PREVIEW RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11-THPT (2018)

BỘ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀ O TAỌ
TRƢỜ NG ĐAỊ HỌC TÂY BẮ C
NGUYỄN THI ̣THU TRANG
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢƠṆG GIÁ C LỚ P 11-THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA, NĂM 2018

BỘ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀ O TAỌ
TRƢỜ NG ĐAỊ HỌC TÂY BẮ C
NGUYỄN THI ̣THU TRANG
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢƠṆG GIÁ C LỚ P 11-THPT
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: Ths. Doãn Mai Hoa
SƠN LA, NĂM 2018

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
LỜ I CẢ M ƠN
Trong quá triǹh thực hiêṇ khóa luâṇ , em đã nhâṇ được sự hướ ng dâñ tâ ̣ n tiǹh
của GV Ths. Doãn Mai Hoa, sự giúp đỡ và taọ điều kiêṇ của thầy cùng vớ i các em học
sinh trường THPT. Đồng thời, viê ̣c hoàn thành khóa luâṇ nhâṇ được sự giúp đỡ taọ
điều kiêṇ thuâṇ lơị về cơ sở vât ̣ chất , tài liệu,Thư viên và môt ̣ số phòng ban trực thuô ̣c
trườ ng Đai ̣ học Tây Bắc.
Nhân di ̣p này cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo,
các đơn vị nói trên về sự ủng hộ và những đóng góp ý kiến giúp đỡ quý báu đó.
Em xin chân thành cảm ơn !
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Ngƣời thƣ̣c hiêṇ
Nguyêñ Thi Ṭhu Trang
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
MỤC LỤC
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
MỞ ĐẦ U ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn khóa luận ...................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
2.2. Nhiêṃ vu ̣ nghiên cứ u .................................................................................. 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứ u ................................................................................ 2
5. Cấu trúc của khóa luâṇ ................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUÂṆ VÀ THƢ̣C TIỄN ....................................... 3
1.1 Mộ t số khái niêṃ .......................................................................................... 3
1.1.1. Kỹ năng .................................................................................................... 3
1.1.2. Kỹ năng phân tích giải bài tập toán ........................................................... 3
1.2. Phương pháp kỹ năng phân tićh trong tìm lờ i giải bài toán: ......................... 4
1.3. Phương triǹh lươṇg giác trong chương triǹh lớ p11-THPT ........................... 5
1.3.1. Phương triǹh lươṇg giác cơ bản. ............................................................... 6
1.3.2. Mộ t số daṇg phương triǹh lươṇg giác tổng hợp có thuât ̣ giải: ................... 7
1.4. Thực traṇg của viê ̣c daỵ và học kỹ năng phân tićh giải phương triǹh lươṇg
giác của học sinh lớp 11-THPT .......................................................................... 7
1.4.1. Đối với giáo viên: ..................................................................................... 7
1.4.2. Đối với học sinh ....................................................................................... 8
CHƢƠNG 2: MÔṬ SỐ BIÊṆ PHÁ P RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢƠṆG GIÁ C CHO HỌC SINH LỚ P 11 ............ 9
2.1. Nguyên tắc rèn luyêṇ kỹ phân tićh năng giải phương triǹh lươṇg giác lớ 11: p .... 9
2.2. Rèn luyện kỹ năng phân tićh mộ t số phương triǹh lươṇg giác............................... 9
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
CHƢƠNG 3: THƢ̣C NGHIÊṂ SƢ PHAṂ .................................................. 41
1) Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 41
2) Nộ i dung thực nghiêṃ .................................................................................. 41
3) Phương pháp thực nghiêṃ............................................................................ 41
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
4) Tổ chứ c thực nghiêṃ ................................................................................... 41
5) Tiến triǹh thực nghiêṃ ................................................................................. 41
6) Kết quả rút ra từ thực nghiêṃ ....................................................................... 42
KẾ T LUÂṆ ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 44
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
DANH MỤC VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Từ và các cụm từ viết tắt
THPT
PTLG
TH
HS
GV
VD
SGK
NXB
Từ và các cụm từ đầy đủ
Trung học phổ thông
Phương trình lượng giác
Trường hợp
Học sinh
Giáo viên
Ví dụ
Sách giáo khoa
Nhà xuất bản
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
1. Lí do chọn khóa luận
MỞ ĐẦ U
Phương triǹh lươṇg giác là môt ̣ trong những nôi ̣ dung quan troṇg trong chươn g
trình toán phổ thông và luôn có mặt trong đề thi đại học, cao đẳng.
Do vâỵ, tổ chứ c có hiêụ quả viê ̣c daỵ ho ̣c lươṇg giác nói chung
trình lượng giác nói riêng có vai trò tác động
sinh.Phương triǹh lươṇg giác rất đa daṇg và phong phú
, giải phương
trực tiếp đến kết quả học tâ ̣p của ho ̣c
, để giải được chúng đòi hỏi
phải nắm vững được công thức , các phương trình lượng giác cơ bản và điều quan
trọng nhất là phải có kĩ năng phân tích giải phương triǹh lươṇg giác.
Rèn luyện kĩ năng phân tích giải phương trình lượng giác vừa là mục đích , vừ a
là phương tiện làm cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản
, rèn luyện kĩ năng suy
luâṇ toán ho ̣c, tính toán và rèn luyện c ác phẩm chất tư duy : tư duy linh hoat ̣ , đô ̣c lâ ̣p,
sáng tạo, chính xác, cẩn thâṇ…góp phần phát triển năng lực toán ho ̣c cho ho ̣c sinh.
