai biến c xung khắc nếu giao c a chúng là t p rỗng 

Hai biến c c l p nếu sự x y ra biến c này không ở ến sự x y ra biến c kia. 

Xác su t c a biến c A là P A 

 

 

n A 

 

n 

T A) ph n tử c A Ω) ph n tử c Ω 

2. Tính chất 

 

 

0 

P A 1 

P A B P A P B 

nếu 2 biến c A c l p nhau. 

B. PH N BÀI T P 

I. Trắc nghi m 

Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm 

 

 

Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A 

hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. 

Câu 1: B n X vào siêu th ể mua m ỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác 

nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. H i X có bao nhiêu cách ch n? 

A. 4 B. 3 C. 7 D. 12 

Câu 2: Cho t p A 0;1;2;3;4 

. Có bao nhiêu s ch n mà mỗi s g m ba chữ s khác nhau 

ch n trong s các ph n tử c a A? 

A. 30 B. 18 C. 12 D. 60 


Câu 3: Từ t p A 1;2;3;4;5 

h i có thể l c bao nhiêu s có 7 chữ s sao cho chữ s 1 

xu t hiện 3 l n, còn các chữ s khác xu t hiện m t l n? 

A. 840 B. 800 C. 1000 D. 860 

Phương pháp giải: 

• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n 

Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân 

Câu 1: B n X mời hai b n nam và ba b n nữ dự tiệc sinh nh t. B 

riêng trên các chiếc ghế, xếp theo m t hàng dài. H i X có bao nhiêu cách xế ặt? 

A. 120 B. 24 C. 6 D. 60 

Câu 2: Sắp xế ời vào m ă ế có 5 chỗ. H i có bao nhiêu cách. 

A. 120 B. 24 C. 6 D. 60 

Dạng 3: Thực hi n phép chỉnh h p 

nh xếp nam, nữ ng i 

h n ph p iải: Phép xếp đ t có th tự của k phần tử trong n phần tử: 

 

k 

A n. n 1 .... n k 1 

 

n 

n! 

n 

k ! 

Câu 1: Trong mặt ph ể A E M N i 

ể 

ể 

A. 120 B. 24 C. 42 D. 60 

Câu 2: Từ t p A 0;1;2;3;4;5 

có thể l c bao nhiêu s có 4 chữ s khác nhau? 

A. 120 B. 24 C. 6 D. 300 

Câu 3: M t ngày h c 3 môn trong s 7 môn h c. H i có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu 

trong m t ngày. 

A. 120 B. 210 C. 6 D. 60 

Dạng 4: Thực hi n phép tổ h p 

h n ph p iải: Phép xếp đ t không có th tự của k phần tử chọn trong n phần tử: 

 

 

1 .... 1 

k n! 

n n n k 

Cn 

0 

k n 

k! n k ! k! 

Câu 1: ểm phân biệt không t n t ểm th ng hàng. Từ ểm trên có thể l p 

c bao nhiêu tam giác? 

A. 12 B. 24 C. 35 D. 60 

Câu 2: Có m y cách rút 3 quân bài từ b bài 52 quân 

A. 1200 B. 2460 C. 4960 D. 5670 

 

 

 


Câu 3: Có m y cách phân ph i 15 s n phẩ ờ ời thứ nh t có hai s n 

phẩ ời thứ hai có 3 s n phẩ ời thứ 3 có 10 s n phẩm. 

A. 9030097 B. 

Dạng 5: Tìm 

15! 

2!3!10! 

* 

k k 

n tron ph n tr nh ch a Pn , An , C 

n 

Phương pháp giải: Dùng các công thức: 

 

C. 670598760 D. 20 

k 

n! k n! 

P n 

n! n 1 ; A n 

nn 1 ... n k 1 

1 k n; Cn 

0 

k n 

n k ! k! n k 

! 

 

Câu 1: Tìm 

2P 

. 

P 

n 

* 

6 3 

, nếu có: A6 

1 

n 1 

A. 3 B. 4 C. 5 

D. 10 

Câu 2: Tìm 

* 

n , nếu có: 6n 6 C 3 3 

n 

Cn 

1 2 

A. 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 B. 4,5,6,7,8,9 

C. 1,2,3,4,5,6 D. 10 

Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n .(Tìm số hạng chứa x k trong 

khai triển) 

Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: 

n 

n k n k k n n n k n k k n n 

a b Cn a b Cna Cna n Cna b ... Cn a b ... Cnb 

(khai triển theo 

 

0 1 1 2 2 2 

k 0 

lũy thừa của a tăng, b giảm) 

n 

n k k k b 

(Chú ý: a b 

C a b khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) 

k 0 

n 

Cách 2: sử dụng số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển nhị thức Newton 

 

 

 

 

Câu 1: Tìm s h ng chứa 

11 x . 

3 

x trong khai triển 11 

A. 

C x B. C 3 6 x 3 

C. C 3 2 x 3 

D. C 3 10 x 3 

3 11 8 3 

11 

11 11 



Câu 2: Trong khai triển 2 x , x0 

 

 

 

3 3 

 

 

x 

10 

, hãy tìm s h ng không chứa x. 

A. 

C B. C 4 2 6 

10 3 4 C. 0 D. 2108 

3 11 6 


Câu 3: Tìm hệ s c a 

8 

2 

x trong khai triển 

6 

1x 

1x 

. 

A. 200 B. 300 C. 238 D. 234 

Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Câu 4: Cho khai triển: 10 2 10 

Tìm hệ s l n nh t 

1 2 ... 

a , a , a ,...,a . 

x a0 a1x a2x a10 

x , có các hệ s 

0 1 2 10 

A. 15360 B. 15600 C. 120980 D. 

Dạng 7: Tìm tổng có ch a 

từ ó uy 

k 

C 

n 

ải: Từ ề bài, ta liên kết v i m t nhị thức khai triển và cho x giá trị thích h p, 

kết quả. 

Câu 1: Tính t ng: 0 1 2 0 1 2 

k 

... ; .... 1 .... 

1 

n 

A. S1 S2 

n k n n 

1 n n n n 2 n n n n n 

S C C C C S C C C C C 

2 , 0 B. S1 0, S2 

2 n 

n n 

C. S1 2 , S2 

2 D. 

Câu 2: Tính t ng: 

S C C C .... C ; S C C .... 

C 

0 2 4 26 1 3 2n 

1 

3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n 

A. 

S 

2 , S 2 

B. 

2n1 2n1 

3 4 

S 

0, S 2 n 

3 4 

2 1 

C. 

S 

2 , S 0 

D. S3 0; S4 

0 

2n1 

3 4 

0 1 2 2 3 3 

Câu 3: Tính t ng: 

 

A. 1 B. 1 

Dạng 8: Tính xác suất 

ải: 

2 2 2 ... 2 n n 

T C C C C C 

n n n n n 

C. 

B c 1: mô tả không gian mẫu và tính n 

B : ặt tên biến c A và tính n A . 

B c 3: tính P A 

II. 

 

 

n A 

 

n 

 

 

BÀI T P TỔNG H P 

D. 

Câu 1: Từ thành ph A ến thành ph ờng, từ thành ph ến thành ph C có 

ờng, từ thành ph ến thành ph ờng, từ thành ph A ến C có 4 con 

ờ K ờng nào n i trực tiếp thành ph B v i D hoặc n A ến D. S 

ờ 

ừ thành ph A ến D là 

A. 32 B. 20 C. 36 D. 48 

Câu 2: S các s tự nhiên nh ết cho 3, có thể c viết bởi các chữ s 0, 

1, 2 là 

A. N = 162 B. N = 144 C. N = 216 D. N = 243 

Câu 3: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l 


1 n 

c s các s g m 3 chữ s là 

A. N = 250 B. N = 268 C. N = 294 D. N = 300

Câu 4: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s g m 5 chữ s t khác 

nhau và chia hết cho 2 là 

A. N = 1080 B. N = 1260 C. N = 1120 D. N = 1320 

Câu 5: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s g m 6 chữ s t khác 

nhau và chia hết cho 5 là 

A. 1320 B. 1440 C. 1280 D. 2560 

Câu 6: ú ch ngo i h ng Anh. Cứ i ph u v i 

nhau 2 tr n g m m t tr t tr t v . Sau mỗi vòng thì mỗ 

m t tr n. S tr n và s vòng l t là 

A. 380 và 19 B. 380 và 38 C. 190 và 19 D. 190 và 38 

Câu 7: S palindrom là s mà nếu ta viết các chữ s theo thứ tự c l i thì giá tr c a nó 

i. Ví dụ: 12521 là m t s panlindrom. Có bao nhiêu s palindrom g m 5 chữ 

s ? 

A. N = 1800 B. N = 2400 C. N = 900 D. N = 1200 

Câu 8: M t bó hoa g m có 5 bông h ng trắng, 6 bông h và 7 bông h ng vàng. H i có 

m y cách ch n l y 3 bông hoa g ba màu? 

A. N = 120 B. N = 240 C. N = 320 D. N = 210 

Câu 9: Từ các chữ s 1, 2, 3, 4, 5 có thể l c s các s có 3 chữ s t khác nhau là 

A. N = 60 B. N = 30 C. N = 125 D. N = 25 

Câu 10: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s ch n có 3 chữ s là 

A. N = 144 B. N = 105 C. N = 248 D. N = 168 

Câu 11: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s có hai chữ s mà c hai chữ 

s u ch n là 

A. N = 20 B. N = 12 C. N = 16 D. N = 25 

Câu 12: S các s có 3 chữ s t khác nhau chia hết cho c 2 và 5 là 

A. N = 72 B. N = 36 C. N = 81 D. N = 90 

Câu 13: M ờ ắng và 5 cái cà v t màu 

vàng. S cách ch n m t áo và m t cà v 

n áo trắng thì không ch n cà v t màu 

vàng là 

A. N = 35 B. N = 18 C. N = 29 D. N = 31 

Câu 14: Cho t p h p A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biế u 

thu c A. 

A. N = 15 B. N = 20 C. N = 25 D. N = 10 


Câu 15: Cho t p h p A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) th a mãn x và y 

thu c A sao cho x + y = 6. 

A. N = 5 B. N = 6 C. N = 7 D. N = 8 

Câu 16: S các s có 2 chữ s mà chữ s ứ c l ữ s ứng sau là 

A. N = 50 B. N = 30 C. N = 65 D. N = 45 

Câu 17: Từ 6 chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s l g m 2 chữ s là 

A. N = 15 B. N = 18 C. N = 36 D. N = 30 

Câu 18: Từ 6 chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s g m 3 chữ s t khác 

nhau không chia hết cho 5 là 

A. N = 108 B. N = 121 C. N = 100 D. N = 120 

Câu 19: Từ 6 chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s có 3 chữ s mà t ng các chữ s 

b ng s ch n là 

A. N = 108 B. N = 50 C. N = 100 D. N = 128 

Câu 20: Từ 6 chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s có 2 chữ s khác nhau và chia 

hết cho 9 là 

A. N = 6 B. N = 12 C. N =8 D. N = 4 

Câu 21: Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể l c s các s có 3 chữ s t khác nhau và không 

chia hết cho 5 là 

A. N = 64 B. N = 30 C. N = 48 D. N = 120 

Câu 22: Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể l c s các s ch n có 3 chữ s t khác nhau và 

nh 

A. N = 40 B. N = 20 C. N = 24 D. N = 36 

Câu 23: Từ các chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l c s các s có 3 chữ s t khác 

nhau l 

500 là 

A. N = 32 B. N = 40 C. N = 26 D. N = 44 

Câu 24: S cách sắp xế d d u 

khác nhau xếp thành m t dãy sao cho các màu xen k nhau là 

A. N = 1152 B. N =1440 C. N = 1280 D. N = 1960 

Câu 26: Gi i 

 

 

 

 

x! x1 ! 1 

 

x 1 ! 6 

x1 x 

5 

A. x1 x 4 B. x 2 x 5 C. x 2 x 3 D. 

Câu 27: S các s tự nhiên n th a mãn 

n 

 

 

nn 

 

 

1 5 1 ! 1 ! 

 

 

5 

là: 

n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2! 


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

Câu 28: G i X là t p h p các s tự nhiên g m 5 chữ s t khác nhau l p từ các chữ s 

1, 2, 3, 4, 5. S ph n tử c a X bắ u b ng chữ s 5 là 

A. N = 12 B. N = 24 C. N = 48 D. N = 20 

Câu 29: G i X là t p h p các s tự nhiên g m 5 chữ s t khác nhau l p từ các chữ s 

1, 2, 3, 4, 5. S ph n tử c a X không bắ u b ng chữ s 1 là 

A. N = 45 B. N = 90 C. N = 60 D. N = 96 

Câu 30: G i X là t p h p các s tự nhiên g m 5 chữ s t khác nhau l p từ các chữ s 1, 2, 

3, 4, 5. S ph n tử c a X không bắ u b ng 345 là 

A. N = 120 B. N = 116 C. N = 112 D. N = 118 

Câu 31: G i X là t p h p các s tự nhiên có 4 chữ s t khác nhau l p từ các chữ s 1, 

2, 3, 4. Tìm t ng t t c các s c a X. 

A. 99990 B. 88880 C. 33330 D. 66660 

Câu 32: Trên m t kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyể Vă 

quyể u khác nhau. H i có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng 

môn? 

A. 103680 B. 831600 C. 3326400 D. 1663200 

Câu 33: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể l c s các s g m 8 chữ s ữ 

s 1 có mặt 3 l n, mỗi chữ s khác có mặ ú t l n là 

A. 5880 B. 3210 C. 1080 D. 4320 

Câu 34: S các s tự nhiên có 3 chữ s ng thời t ng c a 3 

chữ s b ng 9 là 

A. N = 12 B. N = 24 C. N = 18 D. N = 20 

Câu 35: Từ các chữ s 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết l p t t c các s có 6 chữ s khác nhau. Trong các 

s ết l c, s các s mà hai chữ s 6 ứng c nh nhau là 

A. N = 320 B. N = 360 C. N = 420 D. N = 480 

Câu 36: Sắp xế ời vào m t dãy ghế 7 ch ng i. S cách sắp xếp chỗ ng i sao cho 4 

ờ nh c a nhóm ng i k nhau là 

A. N = 576 B. N = 480 C. N = 360 D. N = 180 

Câu 37: Sắp xế ời vào m t dãy ghế 7 ch ng i. S cách sắp xếp chỗ ng i sao cho có 2 

ờ nh c a nhóm không ng i k nhau là 

A. N = 1246 B. N = 3600 C. N = 1860 D. N = 3200 


Câu 38: Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào m t dãy ghế 10 chỗ ng i. S cách sắp xế ể nhóm nam 

ng i k nhau và nhóm nữ ng i k nhau là 

A. 34560 B. 36540 C. 65430 D. 54360 

Câu 39: Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào m t dãy ghế 10 chỗ ng i. S cách sắp xế ể chỉ có nữ 

ng i k nhau là 

A. 192600 B. 129600 C. 120960 D. 160920 

Câu 40: 

khác nhau, 5 viên bi vàng khác nhau. S 

cách sắp xếp các viên bi trên thành m t dãy sao cho các viên bi cùng màu ở c nh nhau là 

A. 106830 B. 34560 C. 43560 D. 103680 

Câu 41: Từ 5 chữ s 1, 2, 3 có thể l c s các s g m 7 chữ s ữ s 1 có mặt 

3 l n, chữ s 2 có mặ ú n, chữ s 3 có mặt 2 l n là 

A. N = 120 B. N = 210 C. N = 320 D. N = 203 

Câu 42: S các s g m 9 chữ s ữ s c xếp k nhau và 4 chữ s còn l i 

g m 2, 3, 4, 5 là 

A. N = 120 B. N = 210 C. N = 180 D. N = 810 

Câu 43: Tìm s tự nhiên n th a 

A 

3 

n 

20n 

A. n = 5 B. n = 6 C. n = 10 D. n = 12 

Câu 44: Tìm s tự nhiên n th a A 

3 5A 

2 2n 

15 

n 

n 

A. n = 2 B. n = 4 C. n = 3 D. n = 5 

2 2 

Câu 45: Tìm s tự nhiên n th a A2 n 

3An 

42 

A. n = 10 B. n = 8 C. n = 6 D. n = 16 

Câu 46: Tìm s d sao cho 

2 2 

2Pn 6An Pn An 

12 

A. n 2 n 3 B. n 3 n 4 C. n 4 n 5 D. n 2 n 

4 

Câu 47: S các giá tr d a n th a mãn 

A 

P 

4 

n2 

143 

0 là: 

4P 

n2 n1 

A. 36 B. 35 C. 33 D. 30 

Câu 48: S các s tự nhiên g m 5 chữ s sao cho hai chữ s k nhau ph i khác nhau là 

A. 59049 B. 27126 C. 39366 D. 34020 

Câu 49: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể l p s các s g m 5 chữ s t khác nhau 

và ph i có mặt chữ s 5 là 

A. 1260 B. 1360 C. 1460 D. 1560 

Câu 50: S các s tự nhiên có 4 chữ s sao cho chữ s u và chữ s cu i gi ng nhau là 


A. N = 560 B. N = 540 C. N = 960 D. N = 900 

Câu 51: S các s tự nhiên có 4 chữ s sao cho chữ s u và chữ s cu i khác nhau là 

A. N = 1800 B. N = 6300 C. N = 5400 D. N = 8100 

Câu 52: S các s tự nhiên có 4 chữ s sao cho hai chữ s u gi ng nhau và hai chữ s cu i 

gi ng nhau là 

A. N = 100 B. N = 120 C. N = 90 D. N = 135 

Câu 53: M t biển s xe g m 2 chữ ứ c và 4 chữ s ứng sau. Các chữ c 

l y từ 26 chữ A … Z ữ s c l y từ 10 chữ s … S biển s xe 

ữ cái gi ng nhau và 4 s t khác nhau và có ít nh t 2 s khác 0 là 

A. 127600 B. 130078 C. 172600 D. 110036 

Câu 54: M t ời mu n xế ặ 6 ng từ ng vào m t dãy 6 chỗ tr ng trên 

m t kệ trang trí. S cách xế ặt là 

A. 20160 B. 21600 C. 26010 D. 26100 

Câu 55: Cho t p h p X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể l c s các s tự nhiên g m 5 

chữ s khác nha t l y từ X nếu m t trong ba chữ s u tiên là chữ s 1 là 

A. N = 3000 B. N = 2280 C. N = 2160 D. N = 2620 

Câu 56: Từ 5 chữ s 0, 1, 3, 6, 9 có thể l c s các s có 4 chữ s t khác nhau và 

chia hết cho 3 là 

A. N = 12 B. N = 16 C. N = 18 D. N = 20 

Câu 57: S các s có 6 chữ s t khác nhau sao cho có mặt s 0 và s 1 là 

A. 32500 B. 42000 C. 36000 D. 48200 

Câu 58: Từ 8 chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể l c s các s g m 6 chữ s t khác 

ặt chữ s 4 là 

A. 13250 B. 14400 C. 13320 D. 31240 

Câu 59: Tính t ng c a t t c các s tự nhiên g m 4 chữ s 

c t o thành 

từ 6 chữ s 1, 3, 4, 5, 8, 9. 

A. 1999800 B. 1999000 C. 1899900 D. 1899900 

Câu 60: Tính t ng c a t t c các s tự nhiên g m 4 chữ s 

c t o thành từ 5 chữ 

s 0, 1, 2, 3, 4. 

A. 299800 B. 259980 C. 299580 D. 289900 

Câu 61: S các s l có 6 chữ s t khác nhau nh 6 

A. 30240 B. 33690 C. 36960 D. 39660 


Câu 62: Kết qu rút g n biểu thức 

A. 

 

 

n n1 

2 

Câu 63: Gi 

h 

C C C 

A C k n 

B. nn 1 

C. 

1 1 1 

 

C C C 

x x x 

4 5 6 

2 

k 

n 

1 n n n 

n 

2 .... .... 

1 k1 n1 

Cn Cn Cn 

 

n n 2 

3 

 

D. 

 

 

n n1 

A. x 1 

B. x 2 

C. x 3 

D. x 4 

Câu 64: Gi 

C 

C 

x4 2x10 

10x 

10x 

A. x 8 x 6 B. x10 x 8 C. x 8 x 14 D. x 6 x 

14 

Câu 65: Tìm s tự nhiên x th a 

2 x 2 

A x 2 

C 

x 

101 

A. x 10 

B. x 12 

C. x 6 

D. x 8 

Câu 67: Tìm s tự nhiên x th a 

x 3 3 

C 8x 

5Ax6 

A. x 8 x 16 B. x 9 x 17 C. x 17 

D. x 16 

Câu 68: S nghiệm c a b 

4 3 5 2 

Cn 1 

Cn 1 

An 

2 

là: 

4 

A. 4 B. 5 C. 6 D. Vô s 

x 

Câu 69: Gi C 2 2C 3 7 x 1 

x1 x1 

A. x 5 

B. x 4 

C. x 3 

D. x 7 

Câu 70: Gi 

A 

5 5 

336 x 

x 

C x2 

A. x 7 

B. x 8 

C. x 9 

D. x 10 

Câu 71: S giá tr d a n th a 

4C 4C 5A 

là: 

4 3 2 

n1 n1 n2 

A. 0 B. 6 C. 7 D. vô s 

Câu 72: S giá tr d a x th a 

2 2 

2C 

x 1 

3A 

x 

30 là: 

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 

Câu 73: Gi i hệ 

y 

 

5Cx 

1 

6C 

 

y 

Cx 

1 

3C 

y1 

x 

y1 

x 

A. xy ; 9;4 

B. xy ; 9;5 

C. xy ; 8;5 

D. xy ; 8;3 

Câu 74: Gi i hệ 

y y 

 

5Ax 

5Cx 

90 

 

y y 

5Ax 

2Cx 

80 

A. xy ; 5;4 

B. xy ; 6;3 

C. xy ; 6;2 

D. xy ; 5;2 

3 


Câu 75: Tìm s tự nhiên k sao cho 

C , C , C 

k k1 k2 

14 14 14 

l p thành m t c p s c ng. 

A. k 3 k 9 B. k 4 k 8 C. k 3 k 8 D. k 4 k 9 

Câu 76: Cho 20 câu h ý ết và 12 bài t N ời ta c u t o thành các 

thi sao cho trong mỗ thi ph i g m 5 câu h t thiết ph i có ít nh t 2 câu lý 

thuyết và 2 bài t p. H i có thể t 

thi? 