Thực tế daỵ ho ̣c nhằm rèn luyêṇ kỹ năng phân tićh cho ho ̣c sinh trong giải bài
tâ ̣p lươṇg giác ở lớp 11-THPT Mườ ng Bi còn có những haṇ chế. Do kỹ năng phân tićh
trong các bướ c giải bài tâ ̣p phương triǹh lươṇg giác có tầm quan troṇg: Không chỉ giúp
học sinh nhìn thấy kiến thức về phương trình lượng giác liên quan đến
kiến thứ c về
phương triǹh đai ̣ số ; liên quan đến kiến thứ c về hiǹh ho ̣c ; các quan hệ giữa các đại
lươṇg hiǹh ho ̣c…Do đó nhằm giúp ho ̣c sinh lớ p 11-THPT có nhâṇ thứ c toàn diêṇ, đầy
đủ về kỹ năng phân tićh trong giải phương tr
ình lượng giác tác giả l ựa chọn viê ̣c
nghiên cứ u: “Rèn luyêṇ kĩ năng phân tićh giải môt ̣ số phương triǹh lươṇg giác lớ p 11-
THPT”, nhằm đề ra môt ̣ vài suy nghĩ về viê ̣c nâng cao chất lươṇg daỵ ho ̣c phương
trình lượng giác lớp 11-THPT.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứ u đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích trong giải
phương triǹh lươṇg giác cho ho ̣c sinh lớ p 11, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và
học giải toán phương triǹh ở THPT.
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2.2. Nhiêṃ vu ̣nghiên cƣ́ u
Nghiên cứ u lí luận có liên quankỹ năng phân tích trong giải phương trình lượng giác .
Tìm hiểu về thực trạng việc rèn luyện kỹ năng phân tích giải phương trình
lươṇg giác của học sinh lớp 11-THPT.
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đề xuất môt ̣ số biêṇ pháp nhằm rèn luyêṇ kỹ năng phân tích trong giải một số
phương triǹh lươṇg giác.
Thử nghiêṃ sư phaṃ .
3. Đối tƣơṇg, phạm vi nghiên cứu
- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán học.
- Môt ̣ số phương triǹh lươṇg giác lớ p 11-THPT.
4. Phƣơng phá p nghiên cƣ́ u
- Phương pháp nghiên cứ u lí luâṇ.
- Phương pháp quan sát- điều tra.
- Phương pháp thử nghiêṃ sư phaṃ.
5. Cấ u trú c củ a khó a luâṇ
Ngoài phần mở đầu và kết luâṇ Khóa luâṇ gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luâṇ và thực tiêñ.
Chương 2: Môt ̣ số biêṇ pháp r èn luyện kỹ năng phân tích giải phương trình
lươṇg giác cho ho ̣c sinh lớ p 11 THPT.
Chương 3: Thử nghiêṃ sư phaṃ.
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
1.1 Môt ̣ số khá i niêṃ
1.1.1. Kỹ năng
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUÂṆ VÀ THƢ̣C TIỄN
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng . Những điṇh nghĩa này thườ ng
bắt nguồn từ góc nhiǹ chuyên môn và quan niêṃ cá nhân của từ ng ngườ i. Ví dụ như:
- Theo tâm lý ho ̣c kỹ năng là khả năng thực hiêṇ có kết quả môt ̣ hành đôṇg nào
đó theo môt ̣ mu ̣c đićh trong những điều kiêṇ nhất điṇh.
- Kỹ năng là khả năng con người trong việc vận dụng kiến thức để thực hiêṇ môt
̣
nhiêṃ vu ̣nghề nghiê ̣p mang tińh kỹ thuât ̣ , giải quyết vấn đề tổ chức , quản lý và giao
tiếp…
Hiểu môt ̣ cách chung nhất: kỹ năng là khả năng thực hiêṇ môt ̣ hành đôṇg hay môt
̣
hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, cách thức hành động
đúng đắn để đat ̣ được mu ̣c đićh đề ra.
1.1.2. Kỹ năng phân tích giải bài tập toán
- Kỹ năng giải bài tập là khả năng thực hiện giải bài toán nào đó bằng cách lưạ
chọn và vâṇ duṇg các kiến thứ c toán ho ̣c để giải bài toán.
- Kỹ năng phân tích có thể coi là một trong những kỹ năng quan trọng mà bạn
không được daỵ qua bất kỳ môt ̣ trườ ng lớ p nào cả . Kỹ năng này bao gồm : tư duy về
trực quan, tư duy phản biêṇ và khả năng thu thâ ̣p và xử lý thông tin.
- Kỹ năng phân tićh giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử
dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Môt ̣ ho ̣c sinh có kỹ năng phân tićh khi giải bài toán sẽ xác định được hướng giải
đúng, trình bài lời giải một cách logic, chính xác trong một thời gian nhất định.
a) Các mức độ của kỹ năng phân tích
Trong toán ho ̣c có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tâ ̣p toán học:
- Kỹ năng phân tićh giải bài tập toán cơ bản
- Kỹ năng phân tićh giải bài tập toán tổng hợp
b) Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để phân tićh giải những bài tập toán
cơ bản, từ đó hiǹh thành cho học sinh các thao tác cơ bản như: Viết các đai ̣ lươṇg theo
ngôn ngữ toán ho ̣c , viết chińh xác công thứ c
, ký hiệu , tính gi á trị dựa vào công
thứ c…viê ̣c hiǹh thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoaṇ này là phân tićh giải bài tập mẫu
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
cụ thể để học sinh biết được thao tác phân tićh giải một bà i tâ ̣p toán cơ bản (có thể
giáo viên triǹh bày)
Giai đoạn 2: Học sinh vâṇ duṇg kiến thứ c để phân tićh bài tập toán cơ bản qua
đó hiǹh thành kỹ năng riêng rẽ gắn vớ i các bài cơ bản . Viê ̣c hiǹh thành kỹ năng riêng
rẽ của giai đoạn này là : Luyêṇ tâ ̣p phân tićh giải một số bài t ập toán học tương tự bài
mâũ nhằm giúp ho ̣c sinh nắm được sơ đồ điṇh hướ ng giải môt ̣ bài tâ ̣p toán cơ bản.
Giai đoaṇ 3: Hình thành kỹ năng phân tićh giải bài tập tổng hợp thông qua việc
cho ho ̣c sinh phân tićh giải những bài tâ ̣p tổng hợp phứ c ta ̣p, đa daṇg hơn.
Muốn hiǹh thành kỹ năng phân tićh giải b ài toán cần nắm được vững vàng
những kiến thứ c đã ho ̣c trướ c đó có liên quan đến bài toán.
Sự phân chia chỉ là tương đối , trong hê ̣thống các kĩ năng đều có mối liên hê ̣
mât ̣ thiết vớ i nhau, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược lại.
b) Con đƣờng hiǹh thành kỹ năng phân tích giải bài tâ ̣p
Theo lý luâṇ daỵ ho ̣c thì kỹ năng hiǹh thành được do tâ ̣p luyê ̣ n mà nên, do đó
có thể hình thành kỹ năng phân tích bằng nhiều cách thức khác nhau:
Luyêṇ tâ ̣p theo mâũ : Cho ho ̣c sinh phân tićh giải bài toán bài tâ ̣p tương tự bài
tâ ̣p mâũ. Viê ̣c luyêṇ tâ ̣p tiến hành ngay trong tiết ho ̣c cũng có thể len lỏi qua một số
bài tập về nhà.Viê ̣c daỵ ho ̣c sinh kỹ năng phân tićh đề là rất quan trọng, giúp học sinh
điṇh hướ ng môt ̣ cách đúng đắn nhất để đưa ra cách giải cho môt ̣ bài toán cu ̣thể .
Luyêṇ tâ ̣p không theo mâũ : cho ho ̣c sinh luyêṇ tâ ̣p khi những điều kiêṇ và yêu
cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phứ c ta ̣p . Hê ̣thống các bài tâ ̣p sắp xếp
từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển kỹ năng dần dần nâng cao.
Luyêṇ tâ ̣p thườ ng xuyên: kỹ năng phân tićh phải được hình thành cho học sinh
môt ̣ cách thành thaọ vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích
trong tiết ho ̣c, trong hoat ̣ đôṇg ho ̣c ở nhà.
1.2. Phƣơng phá p kỹ năng phân tích trong tìm lời giải bài toán
Kỹ năng phân tićh chung, cũng tuân theo bốn bướ c sau:
Bƣớ c 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (Phân tićh đề bài)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Phát biểu đề bài ở những dạng khác nhau để hiểu rõ, hiểu sâu nôi ̣ dung bài toán
Phân biêt ̣ được cái đã biết(giả thiết) và cái cần phải tìm, phải chứng minh (kết luâṇ)
Xét xem chúng đã ở dạng tổng quát nào chưa nếu rồi thì thực hiện giải theo cách
giải của dạng nó, nếu chưa thì tìm cách biến đổi đưa về môt ̣ daṇg đã biết hướ ng giải
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
(Có thể dùng công thức , kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ trong việc diễn tả phân tích
mô phỏng bài toán môt ̣ cách rõ ràng nhất có thể)
Bƣớ c 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tińh chất tìm đoán : biến đổi
cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứ ng minh ; và liên hệ chúng với những tri
thứ c đã biết; liên hê ̣bài toán vớ i môt ̣ bài toán tương tự, môt ̣ bài bài toán tổng quá t hơn
hay môt ̣ bài toán có liên quan.
Sử duṇg những phương pháp đă ̣c thù vớ i từ ng daṇg bài toán như : quy na ̣p toán
học, chứ ng minh phản chứ ng, toán dựng hình…
Kiểm tra bài toán bằng cách xem kỹ từ ng bướ c hoă ̣c đối chiếu vớ i môt ̣ số kết
quả có liên quan…
Tìm ra những cách giải khác nhau rồi so sánh chúng
nhất cho bài toán.
Bƣớ c 3: Trình bày lời giải
, tìm ra cách giải tối ưu
Từ viê ̣c đã biết được cách giải , ta sắp xếp thành môt ̣ quy triǹh giả
bướ c theo triǹh tự thićh hợp và thực hiêṇ lần lươṭ các bướ c đó
( đảm bảo được tińh đúng, logic, chính xác..)
Bƣớ c 4: Nghiên cứ u sâu lờ i giải
i gồm các
Nghiên cứ u giải những bài toán tương tự, mở rôṇg hay lât ̣ ngược vấn đề; nghiên
cứ u khả năng ứ ng duṇg kết quả của lờ i giải.
Lƣu ý: Chú trọng nhất là bước1 phân tićh đề bài; vì chỉ có thể hiểu rõ hiểu sâu bài
toán, nắm được bài toán cho cáigì và phải tìm cái gì để từ đó ta mới đi tìm cách giải
Như vâỵ, ta thấy viê ̣c phân tićh đề bài là bước quan trọng nhất để giải quyết một
bài toán nào đó . Nó giúp ta định hướng tìm được nhanh chóng cách giải bài toán môt
cách dễ ràng hơn.
1.3. Phƣơng triǹh lƣơṇg giá c trong chƣơng triǹh lớ p11-THPT
Phương triǹh lươṇg giác được trình bày ở chương I của sách giáo khoa Đai ̣ số
và giải tích 11 vớ i 20 tiết gồm các nôi ̣ dung sau:
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1: Hàm số lượng giác(8 tiết)
2 : Phương triǹh lươṇg giác cơ bản(4 tiết)
3: Môt ̣ số hê ̣phương triǹh lươṇg giác thườ ng gă ̣p (8tiết)
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
giác.