A. 8965 B. 8569 C. 9856 D. 9658 

Câu 77: M t l p h c có 40 h 

m 25 nam và 15 nữ. Giáo viên ch nhiệm 

mu n ch n m t ban cán sự l p g m 4 em. Tính s cách ch n, nế 

ời có ít nh t 

m t em nam. 

A. 90025 B. 32500 C. 31500 D. 92500 

Câu 78: ểm phân biệ ểm nào th ng hàng. S n th ng và s tam 

giác t o thành từ ể t là 

A. 20 và 10 B. 10 và 10 C. 10 và 20 D. 20 và 20 

Câu 79: M t túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. L y ra 4 viên bi từ túi, có bao nhiêu 

cách l c 4 viên bi cùng màu? 

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 

Câu 80: Từ ời, ch n ra m i biểu g ở ý 

3 y viên. S cách ch n là 

A. 4615200 B. 4561200 C. 4651200 D. 4156200 

Câu 81: Từ 5 bông h ng vàng, 3 bông h ng trắng và 4 bông h 

t khác nhau, ch n ra m t bó hoa g m 7 bông, s cách ch t 3 

bông h ng vàng và ít nh t 3 bông h là 

A. N = 112 B. N = 150 C. N = 120 D. N = 115 

Câu 82: Từ 8 s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể l c s các s g m 10 chữ s ữ s 

6 có mặ ú n, chữ s khác có mặ ú t l n là 

A. 544320 B. 534420 C. 445320 D. 234540 

Câu 83: Từ các chữ s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể l c s các s có 5 chữ s t khác 

ú ữ s ch n và 2 chữ s l là 

A. N = 3600 B. N = 2488 C. N = 2520 D. N = 2448 

Câu 84: Có bao nhiêu s tự nhiên g m 6 chữ s ặt chữ s 0 

ữ s 1? 

A. 33600 B. 36300 C. 33060 D. 36030 


Câu 85: S các s tự nhiên g m 7 chữ s , biết chữ s 2 có mặ ú n, chữ s 3 có mặt 

ú 

n và các chữ s còn l i có mặt không quá m t l n là 

A. 11360 B. 11640 C. 11340 D. 11520 

Câu 86: Từ m t t p thể g m 6 nam và 8 nữ A ời ta mu n ch n m t 

t công tác g 6 ời. Tìm s cách ch n nếu trong t có m t t ởng, 5 t 

nữ A ng thời có mặt trong t . 

A. 2974 B. 15048 C. 14320 D. 9744 

Câu 87: Trong nhóm 16 h c sinh có 3 h c sinh gi i, 5 khá, 8 trung bình. S cách chia thành 

hai t , mỗi t 8 h c sinh sao cho mỗi t 

u có h c sinh gi i và ít nh t 2 h c sinh khá là 

A. 2560 B. 3210 C. 3780 D. 4420 

Câu 88: Trong mặt ph 

ờng th ng quy. S ểm là 

A. 

 

 

n n1 

2 

B. 

 

 

n n1 

2 

ờng th ng cắt nhau từ 


C. 

 

n n 2 

3 

 

D. 

 

n n 3 

Câu 89: ểm phân biệ ểm nào th ng hàng. S ờng th 

q 

ểm trên là 

A. N = 45 B. N = 90 C. N = 80 D. N = 72 

Câu 90: i có n c nh, n 4 . T ờng chéo b ng s 

c nh. 

A. n = 7 B. n = 6 C. n = 5 D. n = 8 

Câu 91: Cho m i có 15 c nh. S tam giác có ỉnh trùng v ỉnh c 

là 

A. N = 455 B. N = 235 C. N = 525 D. N = 425 

Câu 92: Tìm s ểm t ờng tròn phân biệt. 

A. N = 45 B. N = 90 C. N = 180 D. N = 135 

Câu 93: ờng th d Δ T d ểm phân biệ Δ y 20 

ểm phân biệt. Tính s ỉ ểm trong s ể 

A. 5950 B. 9550 C. 9050 D. 5590 

Câu 94: Trong mặt ph u (H) có 20 c nh. Trong s ỉnh 

c l y từ 

ỉnh c a (H) có bao nhiêu tam giác không có c nh nào là c nh c a (H)? 

A. N = 320 B. N = 480 C. N = 640 D. N = 800 

Câu 95: ểm trong mặt ph ểm th ng hàng, s còn l ểm 

nào th ng hàng. Từ ể ẽ ờng th ng và bao nhiêu tam giác? 

4

A. 181 và 1130 B. 192 và 1130 C. 181 và 1320 D. 192 và 1320 

Câu 96: Tìm s h ng không chứa x trong khai triển c a 

2 

Ax 

4 

x 

A. 1820 B. 1820 

C. 3640 D. 3640 

Câu 97: Tìm s h ng không chứa x trong khai triển c a 

 

Bx 

 

 

 

x 

2 2 

A. 126720 B. 126720 C. 7920 D. 7920 

15 

12 

Câu 98: Tìm hệ s c a 

4 3 

xy trong khai triển c a P2x 

3y 7 

A. 11520 B. 12510 C. 15120 D. 12150 

2 3 12 

Câu 99: Khai triển và rút g ức Px 1 x 1 x 1 x ... 1 

x 

P x a a x a x a x 

 

0 

 

1 

 

2 

... 

12 

. Hệ s 9 

ức 

2 12 

sẽ 

a là: 

A. a9 256 B. a9 286 C. a9 320 D. a9 132 

2 3 20 

Câu 100: ức Px 1 x 21 x 31 x ... 201 

x 

a a x a x a x ... 

a x nh hệ s a 18 

. 

2 3 20 

0 1 2 3 20 

A. 3254 B. 3549 C. 4179 D. 4569 

Câu 101: Trong khai triển P x 3 2x 25 

, hãy tính t ng các hệ s c ức P(x). 

A. 

25 

3 B. 

2 3 

Câu 102: Trong khai triển c a nh thức 15 

gi ng nhau. 

A. 

6 6 

5005a b B. 

25 

2 C. 1 

D. 1 

a 

15 15 

1010a b C. 

b , tìm các s h ng chứa a, b v i s ũ 

18 18 

5005a b D. 

9 9 

1010a b 

Câu 103: Tìm s h ng thứ 4 trong khai triển 

biến. 

99 

 

A. 

 

1 

4 x 

99 

B. 

 

 

1 

4 x 

3 

1 x 

 

2 

x 2 

 

C. 

 

99 

4 

12 

 

x 

 

theo thứ tự s ũ ă d n c a 

99 

 

D. x 

4 

 

Câu 104: Tìm s h c l p v i x trong khai triển 

 

 

x 

x 

3 1 

A. 1820 B. 1280 C. 2180 D. 2810 

16 


Câu 105: S s h ng chứa x v i s 

ũ ự nhiên trong khai triển 

 

x 

 

 

1 

 

x 

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 

2 

n 

Câu 106: Biết t ng các hệ s c a khai triển 3 x b ng 1024. Hệ s c a s h ng chứa x 12 

trong khai triể 

là 

A. 17010 

B. 17010 C. 153090 D. 153090 

Câu 107: Tính t ng 

S C C C C C C ... 

C C 

0 6 1 5 2 4 6 0 

10 12 10 12 10 12 10 12 

A. 74236 B. 74362 C. 74613 D. 24671 

2 2 2 2 

0 1 2 9 

Câu 108: Tính t ng S C9 C9 C9 .... 

C9 

 

A. 39432 B. 43758 C. 36730 D. 48620 

Câu 109: Gieo m t con súc sắ 

là s l . 

A. 

1 

P B. 

3 

1 

P C. 

2 

ng ch t hai l n. Tính xác su t tích s ch m hai l n 


3 

13 

1 

P D. 

4 

là: 

1 

P 

5 

Câu 110: M t túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. L y ra 4 viên bi từ túi, xác su t l y 

c 4 viên bi cùng màu là 

A. 

1 

P B. 

33 

2 

P C. 

33 

1 

P D. 


2 

P 


Câu 111: Sắp xếp ngẫu nhiên 5 b n h c sinh A, B, C, D, E ng i vào m t chiếc ghế dài có 5 

chỗ ng i. Xác su 

A. 

1 

P B. 

5 

ể hai b n A và E ng i c nh nhau là 

1 

P C. 

4 

2 

P D. 

5 

3 

P 

10 

Câu 112: Gieo hai con súc sắ ng ch t. Tính xác su t t ng hai mặt xu t hiện b ng 7. 

A. 

1 

P B. 

3 

1 

P C. 

6 

1 

P D. 

12 

1 

P 

4 

Câu 113: M ự . L y ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác 

su ể c ít nh t 3 viên bi xanh. 

A. 

1 

P B. 

2 

1 

P C. 

3 

Câu 114: Gieo ngẫu nhiên m t con súc sắ 

m t l n xu t hiện mặt 6 ch m. 

A. 


P B. 

36 

1 

P C. 

3 

1 

P D. 

4 

1 

P 

5 

ng ch t hai l n. Tính xác su t ít nh t 

1 

P D. 

6 

5 

P 

18

Câu 115: ng thời b ng ch t. Tính xác su ú ng xu 

ngửa. 

A. 

1 

P B. 

16 

1 

P C. 

4 


P D. 

16 

1 

P 

6 

Câu 116: M t h è t. L y ngẫu nhiên 3 bóng. 

Tính xác su ể l c ít nh t 2 bóng t t. 

A. 

5 

P B. 


6 

P C. 


7 

P D. 


8 

P 


Câu 117: M t l p h c g m 20 h 6 c sinh gi i Toán, 5 h c sinh gi Vă 

và 4 h c sinh gi i c T Vă n ra 2 em. Tính xác su ể c sinh 

gi i ít nh t m t môn Toán hoặ Vă 

A. 

2 

P B. 

19 

Câu 118: M t h p có 20 qu c u gi 

L y ngẫu nhiên 3 qu . Tính xác su 

A. 

46 

P B. 

57 

3 

P C. 

19 


P D. 

95 

21 

P 

190 

q c u trắng và 8 qu c 

ể trong 3 qu ch n ra có ít nh t m t qu 

15 

P C. 

19 

16 

P D. 

19 

47 

P 

57 

Câu 119: M t t có 6 h c sinh nam và 4 h c sinh nữ. Giáo viên ch ă ệ. 

Tính xác su ể 2 h c ch n khác phái. 

A. 

7 

P B. 

15 

Câu 120: M t l p có 30 h 

1 

P C. 

2 

8 

P D. 

15 

3 

P 

5 

i, 15 em khá và 7 em trung bình. Ch n 

ngẫu nhiên 3 em dự i h i. Tính xác su ể không có h c sinh trung bình. 

A. 

2 

P B. 

145 

18 

P C. 

29 

25 

P D. 

58 

253 

P 

580 

Câu 121: Cho 7 s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. G i X là t p h p các s g m hai chữ s khác nhau l y từ 

7 s trên. L y ngẫu nhiên m t s thu c X. Tính xác su t s l . 

A. 

9 

P B. 

14 

5 

P C. 

7 

4 

P D. 

7 


P 

14 

Câu 122: Cho 7 s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. G i X là t p h p các s g m hai chữ s khác nhau l y từ 

7 s trên. L y ngẫu nhiên m t s thu c X. Tính xác su t s ết cho 5. 

A. 

2 

P B. 

5 

1 

P C. 

5 

1 

P D. 

7 

2 

P 

7 

Câu 123: M t x th A có xác su t bắn trúng bia mục tiêu là 0,7. Gi sử x th này bắn 3 l n. 

Tính xác su ể x th A bắn trúng mục tiêu ít nh t m t l n. 


A. P 0,973 B. P 0,997 C. P 0,987 D. P 0,975 

Câu 124: Gieo m t con xúc sắ 

hai l n gieo là s l . 

A. 

1 

P B. 

2 

Câu 125: Gieo m t con xúc sắ 

ch m từ 5 trở lên. 

A. 

1 

P B. 

2 

3 

P C. 

5 

3 

P C. 

5 

ng ch t hai l n. Tính xác su t t ng s ch m c a 

3 

P D. 

7 

5 

P 

9 

ng ch t hai l n. Tính xác su t có ít nh t m t l n s 

3 

P D. 

7 

5 

P 

9 

3: DÃY S – C P S CỘNG – C P S NHÂN 

A. LÝ THUY N 

h n ph p ch ng minh qui nạp 

Để chứng minh mệ ú i m i s tự ≥ ≥ q 

n p, ta tiế 

c 

c 1. Kiểm tra r ng mệ ú i n = p. 

c 2. Gi thiết mệ ú i m t s tự nhiên b ≥ i là gi thiết qui n p), 

chứng minh r ng 

ũ ú i n = k + 1 

II. Dãy s 

Mỗi hàm s nh trên t p các s d N∙ c g i là dãy s vô h n. 

T ờng viế d i d ng khai triển: u 1 , u 2 , ..., u n , ... 

T 1 là s h u và u n là s h ng t ng quát. 

III. Dãy s hữu hạn 

Mỗi hàm s nh trên t M { … } d c g i là dãy 

s hữu h n. 

D ng khai triển: u 1 , u 2 , u 3 … m T 1 là s h u, u m s h ng cu i. 

Ví dụ: –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy s hữu h n 

IV. Cách cho m t dãy s 

1. Dãy s cho b ng công thức s h ng t ng quát 

2. Dãy s cho b : mô t nh các s h ng liên tiếp c a dãy s . 

3. Dãy s cho b i 

a. Cho s h u hay vài s h u 


. Cho hệ thức truy h i, tức là hệ thức biểu th s h ng thứ n qua s h ng hoặc vài s h ng 

ứ 

c nó. 

V. Dãy s tăn , dãy s giảm và dãy s bị ch n 

1. Dãy s tăn và dãy s giảm 

Dãy s (u n ) c g i là dãy s ă ếu ta có u n1 

u v i m i s d 

n 

Dãy s (u n ) c g i là dãy s gi m nếu ta có u n1 

u v i m i s d 

n 

Dãy s (u n ) v i u 2n 

2. Dãy s bị ch n 

n 

là dãy s ă vì 

u n 1 

u n 

2 n 1 

2n 

2 0 nên u n1 

u . n 

Dãy s (u n ) c g i là b chặn trên nếu t n t i s M sao cho: un 

d 

M , v i m i s 

Dãy s (u n ) c g i là b chặn d i nếu t n t i s m sao cho: m 

un 

, v i m i s 

d 

Dãy s (u n ) c g i là b chặn nếu vừa b chặn trên vừa b chặ d i. 

VI. Cấp s c ng 

Đ ĩ p s c ng là m t dãy s (hữu h n hoặc vô h ) ể từ s h ng thứ 

2, mỗi s h u b ng s h ứ c nó c ng v i s i d. S d g i là 

công sai c a c p s c ng. 

Công thức truy h i: u n 1 

u n 

d v i m i s d 

Nếu d 0 thì c p s c ng là dãy s i. 

2. S h ng t ng quát: Nếu c p s c ng (u n ) có s h u u 1 và công sai d thì s h ng t ng 

u u n d v i n 2 . 

quát u n c xác nh bởi công thức: 

n 

1 

1 

uk 1 

uk 

1 

3. Tính ch t các s h ng c a c p s c ng: uk 

v i k 2 . 

2 

4. T ng n s h u c a c p s c ng: 

VII. Cấp s nhân 

S u u u u 

1 2 

n 

 

1 

 

2 

 

3 

... 

 

n 

 

u 2 1 

1 

n u n u n d 

2 2 

Đ ĩ p s nhân là m t dãy s (hữu h n hoặc vô h ) ể từ s h n thứ 2, mỗi 

s h u là tích c a s h ứ c nó v i s k i q. S q g i là công b i c a 

c p s nhân. 

Nếu (u n ) là c p s nhân v i công b i q, ta có u n1 un. 

q , v i m i s d 

2. S h ng t ng quát: 

un 

u q v i n 2 . 

. n 1 

1 


3. Tính ch t các s h ng c a c p s nhân: u 2 k 

uk 1. 

uk 

1 

4. T ng n s h u c a c p s nhân: 

Cho c p s nhân (u n ) v i công b i q 1. 

, v i k 2 . 

u1 

1 

q 

Sn 

u1 u2 

.... 

un 

 

1 

q 

 

n 

 

B. BÀI T P 

Câu 1: 

ng thức 

1 3 5 .... 2n1 

n 

a. 

2 

b. n 2 

1.2 2.3 3.4 ... n n 1 n n 1 

n 

c. 1 2 3 .... 

n 

n 

2 

2 

3 3 3 3 

1 

2 2 2 2 2 

n n 1 2n 

1 

d. 1 2 3 4 .... 

n 

6 

S ng thứ ú i m i s d 

4 

3 

 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 2: Hãy viết 3 s h ng tiếp theo hai s h u c a dãy s u n có 

u1 1, u2 1, un2 un 

1 

un 

A. 2; 3; 5 B. 3; 4; 7 C. 2; 5; 7 D. 3; 5; 8 

n 

Câu 3: Cho các dãy s u sau 

a. 

un 

n1 

2 2n 

b. u n 

n1 

2.3 7 . c. 

un 

1 

 

2 n 

n 

 

2 

d. u 

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 

n 

 

 

 

n 1 

Câu 4: Công thức s h ng t ng quát c a dãy s u n có u1 1, un 

1 

2un 

3 là: 

n 

A. 

u n 

n1 

2 1 B. 

n1 

u n 

2 2 C. 

n1 

u n 

2 3 D. 

u n 

 

n1 

2 4 

Câu 5: Công thức s h ng t ng quát c a dãy s u n có u1 5 ; 2 u 1 1 

1 

u1 

 

4 

1 

1 

1 

1 

B. un 

1 C. u 1 2 

n1 

n 

D. u 2 2 

n 

n 

2 

n1 

A. u1 1 2 

n1 

n 


a. 

u 

n 

n 1 

b. 

n 2 

u n 

 

 

n 

1 

 

n 1 

1 

c. un 

2n 

d. u 2 2 5 

2 

n 

n n 

n 


S dãy s gi m là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

n 


a. 

u 

n 

2n 

3 

2 

b. un 

2n c. un 

2n n 5 d. 

n 2 

n 

S dãy s b chặn là 

u n 

 

 

n 

1 

 

2 

n 1 

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 

n 


a. u 12n 


n 

b. u n3n 

2 

Những dãy s là c p s c ng g m 

n 

c. u 3 n d. 2 2 

u n 1 

n 

A. a và c B. a, c và d C. a, b và c D. b, c và d 

Câu 9: Tìm s h u và công sai c a c p s c ng n 

n 

n 

u , biết u12u5 

0 và S4 14 . 

A. u1 8 và d 3 B. u1 5 và d 1 C. u1 6 và d 2 D. u1 9 và d 4 


u , biết u4 10; u7 

22 


Câu 11: Tìm s h u và công sai c a c p s c ng n 

u , biết u1 u5 u3 10; u1 u6 

17 


Câu 12: Tìm s h u và công sai c a c p s c ng u n , biết u3 15 và u8 25 

A. u1 31; d 8 B. u1 35; d 10 C. u1 31; d 10 D. u1 35; d 8 


u 

u 

 

2 2 

4 

 

12 

1170 

u , biết u7 u15 60 và 

21 

21 

A. u1 12; d 3 hoặc u1 

0; 

d B. u1 10; d 3 hoặc u1 

0; 

d 

5 

5 

21 

C. u1 

10; 

d hoặc u1 0;d 3 . D. u1 12 và 

5 


u1u 2u3 8 . 

21 

d hoặc u1 0; d 3 

5 

u , biết u1 u3 u5 12 và 

A. u1 2; d 1 B. u1 1; d 2 C. u1 1; d 2 D. u1 2; d 3 


Câu 15: M t c p s c ng g m 8 s h ng v i s h 

h ng còn l i ở giữa l 

t là 

u là –15 và s h ng cu i là 69. Các s 

A. 2;11;23;35;47;58 B. 3;11;23;35;47;59 C. 2;10;21;33;45;57 D. 3;9;21;33;45;57 

Câu 16: Tìm 3 s h ng liên tiếp c a m t c p s c ă ết t ng c a chúng b ng 27 và 

t a chúng là 293. 

A. 4; 9; 14 B. 3; 9; 15 C. –1; 9; 19 D. 0; 9; 18 

Câu 17: Ba c nh m dài là các s d p thành m t c p s 

c ng có công sai b ng 2. Tìm ba c 

A. 3; 5; 7 B. 5; 7; 9 C. 4; 6; 8 D. 6; 8; 10 

Câu 18: Ba góc c a m t tam giác vuông l p thành c p s c ng. S 

A. 

Câu 19: S 

0 

40 B. 

góc nh nh t. Tìm công sai c a c p s c 

A. 

0 

d 40 

B. 

0 

15 C. 

0 

30 D. 

0 

45 

nh t là 

a m t tứ giác l i l p thành c p s c ng và góc l n nh t g p 5 l n 

0 

d 30 

C. 

Câu 20: Tìm x sao cho 3 s a, b, c theo thứ tự 

2 

a 10 3 x, b 3x 5, c 5 4x 

. 

A. 

1 5 

x x B. 

2 3 

1 5 

x x C. 

2 3 

0 

d 25 

D. 

0 

d 35 

p thành c p s c ng, biết 

10 

x1 x D. 

3 

10 

x 1 x 

3 

Câu 21: Cho c p s c ng (u n ) có s h u là u1 1 và công sai d 1. Tìm n sao cho t ng 

n s h u tiên c a c p s c ng 3003. 

A. n 77 

B. n 78 

C. n 79 

D. n 80 

Câu 22: Cho các dãy s (u n ) sau 

a. 3. 2 2n 

 

1 

n 3n1 

b. 1 .3 

u n 

u n 

S c p s c ng trong các dãy s trên là 

c. u1 2 và u n 1 

2u 

n 

1 . D. 3 n 

u 1 . 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 23: Tìm s h u và công b i c a c p s nhân u n , biết 

u u u 65; u u 325 . 

1 3 5 1 7 

A. u1 5 và q 2 B. u1 3 và q 3 C. u1 3 và q 2 D. u1 5 và q 3. 

Câu 24: Tìm công b i c a c p s nhân u là dãy s gi m có u2 u3 768 và 

u2 u5 1008 . 

n 

n 


A. 

5 

q B. 

4 

Câu 25: Cho dãy s 

n 

1 

q C. 

5 

u có s h ng t ng quát 1 n2 

A. Dãy s trên là c p s nhân có công b i q 6 . 

B. Dãy s trên là c p s ă 

C. Dãy s trên không có chặ d i và chặn trên 

D. Dãy s trên là c p s nhân gi m 

Câu 26: Tìm s h 

h ng là 364 và s h ng cu i là 486. 