- Phương triǹh lươṇg giác là phương triǹh chứ a môt ̣ hay nhiều hàm số lươṇg
- Giải ph ương triǹh lươṇg giác là tìm tất cả các giá tri ̣của ẩn số thỏa mãn
phương triǹh đã cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc
bằng đô.
̣
Trong thực tế , có nhiều bài toán dẫn đến việc giải c
trong các daṇg sau: sin x m,cos x m,tan x m,cot x m.
(trong đó: x là ẩn số và m là hằng số cho trướ c ).
Đó chińh là phương triǹh lươṇg giác cơ bản.
1.3.1. Phƣơng triǹh lƣơṇg giá c cơ bản
*Dạng1: Phương triǹh sin x m (1)
Cách giải:
Để giải và biện luâṇ phương triǹh (1) ta thực hiêṇ các bướ c sau:
Bướ c1: Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm.
Bướ c2: Nếu m 1 thì có hai trường hợp xảy ra:
+TH1: Nếu m biểu diêñ qua sin của các cung đă ̣c biêt.
̣
+TH2: Nếu m không biểu diêñ qua sin của các cung đă ̣c biêt.
̣
*Dạng2: Phương triǹh cosx m (2)
Cách giải:
ác phương trình có một
Để giải và biện luâṇ phương triǹh (2) ta thực hiêṇ theo các bước sau:
Bướ c1: Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm.
Bướ c2: Nếu m 1 thì có hai trường hợp xảy ra:
+TH1: Nếu m biểu diêñ qua cos của các cung đă ̣c biêt.
̣
+TH2: Nếu m không biểu diêñ qua cos của các cung đă ̣c biêt.
̣
* Dạng3: Phương triǹh tan x m (3)
Cách giải:
Để giải và biêṇ luâṇ phương triǹh (3) ta thực hiêṇ theo các bướ c sau:
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Bướ c1: Phân tićh đă ̣c điểm của bài toán ta đăt ̣ điều kiêṇ:
cos x 0 x k
,( k Z)
.
2
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
6
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
nghiêṃ.)
nghiêṃ.)
Bướ c2: Xét 2 trườ ng hợp xảy ra:
+TH1: Nếu m biểu diêñ qua tan của các cung đă ̣c biêt.
̣
+TH2: Nếu m không biểu diêñ qua tan của các cung đă ̣c biêt.
̣
(Nhâṇ xét : Với mọi giá trị của tham số m thì phương trình
* Dạng 4: Phương triǹh cot x m (4)
Cách giải:
Để giải và biêṇ luâṇ phương triǹh (4) ta thực hiêṇ theo các bướ c sau:
Bướ c1: Đặt điều kiện:
sin x 0 x k,( k Z)
.
Bướ c2: Xét 2 trườ ng hợp xảy ra:
+TH1: Nếu m biểu diêñ qua cot của các cung đă ̣c biêt.
̣
+TH2: Nếu m không biểu diêñ qua cot của các cung đă ̣c biêt.
̣
(Nhâṇ xét : Vớ i moi ̣ giá tri ̣của tham số m thì ph
1.3.2. Môt ̣ số daṇg phƣơng triǹh lƣơṇg giá c tổng hơ ̣p có thuât ̣ giải
* Phƣơng triǹh bâ ̣c nhấ t đố i vớ i môt ̣ hàm số lƣơṇg giá c
* Phƣơng triǹh bâ ̣c hai đố i vớ i môt ̣ hàm số lƣơṇg giá c
* Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
* Phƣơng triǹh đố i xƣ́ ng vớ i sinx và cosx
(3) luôn luôn có
ương triǹh (4) luôn luôn có
1.4. Thƣ̣c traṇg củ a viê ̣c daỵ và ho ̣c kỹ năng phân tích giải phƣơng triǹh lƣơṇg
giác của học sinh lớp 11-THPT
Để tìm hiểu thực traṇg viê ̣c daỵ và ho ̣c ở trườ ng THPT Mườ ng Bi, tôi tiến hành
điều tra hai đối tươṇg là giáo viên và ho ̣c sinh trườ ng THPT Mườ ng Bi như sau:
- Giáo viên: trườ ng THPT Mườ ng Bi
- Học sinh: lớ p 11A1 và 11A2.
1.4.1. Đối với giáo viên
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
7
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Số
lƣơṇg
giáo
viên
Bảng1: Đội ngũ giáo viên của trƣờng.
Tuổi nghề (năm) Hê ̣đào taọ Chấ t lƣơṇg GV
1-10 10 - 20 Trên 20 CĐ ĐH Trên ĐH G K TB
12 3 5 4 0 11 1 4 8 0
1.4.2. Đối với học sinh
Qua bảng điều tra ta thấy đ a số các ho ̣c sinh trong trườ ng có phương pháp ho ̣c
tâ ̣p truyền thống ít mang lai ̣ hứ ng thú ho ̣c tâ ̣p . Phần lớ n các em đêu biết làm và cũng
có kỹ năng mềm dẻo , linh hoat, ̣ sáng tạo. Do đó , giáo viên cần nắm bắt tình hình học
sinh để có thể hướ ng dâñ kỹ hơn môt ̣ số kỹ năng giải PTLG cho các em như : Kỹ năng
phân tićh, suy luâṇ,…để các em hiểu sâu và vâṇ duṇg giải các bài toán phứ c ta ̣ p hơn
cũng có thể làm được.
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
8
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
CHƢƠNG 2
MÔṬ SỐ BIÊṆ PHÁ P RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH LƢƠṆG GIÁ C CHO HỌC SINH LỚ P 11
2.1. Nguyên tắ c rèn luyêṇ kỹ phân tích năng giải phƣơng triǹh lƣơṇg giá c lớ p 11
Để rèn luyêṇ kỹ năng phân tićh giải PTLG c ần dựa vào mức độ và trình độ kỹ
năng phân tićh giải bài tâ ̣p toán ho ̣c.
- Rèn luyện kỹ năng phân tíc h giải PTLG ở các nôi ̣ duṇg : phương triǹh lươṇg
giác cơ bản, và phương trình lượng giác tổng hợp có thuật giải.
2.2. Rèn luyện kỹ năng phân tích một số phƣơng trình lƣợng giác tích hợp
* Môt ̣ số ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải
*) Phân tích tìm hƣớng giải
sin x 2sin xcos x 2cos x (*)
2
2 2 1
2 1
cos2x
sin x
Cách 1: Sử duṇg công thứ c ha ̣bâ ̣c:
2 và
Từ đó ta có:
2 1
cos2x
cos x
2
2 2 1 1cos2x
1cos2x
1
sin x 2sin xcos x 2cos x sin 2x
2
2 2 2 2
2sin2x 3cos2x 2 (**)
Giải (**) tìm nghiệm.
Cách 2: -Đánh giá cosx=0 xem có thỏa mãn phương triǹh hay không,
- Nếu cos x 0 chia cả 2 vế cho
trình bậc hai đối với tanx. Khi đó phương triǹh (*) trở thành:
2
cos x , ta đưa phương triǹh về daṇg phương
2 2
sin x 2sin xcos x 2cos x 1
2 2 2 2
cos x cos x cos x 2cos x
2 1
2
tan x 2tan x 2 (1 tan x)
2
2
tan x 4tan x 5 0
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giải phương trình này ta được tìm nghiệm.
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
9
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
*) Phân tích xây dƣṇg chƣơng triǹh giải
2 1
cos2x
Cách 1: Sử duṇg công thứ c ha ̣bâ ̣c: sin x và
2
Khi đó (*):
Đặt :
sin x 2sin xcos x 2cos x
2
1cos2x
1cos2x
1
sin 2x
2
2 2 2
2sin 2x 3cos2x
2
2 3
cos t ,sint
13 13
2 2 1
2 3 2
sin 2x cos2x
13 13 13
2 1
cos2x
cos x
2
sin(2 x t) cost sin( t)
2
2x t t k2
x k
2
4
,( k
Z)
2x t t k2 x t k ,(0 t )
2
4
Cách 2:
Xét với: cos x 0 sin
x (Vô lý), vì: sin x cos x 1
2
2
2 1
Vâỵ cos x 0. Chia cả 2 vế cho
Vì a+b+c=0 , Khi đó:
2
cos x , ta được:
2 2
sin 2sin cos 2cos 1
2 2 1
x x x x
2 2 2 2
cos x cos x cos x 2cos x
2 1
2
tan x 2tan x 2 (1 tan x)
2
2
tan x 4tan x 5 0
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x k
,( k Z)
tan x 1 4
,( k
Z)
tan x 5
x k ,( )
2 2
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
10
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
*) Phân tích trong thƣ̣c hiêṇ chƣơng triǹh giải
Ta có:
Đặt :
sin x 2sin xcos x 2cos x
2
1cos2x
1cos2x
1
sin 2x
2
2 2 2
2sin 2x 3cos2x
2
2 3
cos t ,sint
13 13
2 2 1
2 3 2
sin 2x cos2x
13 13 13
sin(2 x t) cost sin( t)
2
2x t t k2
x k
2
4
,( k
Z)
2x t t k2 x t k ,(0 t )
2
4
Kết luâṇ: Vâỵ phương triǹh có nghiêṃ là:
x k
,( k Z)
và x k ,( ) ( k
Z)
4
2 2
*) Phân tích nghiên cứu sâu lời giải
- Cách khác:
2 2 2 2
+ Sử duṇg hằng đẳng thứ c sin x cos x 1 sin x 1
cos x
Khi đó phương triǹh (*) lúc này trở thành:
2 2 1
(1 cos x) 2sin xcos x 2cos x
2
2
1
3cos x 2sin xcos
x
2
2
Ta thấy cos x 0. Nên ta chia cả 2 vế cho cos x ta đưa về phương triǹh bâ ̣c
hai đối vớ i tanx. Giải phương trình đó tìm nghiệm.
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
- Sáng tạo bài toán mới : Sử duṇg các hằng đẳng thứ c sau:
1 1
1 tan cos
2 2
x x 2 2
cos x 1 tan x
,
2 1 2 1
x in x
2
2
1 cot s
sin x 1 cot
x
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
11
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
2tan x
và công thức nhân đôi sin 2x
2
1 tan x
Từ đó phương triǹh (*) ban đầu:
sin x 2sin xcos x 2cos x
2
2 2 1
1 2 1
sin 2x
2 2
1cot x 1tan x 2
1 2tan x 2 1
2 2 2
1 cot x 1 tan x 1
tan x 2
1 2(tan x 2) 1
2 2
1cot x 1tan x 2
1 2(tan x 2) 1
Ta có bài toán mớ i sau:
2 2
1cot x 1tan x 2
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải
*) Phân tích tìm lời giải
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x) 0 (*)
6 6
Đây là phương triǹh lươṇg giác chứ a cả hàm sin và cos
Cách 1: Ta đưa về daṇg cơ bản cotx.
Phương tiǹh (*)
-Đặt điều kiện:
Chia cả 2 vế của (*) cho
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
.