4 

q D. 

5 

1 

q 

4 

2 .3 . Nh ú 


u n 

n 

u c a c p s nhân hữu h n, biết r ng công b i là –3, t ng s các s 

A. 1 

B. 1 C. 0 D. 2 

Câu 27: Tìm công b i c a c p s nhân hữu h n có s h 

t ng s các s h ng là 889. 

A. 

3 

q B. q 2 

C. 

2 

u là 7, s h ng cu i là 448 và 

5 

q D. q 4 

2 

Câu 28: S s h ng c a m t c p s nhân là m t s ch n. T ng t t c các s h ng c a nó l n 

g p 3 l n t ng các s h ng có chỉ s l 

A. 

1 

q B. q 2 

C. 

2 

nh công b i c a c p s 

1 

q D. q 4 

4 

Câu 29: nh s h u c a c p s ă ết t ng 3 s h ng 

thời 3 s h u l t là s h ng thứ nh t, thứ ứ tám c a c p s c ng. 

A. 4 B. 12 C. 27 D. 36 

Câu 30: Tìm 3 s h 

u a, b, c c a m t c p s nhân, biết r ng a, b + 2, c t o thành m t 

c p s c ng và a, b + 2, c + 9 l p thành m t c p s nhân. 

A. 4; 8; 16 hoặc 

C. 2; 4; 8 hoặc 

4 16 64 

; ; 

25 25 25 

4 16 64 

; ; 

25 25 25 

Câu 31: Tìm các s a, b, c, d theo thứ tự gi m d 

4 16 64 

B. 2; 4; 8 hoặc ; ; 

25 25 25 

4 16 64 

D. 4; 8; 16 hoặc ; ; 

25 25 25 

h ng kế tiếp c a 

m t c p s nhân, còn b, c, d là ba s h ng kế tiếp c a m t c p s c ng; a d 32, b c 24 . 

A. 30; 18; 6 và 2 B. 32; 16; 8 và 0 C. 16; 8; 4 và 0 D. 24; 12; 6 và 0 

Câu 32: Tìm các s a, b sao cho a, a + 2b, 2a + b là 3 s liên tiếp c a c p s c ng và 

b 1 , ab 5, a 

1 

2 2 

là ba s liên tiếp c a c p s nhân. 

A. a 3 và b 12 B. a 12 và b 3 C. b 3 và a 1 D. a 3 và b 1

Câu 33: Tìm s tự nhiên n th a mãn S nn n 

 

n 

1.2.3 2.3.4 3.4.5 .... 1 2 53130 

A. n 20 

B. n 21 

C. n 22 

D. n 23 

5 

Câu 34: Cho dãy s u n có u1 ;2 un 

1 

un 

1 v i n 1. Nh 

4 

n1 

A. S h ng t ng quát c a dãy s là u 2 1 n 

1 

B. Dãy s u n không b chặ d i 

C. Dãy s u n không b chặn trên 

D. Dãy s u n là dãy s ă chặn 

n 


n 

ú 

 

a. 2 n 

u n 

b. 2 

n n 

u 2 c. u 2;u u 1 

n 

d. u 1 n 

1 

u 

S dãy s không b chặn là 

n 

1 n1 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 36: Tìm s h u c a c p s ă un 

có u1u 2u3 4096 và S3 56 . 

A. u1 4 

B. u1 6 

C. u1 8 

D. u1 2 

n 

Câu 37: M t c p s nhân u có 5 s h ng, biết công b i 

h ng thứ 5 c a c p s nhân này 

s c ng. 


n 

n 

1 

q và u1u4 63 . Tìm s 

2 

9 

7 

A. u5 3 

B. u5 

C. u5 

D. u5 4 

2 

2 

Câu 38: Các biểu thức x 5 y,5x 2 y,8x 2y 

có giá tr theo thứ tự l p thành c p s c ng. 

Đ ng thời x 1, y 3, x 2y 

theo thứ tự l p thành c p s nh x và y. 

A. x 3, y 1 hoặc 

C. 

27 9 

x , y . B. 

2 2 

9 3 

x ; y hoặc x 3, y 1 D. 

2 2 

Câu 49: Tìm hai s d 

và ba s 1; a; b theo thứ tự l p thành m t c p s nhân. 

9 3 

x ; y hoặc x 3; y 1. 

2 2 

27 9 

x , y hoặc x 3; y 1. 

2 2 

ết ba s 1; a + 8; b theo thứ tự l p thành m t c p s c ng 

A. a 4 và b 16 B. a 3 và b 9 C. a 2 và b 4 D. a 5 và b 25 

Câu 50: M t c p s c ă un 

và m t c p s ă n 

u 

1 

v1 5 

v có s h ng thứ nh t 

; biết u2 v2 10 và u3 v3. Tìm công b i q c a c p s c ng và công sai d c a c p 

n

A. d 20 và q 3 B. d 15 và q 3 C. d 10 và q 2 D. d 15 và q 2 . 

n 

n 

Câu 51: Cho dãy s u v i u 2 2. Tính t ng 10 s h u c a dãy s 

n 

A. 2056 B. 2066 C. 2036 D. 2026 

n 

Câu 52: Cho dãy s u có t ng c a n s h u tiên là S 

S h ng t ng quát c a c p s c ng là 

n 

 

 

2 

7n 

3n 

v i m i n 1. 

2 

A. 5 3n 

B. 2 n 

C. 3 2n 

D. 4 n 

Câu 53: Cho hai c p s c ng 

n 

u và 

v có t ng n s h u tiên l t là 

n 

v i m i n 1 và 

2 

Sn 

2n n 

v i m i n 1 . Tính tỉ s u 

1 v 

1 

2 

Tn 

n 7n 

A. 3 7 

B. 3 8 

C. 1 2 

D. 5 7 

Câu 54: G i a là m t nghiệm c 

x 

2 

3x1 0. Xét dãy s u có 

n 

u 

n 

n 1 

a 

v i n 1. Nh 

n 

a 

A. Dãy s b chặn B. Dãy s có m i s h ng là s nguyên 

C. Dãy s gi m D. Dãy s có s h u là u1 3 

2n 

5 

Câu 55: Cho dãy s u n có un 

 

2 

n 1 

. S h ng b ng 1 là s h ng thứ m y? 

5 

A. 12 B. 11 C. 10 D. 6 

n 

 

Câu 56: Cho dãy s u n có un 

cos v i m d S giá tr khác nhau 

3 

c a dãy s là 

A. 6 B. 5 C. 4 D. 4 

n 

Câu 57: Cho dãy s u n là s d 6 K nh nào sau 

ú 

A. Dãy s chỉ có 6 giá tr khác nhau B. Dãy s b chặn 

C. Nếu um un 

thì m n chia hết cho 6 D. S h ng nh nh t là u 1 . 

Câu 58: Cho dãy s u n nh bởi: u1 5 và u n1 3u 

v i m i s d 

n 

Công thức s h ng t ng quát là 

A. u 5.3 n 

n 

B. 

1 

u 5.3 n 

n 

C. u n 

2 

5.3 n 

D. u n 

5.3 n 


3

Câu 59: Cho dãy s u n có u1 1 và u n 1 

3u n 

2n 

v i m i s d T 

n 

thức s h ng t ng quát c a u . 

A. 

un 

1 

1 

 

2 

2 

n1 

.3 n 

B. 

un 

1 

1 

 

2 

2 

n1 

.3 n 

C. 

un 

5 

1 

 

2 

2 

n1 

.3 n 

D. 

un 

5 

1 

 

2 

2 

n1 

.3 n 

Câu 60: Cho dãy s u n có u1 1 và u n 1 

2u n 

n v i m i s d T 

n 

thức s h ng t ng quát c a u . 

A. 

un 

1 

n 1 2 n 

B. 

Câu 61: Cho các dãy s sau 

a. u 

n 

 

n 

n 

 

 

3n 

1 

 

2 1 

1 

un 

b. u 

S dãy s b chặn trong các dãy s trên là 

1 

n 1 2 n 

C. 

n 

 

2n 

3 

2 

2n 

1 

un 

c. 

1 

n 1 2 n 

D. 

u n 

un 

n1 

2 n 

1 1 1 1 

.... 

n 1 n 2 n 3 2n 

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 

n 

Câu 62: Cho dãy s u có u1 1, u u u m. 

n v i m i m, n là các s nguyên 

d T h ng t ng quát c a u n . 

A. u nn 

1 

n 

B. u 

n 

 

mn m n 

 

nn1 

C. u 

2 

n 

 

 

nn1 

D. u 

3 

n 

 

 

nn1 

 

4 

Câu 63: Cho dãy s u n có u1 1; u2 

7 và un2 5un 1 6un 

v i m i n là s nguyên 

d T h ng t ng quát c a u n . 

A. 

1 

2 n n 

u n 

3 B. u n 

1 

5.2 n n 

3 C. u n 

1 

2 n n 

3 D. u n 

Câu 64: nh s h u u 1 và công sai d c a c p s c ng n 

1 

n 

3.2 5.3 

n1 

u có u9 5 u2; u13 2u6 

5 


Câu 65: nh s h u u 1 và công sai d c a c p s c ng n 

u có u5 10; S10 

5 


Câu 66: nh s h u u 1 và công sai d c a c p s c ng u n có t ng n s h u 

tiên là 

S n n 

2 

n 

3 

v i m i s ngu d 

A. u1 2 và d 2 . B. u1 4 và d 2 C. u1 4 và d 3 D. u1 2 và d 3. 


Câu 67: Cho c p s c ng u n th a mãn u4 u8 u12 u16 16 . Tính t ng 19 s h u S 

19 

. 

A. S19 76 B. S19 152 C. S19 138 D. S19 252 

n 

Câu 68: Cho m t c p s c ng u có 

m S 

n S v i m i m, n là hai s d 

2 2 

n 

m 

u 

Tính tỉ s 2017 

u 

1 

A. 4034 B. 4033 C. 8069 D. 8070 

2n 1 2n 2 2n 3 ... 3n 

2265 

Câu 69: Tìm s d ết 

A. n 31 

B. n 30 

C. n 28 

D. n 29 

Câu 70: Tìm s d ết n 

 

1 2 3 ... 1 2017n 

A. n 4032 B. n 4033 C. n 4034 D. n 4035 

n 

Câu 71: Cho dãy s u có u1 2 và u 

Tìm s h ng t ng quát u 

n 

. 

A. 

un 

n 

1 

un 

1 

3 

n 

n1 

v i m i s 

1 

1 

1 

3n 3 B. un 

3 3n C. un 

3 3n D. 

n 

n 

n 

 

 

un 

d 

1 

3n 3 

n 

3 1 1 

Câu 72: Cho các s a; b; ab0 

sao cho ; ; theo thứ tự l p thành c p s c ng. 

a a b b 

Tỉ s 

a 

b 

2 

2 

là 

A. 3 B. 1 3 

C. 2 D. 1 2 

Câu 73: nh s h u và công b i c a c p s nhân n 

u có u10 32; u15 256u7 

16 1 1 1 

16 1 

A. u1 

; q 2 B. u1 

; q 2 C. u1 

; q D. u1 

; q 

5 

16 

16 2 

5 2 

Câu 74: nh s h u và công b i c a c p s nhân n 

u5u3 108. 

u có u4 u2 54 và 

A. u1 9 và q 2 B. u1 3 và q 2 C. u1 9 và q 2 D. u1 3 và q 2 

Câu 75: Tìm x, y biết xy ; ;12 là 3 s h ng liên tiếp c a c p s nhân và xy ; ;9 là 3 s h ng liên 

tiếp c a c p s c ng. 

A. x 3 và y 6 hoặc x 27 và y 18 B. x 108 và y 36 hoặc x 3 và y 6. 

C. x 27 và y 18 hoặc x 36 và y 18 D. x 54 và y 27 hoặc x 36 và y 18. 


Câu 76: Tìm x biết ba s 

 

x ;sin x;cos x là 3 s h ng liên tiếp c a c p s nhân 

4 4 

 

A. x k2 

, k là s nguyên B. x k2 

, k là s nguyên 

3 

6 

C. 

 

x k 

, k là s nguyên D. 

3 

 

x k 

, k là s nguyên 

6 

Câu 77: Cho x, y, z là ba s h ng liên tiếp c a c p s nhân gi m th a mãn xyz 64 và 

3 3 3 

x y z 584 . Tìm x, y, z. 

A. x32; y 4 và 

1 

z B. x8; y 4 và z 2 

2 

C. x2; y 4 và z 8 

D. 

1 

x ; y 4 và z 32. 

2 

Câu 78: Cho x, y, z là ba s h ng liên tiếp c a c p s nhân có công b i q th a mãn 

1 1 1 

7 

q 1; 14 và xy yz zx 

. Tìm x, y, z. 

x y z 

108 

A. 

C. 

1 1 

x ;y và 

18 6 

1 1 

x ; y và 

2 6 

Câu 79: Tính 

A. 

1 

z B. 

2 

1 

z D. 

8 

1 1 1 1 

S lim .... 

n 

 

2 4 8 2 

1 

S B. 

3 

Câu 80: Cho 

AC 

 

A. 

0 

60 

 

 

n 

 

 

 

1 1 

x ; y và 

3 6 

1 1 

x ; y và 

12 6 

1 

z . 

12 

1 

z 

2 

1 

S C. S 1 

D. S 1 

3 

ABC có 3sin A;2sin B;2sin 

C là ba s h ng liên tiếp c a c p s nhân và 

0 

30 B. 

0 

60 C. 

0 

45 D. 

0 

54 

Câu 81: Gi sử x1, 

x 

2 

là hai nghiệm c 

g trình 

0 và x3, 

x 

4 

là hai nghiệm 

2 

x x c 

c 

4 0. Tính c, d biết r ng x1, x2, x3, 

x 

4 

l p thành m t c p s nhân 

2 

x x d 

ă 

A. 

2 32 

c , d B. 

9 9 

3 243 

c , d C. 

16 16 

Câu 82: Cho c p s c ng u có công sai 0 

th a mãn u1 v1 2; u2 v2; u3 v3 

8. Tìm d và q. 

n 

4 024 

c , d D. 

25 25 

d và c p s nhân 

6 243 

c , d 

25 50 

v có công b i q 0 


n

A. d 4 và q 2 B. d 4 và q 3 C. d 4 và q 2 D. d 4 và q 3 

Câu 83: Cho dãy s u n có u1 2, un 

1 

3 4un. nh công thức t ng quát c a u n . 

A. 

u n 

n1 

2.4 1 B. 

u n 

n1 

2.4 1 C. 

n1 

u n 

3.4 1 D. 

u n 

 

n1 

3.4 1 

A. LÝ THUY N 

I.Giới hạn của dãy s 

1. Giới hạn đặc biệt: 

Giới hạn hữu hạn 

1 1 

lim 0; lim 0k 

Z 

x 

x 

k 

n n 

 

n 

lim q 0 q 1 ; lim C C 

x 

2. Định lý: 

 

x 

a) Nếu lim u a,lim 

v b thì 

lim u n 

v n 

a b 

n 

 

lim u n 

v n 

a b 

 

u v 

lim . a. 

b 

u 

lim n vn 

n 

n 

a 

(nếu b 0 ) 

b 

b) Nếu un 

0, 

nvà limu 

n 

a thì a 0 và 

lim 

u n 

 

a 

c) Nếu u v , n 

và lim v 0 

n 

thì limun 

0 

d) Nếu limun 

a thì lim u n 

n 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 

u 

S u u q u q q 

1 

q 

2 1 

1 1 1 

... 1 

n 

2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: 

n 

 

 

 

a 

4: GI I H N VÀ HÀM S LIÊN TỤC 

 


lim 

x 

n 

Giới hạn vô cực 

lim n k k Z 

 

n 

lim q q 

1 

x 


a) Nếu lim u n 

 

x 

 

thì 

1 

lim 0 

u 

un 

b) Nếu lim un 

a,lim 

vn 

thì lim 0 

v 

c) Nếu limu a 0,lim v 0 

thì 

u 

lim 

v 

n 

n 

n 

nÕu a.vn 

0 

 

nÕu a.v 

n 

VD: a) 

1 

1 

n 1 1 

lim lim n 

2n 

3 3 

2 

2 

n 

b) 

c) 

1 

2 

1 3 

n n 3n lim lim 

n 

1 

1 2n 

1 

2 

n 

2 2 

lim n 4n 1 lim n 1 

4 1 

2 

n n 

 

Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằ ng thức 

3 2 3 

a b a b a b; 

3 a 3 b a 3 ab b 2 a b 

VD: 

2 2 

n 3n n n 3n n 

2 

lim n 3n n lim lim 

2 

n 3n n 

3n 

3 

2 

2 

n 3n n 

Dùng định lý kẹp: Nếu un vn, 

n 

và limv 0 thì limu 

0 

n 

n 

VD: a) Tính 

Vì 

sin n 

lim . 

n 

sin n 1 

0 n 

n 

và 

1 

lim 0 

n 

nên 

sin n 

lim 0 

n 

3sin n 4cos n 

b) Tính lim . 

2 

2n 

1 

Vì 

2 2 2 2 

3sin n 4cos n 3 4 sin n cos n 5 

Nên 

3sin n 4cos n 5 

n 

2n 

1 

2 

0 2 1 . 

2 

5 

Mà lim 0 

2 

2n 

1 

3sin n 4cos n 

nên lim 0 

2 

2n 

1 

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: 

Nếu b c của tử nhỏ c của mẫu thì kết quả của gi i hạ ó ằng 0. 

Nếu b c của tử bằng b c của mẫu thì kết quả của gi i hạ ó ằng tỷ s của các hệ 

s củ ũy 

ừa cao nh t của tử và mẫu. 


Nếu b c của tử l c của mẫu thì kết quả của gi i hạ ó nếu hệ s cao 

nh t của tử và mẫu cùng d u và kết quả là 

d u ( ờ ặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng). 

II. Giới hạn của hàm s 


lim x x ; 

x 

x0 

x0 

0 

lim c c(c: hằng s ) 

x 


a)nếu 

thì: 

lim 

x 

x0 

lim 

x 

x0 

lim 

x 

x0 

lim g x 

x 

x0 

Giới hạn hữu hạn 

f x 

L 

M 

f x g x L M 

f x g x L M 

lim f x . g x L. 

M 

x 

x 

x0 

f x 

lim 

x0 

L 

g x M (nếu M 0 ) 

nếu hệ s cao nh t của tử và mẫu trái 

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 


x 

lim x 

k 

; lim x 

c 

c c; lim 0 

xlim 

x 

k 

x 

1 

lim ; 

x o x 

lim 

x o x 0 

x 

1 1 

lim 

x x 


a) Nếu 

 

lim 

x 

x0 

x 

x0 

1 

k 

lim 

x o x 

 

nÕu k ch½n 

 

 

lim f x L 0 

x x0 

lim g x 

thì: 

f x g x 

 

 

x0 

x0 

nÕu k lÎ 

L. lim g x 0 

x 

L. lim g x 0 

x 

b) Nếu 

f x 0 

lim f x L thì 

x 

x0 

L 0* lim f x L 

x 

x 

x0 

x0 

c) Nếu lim f x 

3. Giới hạn một bên: 

lim 

x 

 

x0 

f x L 

lim 

x x0 x x0 

L thì lim 

x 

x0 

f x lim f x L 

f x 

L 

f x 

lim 0 

x x0 

g x 

b) Nếu 

lim f x L 0 

x x0 

thì: 

lim g x 0 

x 

x0 

f x nÕu L.g x 0 

lim 

x x 0 gx nÕu L.g x 0 

* Khi tính gi i hạn có m t n i dung trong 

các dạ ô ịnh: 0 

, , 

0 ,0. thì phải 

tìm cách khử dạn ô ịnh. 


Một số phương pháp khử dạng vô định: 

1. Dạng 0 0 

a) 

L 

Px 

lim 

x x0 

Qx với P x , Q x là các đa thức và P x0 Q x 

0 

0 

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 

3 2 

2 

x 8 x 2 x 2x 

4 x 2x 

4 12 

VD: lim lim lim 3 

x 2 

2 

x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4 

b) 

L 

Px 

lim 

x x0 

Qx với P x0 Q x 

0 

0 và P x , Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc 

Sử dụng các hằ ng thứ ể â ng liên h p ở tử và mẫu. 

2 4 x 2 4 x 2 4 x 

1 1 

VD: lim lim lim 

x 0 x 

x 0 x 0 

x 2 4 x 

2 4 x 4 

c) 

L 

Px 

lim 

x x0 

Qx với P x0 Q x0 0 và P x là biểu thức chứa căn không đồng bậc 

Giả sử: P x 

mu x 

n 

v x v i 

mu x 

n 

0 

v x0 a . 

Ta phân tích: P x m u x a a 

n 

v x . 

VD: lim 

x 

x 1 1 x x 1 1 1 1 x 

lim 

x x x 

3 3 

0 x 0 

lim 

x 

0 3 

2 3 

x 

1 1 1 1 5 

1 x 1 1 1 1 x 3 2 6 

 

2. Dạng : L lim 

x 

Px 

Qx với P x , Q x là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 

- Nếu P x , Q x ứ ả tử và mẫu o ũy ừa cao nh t của x. 

- Nếu P x , Q x có chứ ă có thể chia cả tử và mẫu o ũy ừa cao nh t của x hoặc 

â ng liên h p. 

VD: a) 

5 3 

2 

2 

2x 5x 3 

2 

lim lim x x 2 

2 

x 6x 

3 x 6 3 

1 

2 

x x 

x 


2x 

3 1 

b) lim lim 1 1 1 

x 

2 

x 

2 

x 1 x 

x 

3. Dạng Giới hạn này thường có chứa căn 

T ờng sử dụ â ng liên h p của tử và mẫu. 

VD: 

1 x x 1 x x 

1 

lim 1 x x lim lim 0 

1 x x 1 x x 

x x x 

4. Dạng 0. 

T ũ ờng sử dụ dạng ở trên. 

x x 2. x 0. 2 

VD: lim x 2 lim 0 

2 

x 2 x 4 x 2 x 2 2 

III. Hàm s liên tục 

1. Hàm số liên tục tại một điểm: 

y 

f x liên tục tại x lim f x f x 

0 x x 

0 

0 

Để xét tính liên tục của hàm s y f x tạ ểm x 0 

ta thực hiệ 

c sau: 

B1: Tính f x . 0 

B2: Tính 

lim 

x 

x0 

f x (trong nhiều 

ờng h p ta cần tính 

x 

lim 

x0 

f x , 

x 

lim 

x0 

f x ) 

B3: So sánh 

lim 

x 

x0 

f x v i f x 

0 

và rút ra kết lu n. 