6 6
5 5
sin( 2 x) 0 x k ,( k Z)
(1)
6 12 2
5 sin( 2 x)
, khi đó:
6
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
6 6
5
3cos( 2 x)
6 1
5
sin( 2 x)
6
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5
5
1
3cot( 2 x) 1 cot( 2 x)
,
6 6 3
- Giải tìm nghiệm, kết hợp vớ i điều kiêṇ (2) rồi kết luâṇ nghiêṃ.
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
12
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Cách 2: Ta đưa về daṇg cơ bản tanx.
Phương tiǹh (*)
- Đặt điều kiện:
Chia cả 2 vế của (*) cho
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
.
6 6
5
cos( 2 x) 0 x k ,( k Z ) (2)
6 6 2
5 cos( 2 x)
, khi đó:
6
5
sin( 2 x)
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
6 3
6 6
5
cos( 2 x)
6
5
tan( 2 x) 3
6
- Giải tìm nghiệm, kết hợp vớ i điều kiêṇ (2) rồi kết luâṇ nghiêṃ.
*) Phân tích xây dƣṇg chƣơng triǹh giải
Cách 1: Là phương triǹh lươṇg giác chứ a cả hàm sin và cos , ta đưa về phương
trình cơ bản của hàm cot để giải.
Phương tiǹh (*)
Đặt điều kiện:
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
.
6 6
5
5
( 2 x) 0 2 x k,( k Z)
6 6
(1*)
5 5
2 x k
,( k Z) x k ,( k Z)
6 12 2
- Chia cả 2 vế của (*) cho
Mà:
5 sin( 2 x)
, khi đó:
6
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
6 6
5
3cos( 2 x)
6 1
(1*)
5
sin( 2 x)
6
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5
cos( 2 x)
5
cot( 2 x)
6 , nên phương triǹh (1*) trở thành:
6
5
sin( 2 x)
6
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
13
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
5
5
1
3cot( 2 x) 1 cot( 2 x)
(**)
6 6 3
- Giải phương trình (**): (Ta thấy:
2 1
cot ) 3 3
Ta đã đưa pt (**) về đúng daṇg phương triǹh cơ bản của cot, áp dụng công thức
nghiêṃ để giải.
Khi đó: Phương triǹh (**):
5 1
cot( 2 x)
6 3
5
2
2 x k
,( k Z)
6 3
2
5
2 x k
,( k Z)
3 6
2 x k
,( k Z)
6
x k ,( k Z)
12 2
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*), thỏa mãn.
KL: Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là: x k ,( k Z)
12 2
*) Phân tích trong thƣ̣c hiêṇ chƣơng triǹh giải
Ta có:
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x) 0
6 6
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
.
6 6
Vớ i: 5
( 2 ) 0 5
x x k ,( k Z)
(1*). Chia cả 2 vế của (*) cho
6 12 2
5 sin( 2 x)
, khi đó:
6
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x)
6 6
5
3cos( 2 x)
6 5
1
1
cot( 2 x)
5
sin( 2 x)
6 3
6
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
14
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
5
2
2 x k
,( k Z)
6 3
2
5
2 x k
,( k Z)
3 6
2 x k
,( k Z)
6
x k ,( k Z)
12 2
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*) thỏa mãn.
KL: Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là: x k ,( k Z)
12 2
*) Phân tích nghiên cƣ́ u sâu lời giải
- Cách khác : (Sử duṇg phương pháp giải của phương triǹh bâ ̣c nhất đối vớ i
sinx và cosx.)
Ta thấy: (*) có pt dạng:
5
5
3cos( 2 x) sin( 2 x) 0 , nên
6 6
+Ta chia cả hai vế phương triǹh (*) cho 2, ta được:
+ Lại có:
3 5
1 5
cos( 2 x) sin( 2 x) 0 (**)
2 6 2 6
3 1
sin và cos thay (**) ta được:
3 2 3 2
5 5
sin cos( 2 x) cos sin( 2 x) 0 (3*)
3 6 3 6
+ Theo công thứ c côṇg: sin( a b) sin acos b cos asin
b ,
Nên:
trình (*).)
5 5 5
sin cos( 2 x) cos sin(
2 x) sin (
2 x)
3 6 3 6
3 6
Phương triǹh (3*)
(Áp dụng công thức nghiệm giải
- Sáng tạo bài toán mới
+ Áp dụng công thức cộng, ta có:
5 7
sin
( 2 x) 0 sin( 2 x) 0
3 6
6
(4*)
(4*) và đó cũng chình là nghiệm phương
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
15
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
5 5 5
3 1
cos( 2 x) cos cos2x sin sin 2x cos2x sin 2x,
6 6 6 2 2
5 5 5
1 3
sin( 2 x) sin cos2x cos sin 2x cos2x sin 2x
6 6 6 2 2
+Từ đó, thay vào (*) biến đổi thu goṇ ta được: 3sin2 xcos2 x
0
Vâỵ ta có bài toán mớ i:
Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải
*) Phân tích tìm lời giải
3sin2xcos2x 0 .
2
2sin x sin2x
0
(*)
Đây chưa phải là phương triǹh bâ ̣c nhất đối vớ i môt ̣ hàm lươṇg giác , nên ta sử
dụng các phép biến đổi lượng giác và công thức lượng giác để đưa chúng về daṇg đó.
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc
phương triǹh daṇg bâ ̣c nhất đối vớ i sin2x và cos2x.
Khi đó, phương triǹh (*) trở thành:
2 1
cos2x
sin x biến đổi (*), đưa về
2
1
cos2x
2 sin 2x
0 1 cos2x sin2x
0
2
Cách 2: Dùng công thức nhâ n đôi sin2x 2sin xcos
x biến đổi (*), đưa về
phương triǹh tićh. Khi đó, phương triǹh (*):
Cách 3: Biến đổi
2 2
sin x cos x 1
.
2
2sin xsin2x
0
2
2sin x 2sin xcos x 0
2sin x sin x cos x 0
2
2
sin x thành(1 cos x)
, dưạ vào hằng đẳng thứ c
2
Dâñ đến phương triǹh (*) trở thành phương triǹh : 2(1 cos x) sin2x 0,
biến đổi bằng cách thu goṇ ta được :
2
1 cos x sin xcos x 0
này là phương trình đẳng cấp bậc hai, đã có phương pháp giải.
(2*) _Phương triǹh
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
16
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
*) Phân tích xây dƣṇg chƣơng triǹh giải
Cách 1: Sử duṇg công thứ c ha ̣bâ ̣c biến đổi
trình (*) trở thành:
sin và cos.
1
cos2x
2 sin 2x
0
2
1 cos2x sin2x 0.(1)
2 1
cos2x
sin x , do đó phương
2
Hay: cos2xsin2x 1 (2). Ta thấy (2) ở dạng phương trình bậc nhất đối với
Ta có: cos2 x sin2 x 2sin 2
x , nên (2) 2 sin2x
1, rồi
4 4
chia cả 2 vế phương triǹh này cho
Ta thấy,
2 ta được:
1
sin2x
4 2
1
2 được biểu diêñ qua sin của 1
cung đă ̣c biêt ̣ là : sin 4 2
Phương triǹh (3) sin2x
sin
4
4
2x k2
x
k
4 4
( k
z)
x k
2x k2
4
4 4
x
k
Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là:
( k
z)
x k
4
Cách 2: Sử duṇg công thứ c nhân đôi biến đổi sin 2x=2sinxcosx, do đó phương
trình (*) trở thành:
2
2sin x 2sin xcos x 0
.(1)
-Ta thấy, VT của pt (1) có nhân tử chung là 2sinx,
Đặt sinx ra ngoài làm nhân tử chung, đưa về phương triǹh daṇg tićh
Do vâỵ, phương triǹh (1) x x x
+TH1: sin x 0 x k
( k z)
(3)
sin x 0
2sin sin cos 0
sin xcos x0
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+TH2: sin xcos x 0. (Đây là phương triǹh bâ ̣c nhất đối vớ i sinx, cosx)
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
17
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ta chia cả 2 vế cho
Mà:
phương triǹh hàm sin.
đẳng thứ c
2 ,ta được:
1 1
sin x cos x 0 (a)
2 2
1
sin cos
, Sử dụng công thức cộng đưa phương trình (a) về
4 4 2
Phương triǹh (a)
sin xcos cos xsin 0
4 4
sinx
0
4
x k
( k z)
4
x k
( k z)
4
x
k
Vâỵ pt (*) có nghiệm là:
( k
z)
x k
4
Cách 3: Sử duṇg công thứ c biến đổi
2 2
sin x cos x 1
2
sin x thành
2
(1 cos x)
, dưạ vào hằng
. Dâñ đến phương triǹh (*) trở thành phương triǹh
2
: 2(1 cos x) sin2x 0, biến đổi bằng cách thu goṇ ta được:
2
1 cos x sin xcos x 0
(2*) ( Xét 2TH: cosx=0 và cosx# 0)
TH1:cosx=0 .Khi đó pttt: (*) vô nghiêṃ
TH2: cosx# 0. Khi đó ta chia cả 2 vế pt(2*) cho
1 sin x
1 0 (3*)
2
cos x cos x
2
cos x ta được:
2 1 sin x
Sử duṇg các hằng đẳng thứ c: 1 tan x va tan x
2
cos x cos x
Khi đó pt(3*) trở thành:
2
(1 tan x) 1 tan x
0
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
tan x tan x 0
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
18
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
*) Phân tích trong thƣ̣c hiêṇ chƣơng triǹh giải
Ta có:
2
2sin xsin2x
0
1
cos2x
2 sin 2x
0
2
1 cos2x sin2x 0 cos2x sin2x
1
1
2 sin2x
1
sin2x
4 4 2
sin2x
sin
4
4
2x k2
x
k
4 4
( k
z)
x k
2x k2
4
4 4
x
k
Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là:
( k
z)
x k
4
*) Phân tích nghiên cứu sâu lời giải
Cách khác:
- Ta thấy: Sử duṇg công thứ c nhân đôi: sin2x 2sin xcos
x ,
Khi đó, PT(*):
- Ta xét hai trườ ng hợp:
2 2
2sin x sin2x 0 2sin x 2sin xcos x 0
(2*)
+TH1: sin x 0 x k,( k Z)
thay vào phương triǹh , nếu thỏa mãn thì
x k
,( k Z)
là nghiệm của phương trình. (1)
+TH2: sin x 0 x k,( k Z)
thì chia cả hai vế phương trình cho
ta được phương triǹh bâ ̣c nhất đối vớ i cotx.
( Chia cả 2 vế phương triǹh (2*) cho
2
2sin x 2sin xcos
x
0
2 2
sin x sin x
2
sin x , ta được:
cos x
1 0 cot x 1 x k,( k Z)
(2)
sin x
4
Từ (1) và (2) suy ra nghiêṃ pt (*) là:
2
sin x ,
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
19
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
- Sáng tạo bài toán mới
x k
,( k Z)
hoă ̣c x k
,( k Z)
4
(Sử dụng công thức theo sin của góc nhân ba:
3
3 sin3x
4sin x
sin3x 3sin x 4sin x sin x )
3
Khi đó bài toán thành bài toán mớ i sau:
Ví dụ 4: Giải phương trình
Giải
*) Phân tích tìm lời giải
3
8sin x 2sin3x 9sin2x
0
sin2x- 3cos2x=3 (*)
Cách 1: Ta đưa về phương triǹh cơ bản của hàm sin.