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y f x liên tục tại mọ ểm thu c khoả ó. 

3. Hàm số liên tục trên một đoạn a; b : y f x liên tục trên khoảng ab ; 

và lim 

x a 

4. 

f x 

f a , lim 

x b 

f x 

Hàm s ức liên tục trên R. 

f b 

Hàm s phân thức, các hàm s ng giác liên tục trên từng khoản x ịnh của chúng. 

5. Giả sử y f x , y g x liên tục tạ ểm x 0 

.K ó: 

Các hàm s y f x g x , y f x g x , y f x . g x liên tục tạ ểm x 

0 

. 

Hàm s 

y 

f x 

g x liên tục tạ ểm x 

0 

nếu g x 

0 

0. 

6. Nếu y f x liên tục trên abvà ; f a . f b 0thì tồn tại ít nh t m t s 


c a; b : f c 0. 

Nói cách khác: Nếu y f x liên tục trên ab ; và f a . f b 0 

f x 0 có ít nh t m t nghiệm c a; b .. 

Mở rộng: 

Nếu y f x liên tục trên ab.Đặt ; m min f x , M max f x K ó i 

ab ; ab ; 

mọi T m; 

M luôn tồn tại ít nh t m t s c a; 

b sao cho f c T .. 

B. BÀI T P 

D NG 1: GI I H N DÃY S 

BÀI 1: Tính các gi i h n sau: (Chia cả tử và mẫu cho 

nhân tử chung) 

a 

n với s ũ c o nhất. Ho c đ t 

1) 

2) 

3) 

2 

lim n n 1 ĐS 

2 

lim n n 1 . ĐS 

2 

lim 2n 3n 8 ĐS 

3 2 

3n 

2 n 

13) lim 

ĐS 

3 

n 4 

4 

n 

14) lim 

n n n 

2 

1 2 1 

ĐS 

4) 

3 

3 

lim 1 2n n ĐS 

5) lim 2n 

cosn . ĐS 

6) 

7) 

1 

n n ĐS 

2 

2 

lim 3sin 2 5 . 

u 

n 

n 

3 1 . ĐS 

n 

2 1 

n n 

8) u 2 3 . ĐS 

n 

9) lim 

3 2 

n 

2n 

1 

ĐS 

4n 

3 

2 

10) lim n 1 

ĐS 

2 4 

n n 1 

2 

11) lim n 1 

ĐS 

2 4 

n n 1 

2 

n n 1 

15) lim ĐS 

2 

2 

n 1 

16) lim 

17) lim 

4n 

1 

ĐS 

n 1 

2n 

3 

ĐS 

n 2n 

1 

3 3 

1 

2 

4 2 

18) lim 2n 

n 3 

ĐS 

3 3 2 2 

n n 1 

3 2 

3n 2n n 

19) lim 

ĐS 

2 

4 n 

20) lim 

2 

4n 

2n 

5 

3n 

1 

ĐS 

 

 

2 

12) lim 2n 

n 3 

ĐS 2 3 2 

n 2 n 1 3 

BÀI 2: Tính các gi i h n sau: ( hi cho ũy thừ có c s lớn nhất) 


1) 

n 

1 3 

lim ĐS 4 3 

n 

5) 

n 

1 2.3 7 

lim 5 2.7 

n 

ĐS 

n n 

1 

2 

2) 

3) 

n n 

4.3 7 

lim 2.5 7 

n 

4 6 

lim 5 8 

1 

n n 

ĐS 

1 n 2 

ĐS 

n n 

n n 

1 2.3 6 

6) lim ĐS 1 

2 

n 3 

n 1 5 3 

4) 

n 

2 5 

lim 1 5 

n 

n 

1 

ĐS 

BÀI 3: Tính các gi i h n sau: (Tử ở dạng vô cùng 

cùng; bậc cảu tử và bậc cảu mẫu bằng nhau thì ta chia cho s 

mẫu) 

Chú ý: 

1) 

2) 

3) 

k 

n 

lim 

lim 

n 

lim 

ũ 

k 3 

; 

2 

n 

k 

ũ 3 

k 

2 

4n 

1 2n 

1 

2 

n 4n 1 n ĐS 

4) 

2 

n 3 n 4 

2 

n 2 n ĐS 

5) 

2 3 6 

1 n 

4 2 

n 1 n ĐS 6) 

BÀI 4: Tính các gi i h n sau: 

lim 

vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô 

2 

4n 

1 2n 

2 

n 4n 1 n ĐS 

2n n 1 n 3 

lim 

ĐS 

n 1 n 2 

lim 

2 2 

n 4n 4n 

1 

ĐS 

2 

3n 

1 n 

ũ c o nhất của tử ho c 

1 

3 1 

Nếu bài toán có dạng : +Vô cùng – vô cùng không có mẫu (h s của n bậc cao nhất 

gi ng nhau). 

+ Cả từ và mẫu ở dạng: Vô cùng – vô cùng. (h s của bậc cao nhất gi ng nhau) 

Thì ta nhân liên h p có căn bậc 2, 3 rồi chi cho ũy thừa có s 

ũ c o nhất. 

Nếu bài toán ở dạn v cùn + v cùn th q à v cùn t đ t nhân tử chun có ũ 

cao nhất rồi tính giới hạn. Ho c h s của n bậc cao nhất khác nhau ta chia ho c đ t 

nhân tử chung. 

1) 

2 

lim n 3n n ĐS 

9) 

2 4 

lim 1 n n 3n 1 ĐS 

2) 

3) 

2 

lim n 2n n 2013 ĐS 

2 

lim n n n ĐS 

1 

2 

10) lim 

2 2 

n 4n 4n 

1 

ĐS 

2 

3n 

1 n 

1 

3 1 


4) 

5) 

6) 

7) 

2 

lim n 1 n 5 ĐS 

2 

lim n 2013 n 5 ĐS 

2 

lim n 2n n 1 ĐS 

2 2 

lim n n n 2 ĐS 1 2 

11) lim 

12) lim 

n 

n 

13) lim 

n 

1 

ĐS 

2 n 4 

2 2 

2 

4n 

1 2n 

1 

2 

n 4n 1 n ĐS 1 

2 

1 

2 3 6 

1 

4 2 

n 

n ĐS 

 

8) 

3 3 

lim 2n n n 1 ĐS -1 

BÀI 5: Tính các gi i h n sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu th c có cùng kết quả) 

1) 

2 

2cos n 

lim ĐS 

2 

n 1 

3) 

lim 

6 2 

3sin n 5cos n 1 

n 

2 

1 

ĐS 

2) lim 

n 

1 sin 3n 

3n 

1 

n 

2 

ĐS 

4) 

BÀI 6: Tính các gi i h n sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn) 

3sin n 2 

lim 

2 

2 3n 

n 

2 3 2 

ĐS 

1 

3 

1) 

2) 

1 1 1 

lim ... 

1.3 3.5 2n 1 2n 1 

1 1 1 

lim ... 

1.2 2.4 n n 2 ĐS 3 2 

ĐS 1 2 

1 1 1 

3) lim 1 1 ... 1 

2 2 2 

2 3 n 

ĐS 1 2 

4) 

1 1 1 

lim ... 

1.2 2.3 n n 1 ĐS 

1 2 ... n 

5) lim ĐS 1 n 

2 3n 2 

6) 

2 n 

1 2 2 ... 2 

lim ĐS 

1 3 3 ... 3 

2 n 

BÀI 7: Cho dãy s 

1 1 1 

1 1 ... 1 , 

2 3 n 

un 

v i u n 

2 2 2 

v i n 2 

a) Rút g n u 

n. 

ĐS 

n 1 

2n 

b) Tìm lim u 

n. ĐS 1 2 

1 1 1 

BÀI 8: a) Chứng minh: 

n n 1 n 1 n n n 1 

n 

N 

* 

. 


) Rút g n: 

u n 

1 1 1 

... . 

1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 n 1 n 

c) Tìm lim u 

n. ĐS 


u 

n 

nh bởi: 

u1 

1 

1 . 

un 1 

un n 1 

n 

2 

a) Đặt vn un 1 

un. 

Tính v1 v2 ... v 

n 

theo n. 

b) Tính u 

n 

theo n. 

c) Tìm lim u 

n. ĐS 


u 

n 

nh bởi: 

u 

0; u 1 

1 2 

2u u u n 1 

n 2 n 1 n 

1 

a) Chứng minh r ng: un 

1 

un 

1, n 1. 

2 

b) Đặt 

Cho dãy s 

2 

vn 

u 

n 

. TÍnh v 

n 

theo n. Từ 

3 

u 

n 

nh bởi 

2 

n 1 

n n 

lim u 

n 

ĐS 2 3 

u1 2012 

; 

* 

n N . Tìm 

u 2012. u u 

u u u 

1 2 

n 

lim ... 

x u2 u3 un 

1 

ĐS - M d ă 

(HSG L S ) 

u u u n 

2 

n 1 n 

2012 

n 

0 

- Gi sử có gi i h n là a thì: 

Nên limu 

n 

 

2 

a 2012a a a 0 2012 Vô lý 

- Ta có: 

2 

un 

u un 

1 

u 

n 

n 1 1 1 

u u u 2012u u 2012 u u 

n 1 n 1 n n 1 n n n 1 

1 1 1 1 

V y: S . lim . 

2 

2012 x u u 2012 

1 n 1 

BÀI 11: Cho dãy 

x 

n 

x 1 

n 

x x 3x 

1 

1 * 

2 

n 1 n n 

N 


Đặt 

1 1 1 

Sn 

... n N * . Tìm LimS 

n. 

.(HSG L S ) 

x 2 x 2 x 2 

1 2 

BÀI 12: T ng dãy là c p s nhân lùi vô h n: 

n 

a. 

1 1 

1 1 1 

S 1 ... b. S 1 ... ... ĐS 

2 n 1 

2 4 

10 10 10 

BÀI 13: Biểu diễn các s th p phân vô h n tu d i d ng phân s : 

a. … b. … c. … 

n 

4 

9 

b. 

21 

99 

12 


c. 

289 

900 

L 

2 

n 

1 a a ... a 

lim , 

x 

2 

n 

1 b b ... b 

D NG 2: GI I H N HÀM S 

v i a , b 1. 

1 

1 

b 

a 

Bài 1: Tìm các gi i h n sau: 

+ Khi thay x=a vào f(x) th y mẫu khác 0 thì gi i h n b ng f(a). 

+ Khi thay x=a vào f(x) th y mẫu b ng 0 thì gi i h n b ng . 

1) lim (x 2 + ) ĐS 

2 

x3 

x x1 

7) lim 

x2 

x 1 

ĐS 3 

x 

2) lim 

1 x 1 ĐS 

2 

x 2x3 

8) lim 

ĐS 2 / 2 

x2 

x 1 

2 3 

1 x x x 

3) lim 

ĐS 

x0 

1 

x 

x 83 

9) lim ĐS 

x1 

x 2 

2 

3x 

1x 

4) lim 

ĐS -3/2 

x1 

x 1 

3 2 

3x 

4 3x 

2 

10) lim 

ĐS 

x2 

x 1 

 

sin x- 4 

5) lim 

ĐS 2/ 

2 1 

11) lim x sin ĐS 

x 

x0 

2 

 

x 

2 

x 1 

6) lim 

x1 

4 

x x3 

ĐS -2/3 

Bài 2: Tìm các gi i h n sau: (Khi thay x=a vào f(x) th y tử = 0; mẫu = 0 ta rút g n m t nhân 

tử r i thay tiếp t i khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu = 0 tử khác ) thì kq là 

1) 

2 

x 1 

lim 

x1 

x 1 

ĐS 8) 

lim 

x1 

3 2 

x x x 

3 5 3 

ĐS 

2 

x 1 


2) 

2 3 

1 

1 x x x 

lim x2 

ĐS -1 

9) lim 

x0 

x 

x1 

1 

x 

ĐS 

m 

x 1 

18) lim 

x1 

n 

x 1 

chú ý t ng c SN ĐS / n 

x nx n 1 

21) lim ĐS 

x1 

( 

2 

x 1) 

-1)/2 

3) 

3 

3 2 

x 8 

x 5x 3x 

9 

lim ĐS 

10) lim 

ĐS 

x2 

2 

x3 

4 2 

x 4 

x 8x 

9 

4) 

2 

5 

3x 

4x1 

x 1 

lim 

ĐS 


x1 

x1 

3 

x 1 

x 1 

ĐS / 

5) 

2 

5 6 

2x 

3x2 

x 5x 4x 

lim 

ĐS 

12) lim 

x2 

x 2 

x1 

2 

1 

x 

ĐS 

6) 

4 

x 16 

6 5 

lim ĐS -8 

4x 5x x 

x2 

3 2 

x 2x 

13) lim 

ĐS 

x1 

2 

x 1 

7) 

3 2 

x x x 1 

lim 

ĐS 

2 1 

x1 

2 

x 3x2 

14) lim 

 

2 ĐS -1/2 

x1 

x 1 x1 3 

15) lim 

 

x1 

1 1 

3 ĐS -1 

(1 5 x)(1 9 x) 1 

x x 

 

lim 

ĐS 

x0 

x 

x2 x4 

 

16) lim 

 

x1 

2 2 ĐS 

(1 x)(1 2 x)(1 3 x) 1 

x 5x 4 3( x 3x 

2) 

19) lim 

ĐS 6 

x0 

x 

1992 

x x2 

17) lim 

x1 

1990 

x x2 

ĐS / 

2 

n 

x x ... 

x n 

20) lim 

ĐS 

x1 

x 1 

+ )/ 

Bài 3: Tìm các gi i h n sau: (M t căn bậc 2) 

4x 

1 3 

1) lim 

x2 

2 

x 4 

ĐS /6 

2 

x 3 

5) lim 

x7 

2 

x 49 

ĐS -1/56 

2) 

lim 

x0 

2 

1 1 

x 

ĐS 

x 

lim 

2x 7 x 

4 

x 4x 

3 

6) 

x1 

3 2 

ĐS -4/15 

3) 

lim 

x4 

4 

x 53 

x 

ĐS -1/6 

7) 

x 

lim 

x1 

3 

 

x 

2 

3x2 

1 

ĐS / 

x 3 

4) lim 

x9 

9 

2 

x 

x 

ĐS -1/54 

8) 

lim 

x1 

2 3 

x 3 x 3x 

x 1 

ĐS / 

Bài 4: Tìm các gi i h n sau: ( i căn ậc 2) 


1) 

lim 

x0 

1 x 1 

x 

x 

ĐS 

10) 

lim 

 

x1 

x 

2 

1 

x1 

x 1 

ĐS 2 

2) 

lim 

x1 

x 1 

x 32 

ĐS 

x 11 


x0 

3 2 x 9 

ĐS -3/4 

3) 

x2 

x 

lim 

x2 

4 x 1 3 

ĐS -3/4 

12) lim 

x2 

x2 

2x 

x1 

3 

x 

ĐS / 

4) 

lim 

x2 

x 22 

x 73 

ĐS / 

13) lim 

x0 

x 

x 

2 

2 


16 4 

ĐS 

5) 

2x 

7 3 

lim 

x1 

2 x 3 

ĐS -4/3 

x 

32x 

14) lim 

x3 

2 

x 3x 

ĐS -2/9 

x 3 

6) lim 

x9 

9 

2 

x 

x 

ĐS 

15) lim 

x0 

x 9 x16 7 

x 

ĐS / 

7) 

3 

5x 

lim 

x4 

1 5 

x 

ĐS -1/3 

x a x a 

16) lim 

x a 2 2 

x a 

, v i a > 0. 

8) 

9) 

lim 

x1 

lim 

x1 

2x 2 3x1 

x 1 

ĐS -1/4 

2x 3 x 

2 

3x 

3 

ĐS /6 

1/ 2a 

17) lim 

x1 

x 1 

2 3 

x 3 x 3x 

ĐS 

Bài 5: Tìm các gi i h n sau: (M t căn ậc 3) 

1) 

2) 

3) 

7) 

3 

4x 

2 

lim ĐS / 

4) 

x2 

x 2 

3 

2x 

1 1 

lim ĐS / 

5) 

x1 

x 1 

lim x 

x0 

3 1 x 

ĐS 

1 

6) 

5 

5x 1 1 

lim ĐS 

x 0 

x 

x 

lim 

x1 

lim 

x0 

x 

2 

ĐS 

3 

x 1 

5 3 

1x 

1 

2 ĐS / 

x 

3 2 

3 

x 1 

lim 

x1 

3 4 x 4 2 

ĐS 

Bài 6: Tìm các gi i h n sau: ( 

i căn h c bậc) 


1) 

lim 

x0 

3 

1 x 1 

x 

x 

ĐS /6 

12) lim 

x1 

3 3 

5 x x 

2 7 

x 

2 

1 

ĐS -11/24 

2) 

x1 

x1 

ĐS / 

3 3 

lim 

x0 

2 x 1 x 1 

13) lim 

x2 

3 

x 6 x 

2 

2 

x 4 

ĐS -1/24 

3) 

1x 

1 

ĐS / 

lim 

x0 

3 1 x 1 

14) lim 

x0 

1 4 x. 1 6x 

1 

ĐS 

x 

4) 

lim 

x0 

3 

2 1 x 8 

x 

x 

ĐS / 

15) lim 

x0 

3 

1 2 x. 1 4x 

1 

ĐS / 

x 

5) 

lim 

x4 

x4 

x 

2 

x 5x4 

3 

ĐS -1/18 

n 

(1 x) 

16) lim 

x1 

(1 x ) 

ĐS / 

6) 

3 

2x10 x 

5 

lim 

x3 

2 

x 9 

ĐS -7/72 

7) 

3 

1 4x 1 

6x 

lim 

x 4 

x 

ĐS 

8) 

3 

10 x x 

2 

lim 

x2 

x 2 

ĐS -1/3 

9) 

3 

8x11 x 

7 

lim 

x2 

2 

x 3x2 

ĐS / 

2 3 2 

1 8x 

1 

6x 

10) lim 

x0 

2 

x 

ĐS 

3 5 

(1 x)(1 x)(1 4 x)(1 x) 

17) lim 

x1 

4 

(1 x) 

ĐS / 

18) lim 

x0 

3 

x1 1 x ĐS /6 

x 

19) lim x 

ĐS -6 

x0 

3 8 3 

x 8 x 

8) 

lim 

x1 

2 

2x 1 x 3x 

1 

3 

2 

x 2 x x 1 

ĐS 

3 

8x11 x 

7 


x2 

2 

2 

x 5 x 

2 

ĐS / 6 

sinx tan x 

Bài 7: Tìm các gi i h n sau: (lim 1;lim 1) 

x0 x x0 

x 

1) 

2) 

3) 

sin x 

lim ĐS 2/ 

x 

 

x 

2 

1 

x 

lim 

x0 

cos 

1 

cos 2x 

10) lim ĐS 

x0 

2 

x 

cos x 

cos7x 

ĐS 


ĐS 

x0 

2 

x 

tan x 

sin 2x 

cos x 

cos3x 

lim 

ĐS 

12) lim 

ĐS 

x0 

2 

x0 

cos x 

sin x 


4) 

5) 

lim 

 

x 

 

4 

lim 

x0 

3 

tgx 

ĐS 4 / 3 

x 

sin 5x 

ĐS / 

x 

6) 

sin 5 x.sin 3 x.sin 

x 

lim 

x0 

3 

45x 

7) 

1 

cos 2x 

lim ĐS 

x0 

x sin x 

8) 

1 

cos 4x 

lim ĐS 

x0 

2 

2 

x 

9) 

sin 2x 

lim 

x0 


ĐS:4 

1 

cos3x 

19) lim 

x0 

1 cos5 x 

ĐS / 

2 

1 

cos x 

20) lim ĐS 

x0 

x sin x 

sin 2x 

sin x 

21) lim 

x0 

3sin x 

ĐS 

ĐS / 

sin x 

13) lim ĐS / 

x0 

tan 2 x 

1 

cos x.cos 2 x.cos3x 

14) lim 

ĐS 

x0 

1 

cos x 

2 x 

sin 

15) lim 3 ĐS / 

x0 

2 

x 

sin x.cos 

x sin x 

16) lim 

ĐS 

x0 

x 

sin 2 

11sin 3x 

17) lim 

x0 

1 cos x 

1 

cos x 

18) lim 

x0 

1 cos x 

6 

ĐS 

ĐS 3 2 

2sin x 1 

40) lim ĐS -1/2 

4cos 

2 

x 

x 3 

sin x 

cos x 

41) lim ĐS 

 

x 

1 tgx 

4 

2 

2 

sin 2x 

tan 3x 

22) lim 

ĐS 

x0 

x 

1sin xcos 2x 

23) lim 

ĐS -1 

x0 

sin x 

tan x 

sin x 

24) lim 

ĐS / 

x0 

3 

x 

cos 4x cos3 x.cos5x 

25) lim 

ĐS 

x0 

2 

x 

 

cos( cos x) 

26) lim 2 

ĐS Đ 

x0 2 x 

sin 2 

ụ 

1 

tgx 

42) lim ĐS -1 

 

x 

1 cot gx 

4 

 

43) lim( xsin ) ĐS 

x 

x 

3 

x 8 

44) lim ĐS 

x2 

tan( x 2) 

45) lim 1 3 

x 

ĐS 

x0 

sin x sin 3 x 

1sin 2xcos 2x 

22) lim ĐS -1 

x0 

1 sin 2 x 

cos 2 x 

chéo 

46) 

tan( ).tan( ) tan 

L lim 

x0 

2 

x 

2 

a x a x a 


sin 3x 

27) lim ĐS 4 3 Đặt ẩn phụ 

 

x 

1 2cos x 

3 

2 

4 x 

28) lim 

x2 

x 

cos 4 

ĐS 16 / 

cos 

x 1 

29) lim ĐS 

x1 

1 x 

ĐS 

4 

tan a 1 

( a x)sin( a x) asin 

a 

47) lim 

ĐS 

x0 

x 

(a+1)sina 

1 

2x1 sin x 

48) Đ TVT-98): lim 

x0 

3 x 4 2 x 

ĐS 

30) 

 

 

lim tan 2 x.tan x 

4 ĐS / 

 

x 

4 

49) lim 

x0 

3 2 

2x 

1 x 1 

ĐS 

sin x 

1 

tgx 

31) lim 

ĐS -2 

x 

4 sin x 

 

4 

3 

32) lim( x 2)sin ĐS 

x 

x 

x32x 

33) lim ĐS -7/4 

x1 

tan( x 1) 

34) lim(1 cos 2 x) 

tgx ĐS 

 

x 

2 

 

 

sin x 6 

35) lim 

 

ĐS 1/ 3 

 

x 

1 2sin x 

6 

2 sin x 1 

36) lim ĐS -1/2 

2cos 

2 

x 

x 1 

4 

1 

37) lim ĐS 

 

x 

cos x 

tan x 

2 

2 1cos 

x 

50) lim 

ĐS 2 / 8 

x0 

2 

tan x 

51) lim 

x0 

2 

1sin x cos 

sin 

2 

x 

x 

ĐS 

x 

52) lim(1 x) tan ĐS 2/ 

x1 

2 

53) lim 

x0 

3x 

1 2x 

1 

ĐS 

1 

cos x 

3 2 2 

2 

x 

54) lim ĐS / 

x0 

1 x sin x cos x 

1 sin 2x 1 

sin 2x 

55) lim 

ĐS 

x 0 

x 

56) lim 

x0 

3 

cos x cos x 

ĐS -1/12 

2 

sin x 

2 

2sin xsin x1 

57) lim ĐS -1 

x0 

2sin 

2 

x 3sin x 1 

sin( x 1) 

38) lim 

x1 

2 

x 4x3 

ĐS -1/2 

1 

cos x.cos 2 x.cos3x 

58) lim 

x0 

2 

x 

ĐS 

39) 

 

 

sin 4 

lim 

 

x 1 2 sin 

xx 

 

 

4 

ĐS 

1 

cos x.cos 2 x.cos3 x...cos 

nx 

59) lim 

x0 

2 

x 

ĐS +1)(2n+1)/12 


61) lim 

x0 

1 sin x 1 

sin x 

ĐS 

tan x 

3 

1 

cot x 

62) lim 

 

x 

2 cot x 

cot 

4 

3 

ĐS -3/4 

x 

 

cos x 

cos 

 

2 

60) lim ĐS 

x0 

sin(tan x ) 

3 

1 

cos x cos 2x cos3x 

63) lim 

x0 

1 

cos 2x 

ĐS / 

Bài 8: Tìm các gi i h n sau: (gi ng giới hạn dãy s chi cho ũ c o nhất, nhân liên h p, 

đ t nhân tử, dấu giá trị tuy t đ i) 

3 2 

1) lim (3x 

5x 

7) ĐS 

x 2 

x 

22) lim 

x 

2 

x 2 

ĐS -1;1 

x x 1 

12) lim 

x 

2 

x x1 

ĐS 2 

2x 

1 

31) lim 

ĐS 

x 

3 2 

x 3x 

2 

2) 

3 

lim (2x 

3 x) 

ĐS 

x 

3 3 2 

x 2x x 

23) lim 

3 

x 

3) lim (2x 

3 x) 

ĐS 

2x 

2 

ĐS 

x 

4) 

2 

x 2x 

4 

lim 2x 

3x 12 ĐS 

23) lim 

ĐS 

x2 

2 

x 

x 4x4 

5) 

2 

2 2x 

1 

lim x 3x 4 ĐS 

24) lim . 

x 

x1 

2 

( x 1) 2x 

3 

ĐS 

 

6) 

3 

x 5 

lim ĐS 

5 

x 

2 

x 1 

25) lim ĐS 

x1 

( 

2 

x 1)( x 3 x 2) 

7) 

3 

2x 

x 

lim ĐS 

1 1 

x 

2 

x 2 

26) lim 

2 . 

ĐS 

x0 

x x 

8) 

2x 

1 

lim ĐS 

4 

x 1 

x 

x 1 

27) lim 

ĐS 

3 2 

x1 

x 2x x 

4 5 

3x 

2x 

9) lim ĐS 

x 

5 

4 

1 1 

x x 

4 

28) lim 

 

2 ĐS 

x2 

x2 x 4 2 

x 1 

10) lim ĐS -1/5 

2 

x 

1 3 5 

2 

x 

x 

x 1 

29) lim 

x 

2 

2 

x x ĐS / 

1 

2 

3 x(2x 

1) 

11) lim ĐS 6/ 

2 

x 

(5 1)( 

2 

x x 2 x ) 

2x 

x1 

30) lim ĐS ; 

 

x 

x 2 


2 

4x 

1 

13) lim 

x 

3 x 1 

ĐS -2/3; 2/3 

32) 

lim 

x 

2 

x x x 

2 3 4 1 

2 

4x 

1 2 

x 

ĐS -1;5 

14) 

4 

x x 

lim 

x 

1 2 x 

ĐS 

33) 

lim 

x 

2 

4 2 1 2 

x x x 

2 

9 3 2 

x x x 

ĐS ; / 

15) 

lim 

x 

2 

x x x 

x 10 

ĐS -2 

34) 

lim 

x 

2 

x 

x 

2 1 3 

x 

5x 

2 

ĐS / 

16) 

lim 

x 

2 

x 3x 2x 

3x 

1 

ĐS / 

35) 

2 

lim x 2x 3x 

x 

4 2 

x 1 x 

2 

ĐS 

17) 

lim 

x 

2 

x x x 

2 3 1 

2 

4x 

1 1 

x 

ĐS ;-2/3 

36) 

2 

x 5x2 

lim 

x 

2 x 1 

ĐS 

x 

18) lim ( x 5) 

x 

3 

x 1 

ĐS 

37) 

2 

2x 

x10 

lim 

x 

9 3 x 

3 

ĐS 

19) 

lim 

x 

2 

2x 

7x12 

3 x 17 

ĐS 2 / 3 

38) 

4 3 

x x 


lim 

x 

2 x 7 

ĐS 

20) 

lim 

x 

4 

x 4 

x 4 

ĐS 

40) 

lim 

x 

6 2 

x x x 

4 2 

3 2 

( x 2) 

ĐS 

21) 

lim 

x 

4 2 

2x 

x 

1 

1 

2x 

ĐS 

2 2 

(1 x)(1 x) (3 x) 

39) lim 

x 

(2 x )(3 x ) (4 x ) 

2 2 

ĐS 

Câu 9: T i h n sau: (gi ng giới hạn dãy s chi cho ũ c o nhất, nhân liên 

h p) 

1) lim 

x 

x 2 x x 

2) lim x 2 x x 

x 

ĐS 12 

ĐS 

3) lim 

x 

x 2 3x 2 x 

4) lim x 2 3x 2 x 

x 

ĐS 32 

ĐS 

2 

5) lim x 1 x 

x 

ĐS 0 

6) lim x 

2 2x 4 x 

x 

7) lim x 2 x 2 

x 

ĐS ; 1 

ĐS 0 


8) lim x 

2 4x 3 x 2 3x 

2 

x 

1 2; 1 2 

9) 

lim 

x 

ĐS 

1 

2 

x x 1 

x 

10) lim 

x 

2 

2x 

1 x 

11) lim x x 

x 2 5 x 

12) lim 

2 

x 1 x 1 

x 

ĐS 2 

ĐS 

ĐS 1 2; 

ĐS 1 

13) Cho 

2 2 

Tính gi i h n 

nh n xét v 

lim f 

x 

x 

f x x 2x 4 x 2x 

4. 

lim 

x 

f 

ĐS 2;2 

x 

và 

lim 

x 

f 

x 

, từ 

sự t n t i c a gi i h n 

14) lim 3x x 

2 9x 2 12x 

3 

15) lim 2x 1 4x 2 4x 

3 

x 

ĐS ;0 

ĐS 0 

16) lim x 

2 3x 2 x 2 

x 

ĐS 

17) lim 

x 

x 2 3x 2 x 2 

18) lim x 2 3x 2 x 1 

x 

ĐS 12 

ĐS 1 2; 

19) lim x 

2 2x 2 x 2 x x 

x 

20) lim x 

 

2 1 3 x 

3 1 

x 

ĐS 0 

ĐS 0 

 

 

21) lim x x x x 

x 

 

ĐS 12 

 

22) lim 

3 2x 

1 3 2x 

1 

x 

ĐS 0 

23) lim 

3 3x 

3 1 x 

2 2 

x 

ĐS 

24) lim x x 3 x 1 

x 

25) lim 

3 x 3 6x 2 x 

x 

ĐS 2 

ĐS 2 

26) lim 

3 x 3 x 2 1 3 x 3 x 

2 1 

x 

ĐS 23 

Câu 10: Tìm các gi i h n sau: 

a. 

lim x 1 

 

x1 

b. lim 5 x 2x 

 

 

x5 

c. 

x 

lim 

x 1 

 

x1 

d. 

x 

lim 

x1 

x 1 

e. 

lim 

 

x1 

ĐS ; ; ; d. ; e. 0 

Câu 11: Tìm các gi i h n sau nếu có 

1 x x1 

x 

x 

2 3 

a. 

3x 

6 

lim 

x 2 

 

x2 

ĐS ; - ; 

Câu 12: Tìm các gi i h 

b. 

3x 

6 

lim 

x 2 

 

x2 

3x 

6 

c. lim 

x2 

x 2 

Để ý ến d u các biểu thức tử và mẫu khi tính gi i h n này) 


1) 

x 15 

lim 

x 2 

 

x2 

2) 

` 3) 

4) 

 

x2 

ĐS 

x 15 

lim 

x 2 

 

x3 

ĐS 

13x2x 

lim 

x 3 

lim 

 

x2 

2 

x 4 

x 2 

2 

ĐS 

ĐS 

2 x 

5) lim ĐS 13 

2 

x2 

2 x 5 x 

2 

2 x 

6) lim 

2 

x2 

2 x 5 x 

2 

ĐS 13 

18) 

19) 

20) 

lim 

 

x1 

 

lim 

 

x 

 

 

x0 

lim 

 

x1 

3 

x 3x2 

ĐS 33 

2 

x 5x4 

1 

x 

x 

ĐS 0;0 

 

2 

x x2 

ĐS 

x 1 

7) 

8) 

x 

2 

2x 

lim 

x2 

3 x 1 

lim 

x2 

2 

ĐS 0 

3x 

1 

ĐS 52 

x 1 

9) lim ĐS 1 

 

x1 

x 1 

10) 

x 1 

lim 

x 1 

 

x1 

ĐS 1 

11) 

12) 

x 

lim 

x0 

2 

lim 

x0 

4 

x 

x 

2 3 

2x 

x 

x 

2 3 

ĐS 12 

ĐS 1;1 

` 13) 

lim 

 

x2 

x 

2 

3x3 

ĐS 

x 2 

14) 

15) 

lim 

 

x2 

 

x4 

x 

2 

x 3 

lim 

x 4 

3x3 

ĐS 

x 2 

ĐS ; 

 

16) 

lim 

 

x2 

2 

x 

x 

2 

3x3 

x2 

ĐS 

17) 

lim 

 

x2 

2 

x 

x 

2 

3x3 

x2 

ĐS 


Câu 13: Tìm các gi i h n m t bên c a hàm s t ể c chỉ ra: (Gi i h n m t bên tiến 

t i 1 s ) 

1) 

2 

9 

x 

 

f( x) x 3 

 

1 x 

khi 

khi 

x 3 

x 3 

t i x 3 ĐS -6; - ; 

2) 

2 

x 2x 

3 

8 x 

f( x) 

 

4 

x 16 

 

x 2 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

t i x 2 ĐS 1 6;32; 

3) 

 

f( x) 

 

 

 

2 

x x 

3 2 

2 

x 1 

x 

 

2 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x 1 ĐS 1 2; 1 2; 1 2 

4) 

1x 

1 

3 

f( x) 

1x 

1 

 

3 

2 

khi 

khi 

x 0 

x 0 

t i x 0 ĐS 3 2;3 2;3 2 

Câu 14: Tìm giá tr c ể các hàm s sau có gi i h n t ể c chỉ ra: 

1) 

3 

x 1 

 

f( x) x 1 

 

mx 

2 

khi 

khi 

x 

m 

 

2) f( x) 2 

x 100x3 

 

x 3 

x 

3m 

3) f( x) 

2 

x x m 3 

x 1 

x 1 

t i x 1 ĐS m 1 

khi 

khi 

khi 

khi 

x 0 

x 0 


x 1 

x 1 


1 3 

 

3 

4) f( x) x1 x 1 

2 2 

m x 3mx 

3 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x 1 ĐS m 

1; m 

2 


DẠNG 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ CHỨN MIN P ƯƠN TRÌN 

Câu 1: Xét tính liên tục c a hàm s t ể c chỉ ra: 

Ó N IỆM 

1) 

x 3 

 

f( x) x 1 

 

1 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x 1 ĐS LT 

2) 

x 32 

 

f( x) 

x 1 

 

1 

4 

khi 

khi 

x 1 

x 1 


3) 

f( x) 

 

 

 

3 

x x 

2 

x x 


3 

6 

2 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

t i x0 2 ĐS LT 

4) 

1 

2x 

3 

 

f( x) 2 x 

 

1 

khi 

khi 

x 2 

x 2 


5) 

2 7x 5x x 

 

2 

f( x) x 3x2 

 

1 

2 3 

khi 

khi 

x 2 

x 2 


6) 

f( x) 

 

 

2 

x 

x 

3 4 

2x 

3 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x0 1 ĐS K LT 

7) 

2 

4 

x 

 

f( x) x 2 

 

1 2x 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

t i x0 2 ĐS K LT 

8) 

3 

x 

2 

f( x) 

 


3 

1x 

1 

khi 

khi 

x 0 

x 0 


9) 

x 5 

x 

x 2 

 

 

f( x) 

2 1 3 

 

5 3 

khi 

khi 

x 5 

x 5 



10) 

1 

cos x 

f( x) 

 

x 1 

khi 

khi 

x 0 

x 0 

t i x 0 ĐS K LT 

x 1 

khi 

11) f( x) 2x 

1 

khi 

2x 

x 1 

x 1 


Câu 2: T ể hàm s liên tục t ể c chỉ ra: 

1) 

3 2 

x x x 

2 2 

 

f( x) x 1 

 

3x 

m 

khi 

khi 

x 1 

x 1 


2) 

3) 

3 

x x 

 

2 

( ) x 1 

f x 

 

 

 

2 3 

a 

2 

x khi 

f( x) 

 

2mx 

3 khi 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x0 1 ĐS a 52 

x 1 

x 1 


4) 

 

f( x) 

 

2x 

a 

2 

3x 

2x 

1 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

t i x0 1 ĐS a 2 

5) 

1 x 1 

x 

 

f( x) 

 

x 

 

4 x 

a 

 

x 2 

khi 

khi 

x 0 

x 0 

t i x0 0 ĐS a 3 

6) 

3 

3x 

2 2 

 

f( x) 

x 2 

 

1 

ax 

4 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

Câu 3: Xét tính liên tục c a các hàm s sau trên t 

1) 

f( x) 

 

 

2 

x 

x 

3 7 

1 

x 

khi 

khi 

t i x0 2 ĐS a 0 

x 2 

x 2 

ĐS LT / 

nh c a chúng: 

2) 

2 

x 

x 

3 4 

 

f( x) 5 

 

2x 

1 

khi 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

x 2 

ĐS KLT t i x=2 


3) 

 

f( x) 

 

 

 

3 

x x 

x 

3 

2 

1 

4 

3 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

ĐS LT / 

4) 

2 

x 4 

 

f( x) x 2 

 

4 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

ĐS LT / 

5) 

2 

x 2 

 

f( x) x 2 

 

2 2 

khi 

khi 

x 

x 

2 

2 

ĐS LT / 

6) 

 

 

 

f( x) 

 

 

 

 

 

2 

x x 

3 10 

2 

x 4 

2x 

3 

x 2 

3x 

4 

khi 

khi 

khi 

x 2 

2 

x 5 

x 5 

ĐS KLT i x=5 

Câu 4: Tìm các giá tr c ể các hàm s sau liên tục trên t p nh c a chúng: 

1) 

2 

x x 

 

f( x) x 2 

 

m 

2 

khi 

khi 

x 2 

x 2 

ĐS m 3 

2) 

2 

x 

x 

 

f( x) 2 

 

mx 

1 

khi 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

x 1 

ĐS m 1 

3) 

3 2 

x x x 

2 2 

 

f( x) x 1 

 

3x 

m 

khi 

khi 

x 1 

x 1 

ĐS m 0 

2 

x khi x 1 

4) f( x) 

 

2mx 

3 khi x 1 

ĐS m 2 

Câu 5: Chứng minh r 

luôn có nghiệm: 

a) 

b) 

x 

x 

3 

2x 7 0 ĐS 

x 1 0 ĐS f 0 . f 1 

0 

5 3 

f x liên tục trên và 

f 0 . f 3 0 


c) 

d) 

e) 

3 2 

x x x 

2 3 0 ĐS f 1 . f 0 

0 

6 9 10 0 ĐS f 0 . f 5 

0 

3 2 

x x x 

9 2 0 ĐS f 3 . f 0 

0 

5 2 

x x x 

f) cos x x 1 0 

g) 

h) 

i) 

x 

x 

5 

5 

ĐS 

f 0 . f 3 0 

3x 3 0 ĐS f 2 . f 0 

0 

x1 0 ĐS f 0 . f 1 

0 

3 1 0 ĐS f 2 . f 0 

0 

4 3 2 

x x x x 


a) 

x 

3x 

3 0 có 3 nghiệm trong kho ng 

1;3 

3 2 

ĐS f f f f 

1 0; 0 0; 2 0; 3 0 

b) 

có 3 nghiệm trong kho ng 

2;2 

3 

2x 

6x 

1 0 

ĐS f f f f 

2 0; 0 0; 1 0; 2 0 

c) 

x 

3x 


3;1 

3 2 

ĐS f f f f 

3 0; 2 0; 0 0; 1 0 

d) 

x 

3x 


1;3 

3 2 

ĐS f f f f 

1 0; 0 0; 1 0; 3 0 

e) 

có 2 nghiệm trong kho ng 

3;1 

2 

2x 

3x 

4 0 

ĐS f f f 

3 0; 0 0; 1 0 

f) 

5 4 1 0 có 3 nghiệm trong kho ng 0;5 

 

5 4 

x x x 

ĐS f f f f 

0 0; 1 2 0; 1 0; 5 0 

g) 

5 4 1 0 có 5 nghiệm trong kho ng 

2;3 

5 3 

x x x 

ĐS f f f f f f 

2 0; 3 2 0; 0 0; 1 2 0; 1 0; 3 0 


ệm phân biệt: 


1) 

2) 

3) 

x 

2 

3x1 0 ĐS f 2 0; f 0 0; f 1 0; f 2 

0 

6 9 1 0 ĐS f 4 0; f 3 0; f 1 0; f 0 

0 

3 2 

x x x 

3 

2x 

6 1 x 3 

ĐS f f f f 

7 0; 0 0; 1 0; 9 0 

Câu 8: Chứng minh r ệm v i m i giá tr c a tham s : 

3 

1) mx 1 x 2 

2x 

3 0 ĐS 

2) 

4 2 

x mx mx 

f 1 . f 2 0 

2 2 0 ĐS f 0 . f 2 

0 

3) a x b x c b x cx a c x ax b 0 

HD: Xét 4 TH: a b c 0; a b 0 c;... 

4) 

5 

x mx m 

4 0 HD: Sử dụng gi i h n 

5) 

mx 

3 

5x 

2 0 HD: Sử dụng gi i h n 

Khi m 0 pt luôn có nghiệm. Khi 0. 

m Đặt f x Vt. 

s ể f a / m. f b 

/ m 0 nên pt luôn có nghiệm 

6) 3 

2 2 

1 m x 1 x x 3 0 

K 

HD: Sử dụng gi i h n 

lim 

x 

f 

x 

m 

nên luôn có 2 

7) cos x mcos2x 

0 

ĐS f f 

m 2cos x 2 2sin5x 

1 

8) 

4 . 3 4 0 

ĐS f f 

 

3 

9) mx 1 x 2 

2x 

3 0 ĐS 

10) 

2 4 

m m x x 

2 

Câu 9: Cho f x ax bx c 

4 . 4 0 

f 1 . f 2 0 

1 2 2 0 ĐS f 0 . f 1 

0 

tho mãn: 2a 3b 6c 

0 

a) Tính a,b,c theo f 0 , f 1 , f 1 2 

b) Chứng minh r ng ba s f 0 , f 1 , f 1 2 

không thể cùng d u 

c) Chứ 

0 có nghiệm trong 0;1 

 

2 

ax bx c 

Câu 10: Chứ 

1) 

0 v i 2a 3b 6c 

0 

2 

ax bx c 

ệm: 


2) 

0 v i a 2b 5c 

0 

2 

ax bx c 

ĐS f f 

0 1 2 0 

3) 

3 2 

x ax bx c 

0 HD: Sử dụng gi i h n 

Câu 11: Cho 3 s a, b, c khác nhau . 

Chứng minh r x a x b x b x c x c x a 0 

Có 2 nghiệm phân biệt. 

ĐS f a; f b; f c . 

Gi sử a 

Thì f a f b x 4 x x x 8 x x 7 f c 

nghiệm. 

0; 3 2 3 12 12 0; 0 nên pt luôn có 2 


V i a 0 và 2a 6b 19c 

0 

2 

ax bx c 

ĐS f f 

0 luôn có nghiệm 

0 2 1 3 0 

1 

x 

0; 

3 

 

Câu 13: 

 

x0 1;2 

 

và 

7 

x0 12 

x 

4 

x 3 0. Chứng minh r ệm 

A. LÝ THUY N 

Đ ĩ o hàm 

+ Cho hàm s y f x 

 

f x 

0 

 

5 O HÀM – TI P TUY N 

nh trên kho ng (a;b) chứa x 

0 

f x 

 

f x 

lim 

xx0 

x 

x 

+ Nếu hàm s y f x 

Ý ĩ o hàm 

0 

0 

o hàm t i x 

0 

thì hàm s liên tục t 

+ k f ' x 0 là hệ s góc c a tiếp tuyến c th hàm s y f x 

t i 0 0 

y 

 

f x 

0 0 

 

+ P ếp tuyến t i M x 0; y 

0 

là 

3. Qui tắ o hàm 

+ 

C ' 0; x ' 1; x ' n.x 

n n 1 

v i m i s thực m 

y f ' x x x y 

0 0 0 


ể 

M x ; y v i

+ u v ' u ' v'; u.v ' u '.v v'.u ; 

' 

u u 'v v'u 

2 

v v 

; 

ku ' ku '; 

1 v' 

 

2 

v 0 

v 

v 

+ Đ o hàm c a hàm h p: Nế ) ′ ) y f u 

Đ o hàm c a hàm s 

f′ ) y f u x 

o hàm t i x là y ' f ' u .u ' x 

ng giác 

sin x 

+ Gi i h n lim 1 

x0 

x 

+ sin x ' 

cos x ; cos x ' 

5. Vi phân 

+ dy y 'dx 

f x x f x f ' x . x 

+ 

0 0 

1 

sin x ; tan x ' 

2 

cos x 

1 

sin x 

; cot x ' 

 

2 

' 

o 

6 Đ o hàm c p cao 

y 

' 

y 

v i n 

2 

n n 1 

P ếp tuyến t ểm M x 0; y 

0 

là 

d : y f ' x x x y 

0 0 0 

a. Viế h tiếp tuyến song song v ờng th ng : y ax b 

+ G i tiế ểm là M x 0; y 

0 

k f ' x a 

+ Hệ s góc tiếp tuyến là 

0 

+ Tìm x 

0, y 

0 

r 

ếp tuyến 

b. Viế tiếp tuyến vuông góc v ờng th ng : y ax b 

+ G i tiế ểm là M x 0; y 

0 

1 

 

0 

 

a 

+ Hệ s góc tiếp tuyến là k f ' x 

 

+ Tìm x 

0, y 

0 

r 

B.BÀI T P 

D 

Câu 1: Cho hàm s 

O HÀM 

ếp tuyến 

2 

y 2x 3x 1. Tính y ' 1 

 


A. 1 B. – 1 C. 0 D. 2 


3 2 

y 2x 3x 1 

. Tính y ' 

1 

A. 0 B. 12 C. 6 D. 1 


2x 1 

y 

x 1 

. Tính y ' 1 

 

A. 1 B. – 1 C. 3 D. – 3 

Câu 4: Cho hàm s y 3 x 1 4 3 x . Tính 


 

y' 

25 

 

A. 5 2 

B. 1 2 

C. 0 D. 1 


1 

y 

2x 3 

. Tính y '' 2 

 

A. – 4 B. 4 C. – 8 D. 8 

Câu 6: T 

A. 

y' 

3 

x 

o hàm c a hàm s 

2 

3x 

B. 

2 


y' 

y x 2 

x 

3 3 

3 

x 

2 

3x 

C. 

2 

y' 

6 

x 

2 

3x 

D. 

2 

4 

y x x . Ch n biểu thứ ú i m i x 0 

3 

y' 

2 

3x 

 

A. 2xy ' 3y 0 B. 2xy ' 3y 0 C. 3xy ' 2y 0 D. 3xy ' 2y 0 

Câu 8: T o hàm c a hàm s y x 2 x 2 1x 2 4 

A. 

C. 

5 3 

y' 5x 12x 4x 

B. 

5 3 

y' 6x 20x 8x 

D. 

5 3 

y' 6x 16x 8x 

5 3 

y' 6x 15x 8x 

6 

2 

x 

Câu 9: T 


x 

3 

y 

1 x 

A. 

y' 

3 

1 

x 2 

B. 

y' 

4 

1 

x 2 

C. 

y' 

4 

1 

x 2 

D. 

y' 

3 

1 

x 2 

Câu 10: T 

o hàm c p hai c a hàm s 

2 

2x 4x 

y 

x1 


A. 

y' 

4 

x1 3 

B. 

y' 

12 

x1 3 

C. 

y' 

12 

x1 3 

D. 

y' 

4 

x1 3 

y x x 1 

2 

Câu 11: Tính o hàm c a hàm s 3 

2 

A. y' 3x 1x x 1 2 

B. y' 62x 1x 2 x 1 2 

2 

C. y' 6x 1x x 1 2 

D. y' 32x 1x 2 x 1 2 

y 4x x 

2 

Câu 12: T o hàm c a hàm s 5 

2 

A. y' 102 x4x x 4 

2 

B. y' 102 x4x x 4 

2 

C. y' 202 x4x x 4 

2 

D. y' 202 x4x x 4 

Câu 13: T 


y 

1 

2 

x 

2x 2 

A. 

y' 

 

2 x 1 

 

2 

x 

2x 3 

B. 

y' 

 

4 x 1 

 

2 

x 

2x 3 

C. 

y' 

 

 

2 x 1 

2 

x 

2x 3 

D. 

y' 

 

 

4 x 1 

2 

x 

2x 3 

3 

Câu 14: Cho hàm s y 

2 

x 

. Tính giá tr c a biểu thức P y'' 1 y' 1 

A. P 12 B. P 30 

C. P 24 

D. P 24 


2 

y 2x 5x 2 . Ch n biểu thứ ú i m i s thực x 

A. 

3 

2y'' y 9 B. 

Câu 16: Cho hàm s 

3 

4y''y 9 C. 

2 2 

y x 2 x 2x 3 

3 

4y''y 9 D. 

3 

2y''y 9 

. Tính giá tr c a biểu thức P y' 1 .y 1 

A. P 6 

B. P 8 

C. P 10 

D. P 12 

Câu 17: Cho hàm s y 1 x 1 x 3 

. Tính y ' 0 

 

A. 2 B. 3 C. 6 D. 0 


y 

4 

x 

x1 

2 

. Gi yy' 4 0 

A. x 0 

B. x 1 

C. x 2 

D. x 3 


Câu 19: T 


y sin x 

1 cos x 

A. 

y' 

1 

1 

cos x 2 

B. 

y' 

1 

1 

cos x 

 

 

C. 

y' 

1 

1 

cos x 

 

 

D. 

y' 

2 

1 

cos x 2 

Câu 20: T o hàm c a hàm s y x cos 2x 

A. y' sin 2x x cos 2x 

B. y' cos 2x x sin 2x 

C. y' sin 2x 2x cos 2x 

D. y ' cos 2x 2x sin 2x 

Câu 21: T 


y 

3 

sin 2x 

A. 

C. 

y' 

y' 

2 

3sin 2x cos 2x 

B. 

2 

3sin 2x cos2x 

D. 

y' 

y' 

2 

6sin 2x cos 2x 

2 

6sin 2x cos2x 


3 

y tan 2x 

 

 

6 . Tính y' 

 

12 

 

A. 36 B. 48 C. 54 D. 72 

Câu 23: T 


2 

y xsin 2x x tan x 

A. 

B. 

C. 

D. 

2 

y' sin 2x 2x cos 2x 2x tan x cos 

2 x 

2 


2 x 

2 


2 x 

2 


2 x 

x 

x 

x 

x 


2 

y sin x cos 2x . Gi y' 1 

 

A. x k , k là s nguyên B. xk, k là s nguyên 

4 

 

 

C. x k, k là s nguyên D. x k , k là s nguyên 

4 

6 

n 

Câu 25: Cho n là s d T o hàm c a hàm s y sin x cos nx 

A. 

n1 

n 

y' nsin x cos x cos nx nsin nx.sin x 


B. 

C. 

D. 

n1 

n 


n1 

n 


n1 

n 



5x 1 

2x 

. T p nghiệm c a b 

f x 

f x 0 là 

A. B. \ 0 

C. ;0 

D. 0; 

Câu 27: Đ o hàm c a hàm s 

2 

x 

y 

3x 1 

A. 

7 

y' 

3x 1 

B. 

y' 

5 

3x 1 2 

C. 

y' 

7 

3x 1 2 

D. 

5 

y' 

3x 1 


A. 


x B. 1 3 

5 


A. 

 

f x 

 

f x 

5 

B. 25 

8 

16 


A. 

y' 

7 

2x 1 2 

3x 5 

y 1 2x 

B. 

y' 

3x 4 

 

2x 1 

x 

9 

 

x 

3 

t ểm x 1 là 

4x 

C. – 11 D. 

t ểm x 1 là 

C. 5 8 

Đ o hàm c a hàm s là 

1 

2x 1 2 

C. 

y' 

13 

2x 1 2 


 

9 

D. 11 

8 

D. 

y' 

13 

2x 1 2 


y 

2 

x 2x 3 

x 

2 

Đ o hàm c a hàm s là 

A. 

y' 1 

3 

x 

2 2 

B. 

y' 

2 

x 6x 7 

 

x 

2 

 

2 

C. 

y' 

2 

x 4x 5 

 

x 

2 

 

2 

D. 

y' 

2 

x 8x 1 

 

x 

2 

 

2 

 

 

. Tính g '' 

2 

 

Câu 32: Cho hàm s g x x 1cos x 

A. B. 1 C. 2 D. – 2 


4 2 

y x 2x . Gi y ' 0 


A. x 0 x 2 B. x 0 x 1 C. x 1 

D. x 

2 

Câu 34: Cho hàm s y sin 2x 6sin x 4x . Gi y ' 0 

 

 

A. x k2 x k2 , k là s nguyên. 

2 6 

 

B. x k2 x k2, k là s nguyên 

6 

 

C. x k2 x k2, k là s nguyên 

3 

 

 

D. x k2 x k2 , k là s nguyên 

2 6 

y x 3 m 1 x 6 m 2 x 9m 5 . Tìm giá tr c ể y' > 0 

3 2 


v i m i s thực x. 

A. 1m 3 B. 1m 4 C. 1m 2 D. 1m 5 

Câu 36: T 

A. 

3 

y 

o hàm c p ba c a hàm s 

8sin 2x B. 

3 

y 

2 

y cos 2x sin x 

12sin 2x C. 

3 

y 

12sin 2x D. 

3 

y 

4sin 2x 

Câu 37: T 

o hàm c p ba c a hàm s 

4 3 2 

y 5x 2x 3x 6 

A. 

3 

y 20x 6 B. 

3 

y 60x 12 C. 

3 

y 120x 12 D. 

3 

y 120x 24 

Câu 38: Cho hàm s y x cos x sin x . Gi 

3 

y y' 1 

 

 

A. x k2 , k là s nguyên B. x k2 , k là s nguyên 

6 

3 

5 

2 

C. x k2 , k là s nguyên D. x k2 , k là s nguyên 

6 

3 

x 

3 

Câu 39: Cho hàm s y . T p nghiệm c a b y '' y ' y 

x 4 

A. 4;5 

B. ;4 

C. ;4 5; 

D. 5; 

 

Câu 40: Cho hàm s y tan 2x . Tính y '' 

 

8 

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 


Câu 41: T 

o hàm c p n c a hàm s 

y 

1 

1 

x 

 

 

A. 

n 

n 

 

 

1 

n 

y 

1 n! 

n 

B. 

y 

n 

n 

 

 

 

1 n! 

n 1 

1 n 

C. 

y 

n 

 

 

 

n1 

1 n! 

1 n 

 

n 

D. 

y 

n 

n 

 

 

n 1 

1 

n 

 

1 n 1 ! 

Câu 42: T o hàm c p n c a hàm s y cos 4x 

 

A. 

n n 

 

y 4 cos4x n 

B. 

n n 

y 4 cos4x n 

2 

2 

n 

n1 

 

n 

n1 

 

C. y 4 cos4x n 

D. y 4 cos4x n 

2 

2 

1 

Câu 43: T o hàm c p n c a hàm s y 

2 

x 3x 2 

A. 

 

n 

n 

y 1 

n! 

 

1 1 

 

n 

x 1 x 2 

n 

 

 

n 

n 

B. y 1 

n! 

 

 

1 1 

 

n 

x 1 x 2 

n 

 

 

 

C. 

 

n 

n 

y 1 

n! 

 

1 1 

 

 

x 1 x 2 

n 1 n1 

1 

x 

Câu 44: T o hàm c p n c a hàm s y 

x 1 

A. 

y 

n 

n 

 

 

n 1 

x1 

 

2. 1 n 1 ! 

 

 

 

D. 

B. 

 

n 

n 

y 1 

n! 

 

y 

n1 

n 

 

 

x1 

2. 1 n! 

n1 

1 1 

 

 

x 1 x 2 

n 1 n1 

 

 

 

C. 

y 

n 

n 

 

 

n 1 

x1 

 

2. 1 n 1 ! 

D. 

y 

n 

n 

 

n 1 

x1 

 

2. 1 n 1 ! 

Câu 45: T 

o hàm c p n c a hàm s 

y 

2 

sin x 

A. 

 

 

 

 

n n1 

y 2 sin 2x n 2 

 

 

B. 

 

 

 

 

n n1 

y 2 cos2x n 2 

 

 

C. 

 

 

n n1 

y 2 sin 

 

2x n 1 2 

 

 

 

 

 

 

D. 

 

 

n n1 

y 2 cos 

 

2x n 1 2 

 

 

 

 

 

 


2 

y 2x x . Ch n biểu thứ ú i 0 x 2 

A. 

3 

y''y 1 B. 

3 

y'' y 1 C. 

3 

y''y 2 D. 

3 

y'' y 2 


Câu 47: Cho hàm s y x tan x . Ch n biểu thứ ú i m i x k, k là s nguyên 

2 

2 2 2 

A. x y'' 2x y 1 y 

B. x 2 y'' 2x 2 y 2 

1 

y 

2 2 2 

C. x y'' x y 1 y 

D. x 2 y'' x 2 y 2 

1 

y 

Câu 48: Tìm gi i h n 

sin 5x 

lim 

x0 

sin 2x 

A. 5 2 

B. 2 5 

C. 1 D. – 1 

1 

cos x 

Câu 49: Tìm gi i h n lim 

x0 

x 

2 

A. 1 B. –1 C. 4 D. 2 

cos x cos5x 

Câu 50: Tìm gi i h n lim 

x0 

x sin x 

A. – 4 B. – 2 C. 2 D. 4 


 

x 

4 

4x 2 

lim 1 sin 2x 

A. 8 B. 16 C. 4 D. 2 


 

 

lim x tan x 

2 

 

 

x 

2 

A. 1 B. 1 2 

C. 2 D. – 1 


 

sin 2x 

 

3 

lim 

 

3 2cos x 

 

x 

6 

A. 2 B. 4 C. 1 D. – 1 

Câu 54: Cho hàm s y cos x 3sin x 2x 1. Gi y ' 0 

A. 

C. 

2 

x k , k là s nguyên B. 

3 

5 

x k , k là s nguyên D. 

6 

5 

x k , k là s nguyên 

6 

2 

x k , k là s nguyên 

3 



2 

y sin x 2cos x . Gi y ' 0 

 

A. xk, k là s nguyên B. x k , k là s nguyên 

2 

 

 

C. x k , k là s nguyên D. x k , k là s nguyên 

6 

3 

3 

3 

Câu 56: Cho hàm s f x 5cos x sin x và g x 

 

g ' x 

 

f ' x 

sin x . Gi 

 

 

A. x k , k là s nguyên B. x k , k là s nguyên 

3 

6 

 

 

C. x k , k là s nguyên D. x k , k là s nguyên 

2 

4 


thực 

3 2 

– 6 – . Tìm giá tr c a m sao cho y' > 0 v i m i s 

A. m 2 

B. m 2 

C. 0 m 2 D. m 

2 

3 2 

Câu 58: Cho hàm s – 6 

m i s thực x 

. Tìm giá tr c a m sao cho y' < 0 v i 

A. m 0 m 2 B. m 0 

C. m 2 

D. 2 m 0 


thực x. 

3 2 

– – . Tìm giá tr c ' ≥ i m i s 

A. m 2 

B. m 1 

C. m 1 

D. m 

2 

3 

Câu 60: Cho hàm s 2 – 6 – 6 . Tìm giá tr c a m sao cho 

' ệm phân biệt cùng d u. 

A. 0 m 6 B. 0 m 3 C. m 0 m 3 D. 3 m 6 

3 

Câu 61: T o hàm c a hàm s y x 3 2 x 2 3 

A. 2 2 2 

2 3 

2 

2 2 2 2 

y' 6x x 2 x 3 2x x 2 

B. y' 9x x 1 x 3 2xx 1 

2 3 

C. 2 2 2 

2 3 

2 

2 2 2 2 

y' 6x x 2 x 3 2x x 2 

D. y' 9x x 1 x 3 2xx 1 

2 3 


Câu 62: T 

A. 

y' 1 


1 

x 

2 2 

B. 

y' 1 

y 

2 

x 3x 1 

3 

x 

2 

x 

2 2 

2 

Câu 63: Cho hàm s – 

 

s v i trục Oy là 

3 

C. 

y' 1 

3 

x 

2 2 

D. 

y' 1 

1 

x 

2 2 

. Hệ s góc tiếp tuyến t ểm c th hàm 

A. k 36 B. k 36 

C. k 27 D. k 27 


y 

x 

2 

. Tính y ' 0 

 

1 x 

A. 2 B. – 2 C. 1 D. – 1 

Câu 65: T 

A. 

C. 

Câu 66: T 


 

 

3 3 

2 

y 6sin 2x cos 2x 

 

 

3 3 

2 



1 1 

A. y' sin x cos x 

2 

x x 

1 1 

C. y' 

sin x cos x 

2 

x x 


 

 

3 

3 

y sin 2x 

1 

 

y sin x 

x 

 

B. 

D. 

 

 

 

 

 

3 3 

2 


 

 

3 3 

2 


1 1 

B. y' sin x cos x 

2 

x x 

1 1 

D. y' 

sin x cos x 

2 

x x 

sin x cos x 

y 

. Tính giá tr c a biểu thức 

sin x cos x 

2 

P y y' 

A. P 0 

B. P 1 

C. P 1 

D. P 

2 

Câu 68: Cho hàm s y 

cos x . Tính y' 

 

A. 0 B. 1 C. – 1 D. không t n t i 



 

g x 

2 

x 1 1 

 

x 0 

x 

 

0 x 0 

. Tính giá tr c a g ' 0 

 

A. 0 B. 1 C. – 1 D. không t n t i 


s thực x 

D 

3 2 

– – . Tìm giá tr c a m sao cho y' > 0 v i m i 

A. 0 m 2 B. 0 m 1 C. 1m 2 D. 1m 3 

Câu 1: P 

P TUY N 

ếp tuyến c a hàm s 

3 

y x 3x 1 t ể b ng 2 là: 

A. y x 1 B. y 1 

C. y 9x 15 D. y 9x 15 

Câu 2: M 

ếp tuyến c a hs 

4 2 

y x 4x 2 t ể b ng 2 là: 

A. y 2 

B. y 3x 2 C. y 16x 23 D. y x 5 

Câu 3: M 


2x 1 

y biết hệ s góc b ng -1 là 

x 

2 

A. y x 1 B. y x 1 C. y 3x 1 D. y 3x 2 

Câu 4: M 

ờng th ng y 3x 5 


x1 

y biết tiếp tuyến song song v i 

x 2 

A. y 3x 1 B. y 3x 2 C. y 3x 11 D. y x 2 

Câu 5: Gi sử Δ 

x0 

1. Tìm t t c các giá tr c a m ể Δ 


x 

2 

y 

2x 1 

t ể 

ờng th ng 

A. m 1 

B. m 1 

C. m 5 

D. m 

5 

Câu 6: M 


3 

y x 3x 3 biết tiếp tuyến vuông góc 

v 

ờng th ng 

1 

y x 5 

3 

A. y 3x 1 B. y 3x 3 C. y 3x 11 D. y x 2 


3 2 

Câu 7: th C : y x 3x x 1. Tiếp tuyến c th (C) t ểm M có hoành 

x 0 cắ th (C) t ểm N (khác M). Tìm t ểm N 

A. N 3;3 

B. N 1; 4 

C. N 2; 1 

D. N 1;0 

 

Câu 8: P ế ế C 

1 

 

1 

C ụ 

3 

y x 1 t ể 

A. y 3x 1 B. y 3x 3 C. y 0 

D. y 3x 4 

Câu 9: y x ln x 1 

) V ế ế ế ) 

ể x0 

2e 

A. y 2 ln 2 

x 2e 1 

B. 

y 2 ln 2 x 2e 1 

C. y 2 ln 2 

x 2e 1 

D. 

Câu 10: Tiếp tuyến t ểm cực tiểu c th hàm s 

A. Song song v ờng th ng x 

1 

y 2 ln 2 x 2e 1 

3 2 

y x 2x 3x 5 


1 

3 

B. Song song v i trục hoành 

C. Có hệ s d D. Có hệ s góc b ng – 1 

Câu 11: Cho hàm s 

3 2 

y x 3x 3 

th (C). G i 

M x ; y N ểm thu c 

0 0 

) i xứng v i nhau qua g c t . Hệ s góc tiếp tuyến t i M và N là 

A. 3 

B. 9 

C. – 3 và 9 D. 6 và 12 


song v i trục Ox. 

2 

x 3x 

y 

2 

x1 

 

 

th (C). Viế 

A. y 0 

B. y 2 

C. 


N. 

y 

x1 2 

x1 

th (C). Gi sử M N 

9 

y D. y 

1 

8 

ếp tuyến v i (C) song 

ểm thu c (C) có các 

u là nghiệm c ' V ế ờng th d q M 

A. d : y 2x 1 

B. d : y 2x 1 

C. y x 1 D. y x 1


ể x0 

1 

3 2 

– th (C). Viế ếp tuyến v i (C) t i 

A. y 3x 3 B. y 3 3x C. y 3x 3 D. y 9x 9 


3 2 

– th (C). Viế ếp tuyến v i (C) biết 

tiếp tuyến có hệ s góc là 9 

A. y 9x 18 hoặc y 9x 18 

B. y 9x 14 hoặc y 9x 18 

C. y 9x 14 hoặc y 9x 14 

D. y 9x 22 hoặc y 9x 14 


: y x 2018 

3x 1 

y . Viế ếp tuyến song song v ờng th ng 

1 x 

A. y x 2 hoặc y x 8 

B. y x hoặc y x 8 

C. y x 1 hoặc y x 

D. y x 1 hoặc y x 9 


3 2 

– 6 . Viế ếp tuyến vuông góc v ờng 

th ng : x 3y 0 

A. y 3x 1 hoặc y 3x 27 

B. y 3x 5 hoặc y 3x 27 

C. y 3x 5 hoặc y 3x 9 

D. y 3x 1 hoặc y 3x 9 

Câu 18: Cho hàm s 2 – th (C). Tìm giá tr c a m sao cho 

(C) tiếp xúc v i trục hoành 

A. m 4 m 5 B. m 2 m 6 C. m 3 m 4 D. m 6 m 2 


3 2 

– – . Viế ếp tuyến c th hàm s sao 

cho tiếp tuyến có hệ s góc l n nh t 

A. y 2 

B. y 3x 3 C. y 3x 3 D. y 3x 1 

6: PHÉP BI N HÌNH 

Câu 1: Cho v 1;5 M’ ; ) ế M’ nh c a M qua phép t nh tiến T 

v 

K 

A. M 3;7 B. M 5; 3 

C. M 3; 7 

D. M 

4;10 


Câu 2: Trong mặt ph ng cho v 1;3 M’ ‐2;5). Biết 

T M M ' 

A. M ' 1; 2 

B. M ' 1; 2 

C. M ' 3;8 

2 2 

Câu 3: Cho v3;3 ờng tròn 


v 

D. Đ 

C : x y 2x 4y 4 0 . Ảnh c a (C) qua T 

v 

là 

2 2 

A. x 4 y 1 

9 

B. 

2 2 

C. 

x 4 y 1 9 

D. 

2 2 

x 4 y 1 4 

2 2 

x y 8x 2y 4 0 

Câu 4: Hình g ờng tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trụ i 

xứng ? 

A. M t B. Hai C. Ba D. Vô s 

Câu 5: Có bao nhiêu phép t nh tiến biế ờng th d c thành chính nó 

A. Có vô s phép B. Không có phép nào 

C. Có m t phép duy nh t D. Chỉ có hai phép 

Câu 6: 

A. Phép t nh tiến là phép dời hình 

B. P i xứng trục là phép dời hình 

C. P q i xứng tâm là phép dời hình 

D. Phép v tự là phép dời hình 

Câu 7: Hình g ờng tròn phân biệ ù i xứng 

A. M t B. Hai C. Không có D. Vô s 

Câu 8: Có bao nhiêu phép t nh tiến biến m ờ ò c thành chính nó ? 

A. M t B. Không có C. Hai D. Vô s 

Câu 9: Trong mặt ph ng to Oxy nếu phép t nh tiến biế ể A ; ) ểm 

A’ ; ) ế ểm B(2,5) thành 

A. B' 5;5 B. B' 5;2 C. B' 1;1 

D. B' 1;6 

 

Câu 10: Trong mặt ph O ểm M (2;3). H ể ểm nào là nh 

c M q 

i xứng qua trục Ox 

A. A 3;2 

B. D 2;3 

C. B2; 3 

D. C3; 2 

Câu 11: Trong các mệ sau, mệ ú 

A. i xứ ểm biến thành chính nó

B. P i xứ ú ểm biến thành chính nó . 

C. i xứng tâm có vô s ểm biến thành chính nó 

D. P i xứ ểm nào biến thành chính nó 

Câu 12: Phép v tự tâm I(‐1;2) tỉ s 3 biế ể A ; ) ểm có to : 

A. 16;1 

B. 14;1 

C. 6;5 

D. 14; 1 

Câu 13: Cho v 4;2 

ờng th ng : 2x y 5 0 . H i nh c Δ q T 

v 

là 

A. 2x y 5 0 B. x 2y 9 0 C. 2x y 15 0 D. 2x y 15 0 

Câu 14: Cho tam giác ABC có 

ΔA’ ’ ’ T tr ng tâm c ΔA’ ’ ’ 

A 2;4 , B 5;1 , C( 1; 2) 

. Phép t nh tiến biế ΔA 

A. 4;2 

B. 4; 2 

C. 4; 2 

D. 4;2 

 

Câu 15: Biế M’ ‐3;0) là nh c a c a M(1;‐2) qua 

u v ? 

T M” ; ) nh c M’ q T 

u 

v 

. To 

A. 3; 1 

B. 1;3 

C. 2; 2 

D. 1;5 

 

Câu 16: ờ ò O A P i xứng 

trục biến A thành B, biến C thành D có trụ i xứ ờng th ng 

A. Đ ờng kính c a (O) song song v i AB B. Đ ờng kính c a (O) vuông góc v i AB 

C. Đ ờng kính c a (O) vuông góc v i AC D. Đ ờng kính c a (O) vuông góc v i BD 

Câu 17: Trong mặt ph ng cho tam giác ABC. G i M, N, P l 

A A K nh tiế 

A. B. C. D. 


A K 

nh tiế 

1 

u AC biến 

2 

ểm c a 

A. M thành B B. M thành N C. M thành P D. M thành A 

Câu 19: Phép biế có tính ch “ ến m ờng th ng thành 

ờng th ng song song hoặc trùng v ” 

A. Phép t nh tiến B. P i xứng trụ C. P i xứng tâm D. Phép v tự 

Câu 20: Trong các mệ sau, mệ ú 


ểm c a AB,

A. Phép v tự là m t phép dời hình 

B. Có m t ph i xứng trụ ng nh t 

C. P ng d ng là m t phép dời hình 

D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép v tự ng d ng 

Câu 21: Cho d : 2x y 3 0 . Phép v tự tâm O tỉ s 2 biế ờng th ng d thành 

A. 2x y 3 0 B. 2x y 6 0 C. 4x 2y 3 0 D. 4x 2y 5 0 

2 2 

Câu 22: Phép v tự tâm O(0,0) tỉ s ‐2 biế ờng tròn 

x 1 y 2 4 thành 

2 2 

A. x 2 y 4 

16 

B. 

2 2 

x 4 y 2 4 

2 2 

C. x 1 y 2 

16 

D. 

2 2 

x 2 y 4 16 

Câu 23: ờng th d x y 2 0 . Phép h p thành c i 

xứng tâm O(0,0) và phép t nh tiến theo v3;2 biế d 

ờng th ng 

A. x y 4 0 B. 3x 3y 2 0 C. 2x y 2 0 D. x y 3 0 

Câu 24: Cho d : 2x y 0 i xứng trục Oy biế ờng th ng d thành 

A. 2x y 1 0 B. 2x y 0 C. 4x y 0 D. 2x y 2 0 

Câu 25: Cho hình vuông ABCD tâm O . G i M,N,P l 

AB, BC, CD, DA. Phép dờ 

ế ΔAMO 

A. Phép t nh tiế B. P i xứng trục MP 

ểm c a các c nh 

C. Phép quay tâm A góc quay D. Phép quay tâm O góc quay 

ề chung cho câu 26, 27, 28 

A ỉnh vẽ theo chi d T ờng th ng BC l y 2 

ểm E và F sao cho EB 2 

EC và FB 2 . G i M ể d ng trên c M’ 

FC 

c nh AC sao cho BM 

2CM' . 

Câu 26: Phép biến hình nào biế ể M ể M’ 

A. Phép dời hình B. P ng d ng 

C. Phép v tự D. Không ph 

Câu 27: G i f là phép biến hình biế ể M ể M’ T a f nếu có là 

A. Tâm c ờng tròn ngo i tiếp tam giác ABC 


B. ểm c a cung l A ờ ò ờng kính EF 

C. ểm c a cung nh ờ ò ờng kính EF 

D. Tâm là m ểm khác 

Câu 28: G i O là phé q 

trong phép quay nào 

 

A. Q0; 

3 

Câu 29: Cho lụ 

tam giác CBD 

B. 

ờng tròn ngo i tiếp tam giác ABC, tam giác ABC b t biến 

2 

 

Q0; 

3 

C. Q0; 

 

D. Đ 

u ABCDEF tâm O. Phép biến hình nào biến tam giác ABF thành 

A. Quay tâm O góc quay B. Quay tâm O góc quay 

C. Phép t nh tiế D. P i xứ q ờng th ng BE 

Câu 30: Ch n mệ 

nó 

sai 

A. Phép t nh tiến biế ờ ò ờng tròn có cùng bán kính 

B. Phép v tự biế ờng th ờng th ng song song hoặc trùng v i nó 

C. Phép quay góc quay 

D. Phép quay góc quay 

Câu 31: Trong các mệ sau, mệ nào sai ? 

0 

90 biế ờng th ờng th ng song song hoặc trùng v i 

0 

90 biế ờng th ờng vuông góc v i nó 

A. Hình g m m ờng tròn và m n th ng tu ý có trụ i xứng 

B. Hình g ờng tròn không b ng nhau có trụ i xứng 

C. Hình g m m ờng tròn và m ờng th ng tu ý có trụ i xứng 

D. Hình g m m ờng tròn ngo i tiế ụ i xứng 

Câu 32: Trong mặt ph d i xứng 

A. Hình tròn B. Đ ờng th ng 

C. i có s c nh là l D. u 

Câu 33: Trong mặt ph d trụ i xứng 

A. Hình tròn B. Hình vuông 

C. i có s c nh là l D. u 

Câu 34: Hình chữ nh t có bao nhiêu trụ 

i xứng 

A. Không có B. 4 C. 1 D. 2 


Câu 35: u có bao nhiêu trụ i xứng 

A. 3 B. 2 C. 1 D. Không có 

Câu 36: 

i xứng 

A. 4 B. 3 C. vô s s D. Không có 

Câu 37: Hình t o bở ờng th ng cắ d d’ V 

i xứng ? 

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô s 

Câu 38: Ảnh c ờng th ng d : 3x 4y 5 0 q i xứng trục Ox là 

A. 3x 4y 5 0 B. 3x 4y 5 0 C. 3x 4y 5 0 D. x 3y 5 0 

Câu 39: Phép quay tâm O(0;0) góc quay 

0 

90 biế ờng th ng d : x y 1 0 ờng 

th 

A. x y 3 0 B. x y 1 0 C. x y 3 0 D. x y 6 0 

Câu 40: Tìm mệ 

sai: Phép dời hình biến 

A. M n th n th ng, m t tia thành m t tia 

B. M ờng th ng thành m ờng th ng song song v i nó 

C. M ờng tròn thành m ờng tròn có bán kính b ờ ò 

D. M t tam giác thành m t tam giác b ng nó 

Câu 41: Phép v tự tỉ s k biến hình vuông thành 

A. Hình thoi B. Hình bình hành C. Hình vuông D. Hình chữ nh t 

Câu 42: Trong mặt ph ng Oxy cho M(‐2;4). To 

k 2 là 

nh c a M qua phép v tự tâm O tỉ s 

A. 8;4 

B. 4; 8 

C. 4;8 

D. 4; 8 

Câu 43: 

sau 

ờng tròn tiếp xúc ngoài v i nhau và không b ng nhau . Xét các mệnh 

I, Có hai phép v tự biế ờ ò ờng tròn kia . 

II, Tiế ểm I là tâm v tự c a phép v tự biế ờ ò ờng tròn kia . 

III, Tỉ s v tự là tỉ s hai bán kính 

A. Chỉ I và II B. Chỉ II và III C. Chỉ I và III D. C I,II,III 

Câu 44: Trong mặt ph ng, nếu phép biến hình 


A. Là phép dờ ng d ng 

B. L ng d dời hình 

C. Không ph i là phép dờ ng d ng 

D. Không ph ng d dời hình 

Câu 45: Trong mặt ph ng Oxy cho A(9;1). Phép t nh tiế 

v biến A thành 

A. B4; 6 

B. C14;8 C. D13;7 D. E 8;14 

 

Câu 46: Trong mặt ph ng Oxy cho A(5;‐3). H i A là nh c ể ểm 

sau qua phép t nh tiến theo v5;7 

là 

A. 0; 10 

B. 10;4 

C. 4;10 

D. 

10;0 

2 2 

Câu 47: Trong mặt ph O ờng tròn 

qua phép t nh tiế v5;7 

là 

x 8 y 3 7 . Ảnh c ờng tròn 

2 2 

A. x 4 y 3 

7 

B. 

2 2 

x 13 y 10 7 

2 2 

C. x 7 y 5 

7 

D. 

2 2 

x 3 y 4 7 

Câu 48: Trong mặt ph ng Oxy cho v1;3 , phép t nh tiến theo ế ờng th ng 

d : 3x 5y 8 0 ờng th ng 

A. 3x 2y 0 B. 3x 5y 26 0 C. 3x 5y 9 0 D. 5x 3y 10 0 

Câu 49: Trong các phép t nh tiế nh tiế ến 

ờng th ng d – thành chính nó 

A. v7;9 

 

B. v7; 9 

C. Không t n t mãn yêu c u 

D. A và B 

2 2 

Câu 50: Trong mặt ph O ờng tròn 

qua phép quay tâm O góc 

0 

90 là 

x 8 y 3 7 . Ảnh c ờng tròn 

2 2 

A. x 3 y 8 

7 

B. 

2 2 

x 3 y 8 4 


2 2 

C. x 8 y 3 

7 

D. 

2 2 

x 8 y 3 7 

Câu 51: Trong mặt ph ng to O ểm M(2;2) T ể ểm nào là 

nh c 

ểm M qua phép quay tâm O góc 

0 

45 

A. 2 2;0 B. 2 2;0 

C. 0;2 2 D. 0; 2 2 

Câu 52: Trong mặt ph ng Oxy, cho ểm M(4;6) và I(2;3). H i phép v tự tâm I tỉ s k 2 

biế M 

ểm 

A. 6;9 

B. 2;4 

C. 3;2 

D. 6;4 

 

Câu 53: Trong các kh nh sau, kh nh nào sai? 

A. Thực hiện liên tiế ng d c m ng d ng 

B. Phép dờ ng d ng tỉ s k 

1 

C. Phép v tự có tính ch t b o toàn kho ng cách 

D. Phép v tự không là phép dời hình 

Câu 54: Đ th hàm s y 

cos x có bao nhiêu trụ i xứng? 

A. Không có B. 1 C. 2 D. Vô s 

Câu 55: Trong các mệ sau, mệ ú 

A. Tam giác có trụ i xứng B. Tứ giác có trụ i xứng 

C. Hình thang có trụ i xứng D. Hình thang cân có trụ i xứng 

Câu 56: H p thành c 

i xứng trục có trục song song là phép 

A. P i xứng trục B. P i xứng tâm 

C. Phép quay D. Phép t nh tiến 

Câu 57: H p thành c 

i xứng trục có trục cắt nhau là phép 

A. P i xứng trục B. Phép quay 

C. Phép t nh tiến D. P ng nh t 

Câu 58: Cho A(‐ ; ) Đ ể A’ i xứng v i A qua O (0;0) có to là 

A. 6;14 

B. 3; 7 

C. 3;7 

D. 3; 7 

Câu 59: Cho A (‐ ; ) Đ ể A’ i xứng v i A qua I (4;1) có to là 

A. 11; 5 

B. 11; 7 

C. 13; 5 

D. 9; 5 

Câu 60: Cho A (‐ ; ) Đ ể A’ i xứng v i A qua trục hoành có to là 


A. 3;7 

B. 3; 8 

C. 3; 7 

D. 3; 7 

Câu 61: Cho A (- ; ) Đ ể A’ i xứng v i A qua trục tung có to là 

A. 3; 7 

B. 3;7 

C. 3;6 

D. 3;5 

 


A K 

nh tiế 

1 

u BC biến 

2 

A. N thành B B. N thành M C. N thành P D. N thành A 

I. BÀI T P TR C NGHI M 

7: QUAN H SONG SONG 

Câu 1: Các yếu t nh m t mặt ph ng duy nh t : 

A. ểm B. M ểm và m ờng th ng 

C. ờng th ng cắt nhau D. B ểm 

Câu 2: Xét các mệ 

sau: 

1. ờng th ểm chung thì chéo nhau. 

Mệ 

ờng th ng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. 

ờng th 

ú 

ểm chung 

A. ú B. ú 

C. Chỉ ú D. C 1,2 và 3 ú 

Câu 3: Mệ 

ú 


ểm c a AB, 

A. M ờng th ng cắ ờng th c thì c ờng th ù m 

trong m t mặt ph ng. 

th 

B. M ờng th ng cắ ờng th ng cắt nhau t ểm phân biệt thì c ờng 

ng ph ng 

C. M ờng th ng cắ ờng th ng cắ c thì c ờng th ù 

n m trong m t mặt ph ng 

D. C ú 

Câu 4: Cho các gi thiết sau, gi thiế ết lu ờng th ng d 

1 

/ / P 

 

A. d 

1/ /d 

2 

và 

d / / P 

B. d P 

2 

1

C. d 

1/ /d 

2 

và 

d2 

P 

D. d / / Q và Q / / P 

 

Câu 5: T ể ng ph ng, có thể n c nhi u nh t 

bao nhiêu mặt ph ng phân biệt từ 

ể 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD v ứ giác l i có các c i không song song. AC 

cắt BD t i O, AD cắt BC t I 

1 

ến c a hai mặt ph ng (SAC) và (SBD) là 

A. SI B. SB C. SC D. SO 

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. G i I, K l 

(BCK) là 

ểm AB, AD. Giao tuyến c a (CDI) và 

A. PR B. CR C. CP D. CQ 

Câu 8: Cho tứ diệ A Đ ểm M n n AC. (P) qua M và song song v i AB. 

Thiết diện c a (P) v i tứ diện là 

A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nh t D. Hình vuông 

Câu 9: S A A M ểm SC. G i N 

ểm c ờng th AM S ) K ỉ s AN 

MN là 

A. 2 B. 3 2 

C. 1 D. 2 3 

Câu 10: Cho hai mặt ph ng (P) và (Q) song song v i nhau. Mệ 

sai: 

A. Nế ờng th ng a Q 

thì a / / P 

 

B. M ờng th q ểm A P 

C. d P 

và d ' Q 

d // d’ 

và song song v Q) u n m trong (P). 

D. Nế ờng th ng cắt (P) thì ũ ắt (Q). 

Câu 11: Trong các mệ sau, mệ nào đ n : 

A. Hai mp phân biệt cùng song song v i m ờng th ng thì song song v i nhau. 

B. Hai mp phân biệt cùng song song v i m t mặt ph ng thì song song v i nhau 

C. Nếu m ờng th ng song song v i m t trong hai mặt ph ng song song thì nó song 

song v i mặt ph ng còn l i. 


D. Nếu m ờng th ng n m trên m t trong hai mặt ph ng song song thì nó song song 

v i m ờng th ng n m trong mặt ph ng còn l i. 

Câu 12: Cho mặt ph P) ờng th ng.Mệ đ n : 

A. Nếu A d 

thì A 

P 

B. Nếu A P 

thì A 

d 

C. A d A P 

D. Nế ểm và A, B, C th ng hàng thì A, B,C d 

Câu 13: Trong các mệ sau, mệ nào đ n : 

A. ờng th ng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. 

B. ờng th ng không song song thì chéo nhau. 

C. ờng th ểm chung thì chéo nhau. 

D. ờng th ểm chung. 

Câu 14: ể ng ph ng A, B, C, D. G i M, N l ểm c a AD 

K 

ến c a mp (MBC) và mp (NDA) là: 

A. AD B. BC C. AC D. MN 

Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên c nh AD l ểm M, trên c nh BC l ểm N b t kì khác 

B, C. G i (P) là mặt ph q ờng th ng MN và song song v K ết diện 

c a tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt ph ng (P) là 

A. M n th ng B. M t hình thang 

C. M t hình bình hành D. M t hình chữ nh t 

Câu 16: Cho tứ diện ABCD. G i M, N l t là tru ể A Đ ểm E thu c c nh 

A ểm P thu c c nh BD sao cho 

A. 

DE DP 1 

. Mệ sai 

DA DB 3 

2 

EP MN 

B. M N E P ng ph ng 

3 

C. ME // NP D. MNPE là hình thang 

Câu 17: ă ụ tam giác ABC.A'B'C'. G i I, I' l ểm c a c nh BC, 

B'C'. Mệ 

A. AI // A’I’ B. AA'II' là hình chữ nh t 

ú 


C. AC' cắt A'I D. AI' cắt AB'. 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD. Mp (P) cắt các c nh SA, SB, SC, SD l 

D'. G i SAB SCD , ' SAD SBC 

. Nếu P / / hoặc 

là 

A. Hình thang B. Hình bình hành 

C. Hình chữ nh t D. Hình vuông 

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, SB = SC. H, K l 

ABC và tam giác SBC, G và F l 

các mệ 

sau: 

) A SK ng qui 

(2) AG, SF cắt nhau t i m ểm trên BC. 

(3) HF và GK chéo nhau. 

(4) SH và AK cắt nhau. 

Mệ 

sai là: 


t t iA', B', C', 

P / / ' thì A'B'C'D' 

t là trực tâm tam giác 

t là tr ng tâm c a tam giác ABC và tam giác SBC. Xét 

A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 

Câu 20: Cho tứ diện ABCD. G i M, N l ểm c A T n BD 

l P P P K ểm c ờng th ng CD v i mp(MNP) là: 

II. T 

A. ểm c a NP và CD B. ểm c a MN và CD 

C. ểm c a MP và CD D. T iểm c a CD. 

LU N 

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. G i M và N l 

t là tr ng tâm các tam giác ABC và BCD. 

a) Chứng minh r ng MN song song v i các mặt ph ng ABD và ACD. 

) nh thiết diện t o bởi mặt ph ng qua MN và song song v i BD. 

Bài 2. Cho hình ch S A i M và N l t là tr ng tâm 

các tam giác SAD và SCD. 

a) Chứng minh r ng MN song song v i mp(SAC). 

) nh thiết diện t o bởi mp(BMN) v i hình chóp. 

Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng n m trong m t mặt ph ng. G i O 

O’ t là tâm c a các hình bình hành ABCD và ABEF; M và N l t là tr ng tâm 

các tam giác ABD và ABE.

a) Chứng minh r OO’ i các mặt ph ng (ADF) và (BCE). 

b) Chứng minh r ng MN song song v i mp(CEF). 

c) G i P ểm trên c A Q ểm trên c nh BF. Tìm v trí c ểm P và Q sao 

cho PQ song song v i mp(CEF). 

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. G i M là tr ng tâm c a tam giác ABC và N là m ểm trên c nh 

AD sao cho AN = 2ND. Chứng minh r ờng th ng MN song song v i mặt ph ng BCD. 

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. G M ểm trên c A M MA N ểm 

trên c nh CD sao cho MB = 2MA và N là m ểm thu c c nh CD (N không trùng v i C và 

D). 

) nh thiết diện c a mp(P) v i tứ diện. 

b) Tìm v trí ểm N trên c nh CD sao cho thiết diện trên là hình bình hành. 

Bài 6. Cho tứ diện ABCD. G M ểm trên c nh AB sao cho MB = 2MA. G i (P) là mặt 

ph q M ờng th A nh thiết diện t o bởi 

mp(P) v i tứ diện. Thiết diện trên là hình gì? 

Bài 7. Cho tứ diện ABCD. G M ểm trên c nh AB(M không trùng v i A và B) và N là 

m ểm trên c nh CD (không trùng v i C và D) sao cho MA 

CN 1. G i (P) là mặt 

AB CD 

ph ng chứa MN và song song v i BC. 

) nh thiết diện t o bởi mp(P) v i tứ diện. 

b) Chứng minh r ng mp(P) // AD 

Bài 8. S A i M là m ểm trên c nh SC 

(không trùng v i S và C). G i (P) là mặt ph ng qua AM và song song v ờng th ng BD. 

) nh thiết diện t o bởi mp(P) v i hình chóp. Tìm v trí c ểm M sao cho thiết diện 

q ng tâm c a tam giác SBD. 

b) G i E và F l ểm c a mp(P) v i các c nh SB và SD. G I ểm c a 

EF và AM. 

Chứng minh r I ểm c a EF và tìm quỹ tích c ểm I khi M di chuyển trên 

c nh SC (M không trùng v i S và C). 


Bài 9. S A M ểm trên c nh SA (M 

không trùng v S A) N ểm trên c nh SC (N không trùng v i S và C). G i (P) là 

mặt ph ng qua MN và song song v i BD. 

) nh thiết diện t o bởi mp(P) v i hình chóp. 

b) Tìm v trí c a M và N sao cho thiết diện trên là hình bình hành. 

Bài 10. S A M ểm trên c nh SB sao 

cho MS = 2MB. G i (P) là mặt ph q AM i BD. 

) nh thiết diện t o bởi mp(P) v i hình chóp. 

b) Chứng minh r ểm c a (P) v S ểm c a SC. 

Bài 11. S A t tứ giác l i có các cặp c i n m trên các 

ờng th ng cắt nhau. M t mp(P) cắt các c nh SA, SB, SC, SD l t t ể A’ ’ 

’ ’ I ểm c a AC và BD. 

a) Chứng minh r ờng th A’ ’ ’ ’ SI ng quy t i m ểm. 

) T u kiện c P) ể tứ A’ ’ ’ ’ là hình thang. 

) T u kiện c P) ể tứ A’ ’ ’ ’ 

Bài 12. Cho tứ diện ABCD. G i E là m ểm thu c mi n trong tam giác BCD. G i (P) là 

mặt ph ng qua E và song song v ờng th ng BC và AD và cắt các c nh AB, AC, BD, 

CD l t t i M, N, P, Q. 

Chứng minh r ng tứ giác MNPQ là hình bình hành 

p n 

1-1 2-C 3-B 4-B 5-C 6-D 7-D 8-A 9-A 10-C 

11-B 12-C 13-D 14-D 15-B 16-B 17-A 18-A 19-D 20-A 

8: QUAN H VUÔNG GÓC 

I. TR C NGHI M 

Câu 1: S A A C là tam giác cân t i A, c nh bên SA vuông góc v i 

M ể J ểm BM. Kh ú 

A. BC SAB 

B. BC SAM 

C. BC SAC 

D. BC SAJ 

Câu 2: C S A A ữ nh t tâm I, c nh bên SA vuông 

góc v K ú 


A. SCD SAD 

B. SBC SIA 

C. SDC SAI 

D. SBD SAC 

Câu 3: Cho hình S A A ữ nh t tâm I, c nh bên SA vuông 

góc v Đ ể ỉnh c a hình chóp là 

A. ểm SB 

B. Đ ểm n ờng th ng d // SA và không thu c SC 

C. ểm SC. 

D. ểm SD 

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC A i A, c nh bên SA vuông góc v i 

M ể J ểm BM. Góc giữa 2 mặt ph ng (SBC) và (ABC) là: 

A. góc SBA B. góc SJA C. góc SCA D. góc SMA 

Câu 5: S A A I nh bên SA vuông góc v i 

K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kh ú 

A. (SIC) SCD 

B. SCD AKC 

C. SAC SBD 

D. AHB SCD 

Câu 6: S A A I nh bên SA vuông góc v i 

K 

ú 

A. SBC SIA 

B. SBC SAC 

C. SDC SAI 

D. SCD SAD 

Câu 7: S A A i A, c nh bên SA vuông góc 

v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kh ú 

A. SBC SAB 

B. BIH SBC 

C. SAC SAB 

D. SAC SBC 

Câu 8: S A A i B, c nh bên SA vuông góc 

v I ể A Đ ể ỉnh c a hình chóp là 

A. Đ ểm n ờng th d // SA d q M ểm BI 

B. không t n t ể ỉnh c a hình chóp 

C. ểm SC 

D. ểm SB 

Câu 9: S A A ữ nh t tâm I, c nh bên SA vuông 

góc v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kí hiệu 

cách giữ ểm A và mặt ph ng (SCD). Kh ú 

d A, SCD là kho ng 


A. d A, SCD 

AC B. d A, SCD 

AK C. d A, SCD 

AH D. d A, SCD 


v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kh ú 

A. SAC SAB 

B. BIH SBC 

C. SAC SBC 

D. SBC SAB 

Câu 11: S A A i B, c nh bên SA vuông góc 

v M ể J ểm BM. Kh ú 

A. BC SAB 

B. BC SAJ 

C. BC SAC 

D. BC SAM 

Câu 12: S A A I nh bên SA vuông góc 

v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kh ú 

A. AK SCD 

B. BC SAC 

C. AH SCD 

D. BD SAC 

Câu 13: ă ụ ứ A A' ' ' ' A Đ ểm cách 

ỉnh c ă ụ là 

A. ểm c a A'B và ABC' 

B. không t n t ể ỉnh c ă ụ 

C. ểm c a A'D và AD' 

D. ểm c a A'C và AC' 


v A Đ ể ỉnh c a hình chóp là 

A. ểm SC 


C. Đ ểm n ờng th ng d // SA 

D. ểm SD 


v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kí hiệu d a, b là kho ng cách 

giữ ờng th ng a và b. Kh ú 

A. d SA, BC 

AB B. d BI,SC 

IH C. d SA, AC 

IH D. d SB,AC 


AD 

BI 


v M ểm BC, J là hình chiếu c a A lên BC. Kh ú

A. BC SAJ 

B. BC SAB 

C. BC SAC 

D. BC SAM 


v M ểm BC, J là hình chiếu c a A lên BC. Kí hiệu 

cách giữ ểm A và mặt ph ng (SBC). Kh ú 

A. d A, SBC 

B. d A, SBC 

C. d A, SBC 

D. d A, SBC 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SC 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SM 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SB 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SJ 

d A, SBC là kho ng 

Câu 18: ă ụ ứ A A' ' ' ' A K nh 

ú 

A. AB'C BA 'C' B. AB'C B'BD 

C. AB'C D'AB 

D. AB'C D'BC 

Câu 19: S A A A M ểm AB, N là 

ểm BC. Kh 

ểm AC, SMC ABC , SBN ABC 

, G là tr ng tâm tam giác ABC, I là trung 

ú 

A. SIN SMC 

B. SAC SBN 

C. SIM SBN 

D. SMN SAI 

Câu 20: ă ụ ứ A A' ' ' ' A K nh 

ú 

A. A 'C B'BD 

B. A 'C B'C'D 

C. AC B'BD 

D. AC B'CD' 

 


góc v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kí hiệu d a, b là kho ng cách 


A. d AB,SC 

BS B. d AB,SC 

AK C. d AB,SC 

AH D. d AB,SC 

BC 

Câu 22: ă ụ ứ A A' ' ' A u. M, N l t là 

trung ểm AC và A'C'. G, G' l t là tr A A' ' ' Đ ểm 

A. ểm MN 

ỉnh c ă ụ là 


B. không t n t ể ỉnh c ă ụ 

C. ểm GG' 

D. ểm CC' 

Câu 23: Cho hình ch S A A i B, c nh bên SA vuông góc 

v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Góc giữa 2 mặt ph ng (SBC) và 

(SAC) là: 

A. góc ASB B. góc IHB C. góc AHB D. góc ACB 

Câu 24: S A A i C, 

SAB ABC , SA SB I ểm AB. Kh 

A. SI ABC 

B. IC SAB 

C. SAC SBC 

D. SA ABC 


SAB ABC , SA SB I ể A Đ ể ỉnh c a hình chóp n m 

ờng th 

A. ờng th ng SI 

B. ờng th d // SI d q M ểm BC 

C. ờng th ng SC 

D. ờng th d // SI d q ng tâm tam giác ABC 


v M ểm BC, J là hình chiếu c a A lên BC. Góc giữa 2 mặt ph ng (SBC) và 

(ABC) là: 

A. góc SBA B. góc SIA C. góc SMA D. góc SCA 

Câu 27: ă ụ ứ A A' ' ' A I ểm 

AB. Kí hiệu d AA ',BC là kho ng cách giữ ờng th ng AA' và BC. Kh nh nào 

ú 

A. d AA ', BC 

AB B. d AA ', BC 

IC C. d AA ', BC 

A 'B D. d AA ', BC 

Câu 28: ă ụ ứ A A' ' ' A i B, I là trung 

ểm AB. Kh 

ú 


AC 

A. ABC B'AC 

B. A 'CI A 'AB 

C. A 'BC A 'AB 

D. A 'BC A 'AC


v 

ữa 2 mặt ph ng (SBD) và (ABC) là: 

A. góc SIA B. góc SBA C. góc SIC D. góc SDA 


ểm BC. Kh 



ú 

A. SI ABC 

B. SG ABC 

C. IA SBC 

D. SA ABC 

Câu 31: S A A u có tr ng tâm G, c nh bên SA 

vuông góc v I ểm AC, dựng hình chữ nh SA N Đ ể u các ỉnh 

c a hình chóp là 

A. ểm SC 


C. ểm SB 

D. ểm GN 

Câu 32: S A A i A, c nh bên SA vuông góc 

v M ể J iểm BM. Kí hiệu 

ểm A và mặt ph ng (SBC). Kh 

A. d A, SBC 

B. d A, SBC 

C. d A, SBC 

D. d A, SBC 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SC 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SJ 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SB 

AK v i K là hình chiếu c a A lên SM 

d A, SBC là kho ng cách giữa 

Câu 33: S A A i A, 

SAB ABC , SA SB I ểm AB. Kh 

A. IC SAB 

B. SI ABC 

C. AC SAB 

D. AC SAC 

Câu 34: S A A i A, c nh bên SA vuông 

góc v I ể A M iểm BC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kí hiệu 

 

 

d a, b là kho ng cách giữ ờng th ng a và b. Kh ú 


ú

A. d BI,SC 

IH B. d SA, BC 

AB C. d SA,BC 

AM D. d SB,AC 

BI 

Câu 35: ă ụ ứ A A' ' ' A i B. M, N l n 

ểm AC và A'C'. G, G' l 

t là tr ng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C'. 

Đ ể ỉnh c ă ụ là 

A. ểm MN 

B. ểm GG' 

C. không t n t ể ỉnh c ă ụ 

D. ểm CC' 


v K t là hình chiếu c a A lên SI, SD. Kí hiệu 

giữ ểm A và mặt ph ng (SBD). Kh ú 

d A, SBD là kho ng cách 

A. d A, SBD 

AH B. d A, SBD 

AI C. d A, SBD 

AK D. d A, SBD 

Câu 37: ă ụ ứ A A' ' ' A C là tam giác vuông t i B, I là trung 

ểm AB. Kí hiệu d AB,B'C' là kho ng cách giữ ờng th ng AB và B'C'. Kh nh 

ú 

A. d AB,B'C' 

 

AB' B. d AB,B'C' 

 

BC' C. d AB,B'C' 

 

AA ' D. d AB,B'C' 

 


góc v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kh ú 

A. BD SAC 

B. AK SCD 

C. BC SAC 

D. AH SCD 


góc v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. Kh ú 

A. SAC SCD 

B. SAC SBD 

C. SAC SBC 

D. SCD AKC 

Câu 40: ă ụ ứ A A' ' ' A I ểm 

AB. Kh 

ú 

AD 

AC' 

A. A 'IC A 'AB 

B. ABC B'AC 

C. A 'BC A 'AB 

D. A 'BC A 'AC 



SAB ABC , SA SB I ểm AB. Góc giữ ờng th ng SC và mặt ph ng 

(ABC) là: 

A. góc SCI B. góc SCA C. góc ISC D. góc SCB 


ểm BC. Kh 



ú 

A. AB SMC 

B. IA SBC 

C. BC SAI 

D. AC SBN 

Câu 43: S A A giác vuông t i A, c nh bên SA vuông góc 

v M ểm BC, dựng hình chữ nh SAMN Đ ể ỉnh c a hình 

chóp là 

A. ểm SC 


C. ểm SB 

D. ểm MN 

Câu 44: Cho S A A i B, c nh bên SA vuông góc 

v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kí hiệu d a, b là kho ng cách 


A. d SA, BC 

AB B. d SB, AC 

IH C. d BI,SC 

AB D. d SB,AC 

BI 


v I ểm AC, H là hình chiếu c a I lên SC. Kh nh ú 

A. BIH SBC 

B. SAC SAB 

C. SBC SAB 

D. SAC SBC 

Câu 46: S A nh a, mặ SA u 

và n m trong mặt ph ng vuông góc v i mặt ph T ng cách từ ểm A 

ến mặt ph S ) c kết qu 

A. a 3 

7 

B. a 3 

5 

C. 3a D. a 3 

7 



góc v K t là hình chiếu c a A lên SC, SD. KN // CD, N thu c SC. Góc giữa 

2 mặt ph ng (SCD) và (SAD) là: 

A. góc AKN B. góc AKH C. góc ADC D. góc ASC 


ểm AC, SB = AB, SMC ABC , SBN ABC 

, G là tr ng tâm tam giác ABC, 

I, K l ểm BC, SA. Kí hiệu d a, b là kho ng cách giữ 

b. Kh ú 

A. d SA, BC 

IA B. d SA, MI 

IK C. d SA, BC 

ờng th ng a và 

IK D. d SA,BC 

IS 

Câu 49: S A A nh a, mặt ph ng (SAB) 

vuông góc v i mặt ph SA S ữ ờng th ng SC và mặt ph ng 

0 

45 . Tính theo a kho ng cách từ ể S ến mặt ph A ) c kết qu 

A. a 3 

2 

B. a 5 

2 

C. a 2 

D. a 2 

2 

Câu 50: S A A i A, mặt bên SBC là tam 

u c nh a và mặt ph ng (SBC) vuông góc v i mặ T ng cách giữa 

ờng th n SA 

A. a 3 

4 

c kết qu 

B. a 3 

2 

C. a 5 

2 

D. a 2 

2 

Câu 51: ă ụ A A’ ’ ’ A ữa hai mặt ph ng 

A’ ) A ) ng 

A’ ’ ’) c kết qu 

0 

60 . Tính theo a kho ng cách giữa hai mặt ph ng (ABC) và 

A. 3a 2 

B. a 2 

C. 

3a 

2 

D. 5a 2 

Câu 52: ă ụ ABCD.A 

1B1C 1D 1 

A ữ nh t. AB = a, AD a 3 . 

Hình chiếu vuông góc c ểm A 

1 

trên mặt ph ng (ABCD) trùng v 

ểm AC và BD. 


Góc giữa hai mặt ph ng ADDA và (ABCD) b ng 

mặt ph ng A BD 

A. a 2 

2 

1 

 

B. a 3 

2 

1 

c kết qu 

C. a 2 

0 

60 . Tính kho ng cách từ ểm B 

1 

ến 

D. a 5 

2 

Câu 53: S A A nh a, c nh bên SA vuông góc 

v 

0 

BAD 120 M ểm c nh BC và 


0 

SMA 45 . Tính theo a kho ng cách từ 

A. a 6 

2 

B. a 6 

4 

C. a 5 

4 

D. a 3 

4 

Câu 54: S A A u, SAB ABC , SA SB, I là 

ể A Đ ể ỉnh c a hình chóp thu ờng th ng nào 

A. ờng th d // SI d q M ểm BC 

B. ờng th d // SI d q ng tâm tam giác ABC 

C. ờng th ng SB 

D. ờng th ng SC 

Câu 55: ă ụ ABC.A'B'C' A u c nh a, AA’ = 2a và 

ờng th ng AA’ t o v i mặt ph ng (ABC) m t góc b ng 


0 

60 . Tính theo a kho ng cách từ D 

A. 2 B. 3a C. a 3 D. a 5 


SAB ABC , SA SB I ể S K ểm SI . Góc giữa 2 mặt ph ng 

(SAC) và (SBC) là: 

A. góc ASB B. góc AKB C. góc ACB D. góc AIB 

Câu 57: S A A i B, AB = a, SA vuông 

góc v i mặt ph ng (ABC), góc giữa hai mặt ph ng (SBC) và (ABC) b ng 

0 

30 . G i M là 

ểm c a c nh SC.Tính kho ng cách từ ể M ến mặt ph ng (SAB) theo a b ng 

A. 1 a 

3 

B. 1 a 

4 

C. a D. 1 a 

2 


Câu 58: S A A i A, AB a 2 ; 

SA = SB = SC. Góc giữ 

ờng th ng SA và mặt ph ng (ABC) b ng 

kho ng cách từ ể S ến mặt ph A ) c kết qu 

0 

60 . Tính theo a 

A. a 3 

3 

B. a 2 C. a 3 D. a 2 

2 


v K t là hình chiếu c a A lên SI, SD. M, N l ểm c a SB, 

AD. Kí hiệu d MN,SI là kho ng cách giữ ờng th ng MN và SI. Kh nh nào sau 

ú 

A. dMN,SI 

1 

AK B. dMN,SI 

2 

1 

AI C. dMN,SI 

2 

1 

AB D. dMN,SI 

2 

1 

AH 

2 

Câu 60: S A A i A, 

SAB ABC , SA SB I ể A Đ ể ỉnh c a hình chóp thu c 

ờng th ng nào 

A. ờng th d // SI d q ng tâm tam giác ABC 

B. ờng th ng SB 

C. ờng th d // SI d q M ểm BC 

D. ờng th ng SC 

D NG 2: KHO NG CÁCH 

Câu 1: S A A nh a, SA ABCD 

SA 2a . Tính kho ng cách từ ể ến mp (SAC). 

A. a 2 

B. a 2 

3 

C. a 2 

4 

D. a 2 

2 

và 

Câu 2: S A A nh a, SA ABCD 

SA a 6 

. Tính kho ng cách từ A ến mặt ph ng (SBD). 

và 

A. a 78 

13 

B. a 78 

12 

C. a 78 

10 

D. a 78 

15 


Câu 3: S A nh a, mặ SA u 

và n m trong mặt ph ng vuông góc v i mặt ph T ng cách từ ểm A 


A. a 3 

7 

B. a 3 

5 

C. 3a D. a 3 

7 

Câu 4: S A O nh b ng a. Cho biết hai mặt 

bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc v A ) SA a 2 

mặt ph ng (SBD) b ng: 

A. a 10 

5 

B. a 5 

5 

C. a 2 

3 

. Kho ng cách từ A ến 

D. a 10 

15 

Câu 5: S A A ữ nh t SA ABCD 

AC 5a , AB 4a , SA a 3 . Tính kho ng cách từ A ến mặt ph ng ( SCD) 

A. 3a 4 

B. 2a 

3 

C. a 2 

D. 3a 2 

. Cho 

Câu 6: S A áy ABCD là hình chữ nh t v i 

 

 

AB a, AD 2a, SA ABCD và SA a . Kho ng cách từ A ến mặt ph ng (SBN). 

A. a 33 

33 

B. 

2a 33 

33 

C. 

4a 33 

33 

D. a 33 


Câu 7: Ch S A A ữ nh t. 

 

 

AB a 2, BC a, SB a 2, SB ABCD . G i H, K là hình chiếu c a B trên SA, SC. 

Tính kho ng cách từ 

A. a 6 

6 

ến mp(SBD). 

B. a 6 

4 

C. a 6 

3 

D. a 6 

2 

Câu 8: S A A ữ nh t, 

và SA ABCD 

AB a, AD a 3, SD a 7 

và SB. Tính kho ng cách từ S ến mặt ph ng (MND). 

. G i M, N l ểm c a SA 

A. a 2 

2 

B. a 3 

3 

C. a 3 

4 

D. a 3 

2 


Câu 9: S A A SA ặt 

ph A ) 

a 3 

SA T ữ ờ A S 

3 

A. a 3 

B. a 5 

C. a 4 

D. a 2 

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD 

nh a, c nh bên SA vuông góc v i 

mặt ph ng (ABCD), SA a 3 . Tính theo a kho ng cách giữ ờng th ng SB và AC. 

A. a 21 

7 

B. a 21 

3 

C. a 21 

21 

D. a 21 

2 

Câu 11: S A A ng c nh a tâm O, SA = a và SA 

vuông góc v K ng cách giữ ờng th ng SC và AD là 

A. a 2 

2 

B. a 3 

4 

C. a 2 

3 

D. a 3 

2 

Câu 12: S A A là hình vuông c nh a tâm O,SA = a và SA 

vuông góc v K ng cách giữ ờng th ng SB và CD là 

A. a 2 

2 

B. a 3 

4 

C. a 2 

3 

Câu 13: S A A ữ nh t, 

và SA ABCD 

AB a, AD a 3, SD a 7 

và SB. Tính kho ng cách từ S ến mặt ph ng (MND). 

D. a 

. G i M, N l ểm c a SA 

A. a 2 

2 

B. a 3 

3 

C. a 3 

4 

D. a 3 

2 

Câu 14: S A A nh a, SA a 3 và SA 

vuông góc v i mặt ph ng (ABCD). Tính kho ng cách giữ 

(SBC). 

A. a 3 

3 

B. a 3 

2 

C. a 3 

4 

ờng th ng AD và mặt ph ng 

D. a 3 

Câu 15: S A A ết r ng tứ diện SABD là tứ 

diệ u c nh a. Kho ng cách giữ ờng th ng BD và SC là 


A. a 3 

4 

B. 3a 3 

4 

C. a 3 

3 

D. a 3 

2 

Câu 16: S A i A và B v i AB = BC = a, 

AD = 2a, SA ABCD 

A. a 3 

4 

và SA = a. Kho ng cách giữ ờng th ng SB và CD là 

B. 3a 3 

4 

C. a 3 

3 

D. a 3 

2 

Câu 17: S A i A và B v i AB = BC = a, 

AD = 2a, SA ABCD 

và SA = a. Kho ng cách giữ ờng th ng AC và SD là 

A. a 2 

6 

B. a 6 

3 

C. a 2 

9 

D. a 3 

3 

Câu 18: S A nh a, SA a 3 và SA vuông góc 

v i mặt ph T ng cách từ ể A ến (SBD). 

A. a 21 

3 

B. a 21 

21 

C. a 21 

7 

D. a 7

Đề cương Toán 11 năm học 2017 - 2018 trường THPT Hùng Vương - Thái Bình - Có đáp án

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?