Ta thấy phương triǹh có daṇg: asinx+bcosx=c (a, b, cR) là dạng phương trình
bâ ̣c nhất đối vớ i sinx và cosx . Ở loại này ta đã có phương pháp giải . (Ktra điều kiêṇ:
2 2 2 2 2 2
a b c haya b c ? )
- Nếu
- Nếu
cho 10 ta được :
2 2 2
a b c
thì (*) vô nghiêṃ.
2 2 2
a b c
thì (*) có nghiệm. Khi đó , chia cả hai vế phương triǹh (*)
1 3 3
sin2x cos2 x
10 10 10
cos sin2x sin cos2x
sin
sin(2 x) sin x
x
k
Giải tìm được nghiệm là:
( kz)
x k
2
Cách 2: (Đưa phương triǹh về daṇg phương triǹh tićh )
- Ta có: sin2x3cos2x 3 (*)
sin2x 3 3cos2x sin2x 3(1 cos2 x)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
- Sử d ụng công thức hạ bậc :
công thứ c nhân đôi: sin2 x sin xcos
x
Khi đó phương triǹh (*) có dạng:
2 1
cos2x
2
cos x 1 cos2x 2cos x , và
2
2sin cos
2
x x 3.2cos x
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
20
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
được:
cos x(sin x 3cos x) 0
x
k
Giải tìm được nghiệm là:
( kz)
x k
2
*) Phân tích xây dƣṇg chƣơng triǹh giải
Cách 1:
-Kiểm tra điều kiêṇ:
Nếu
Nếu
2 2 2
a b c
thì (*) vô nghiêṃ
2 2 2
a b c
thì (*) có nghiệm
Từ pt(*) ta có: a=1, b=-3, c=3 . Suy ra:
Do đó: Phương triǹh (*) có nghiệm
-Ta chia cả 2 vế của phương triǹh (*) cho
1 3 3
sin 2x cos2x
10 10 10
Tathấy:
2 2 2 2 2 2
a b c (" vi 1 ( 3) 3 ")
a
b 1 ( 3) 10 ,ta
2 2 2 2
1 3
va không biểu diêñ được qua cos (sin) của cung đặc biệt, giả
10 10
sử là số đo bằng rad của cung lượng giác sao cho:
Lúc đó pt (*) viết được dướ i daṇg:
1 3
cos
va sin
10 10
cos sin2xsin cos2x
sin
Hay: sin2xcos cos2xsin sin
(1)
Ta thấy VT có daṇg công thứ c côṇg sin (a-b)=sinacosb-cosasinb, nên
Phương triǹh (1) sin(2 x) sin x (2)
Đối với phương trình (2) để giải ta sử dụng công thức nghiệm của dạng phương
trình lươṇg giác cơ bản sin x sin
, nên
Phương triǹh (2)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
21
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
2x k2
( kz)
2x k2
x
k
( kz)
x k
2
x
k
Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là:
( kz)
x k
2
Cách 2:
Ta chuyển vế 3cos2x từ vế VT sang vế VP,ta được:
Sin2x=3+3cos2x
- Từ đây ta thấy VP xuất hiêṇ nhân tử chung là 3, đăt ̣ 3 ra ngoài ta được:
Sin2x=3(1+cos2x) (1)
- Mà: công thứ c nhân đôi sin2x=2sinxcosx (2)
2 1
cos2x
- Măt ̣ khác: công thứ c ha ̣bâ ̣c cos x ,nên
2
2
suy ra: 1cos2x 2cos x (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được:
2sin cos
2
x x 3.2cos x
2sin cos
2
x x 6cos
x
2
sin xcos x 3cos x(4)
Từ pt (4) chuyển 3cosx sang VT, VT xuất hiêṇ nhân tử chung là cosx . Ta được
phương triǹh mớ i:
2
sin xcos x 3cos x 0
cos x(sin x 3cos x) 0
cos x 0 x k
( k z)
2
sin x 3cos x 0( a)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+ Giải pt (a): (Do:cos x 0), nên chia cả 2 vế pt (a) cho cosx ta được :
sin x cos x
3 0 tan x 3.
cos x cos x
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
22
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ta thấy do 3 không biểu diêñ qua tan của cung đă ̣c biêt ̣ , giả sử là số đo bằng
rad của cung lươṇg giác sao cho: tan 3, khi đó:
tan x tan k
( k z)
Vâỵ phương triǹh (*) có nghiệm là:
x k
2 ( k
z)
x
k
*) Phân tích nghiên cứu sâu lời giải
- Cách khác: Nhẩm nghiêṃ
+ Ta nhâṇ thấy, cosx=0 thay vào phương triǹh thỏa mãn.
Vâỵ: x k
,( k Z)
là nghiệm của phương trình
2
( Do, ta thấy: sin2 x3cos2 x
3
2
2sin xcos x 3(2cos x 1) 3
2
2sin xcos x 6cos x 3 3
+ Vớ i cos x 0 x k
, k z . Đặt t=tanx,
2
khi đó:
2t
1
t
sin 2 x
1 1
Phương triǹh (*) có dạng:
2t
1
t
1t
1t
2
,cos2t
2
t
2
t
, nên
2
2 2
3 3 2t 3(1 t ) 3(1 t ) t 3
2 2
Tứ c là: Tan x 3 Tan x k
( k
Z)
x
k
Vâỵ phương triǹh có nghiêṃ là:
( k
z)
x k
2
- Sáng tạo bài toán mới
(Sử duṇg công thứ c theo tan góc chia đôi), ta có:
2tan x
sin 2x
và
2
1 tan x
1
tan
cos2x
1 tan
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Khi đó bài toán trở thành bài toán mớ i: Tanx=3
Ví dụ 5: Giải phương trình
2
2 3cos x 6sin xcos x 3
3
)
2
2
x
x
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
23
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial