Khai thác và xây dựng một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho <strong>học</strong> sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

1. Lời giới thiệu: 

Về mặt lý luận 

BÁO CÁO KẾT QUẢ 

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 

Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ 

như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng <strong>và</strong> chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc 

trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận <strong>dụng</strong> những hiểu biết 

đã <strong>học</strong> để giải quyết vấn đề được đặt ra <strong>một</strong> cách tốt nhất. Chính vì vậy, Nghị 

quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí 

thông minh cho <strong>học</strong> sinh THPT. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển 

tư duy khoa <strong>học</strong>” <strong>và</strong> “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> cách 

thông minh những điều đã <strong>học</strong>”. 

Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy <strong>học</strong> hiện nay luôn coi trọng 

việc lấy <strong>học</strong> sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp 

các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức <strong>một</strong> cách chủ động, 

sáng tạo. Chú trọng đến hoạt động tự <strong>học</strong> của <strong>học</strong> sinh <strong>và</strong> để <strong>học</strong> sinh chiếm 

lĩnh được tri thức, áp <strong>dụng</strong> <strong>và</strong>o trong <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>. Chính vì vậy, việc phát triển trí 

thông minh cho các em <strong>học</strong> sinh ở cấp THPT thông qua môn Toán là hết sức 

cần thiết. 

Về mặt <strong>thực</strong> tiễn 

Phấn đấu để dạy tốt các môn <strong>học</strong> nói chung <strong>và</strong> môn Toán nói riêng là 

nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán 

là khoa <strong>học</strong> suy diễn trừu tượng nhưng Toán <strong>học</strong> THPT lại mang tính trực quan, 

cụ thể bởi vì mục tiêu của môn Toán ở trung <strong>học</strong> là <strong>hình</strong> thành những biểu tượng 

<strong>toán</strong> <strong>học</strong> ban đầu <strong>và</strong> rèn luyện kĩ năng <strong>toán</strong> cho <strong>học</strong> sinh, tạo cơ sở phát triển tư 

duy <strong>và</strong> phương pháp cho <strong>học</strong> sinh sau này. Một mặt khác <strong>toán</strong> <strong>học</strong> còn có tính 

<strong>thực</strong> triễn. Các kiến thức <strong>toán</strong> <strong>học</strong> đều bắt đầu từ cuộc <strong>số</strong>ng. Mỗi mô <strong>hình</strong> <strong>toán</strong> 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

<strong>học</strong> là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc <strong>số</strong>ng. Dạy <strong>học</strong> <strong>toán</strong> <strong>học</strong> ở trung 

<strong>học</strong> là hoàn thiện những gì vốn có trong <strong>học</strong> sinh, cho <strong>học</strong> sinh làm <strong>và</strong> ghi lại 

Trang 1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








<strong>một</strong> cách chính thức các kiến thức <strong>toán</strong> <strong>học</strong> bằng ngôn ngữ <strong>và</strong> các kí hiệu <strong>toán</strong> 

<strong>học</strong>. Mỗi tiết <strong>học</strong> là dịp để <strong>học</strong> sinh <strong>hình</strong> thành những kiến thức <strong>và</strong> kĩ năng mới, 

vận <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc <strong>học</strong> <strong>toán</strong> trong 

cuộc <strong>số</strong>ng sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, 

trí thông minh của <strong>học</strong> sinh thông qua giờ <strong>học</strong> <strong>toán</strong>. 

Những năm gần đây trong chương trình các môn <strong>học</strong> nói chung <strong>và</strong> môn 

Toán nói riêng, nội dung kiến thức được đánh giá là quá tải với <strong>học</strong> sinh. Hơn 

nữa những áp lực thi cử, <strong>học</strong> thêm quá nhiều. Học sinh <strong>thường</strong> <strong>học</strong> <strong>toán</strong> theo 

khẩu lệnh, lắp ráp máy móc các kiến thức có sẵn mà thiếu chủ động nghiên cứu 

tìm tòi <strong>toán</strong> rất hạn chế. Sự say mê tìm hiểu kiến thức cơ bản để hiểu sâu <strong>và</strong> nhớ 

kỹ đặc biệt là sự vận <strong>dụng</strong> kiến thức trong thế chủ động tự giác còn hạn chế. 

Trong <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> luôn đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm đáp <strong>ứng</strong> 

nhu cầu cuộc <strong>số</strong>ng của con người. Mỗi vấn đề đó luôn liên quan <strong>và</strong> gắn chặt với 

<strong>một</strong> hoặc nhiều <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> của các ngành khoa <strong>học</strong>, đặc biệt là <strong>toán</strong> <strong>học</strong>. Chính vì 

lẽ đó, <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> mặc nhiên có mặt <strong>và</strong> ngày càng xuất hiện với tần xuất 

nhiều hơn trong các đề thi THPT QG <strong>và</strong> đề thi <strong>học</strong> sinh giỏi với mức độ tương 

đối khó. Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng <strong>toán</strong> của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> mà 

phương pháp giải chúng lại chưa được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa. Vì 

vậy để giải được dạng <strong>toán</strong> này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như <strong>xây</strong> 

<strong>dựng</strong> phương pháp tư duy giải <strong>toán</strong> đặc trưng cho loại <strong>toán</strong>. 

Mỗi <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> đều quy chiếu về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> 

<strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> mà <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> lại trở về cách giải quyết bản 

chất của <strong>một</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng nào đó. Hay nói <strong>một</strong> cách khác “mỗi <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> luôn chứa đựng <strong>và</strong> quy về <strong>một</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng 

tương <strong>ứng</strong>”. Khi đ<strong>ứng</strong> trước <strong>một</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>học</strong> sinh 

<strong>thường</strong> lúng túng <strong>và</strong> chưa biết định hướng tìm lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> từ đâu. Để giúp 

<strong>học</strong> sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> 


<strong>gian</strong>, người giáo viên cần tạo cho <strong>học</strong> sinh thói quen xem xét <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> dưới nhiều 

góc độ, khai <strong>thác</strong> các yếu tố đặc trưng <strong>hình</strong> <strong>học</strong> của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> để tìm lời giải. 

Trang 2 















Thêm <strong>và</strong>o nữa, người giáo viên ngoài việc nắm chắc các dạng <strong>toán</strong> về 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>và</strong> các phương pháp giải chúng, cần phải biết thiết kế các 

<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> khác nhau làm tư liệu giảng dạy, ra các đề thi, đề kiểm tra nhằm đánh 

giá năng lực của <strong>học</strong> sinh <strong>và</strong> tránh hiện tượng cóp nhặt, trùng lặp trong các sách. 

Cơ sở của cách <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> đó cũng hệ thống phương pháp giải <strong>một</strong> <strong>số</strong> lớp các <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> mới về <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>, từ đó <strong>học</strong> sinh nắm chắc <strong>và</strong> rèn kỹ năng giải 

Toán, phát triển tư duy Toán <strong>học</strong>. 

Thêm <strong>và</strong>o nữa, khi giảng dạy trên lớp 12A1 <strong>và</strong> 12A4 trường THPT Bến 

Tre về dạng <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>, đặc biệt các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> 

gắn với <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>, tôi thấy <strong>học</strong> sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm <strong>bài</strong> tập, 

hay định hướng cách làm, đặc biệt là <strong>học</strong> sinh <strong>học</strong> ở mức độ trung bình. Thực 

hiện việc kiểm tra <strong>một</strong> <strong>và</strong>i <strong>bài</strong> tập về giải <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> ở các lớp 

<strong>thực</strong> nghiệm <strong>và</strong> lớp đối ch<strong>ứng</strong> (trước tác động) cho thấy: 

Số lượng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém 

80 3 20 40 15 2 

(Bảng điểm có phụ lục I kèm theo) 

Tìm hiểu <strong>và</strong> trao đổi với các đồng nghiệp ở các trường THPT trên địa bàn 

Thành phố Phúc Yên khi giảng dạy <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> ở các trường 

bạn, chúng tôi cũng nhận được sự phản hồi về kết quả rất thấp của <strong>học</strong> sinh khi 

làm <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> dạng này. Trước vấn đề trên chúng tôi thấy việc cần thiết phải 

hướng dẫn <strong>học</strong> sinh <strong>một</strong> <strong>số</strong> phương pháp giải chủ đạo về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> 

<strong>không</strong> <strong>gian</strong> thông qua việc thiết kế, <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> đó là <strong>một</strong> việc cần thiết 

cho <strong>học</strong> sinh, để giúp <strong>học</strong> sinh có thêm kiến thức <strong>và</strong> làm tốt <strong>bài</strong> tập dạng này. 

Từ những suy nghĩ trên tôi mạn phép trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp 

<strong>và</strong> các em <strong>học</strong> sinh sáng kiến kinh nghiệm “ <strong>Khai</strong> <strong>thác</strong> <strong>và</strong> <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>một</strong> <strong>số</strong> <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>thường</strong> <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> trong kỳ thi 

THPT QG <strong>và</strong>o giảng dạy môn <strong>toán</strong> ở trường THPT ” nhằm góp phần nâng cao 


chất lượng dạy <strong>và</strong> <strong>học</strong> bộ môn Toán ở trường THPT. Phần nghiên cứu của 

chúng tôi đã <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> để giảng dạy cho lớp 11 <strong>và</strong> 12, các lớp bồi bưỡng HSG 





Trang 3 











Toán 11, 12, đặc biệt là <strong>học</strong> sinh ôn thi THPT QG trong năm <strong>học</strong> 2017 – 2018 

<strong>và</strong> năm <strong>học</strong> 2018 - 2019. 

sau: 

Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm của tôi xuất phát từ những trải nghiệm 

*) Sáng kiến kinh nghiệm này đưa ra <strong>một</strong> <strong>số</strong> cách thức <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>và</strong> khai 

<strong>thác</strong> hướng giải các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> mới gắn với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> 

từ các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng đã biết mà cơ sở của phương pháp này chính là 

con đường sáng tạo ra những dạng <strong>toán</strong> trên. Hướng thứ nhất, sáng kiến kinh 

nghiệm này <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> mới <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> mới gắn với <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> từ các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng. Hướng thứ hai, sáng kiến sẽ khai 

<strong>thác</strong> cách giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> gắn với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> với mục 

đích chuyển đổi <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> từ lạ về quen, về các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng đã biết 

kết quả. Cả hai hướng đều nhắm tới mục đích <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> các yếu tố đặc trưng <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> của <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng, đưa ra cách giải quyết, khai <strong>thác</strong> mở rộng cho 

<strong>bài</strong> <strong>toán</strong>, phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>, 

trên cơ sở các dữ kiện <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> đã cho. Sau đó ta sẽ phân tích ngược lại từ tính 

chất của <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>và</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trên <strong>hình</strong> phẳng để định hướng tìm lời 

giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. 

*) Giúp <strong>học</strong> sinh biết cách giải <strong>một</strong> <strong>số</strong> lớp <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> về <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> 

<strong>gian</strong> nhìn nhận dưới góc độ <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng dựa trên việc khai <strong>thác</strong> các tính chất 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng để quy <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng 

rồi định hướng tìm lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. Biết quy những <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> mới về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> quen thuộc đã được giải quyết. Trên cơ sở phương pháp đã 

được định hướng đối với mỗi <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> cụ thể, các em có thể <strong>hình</strong> thành tổng hợp 

phương pháp giải <strong>và</strong> <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> tương tự. 

*) Nghiên cứu các dạng <strong>toán</strong> này còn giúp <strong>học</strong> sinh biết được việc phân 

tích bản chất của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng để chỉ ra điểm mấu chốt của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 


<strong>và</strong> bổ trợ cho việc giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. Qua đó giúp các em chủ 

động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại <strong>một</strong> cách tương đối 

các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. Đồng thời rèn kỹ năng sáng tạo Toán cho <strong>học</strong> 

Trang 4 















sinh sao cho mọi nơi mọi lúc các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng 

tạo của mình. 

*) Giúp cho các bạn đồng nghiệp <strong>một</strong> tài liệu tham khảo trong quá trình 

giảng dạy bộ môn Toán của mình. Qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi hy vọng 

các bạn đồng nghiệp sẽ thiết kế được nhiều hơn các lớp <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> 

<strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> càng sát <strong>thực</strong> với các đề thi THPT QG <strong>và</strong> thi chọn <strong>học</strong> 

sinh giỏi <strong>toán</strong> <strong>và</strong> truyền sự say mê này đến các <strong>học</strong> sinh của mình. 

2. Tên sáng kiến: 

<strong>Khai</strong> <strong>thác</strong> <strong>và</strong> <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>một</strong> <strong>số</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> 

<strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>thường</strong> <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> trong kỳ thi THPT QG <strong>và</strong>o giảng dạy môn <strong>toán</strong> ở 

trường THPT. 

3. Tác giả sáng kiến: 

- Họ <strong>và</strong> tên: Dương Ngọc Anh. 

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên – 

tỉnh Vĩnh Phúc. 

- Số điện thoại: 0976520928. E_mail: anh.btpy@gmail.com 

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 

Phúc. 

Dương Ngọc Anh - Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên – tỉnh Vĩnh 

5. Lĩnh vực áp <strong>dụng</strong> sáng kiến: 

Lĩnh vực giáo dục, cấp THPT, bộ môn Toán. 

6. Ngày sáng kiến được áp <strong>dụng</strong> lần đầu hoặc áp <strong>dụng</strong> thử: 

Từ 01/02/2017 đến 02/02/2019. 

7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 

- Về nội dung của sáng kiến: 






Trang 5 











KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG 

GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI 

THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT 

I. KIẾN THỨC CƠ SỞ 

1) Một <strong>số</strong> kết quả của phần quan hệ vuông góc trong <strong>không</strong> <strong>gian</strong> 

1. Ch<strong>ứng</strong> minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các 

định lí , hệ quả sau : 

0 

‣ a b a b 

; 90 . 

b 

/ / c 

‣ a b . 

a 

c 

 

‣ a b a b 0 .Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai 

đường thẳng a <strong>và</strong> b 

‣ Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong <strong>hình</strong> 

<strong>học</strong> phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để 

ch<strong>ứng</strong> minh chúng vuông góc . 

‣ 

a ( ) 

 

a b ; 

b ( ) 

 

‣ 

a / / 

b a 

b 

‣ 

a ' hch 

a a ' hch 

a 

 

b b a' 

; b b a . 

b a 

 

b a ' 

 

ABC ; a AB a BC 

a AC 

2. Ch<strong>ứng</strong> minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> 

trong các định lí , hệ quả sau : 

‣ a a b 

‣ 

a 

b 

 

a c a . 

 

b c O 

‣ a / / b a . 

‣ / / a a . 

AB M | MA MB ( là mặt phẳng trung trực của AB). 


‣ 





Trang 6 











 

 

ABC 

 

 

‣ MA MB MC 

MO 

. 

OA OB OC 

 

‣ 

P Q 

 

 

a P 

a Q 

 

a c P Q 

‣ 

P R 

Q R 

a R 

 

P Q 

a 

3. Ch<strong>ứng</strong> minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> 

trong các định lí , hệ quả sau : 

P Q 

 

P , Q 90 

 

0 

‣ 

P 

a 

‣ 

a Q 

R Q 

‣ 

P / / R 

 

P Q 

 

P Q 

. 

 

4. Tính góc giữa hai đường thẳng 

Phương pháp : Có thể <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> trong các cách sau: 

‣ Cách 1: (theo phương pháp <strong>hình</strong> <strong>học</strong>) 

Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc <strong>một</strong> trong hai đường thẳng) 

qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai 

đường thẳng đã cho 

Tính <strong>một</strong> góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt 

nhau tại O . 

Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính 

là góc bù với góc đã tính . 

‣ Cách 2 : 

 

(theo 

 

phương pháp véc tơ) 

Tìm u1 , u2 

lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 

1 <strong>và</strong> 

2 

 

u1 u2 

Khi đó cos 1, 2 cos u1, 

u2 

. 

u u 

5. Tính góc giữa đường thẳng <strong>và</strong> mặt phẳng 

Phương pháp : 

‣ 

0 

 

a a, 90 ; 

Trang 7 

1 2 
















a 

/ / 

‣ 

a, 0 

0 ; 

a 

 

a 

 

‣ 

, 

a a , a ' 

a' 

hch 

a 

o Để tìm a' 

hch 

a ta lấy tùy ý điểm M a , <strong>dựng</strong> MH 

tại H , suy ra 

hch 

a a ' AH , A a 

 

a , 

MAH 

6. Xác định góc giữa hai mặt phẳng 

Q 

q 


‣ Cách 1 : Dùng định nghĩa : 

 

P, Q a 

a P , b 

 

p 

trong đó : 

R 

b Q 

P 

‣ Cách 2 : Dùng nhận xét : 

R P Q 

R P 

p 

P, Q 

p, 

q. 

 

R Q 

q 

‣ Cách 3 : Dùng hệ quả : 

M Q 

 

 

H hch 

M P, 

Q 

 

P MNH . 

 

HN m P Q 

7. Tính các khoảng cách giữa <strong>một</strong> điểm <strong>và</strong> mặt phẳng 

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ <strong>một</strong> điểm đến <strong>một</strong> mặt phẳng , ta phải 

đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng <strong>một</strong> trong 

hai cách sau : 

‣ Cách 1 : 

• Tìm <strong>một</strong> mặt phẳng (Q) chứa M <strong>và</strong> vuông góc với (P) . 

m P Q . 

• Xác định 

• Dựng MH m P Q 

MH P 

, 

suy ra MH là đoạn cần tìm . 

‣ Cách 2: Dựng MH / / d 

 


o Chú ý : 

MA / / d M , d A, 

. 

‣ Nếu 

 

Trang 8 















‣ Nếu MA 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d M , IM 

I 

d A, 

IA 

8. Khoảng cách từ <strong>một</strong> đường thẳng đến <strong>một</strong> mặt phẳng: 

a 

P 

‣ Khi d a, P 

0 . 

a P 

‣ Khi a / / P 

d a, P d A, 

Pvới A P 

. 

9. Khoảng cách từ <strong>một</strong> mặt phẳng đến <strong>một</strong> mặt phẳng : 

P Q 

‣ Khi d P, Q 

0 . 

P Q 

‣ Khi P / / Q 

 

d P, Q d M , Q 

với A P 

. 

10. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 

' 

 

‣ Khi d , ' 

0 . 

' 

‣ Khi / / ' d , ' d M , ' d N , 

với 

M , N ' . 

‣ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 

<strong>và</strong> ' là đường thẳng a cắt ở M <strong>và</strong> cắt 

' ở N đồng thời vuông góc với cả <strong>và</strong> ' . 

 

 


Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường 

thẳng chéo nhau <strong>và</strong> ' . 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 

vuông góc chung của hai đườngthẳng đó . 

‣ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a <strong>và</strong> song song với b 

.Tính khoảng cách từ b đến mp(P) . 


‣ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song <strong>và</strong> lần lượt chứa hai đường thẳng 

. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm . 

Trang 9 

M 

(a) 

N 

(D') 

(D) 















‣ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung <strong>và</strong> tính độ dài đoạn đó . 

Cách <strong>dựng</strong> đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : 

‣ Cách 1: Khi a 

b 

Dựng <strong>một</strong> , 

mp P b P a tại H . 

Trong (P) <strong>dựng</strong> HK b tại K . 

 

Đoạn HK là đoạn vuông góc 

chung của a <strong>và</strong> b . 

‣ Cách 2: 

Dựng P b, P 

/ / a . 

Dựng a' 

hch Pa 

, bằng cách lấy M a 

<strong>dựng</strong> đoạn MN 

, lúc đó a’ là 

đường thẳng đi qua N <strong>và</strong> song song a . 

Gọi H a' 

b, <strong>dựng</strong> HK / / MN 

HK là đoạn vuông góc chung cần tìm . 

2) Thể tích của khối đa diện: 

Các công thức thể tích của khối đa diện: 

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG 

TRỤ: 

V= B.h 

với B là diện tích đáy, h là chiều 

cao 

a) Thể tích khối hộp chữ nhật: 

V = a.b.c 

với a, b, c là ba kích thước 

b) Thể tích khối lập phương: 

V = a 3 

với a là độ dài cạnh 

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 

V= 1 3 Bh 


với B là diện tích đáy, h là chiều 

cao 

a 

a 

a 

h 

c 

b 

a 

B 

B 

h 





Trang 10 











3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: 

Cho khối tứ diện SABC <strong>và</strong> A’, 

B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt 

thuộc SA, SB, SC ta có: 

V 

V 

SABC 

SA ' B ' C ' 

SA SB SC 

 

SA ' SB ' SC ' 

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 

CỤT: 

h 

V B B' BB' 

3 

với với B, B’ là diện tích hai đáy, 

h là chiều cao 

II. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN THIẾT KẾ 

1. Tổng quan: 

1.1. Xây <strong>dựng</strong> <strong>một</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> có thể được 

tiến hành theo <strong>một</strong> trong hai phương pháp chính sau đây: 

Phương pháp 1: Xây <strong>dựng</strong> bằng kiến thức <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. 

Phương pháp 2: Sử <strong>dụng</strong> các kiến thức <strong>và</strong> yếu tố của <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng <strong>và</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> 

<strong>không</strong> <strong>gian</strong> sau đó phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng để <strong>hình</strong> thành lên <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>. 

Mỗi phương pháp <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> đều có những ưu điểm riêng cho từng <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> cụ thể. Tuy nhiên phương pháp 2 <strong>thường</strong> hiệu quả hơn trực quan hơn <strong>và</strong> 

cho chúng ta có cái nhìn hệ thống hơn. Bằng cách phân tích trên <strong>hình</strong> phẳng 

tương <strong>ứng</strong> với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> (trong <strong>không</strong> <strong>gian</strong> hai chiều), định hướng theo bản chất 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> để thu lại cấu trúc của <strong>bài</strong> 


<strong>toán</strong>, <strong>hình</strong> thức của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>và</strong> các mối quan hệ giữa các yếu tố tạo nên <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 

(trong <strong>không</strong> <strong>gian</strong> ba chiều). Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> dựa trên <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng tương <strong>ứng</strong>, <strong>một</strong> mặt giúp <strong>học</strong> 

A 

Trang 11 

A 

A' 

B 

A' 

S 

B' 

C' 

C' 

C 

B' 

C 

B 















sinh hiểu được bản chất của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>, mặt khác giúp <strong>học</strong> sinh biết cách định 

hướng trong việc tìm lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>. 

Các bước tiến hành <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>: 

Bước 1: Thiết kế <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. 

Xuất phát điểm từ <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố 

<strong>và</strong> dữ kiện <strong>hình</strong> phẳng, phát triển <strong>và</strong> mở rộng <strong>hình</strong> phẳng từ <strong>không</strong> <strong>gian</strong> hai 

chiều sang <strong>không</strong> <strong>gian</strong> ba chiều, thiết lập các yêu cầu của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> mới như 

ch<strong>ứng</strong> minh tính vuông góc, song song hoặc tính thể tích của các khối đa diện,... 

Từ đó, ta nhận được <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> tương <strong>ứng</strong> với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> 

<strong>học</strong> phẳng đã cho. 

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>. 

Bước 3: Trình bày lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> theo sơ đồ đã chỉ ra. 

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. 

1.2. <strong>Khai</strong> <strong>thác</strong> <strong>một</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> có thể được 

tiến hành như sau: 

Sử <strong>dụng</strong> các kiến thức <strong>và</strong> yếu tố của <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng <strong>và</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> qui 

<strong>bài</strong> <strong>toán</strong> lạ <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> 

phẳng quen thuộc. 

Bằng cách phân tích bản chất của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> 

<strong>thực</strong> <strong>tế</strong> để đưa về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng tương <strong>ứng</strong> với <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> 

<strong>gian</strong>. Từ việc phân tích <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> chuyển đổi về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> 

<strong>hình</strong> phẳng tương <strong>ứng</strong>, <strong>một</strong> mặt giúp <strong>học</strong> sinh hiểu được bản chất của <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>, 

mặt khác cũng giúp <strong>học</strong> sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong>. 

III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 


1. Xây <strong>dựng</strong> các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> liên quan đến thể tích khối đa diện <strong>và</strong> khối 

tròn xoay: 

Trang 12 












1.1. Bài <strong>toán</strong> 1.1. 

Bước 1: Xây <strong>dựng</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. 




*) Bài <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng: 

Xét <strong>hình</strong> chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5m, cạnh BC = 1m. Trên các cạnh 

AD, AB, CD, GH lần lượt lấy các điểm E, G, H, F sao cho 

2 

AE=GB=CH=GF=0,1m. Ta thấy diện tích của <strong>hình</strong> vuông là S 5m 

<strong>và</strong> 

S , S cũng tính được. 

AGEF 

BCHG 

D 

E 

A 

*) Phân tích dữ kiện <strong>và</strong> phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>: 

Như vậy, nếu phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trên từ <strong>không</strong> <strong>gian</strong> hai chiều 

(tức là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong mặt phẳng) thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong <strong>không</strong> 

<strong>gian</strong> ba chiều (tức là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>), ta thêm các dữ kiện như sau: 

Gắn với <strong>thực</strong> tiễn bằng cách gắn thêm <strong>không</strong> <strong>gian</strong> ba chiều bằng cách bổ sung 

chiều cao bằng 2m <strong>và</strong>o <strong>hình</strong> chữ nhật ở trên để có được khối hộp chữ nhật biết 

ba kích thước. Ta được <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>: Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật 

trong <strong>một</strong> phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần 

lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ <strong>xây</strong> 2 vách (<strong>hình</strong> vẽ dưới đây). Biết mỗi viên gạch có 

chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> ít nhất 

bao nhiêu viên gạch để <strong>xây</strong> bồn đó <strong>và</strong> thể tích <strong>thực</strong> của bồn chứa bao nhiêu lít 

nước? 


F 

H 

G 

C 

B 

ABCD 





Trang 13 








1dm 




V H' 

1dm VH 

2m 

1m 

5m 

Bài <strong>toán</strong> tính thể tích khối hộp chữ nhật 

V , V , thể tích của mỗi viên 

gạch, thể tích của khối hộp to bao quanh, từ đó tính được <strong>số</strong> gạch cần <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> <strong>và</strong> 

thể tích <strong>thực</strong> của bồn tắm. 

Vậy ta có <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>, như sau: 

“ Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong <strong>một</strong> phòng tắm. Biết 

chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ <strong>xây</strong> 

2 vách (<strong>hình</strong> vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, 

chiều cao 5cm. Hỏi người ta <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> ít nhất bao nhiêu viên gạch để <strong>xây</strong> bồn đó 

<strong>và</strong> thể tích <strong>thực</strong> của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả <strong>sử</strong> lượng xi măng <strong>và</strong> cát 

<strong>không</strong> đáng kể). 

1dm 


2m 

+) Viết công thức tính thể tích tính thể tích khối hộp chữ nhật VH 

, V 

H ' 

. 

+) Tính thể tích của mỗi viên gạch. 

+) Tính thể tích của khối hộp to bao quanh. 

+) Từ đó suy ra <strong>số</strong> viên gạch cần <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> <strong>và</strong> thể tích <strong>thực</strong> của bồn tắm. 

VH 


5m 

H 

V H' 

H ' 

1dm 

1m 





Trang 14 








Bước 3. Trình bày lời giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> theo các bước đã chỉ ra ở bước 2 




Gọi V là thể tích khối hộp chữ nhật 

3 

Ta có : V 5 m.1 m.2m 10m 

V 0,1 m.4,9 m.2m 0,98m 

V V 1,18m 

H 

H 

Thể tích mỗi viên gạch là 

3 

Số viên gạch cần <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> là 

VH 

VH 

1,18 

1180 viên 

V 0,001 

G 

H 

V 0,2 m.0,1 m.0,05m 0,001m 

G 

3 

V 

 

0,1 m.1 m.2m 0,2m 

3 3 3 3 

Thể tích <strong>thực</strong> của bồn là : V 10m 1,18m 8,82m 8820dm 

8820 lít 

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng). 




Xét <strong>hình</strong> tròn có bán kính bằng R = 6cm, khi đó có thể tính được bất kỳ độ 

dài của <strong>một</strong> cung tròn nào, nếu biết <strong>số</strong> đo của góc ở tâm chắn cung đó nhờ công 

thức l . 

R . Từ <strong>một</strong> cung tròn đó quấn thành <strong>một</strong> đường tròn, ta có thể tính 

được bán kính của đường tròn nhờ biết chu vi của đường tròn. 


Như vậy, nếu phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trên từ <strong>không</strong> <strong>gian</strong> hai chiều 

(tức là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong mặt phẳng) thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong <strong>không</strong> 

<strong>gian</strong> ba chiều (tức là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>), ta thêm các dữ kiện như sau: 

Cho <strong>một</strong> miếng tôn <strong>hình</strong> tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn 

làm <strong>một</strong> cái phễu bằng cách cắt đi <strong>một</strong> <strong>hình</strong> quạt của <strong>hình</strong> tròn này <strong>và</strong> gấp phần 

còn lại thành <strong>hình</strong> nón ( Như <strong>hình</strong> vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta 

cắt cung tròn của <strong>hình</strong> quạt bằng bao nhiêu. 


3 

H 

3 





Trang 15 











Bài <strong>toán</strong> tìm thể tích khối nón khi biết chu vi đáy <strong>và</strong> đường sinh. 

Vậy ta có <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> như sau: 

“ Cho <strong>một</strong> miếng tôn <strong>hình</strong> tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn 

làm <strong>một</strong> cái phễu bằng cách cắt đi <strong>một</strong> <strong>hình</strong> quạt của <strong>hình</strong> tròn này <strong>và</strong> gấp phần 

còn lại thành <strong>hình</strong> nón ( Như <strong>hình</strong> vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta 

cắt cung tròn của <strong>hình</strong> quạt bằng bao nhiêu.” 


+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm <strong>hình</strong> nón. 

x 

+) Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 

r x r . 

2 

+) Chiều cao của <strong>hình</strong> nón tính theo Định lý Pitago là: h = 

2 

2 2 2 x 

R r R . 

2 

4 

1 2 x 2 x 

+) Thể tích của khối nón: V r . H R . 

2 

3 3 2 

4 

+) Áp <strong>dụng</strong> Bất đẳng thức Côsi ta tính được V lớn nhất khi <strong>và</strong> chỉ khi 

2 2 

x 

2 x 

R 

2 

8 

4 

2 

x R 6 x 6 6 

3 

N 

R 

h 

I 

S 

r 

Trang 16 

2 2 


+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm <strong>hình</strong> nón. 

Như vậy, bán kính R của <strong>hình</strong> tròn sẽ là đường sinh của <strong>hình</strong> nón <strong>và</strong> đường tròn 

đáy của <strong>hình</strong> nón sẽ có độ dài là x. 

x 

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 

r x r . 

2 

Chiều cao của <strong>hình</strong> nón tính theo Định lý Pitago là: h = 

M 

2 2 

1 2 x 2 x 

Thể tích của khối nón: V r . H R . 

2 

3 3 2 

4 

2 

2 2 2 x 

R r R . 

2 

4 
















Áp <strong>dụng</strong> Bất đẳng thức Côsi ta có: 

V 

2 2 2 

3 

x x 2 x 

2 2 2 2 2 R 

2 2 2 

2 6 

2 4 x x 2 x 4 

8 8 4 4 

R 

. . ( R ) 

 

. 

2 2 2 

 

 

9 8 8 4 

9 3 9 27 

 

 

 

 

Do đó V lớn nhất khi <strong>và</strong> chỉ khi 

2 2 

x 

2 x 

R 

2 

8 

4 


1.3 Bài <strong>toán</strong> 1.3. 



Trang 17 

2 

x R 6 x 6 6 

3 

Xét <strong>hình</strong> vuông ABCD có cạnh bằng a. Nếu chia <strong>hình</strong> vuông đó thành ba 

<strong>hình</strong> chữ nhật bằng nhau thì diện tích của <strong>hình</strong> vuông ban đầu <strong>không</strong> đổi so với 

tổng diện tích của ba <strong>hình</strong> chữ nhật con. 


Cũng phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng như ở trên thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> 

<strong>học</strong> trong <strong>không</strong> <strong>gian</strong>, ta <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> như sau: 

Cho <strong>hình</strong> vuông ABCD, ta tạo thành các <strong>hình</strong> trụ (<strong>không</strong> đáy) theo hai cách 

sau: 

Cách 1: gò hai mép <strong>hình</strong> vuông để thành mặt xung quanh của <strong>một</strong> <strong>hình</strong> 

trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1 

Cách 2: cắt <strong>hình</strong> vuông ra làm ba <strong>hình</strong> chữ nhật bằng nhau <strong>và</strong> gò thành 

mặt xung quanh của ba <strong>hình</strong> trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2. So sánh V1 

với V2. 


“ Có <strong>một</strong> miếng nhôm <strong>hình</strong> vuông, cạnh là 3dm, <strong>một</strong> người dự tính tạo thành 

các <strong>hình</strong> trụ (<strong>không</strong> đáy ) theo hai cách sau: 

Cách 1: gò hai mép <strong>hình</strong> vuông để thành mặt xung quanh của <strong>một</strong> <strong>hình</strong> 

trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1 

Cách 2: cắt <strong>hình</strong> vuông ra làm ba <strong>hình</strong> chữ nhật bằng nhau <strong>và</strong> gò thành 

mặt xung quanh của ba <strong>hình</strong> trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.” 
















V1 

Khi đó, tỉ <strong>số</strong> 

V 

2 

là bao nhiêu. 


+) Tính R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, suy ra là V1 . 

+) Tính R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, suy ra là V2 . 

Suy ra tỉ <strong>số</strong> thể tích. 


+) Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 

3 

2 27 

2R1 3 R1 

V1 R1h 

 

2 4 

+) Gọi R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, có 

1 

2 9 

2R 2 

1 R1 

V2 3R1 

h 

2 4 

+) Từ đó suy ra tỉ <strong>số</strong> đó bằng 3. 










Trang 18 











Cho tam giác OAB cân tại O, có chiều cao OH bằng 3 lần cạnh đáy BC. 

Trên đường cao OH lấy điểm H’sao cho OH=3OH’. Khi đó AH, A’H’ hoàn toàn 

tính được, nếu biết HH’. 


H 

H' 

O 

A' 

A 

Mở rộng <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng ở trên thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong 

<strong>không</strong> <strong>gian</strong>, như sau: 

Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA là đường sinh, AB là đường 

kính đáy, HH’ với <strong>hình</strong> trụ tròn xoay nội tiếp khối nón. Khối nón <strong>và</strong> khối trụ có 

sự liên hệ giữa chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với nhau. Nếu biết thể tích 

của khối trụ tròn xoay đó thì có thể tính được diện tích xung quanh của khối nón 

tương <strong>ứng</strong>. Ta có <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> như sau: 

“Cho <strong>một</strong> bình đựng nước dạng <strong>hình</strong> nón (<strong>không</strong> có đáy), đựng đầy nước. Biết 

rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả <strong>và</strong>o đó <strong>một</strong> 

16 3 

khối trụ <strong>và</strong> đo được thể tích nước tràn ra ngoài là ( ) 

9 dm . Biết rằng <strong>một</strong> mặt 

của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như <strong>hình</strong> dưới) <strong>và</strong> khối trụ có chiều cao 

bằng đường kính đáy của <strong>hình</strong> nón. Tính diện tích xung quanh S 

xq 

của bình 

nước.” 






Trang 19 












- Gọi bán kính đáy <strong>hình</strong> nón là R , chiều cao h . Ta có h 3R 

- Tính chiều cao của khối trụ là h 1 

2R 

, bán kính đáy là r 

- Trong tam giác OHA có H' A'/ / HA 

r H' A' OH' 1 R 

r 

R HA OH 3 3 

- Tính thể tích khối trụ V <strong>và</strong> tính được R. 

- Suy ra đường sinh của <strong>hình</strong> nón 

- Từ đó tính được diện tích xung quanh S 

xq 

của bình nước. 


- Gọi bán kính đáy <strong>hình</strong> nón là R , chiều cao h . Ta có h 3R 

- Chiều cao của khối trụ là h 1 

2R 

, bán kính đáy là r 

- Trong tam giác OHA có H' A'/ / HA 

r H' A' OH' 1 R 

r 

R HA OH 3 3 


3 

2 2 

R 16 

- Thể tích khối trụ là V r h1 

R 2 

9 9 

2 2 2 2 

- Đường sinh của <strong>hình</strong> nón là l OA OH HA 9R R 2 10 

H 

H' 

O 

Trang 20 

A' 

A 












- Diện tích xung quanh S 

xq 

của bình nước S Rl 

4 

10 


xq 




Sau đây là <strong>một</strong> kết quả đã biết về <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng <strong>và</strong> phát triển sang <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. 




lớn nhất. 

Trong các <strong>hình</strong> chữ nhật có cùng đường chéo thì <strong>hình</strong> vuông có diện tích 


Mở rộng <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng ở trên thành <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> trong 

<strong>không</strong> <strong>gian</strong>, như sau: 

Gắn <strong>hình</strong> chữ nhật với thiết diện của khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ 

cắt bởi mặt phẳng song song với đáy của khối trụ. Ta cũng có kết quả là trong 

các khối hộp chữ nhật nội tiếp trong khối trụ tròn xoay thì khối hộp chữ nhật có 

đáy là <strong>hình</strong> vuông có thể tích lớn nhất. Ta có <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> như 

sau: 

“Người ta phải cưa <strong>một</strong> thân cây <strong>hình</strong> trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để 

được <strong>một</strong> cây xà <strong>hình</strong> khối chữ nhật như <strong>hình</strong> vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối 

gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?” 






Trang 21 












2 2 2 

+) Gọi x, y( m ) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x y 1 . 

Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại. 

+) Áp <strong>dụng</strong> bất đẳng thức AM-GM suy ra thể tích khối gỗ sau khi cưa xong. 


2 2 2 

+) Gọi x, y( m ) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x y 1 

(đường kính của thân cây là 1m). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích 

2 2 1 

của thiết diện là cực đại, nghĩa là khi x. 

y cực đại. Ta có: x y 2 xy xy . 

2 

1 

Dấu " " xảy ra khi x y . 

2 

1 1 3 

+) Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: V 8 4 m (thiết diện là <strong>hình</strong> 

2 2 

vuông). 


Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng gốc rồi phát triển thành các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> 

được ra dưới dạng trắc nghiệm khách quan sau đây : 

Bài 1.6. (Đề thi KSCĐ lần 1 – 

THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc 

năm 2017 - 2018). Cho môṭ tấm 

tôn hıǹh chữ nhât ̣ ABCD có 

AD 60cm 

. Ta gâ ̣p tấm tôn theo 

2 cạnh MN <strong>và</strong> QP <strong>và</strong>o phía trong 

sao cho BA trùng với CD để 

được lăng trụ đứ ng khuyết hai 

đáy. Khối lăng trụcó thể tıćh lớn 

nhất khi x bằng bao nhiêu? 


A. x 20cm 

B. x 22,5cm 

C. x 25cm 

D. x 29cm 

Bài 1.7. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa năm 2017 - 

2018). Cho <strong>hình</strong> chóp S. 

ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc 

Trang 22 















với đáy SA 2 a. 

Gọi M , N là lượt là trung điểm của SB, SC . Thể tích khối đa diện 

ABCMN là: 

3 

3 

3 

3 

a 3 a 3 a 3 3a 

3 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

8 

12 

3 

4 

Bài 1.8. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018). 

Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho <strong>học</strong> sinh 

các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong <strong>số</strong> đó có lớp 12A1. Để có thể có 

chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã <strong>dựng</strong> trên mặt 

đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ <strong>một</strong> tấm bạt <strong>hình</strong> chữ nhật có chiều dài là 

12m <strong>và</strong> chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung 

điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của 

tấm bạt sát đất <strong>và</strong> cách nhau x m (xem <strong>hình</strong> vẽ). Tìm x để khoảng <strong>không</strong> <strong>gian</strong> 

phía trong lều là lớn nhất? 

A. x 4 

B. x 3 3 C. x 3 

D. x 3 2 

Bài 1.9. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018). 

Cho lăng trụ ABCD. A' B' C ' D ' có <strong>hình</strong> chóp 

Trang 23 

A'. 

ABCD là <strong>một</strong> <strong>hình</strong> chóp tứ giác 

0 

đều với cạnh đáy là 2a. Cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy <strong>một</strong> góc 45 . Tính 

thể tích V của lăng trụ ABCD. A' B ' C ' D ' . 

3 

3 

3 

4 2a 

4a 

A. V 4 2a 

B. V 4a 

C. V D. V 

3 

3 

Bài 1.10. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc năm 2017 - 

2018). 

Cho lăng trụ đ<strong>ứng</strong> ABC. A' B' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi M 


là trung điểm của cạnh BC, góc giữa 

V của lăng trụ ABC. A' B' C '? 

0 

A' 

M <strong>và</strong> đáy (ABC) bằng 30 . Tính thể tích 

3 












3 

3 

3 

3a 

3a 

3a 

A. V B. V C. V D. V 

24 

12 

8 

3a 

4 

3 




Bài 1.11. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc năm 2017 - 

2018). 

Cho <strong>hình</strong> chóp S.ABCD có đáy là <strong>hình</strong> thoi cạnh là 3a, góc 0 

BAC 60 , cạnh SC = 

4a. Hai mặt phẳng (SAB) <strong>và</strong> (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể 

tích V của khối chóp S.ABCD. 

3 

3 

3 

3 21a 

3 21a 

15 3a 

15 3a 

A. V B. V C. V D. V 

2 

4 

2 

4 

Bài 1.12. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Chuyên Hưng Yên năm 2017 - 2018). 

Cho lăng trụ ABC. A' B' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2BC, góc 

0 

giữa hai mặt phẳng AA 'B 

<strong>và</strong> AA' 

Cbằng 30 . Hình chiếu vuông góc của A ' 

trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB, gọi K là trung điểm AC. 

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng 

của lăng trụ ABC. A' B ' C '? 

A. V 

8 3a 

3 

3 

A' 

A <strong>và</strong> HK bằng a 3 

3 

. Tính thể tích V 

3 

3 

4 3a 

3 

B. V 8 3a 

C. V D. V 4 3a 

3 

Bài 1.13. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 - 2018). 

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu 

là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy <strong>và</strong> chiều cao của thùng lần lượt bằng 

bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? 

A. 1m <strong>và</strong> 2m B. 1dm <strong>và</strong> 2dm C. 2m <strong>và</strong> 1m D. 2dm <strong>và</strong> 1dm 


Bạn Loan là <strong>một</strong> <strong>học</strong> sinh lớp 12, bố bạn là <strong>một</strong> thợ hàn. Bố bạn định làm <strong>một</strong> 

chiếc thùng <strong>hình</strong> trụ từ <strong>một</strong> mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây: 






Trang 24 











Bằng kiến thức đã <strong>học</strong> em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng 

có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là: 

A. 35 cm; 25cm B. 40 cm; 20cm C. 50 cm;10cm D. 30 cm; 30cm 


Cho <strong>hình</strong> lăng trụ tam giác 

' ' ' 

ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 

' 

cạnh AC 2 2 . Biết AC tạo với mặt phẳng (ABC) <strong>một</strong> góc 60 0 ' 

<strong>và</strong> AC 4 . Tính 

thể tích V của khối đa diện 

' ' ' 

ABC . A B C . 

8 

16 

8 3 

A) V B) V C) V 

D) V 

3 

3 

3 

16 3 

 

3 


Cho <strong>hình</strong> lăng trụ tam giác đều 

ABC 

' ' ' 

. A B C 

có độ dài cạnh đáy bằng a <strong>và</strong> chiều 

cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 

A) V a 2 h 

B) V a 2 h 

2 

2 

C) V 3a 

h D) V a 

h 

9 

3 


Cho <strong>hình</strong> chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với 

đáy. Biết SA 3a 

, BA = 2a, BC = a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC? 

3 

3 

3 

3 

A. V 3a 

B. V a 

C. V 6a 

D. V 4a 

2. Xây <strong>dựng</strong> <strong>một</strong> <strong>số</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> nâng cao: 




Xét <strong>hình</strong> thoi ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC <strong>và</strong> BD, 

gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. 






Trang 25 








B 





Ta thêm các dữ kiện như sau: 

A 

N 

D 

O 

Cho <strong>hình</strong> thoi ABCD. Trên mp(P) chứa AC <strong>và</strong> vuông góc với mp(ABCD) 

lấy điểm S, sao cho tam giác SAC vuông tại S <strong>và</strong> SC = AB = BC = CD = DA = 

3 , còn SA 5 . Khi đó, các yếu tố về cạnh của <strong>hình</strong> thoi đều có thể tính được, 

như AC, BD, SO, DM, MN,…. Ngoài ra ta có BD ( SAC) 

do BD AC , BD SO . 

M 

C 

Từ đó tính được thể tích khối chóp S.ABCD dựa <strong>và</strong>o VS . ABCD 

VB. SAC 

VD. 

SAC 

. Suy 

1 

. tính được. 

4 

ra VS . CMN 

VS. 

ABCD 

3VC . SMN 

Để ý, lại thấy d( CD, SM ) d( CD,( SMN)) d( C,( SMN)) (do 

S SMN 

CD / / SMN ). Diện tích của tam giác SMN tính được nên d( CD, SM ) cũng ra kết 

quả. 


“Cho <strong>hình</strong> chóp S. 

ABCD thỏa mãn 

SA 5, SB SC SD AB BC CD DA 3 

. Gọi M là trung điểm của cạnh 

BC . Tính thể tích khối chóp S. 

MCD <strong>và</strong> khoảng cách giữa hai đường thẳng 

SM , CD .” 

(Đề thi chọn HSG lớp 12 – THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm <strong>học</strong> 2014 - 2015) 






Trang 26 








m BC = 3.31 cm 

m AD = 3.51 cm 

m OS = 7.09 cm 

m MN = 5.64 cm 

S 





+) Chỉ ra BD SAC 

 

+) Suy ra SAC vuông tại S . 

+) Tính BD. 

1 1 

+) Thể tích V 

. 

V 

. 

BD S 

4 12 

S CMD S ABCD SAC 

3VC . SMN 

+) Suy ra d( CD, SM ) d( CD,( SMN)) d( C,( SMN)) 

C 

M 

B 

O 

S SMN 


+) Ta thấy ABCD là <strong>hình</strong> thoi, tam giác SBD cân tại S suy ra BD SAC 

 

+) Gọi O là giao điểm của AC <strong>và</strong> BD , ta thấy SBD ABD CBD c. c. 

c 

Suy ra 

1 

OA OC OS AC nên SAC vuông tại S . 

2 

+) Xét SAC ta có 

2 2 2 2 

AC SA SC OC OD CD OC BD 

2 2 2, 1 2 

1 1 1 1 15 

+) Thể tích VS . CMD 

VS . ABCD 

BD S SAC 

2 5 3 

4 12 12 2 12 

+) Gọi N là trung điểm của AD nên CD / / SMN 

 


Suy ra 

3V 

d CD SM d CD SMN d C SMN 

C. 

SMN 

( , ) ( ,( )) ( ,( )) 

S SMN 

D 

 

N 

A 





Trang 27 











15 

Thể tích VC . SMN 

VS. 

MCD 

(1). 

12 

+) Ta có 

3 13 

MN 3, SM , SN ( <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> công thức đường trung tuyến) 

2 2 

Theo định lý hàm <strong>số</strong> cosin trong SMN ta có cos SMN 2 sin SMN 

23 

3 3 3 3 

Vậy 

1 23 

SSMN 

SM MN sin 

SMN (2). 

2 4 

. 

Thay (1), (2) <strong>và</strong>o ta được d( CD, SM ) 




3 15 

3VC SMN 12 15 

. 

S SMN 23 23 

4 

*) Bài <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng <strong>và</strong> phân tích dữ kiện, phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>: 

như sau: 

Từ <strong>hình</strong> chữ nhật ABCD có AB a, AD ba, b 0 

. Ta thêm các dữ kiện 

Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại điểm A lấy điểm S, sao 

cho tam giác SA=2a . Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh SA sao cho AM =x ( 0< x 

< 2a). Khi đó, thiết diện của <strong>hình</strong> chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( MBC) 

tính 

được diện tích qua a, b, x. 

1 

VS . BCNM 

d S, BCNM . 

SBCNM 

. 

3 

Phát hiện, ta thấy 

Mà BCNM 

SAB 

Hơn nữa 

 

 

 

 

d S, BCNM MS 2a 

 

d A, 

BCNM MA 2a x 

d( A,( BCNM )) AH 

a 

ax 

 

 

 

 

x 

2 2 

(với AH 

. 

BM ). 






Trang 28 











Bài <strong>toán</strong> lại quay trở về điểm A trong <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng. Do vậy, có thể <strong>xây</strong> 

<strong>dựng</strong> thêm câu hỏi: Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD 

thành hai phần có thể tích bằng nhau. 


“Cho <strong>hình</strong> chóp S. 

ABCD có đáy ABCD là <strong>hình</strong> chữ nhật, 

AB a, AD b a, b 0 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) <strong>và</strong> SA 2a . 

 

 

Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho AM x với 0 x 2a 

. 

a) Tính diện tích thiết diện của <strong>hình</strong> chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng 

( MBC ) . 

b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai 

phần có thể tích bằng nhau.” 

(Đề thi chọn HSG lớp 12 – THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm <strong>học</strong> 2015 - 2016) 


B 

H 

S 

M 

A 

+) Chỉ ra thiết diện của <strong>hình</strong> chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là <strong>hình</strong> 

thang BCNM vuông tại B <strong>và</strong> M 

+) Tính diện tích thiết diện trở về tính BM , MN . 

+) Kẻ AH BM 

 

d S, 

BCNM 

 

tại H, suy ra AH BCNM 

 

 

 

 

a 2a x 

 

2 2 

a x 

 

. 

, 

N 

C 

AH 


D 

a 

ax 

x 

2 2 

1 

VS . BCNM 

d S, BCNM . 

SBCNM 

. 

3 

+) Tính thể tích khối chóp S.BCNM: 





Trang 29 











+) Điều kiện để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể 

tích bằng nhau: V 

. 

2V 

S ABCD 

Từ đó tìm được x 3 5 

SBCNM 

a . 


+) Do BC / / AD mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN 

( N SD ) <strong>và</strong> MN / / AD . 

 

AD SAB MN SAB MN BM . Suy ra thiết diện của <strong>hình</strong> chóp 

S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là <strong>hình</strong> thang BCNM vuông tại B <strong>và</strong> M 

2 2 MN SM b 2a x 

+) BM x a , MN 

AD SA 2a 

Diện tích thiết diện BCNM: 

S 

BCNM 

 

 

b 2a x 

2 2 

b 

a x 

2 2 

2a 

b4a x 

a x 

 

 

 

. 

2 4a 

+) Kẻ AH BM 

tại H, suy ra AH BCNM 

 

Do BCNM 

SAB 

 

 

 

, 

d S, 

BCNM MS 

 

d A, 

BCNM MA 

 

 

 

 

a 2a x 

d S, 

BCNM 

 

 

2 2 

a x 

+) Thể tích khối chóp S.BCNM: 

 

 

 

 

Trang 30 

 

AH 

2 4 

 

1 

b a x a x 

VS . BCNM 

d S, BCNM . 

SBCNM 

. 

3 12 

a 

ax 

x 

2 2 

+) Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng 

nhau: V 

S. 

ABCD 

2 4 

 

2 

2a b b a x a x 

2VSBCNM 

 

3 6 

x 

3 5 a (lo¹i) 

2 2 

x 6ax 4a 

0 

 

x 3 5 a 

 



 

 

 

 

Vậy x 3 5 

a . 

















*) Bài <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> phẳng : 

Từ <strong>hình</strong> chữ nhật ABCD có 0 

ADB 30 , AB a 2, AD a 6 ( cũng có thể 

cho các kích thước của <strong>hình</strong> chữ nhật các giá trị khác sao cho 0 

ADB 30 ). Quan 

tâm đến điểm H là trọng tâm tam giác ACD, để phát triển <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>. 

Lại có, kẻ DE / / AC . Khi đó K là <strong>hình</strong> chiếu của H trên DE. Suy ra HK 

tính được nhờ <strong>và</strong>o 

6 

HK DH. 

sin BDE 

a 

3 


Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại điểm H lấy điểm S, sao 

cho tam giác SBD vuông tại S. Từ đó tính được thể tích của khối chóp S.ABCD. 

Mặt khác, ta lại có DE / / AC nên nghĩ ngay đến việc tính khoảng cách 

giữa AC <strong>và</strong> SD, bởi vì d SD, AC d AC, SDE d O, 

SDE 

. Do vậy, có thể 

<strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> thêm câu hỏi: tính khoảng cách SD <strong>và</strong> AC. 

B 

A 

E 


O 

H 

“Cho <strong>hình</strong> chóp S.ABCD có đáy là <strong>hình</strong> chữ nhật, AB a 2, AD a 6 , SB vuông 

góc với SD <strong>và</strong> <strong>hình</strong> chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm 

tam giác ACD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD <strong>và</strong> khoảng cách SD <strong>và</strong> AC.” 


(Đề thi khảo sát lần 1 lớp 12 – THPT chuyên Vĩnh Phúc năm <strong>học</strong> 2016-2017) 

K 

C 

D 





Trang 31 








S 




E 


+) Tính 

K 

D 

L 

2 2 1 2a 

2 2 4a 

2 

DH DO . . BD BH BD 

3 3 2 3 3 3 

Do tam giác SBD vuông tại S nên 

+) Do đó V 

S. 

ABCD 

3 

1 8a 

3 

. SH. 

SABCD 

. 

3 9 

H 

A 

O 

Trang 32 

C 

2 

2 16a 

4a 

SH DH. 

BH SH . 

9 3 

3 

. 

2 

+) Xác định d SD, AC d AC, SDE d O, SDE d H, 

SDE 

 

d O SDE 3 d H SDE 3 HL . 

2 2 

+) Lập luận để có , , 

+) Tính được 

4a 

33 

HL . 

33 

3 2a 

33 

d SD AC d O SDE HL . 

2 11 

Do vậy , , 


+) Gọi H là <strong>hình</strong> chiếu vuông góc của S lên (ABC) <strong>và</strong> O là tâm của <strong>hình</strong> chữ 

nhật ABCD. 

Ta có 

2 2 1 2a 

2 2 4a 

2 

DH DO . . BD BH BD 

3 3 2 3 3 3 


Do tam giác SBD vuông tại S nên 

2 

2 16a 

4a 

SH DH. 

BH SH . 

9 3 

B 















Do đó V 

S. 

ABCD 

3 

1 8a 

3 

. SH. 

SABCD 

. 

3 9 

+) Dựng <strong>hình</strong> bình hành ACDE, ta được AC || DE suy ra AC || (SDE) 

, , , 

d SD AC d AC SDE d O SDE . 

3 3 

. 

2 2 

+) Do OD HD d O, SDE d H, 

SDE 

 

Từ H kẻ HK vuông góc với DE, <strong>và</strong> HL vuông góc với SK. 

Ta có DE SH , DE HK DE SHK DE HL, kết hợp với HL vuông góc 

d O SDE 3 d H SDE 3 HL . 

2 2 

với SK suy ra HL vuông góc (SDE). Do đó , , 

+) Ta có 

a 6 

HK DH. 2 DH.sin BDA.cos 

BDA B 

 

3 

0 

sin BDE , ( do DA 30 ) 

<strong>dụng</strong> hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta được 

1 1 1 33 4a 

33 

HL . 

2 2 2 2 

HL HS HK 16a 

33 

3 2a 

33 

d SD AC d O SDE HL . 

2 11 

Do vậy , , 


3. <strong>Khai</strong> <strong>thác</strong> <strong>một</strong> <strong>số</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> trong đề thi THPT QG: 

3.1. Bài <strong>toán</strong> 3.1. (Câu 32, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán 2019) 

Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1,H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt 

có bán kính đáy <strong>và</strong> chiều cao tương <strong>ứng</strong> là r 1 

, h 1 

, r 2 

, h 2 

r 2 

1 r , 2 

1 

h 2 

h 1 

thỏa mãn 

2 

(tham khảo <strong>hình</strong> vẽ). 


. Áp 





Trang 33 











Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm 3 , thể tích khối trụ H1) 

bằng 

A. 24cm 3 B. 15cm 3 C. 20cm 3 D. 10cm 3 

Phân tích 

Đây là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>, liên quan đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> tính thể tích của 

khối trụ tròn xoay. Để giải quyết <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này, <strong>học</strong> sinh phải nắm chắc công thức 

tính thể tích của khối tròn xoay <strong>và</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này qui về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng 

tính diện tích của <strong>hình</strong> tròn. 

Phương pháp: 

2 

Áp <strong>dụng</strong> công thức tính thể tích khối trụ V r h trong đó r là bán kính của khối 

trụ; h là chiều cao của khối trụ. 

Sử <strong>dụng</strong> đề <strong>bài</strong> để tính thể tích toàn bộ khối đồ chơi từ đó tìm được thể tích của 

khối trụ (H1). 

Cách giải: 

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là: 

2 2 2 1 2 3 2 

V r1 h1 r2 h2 r1 h1 r1 2h1 r1 h1 

30 

4 2 

r h 20 

2 

1 1 

Vậy thể tích khối trụ (H1) là 20 cm 3 

Chọn đáp án C. 

3.2. Bài <strong>toán</strong> 3.2. (Câu 46, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán 2019) 

Một biển quảng cáo có dạng <strong>hình</strong> elip với bốn đỉnh A1, A2, B1 ,B2 như <strong>hình</strong> 

vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m 2 <strong>và</strong> phần còn lại là 

100.000 đồng/ m 2 . Hỏi <strong>số</strong> tiền để sơn theo cách trên gần nhất với <strong>số</strong> tiền nào 

dưới đây, biết A1A2 8m, B1B2 = 6m <strong>và</strong> tứ giác MNPQ là <strong>hình</strong> chữ nhật có MQ 

3 m? 






Trang 34 











A. 7.322.000 đồng B. 7.213.000 đồng C. 5.526.000 đồng D. 5.782.000 đồng 

Phân tích 

Đây là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong>, liên quan đến <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> tính diện tích của 

<strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng <strong>hình</strong> elip. Thực chất là <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> của tích 

phân. Để giải quyết <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này, <strong>học</strong> sinh phải nắm chắc các định nghĩa về 

phương trình chính tắc của elip <strong>và</strong> công thức tính độ dài trục lớn, trục bé, tính 

đối x<strong>ứng</strong> của <strong>hình</strong> elip từ đó suy ra diện tích của <strong>hình</strong> đó dựa <strong>và</strong> công cụ tích 

phân. 


+) Viết phương trình Elip, tính diện tích Elip. 

+) Tính diện tích phần trắng, <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> tích phân để tính diện tích <strong>hình</strong> phẳng. 

+) Tính diện tích phần xanh sau đó tính chi phí để sơn. 

Cách giải: 

(E) đã cho có độ dài trục lớn 2a 8 a 4 , độ dài trục bé 2b 6 b 3. 

2 

Ta có diện tích (E) bằng: S 

.4.3 12 

E 

m 

 

x y 2 16 3 16 

Phương trình : 1 9 

x x 

E y y 

16 9 16 4 

Ta có 

2 2 2 2 

1 3 3 

M E ; yM 

MQ xM 

2 3 M 2 3; 

2 2 2 

Diện tích phần giới hạn bởi (E), trục Ox, đường thẳng MQ có diện tích: 

2 3 2 

3 16 x 

2 

S 

AMQ 

2 dx 1,087 => Diện tích phần trắng là: Strang 

2SAMQ 

2,174m 

 

4 

4 


2 

Khi đó diện tích phần xanh là Sxanh 

S 

Strang 

12 

2,174 6,525 

E 

m 

 

Trang 35 















Vậy chi phí để sơn biển quảng cáo là 2,174.100 35,525.200 7322 (nghìn 

đồng) 7322000 đồng. 

Chọn đáp án A. 

3.3. Bài <strong>toán</strong> 3.3. (Câu 31, mã 102, Đề thi THPT QG môn Toán 2018) 

Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm <strong>và</strong> 

chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ <strong>và</strong> phần lõi được làm 

bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút <strong>và</strong> 

3 

3 

đáy là <strong>hình</strong> tròn có bán kính 1mm . Giả định 1m gỗ có giá a (triệu đồng) , 1m 

than chì có giá 6a (triệu đồng) . Khi đó giá nguyên liệu làm <strong>một</strong> chiếc bút chì 

như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? 

A. 84,5.a (đồng) . B. 78, 2.a (đồng) . C. 8, 45.a (đồng) . D. 7,82.a (đồng) . 

Phân tích 


khối trụ tròn xoay <strong>và</strong> khối lăng trụ, trong đó khối trụ nằm trong khối lăng trụ có 

cùng chiều cao. Để giải quyết <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này, <strong>học</strong> sinh phải nắm chắc công thức 

tính thể tích của khối tròn xoay <strong>và</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này qui về <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng 

tính diện tích của <strong>hình</strong> tròn. 


2 

Áp <strong>dụng</strong> công thức tính thể tích khối trụ V r h trong đó r là bán kính của khối 

trụ; h là chiều cao của khối trụ, thể tích khối lăng trụ V B. 

h trong đó B là diện 

tích <strong>hình</strong> lục giác đều, đáy của khối lăng trụ; h là chiều cao của khối lăng trụ. 

Cách giải: 

CÁCH 1: 1 triệu đồng /m 3 3 

= 10 đồng / mm 3 

V 

lt 

2 

3 . 3 

3 

3 

200.6. 2700 3( mm ) ; Vc 

200 ( mm ) ; Vg Vlt Vc 

2700 3 200 

4 


3 3 3 

T Vg 

. a Vc 

.6 a.10 (2700 3 200 ). a 1200 a 

 

 

 

 

 

 

 

.10 (2700 3 1000 ) a.10 7,82a 

(đồng ) 





Trang 36 








CÁCH 2: 




1 m 3 3 

a 

gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1mm gỗ có giá đồng. 

1000 

1 m 3 3 

6a 

than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1mm than chì có giá đồng. 

1000 

2 3 

V1 200. .1 200 

mm . 

Phần chì của cái bút có thể tích bằng 

3 

Phần gỗ của bút chì có thể tích bằng V2 

200.6. 200 

2700 3 200 

mm 

 

Trang 37 

2 

3 3 

. 

4 

6 aV . 

1 

aV . 

2 

Số tiền làm <strong>một</strong> chiếc bút chì là 7,82a 

đồng. 

1000 

Chọn đáp án D. 

3.4. Bài <strong>toán</strong> 3.4. (Câu 26, mã 102, Đề thi THPT QG môn Toán 2018) 

2 

Ông A dự định <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> hết 6,7m kính để làm <strong>một</strong> bể cá bằng kính có 

dạng <strong>hình</strong> hộp chữ nhật <strong>không</strong> nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép 

có kích thước <strong>không</strong> đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết 

quả làm tròn đến hàng phần trăm) ? 

3 

3 

3 

3 

A. 1,57 m . B. 1,11m . C. 1, 23m . D. 2,48m . 

Phân tích 


khối hộp chữ nhật. Để giải quyết <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này, <strong>học</strong> sinh phải nắm chắc công thức 

tính thể tích của khối hộp chữ nhật khi biết 3 kích thước, trong đó có chiều cao 

<strong>không</strong> đổi, chiều dài <strong>và</strong> chiều rộng của đáy là biến <strong>số</strong>, <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> này qui về <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> max, min trong <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng. 

Bài giải : Giả <strong>sử</strong> kích thước chiều cao <strong>và</strong> các cạnh đáy lần lượt là h, x,2x . Ta có 


2 

V 2x h 

Diện tích kính dùng là : 

2 2 3 4 2 3 9 2 

S 2x 6xh 2x 3xh 3xh 3 18x h 3 V 2 















3 3 3 

2 S S S 

3 

9 2 6 

V V 1,57 m 

2 27 9 3 27 

Chọn đáp án A. 

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG. 

1. Bài 1. Cổng trường Đại <strong>học</strong> Bách Khoa Hà Nội có <strong>hình</strong> dạng Parabol, chiều 

rộng 8m , chiều cao 12,5m . Diện tích của cổng là: 

2 

2 100 2 

A. 100 m . B. 200 m . C. . 

3 m D. 200 2 

. 

3 m 

( Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2018 trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc). 

2. Bài 2. Một miếng tôn <strong>hình</strong> chữ nhật có chiều dài 10,2 dm , chiều rộng 2 

dm 

được uốn lại thành mặt xung quanh của <strong>một</strong> chiếc thùng đựng nước có chiều cao 

2 

dm 

( như <strong>hình</strong> vẽ). Biết rằng chỗ ghép mất 2 cm . Hỏi thùng đựng được bao 

nhiêu lít nước? 

A. 50 lít. B. 100lít. C. 20,4 lít. D. 20 lít. 

( Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2018 trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc). 

3. Bài 3. Một cái phễu có dạng <strong>hình</strong> nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta 

đổ <strong>một</strong> lượng nước <strong>và</strong>o phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 

cm. Nếu bịt kín miệng phễu <strong>và</strong> lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước 

trong phễu gần bằng nhất với giá trị nào sau đây. 

A. 1,07 cm. B. 10 cm. C. 9,35 cm. D. 0,87 cm. 

( Đề thi thử THPT QG năm 2019 trường THPT Chuyên Quang Trung, Bình 

Phước). 






Trang 38 











4. Bài 4. Cho <strong>hình</strong> chóp S.ABCD, có đáy ABCD là <strong>hình</strong> vuông cạnh a, tam 

giác SAD đều <strong>và</strong> mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 

Gọi M <strong>và</strong> N lần lượt là trung điểm của SB <strong>và</strong> DC. 

a) Tính thể tích khối tứ diện SMCN. 

b) Ch<strong>ứng</strong> minh rằng đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (SBN). 

(Đề thi chọn HSG 12 tỉnh Hòa Bình năm <strong>học</strong> 2016 – 2017) 

5. Bài 5. Cho <strong>hình</strong> chóp S. 

ABCD có đáy ABCD là <strong>hình</strong> vuông cạnh a, 

SA vuông 

góc với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của BC , góc giữa SC <strong>và</strong> mặt phẳng 

 

 

SAB bằng 30 o . Tính theo a thể tích khối chóp S. 

ABCD <strong>và</strong> khoảng cách giữa 

hai đường thẳng DE , SC . 

(Đề thi khảo sát chất lượng ôn thi THPT QG năm 2016, lần 2 tỉnh Vĩnh Phúc) 

6. Bài 6. Cho <strong>hình</strong> chóp S. 

ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 8, 

BC 6. Biết SA 6 <strong>và</strong> SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tìm bán kính mặt 

cầu có tâm thuộc phần <strong>không</strong> <strong>gian</strong> bên trong của <strong>hình</strong> chóp <strong>và</strong> tiếp xúc với tất cả 

các mặt của <strong>hình</strong> chóp S. 

ABC . 

( Đề thi chọn HSG 12 – Vĩnh Phúc năm <strong>học</strong> 2016 - 2017). 

7. Bài 7. Cho <strong>hình</strong> chóp S.ABCD có đáy ABCD là <strong>hình</strong> thoi tâm 

O, AC 2 3 a, BD 2a 

; hai mặt phẳng (SAC) <strong>và</strong> (SBD) cùng vuông góc với mặt 

phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 

Tính thể tích khối chóp S. 

ABC theo a. 

( Đề thi chọn HSG 12 – Vĩnh Phúc năm <strong>học</strong> 2017 - 2018). 

a 3 

. 

2 

8. Bài 8. Cho <strong>hình</strong> chóp SABCD có đáy là <strong>hình</strong> bình hành. Gọi K là trung điểm 

của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M <strong>và</strong> N. Gọi V1, V 

thứ tự là thể tích của khối chóp SAMKN <strong>và</strong> khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ 

V1 

nhất <strong>và</strong> giá trị lớn nhất của tỷ <strong>số</strong> 

V . 


( Đề thi chọn HSG 12 – Ninh Bình năm <strong>học</strong> 2017 - 2018). 





Trang 39 











- Về khả năng áp <strong>dụng</strong> của sáng kiến: 

Có thể nói rằng, các kết quả đã biết trong <strong>hình</strong> <strong>học</strong> phẳng là nhiều vô kể 

<strong>và</strong> có nhiều kết quả hay. Nếu biết khai <strong>thác</strong> <strong>một</strong> cách hợp lí các kết quả đó <strong>và</strong> 

phát triển sang <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> thì chúng ta có thể <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> rất nhiều <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> khác nhau, tùy thuộc <strong>và</strong>o mức độ khó dễ mà chúng ta mong muốn <strong>và</strong> có 

<strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> cách thiết <strong>thực</strong> trong giảng dạy phần <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. Qua 

sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi mong rằng các thầy cô giáo nghiên cứu <strong>và</strong> 

áp <strong>dụng</strong> phương pháp này <strong>và</strong>o <strong>thực</strong> tiễn dạy <strong>học</strong> để rút ra được nhiều điều bổ 

ích để đạt hiệu quả cao trong việc khai <strong>thác</strong> <strong>và</strong> <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> các đề <strong>và</strong> giải các <strong>bài</strong> 

<strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>và</strong> truyền sự say mê này đến các <strong>học</strong> sinh của mình. 

Giúp các em <strong>học</strong> sinh “Phát triển tư duy khoa <strong>học</strong>” <strong>và</strong> “tăng cường ở các em ý 

thức, năng lực vận <strong>dụng</strong> <strong>một</strong> cách thông minh những điều đã <strong>học</strong>”, hướng dẫn 

<strong>học</strong> sinh tự <strong>học</strong>, tự đọc tài liệu liên quan. 

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> như chuyên đề bồi 

dưỡng cho các em <strong>học</strong> sinh ở các lớp chuyên đề 11, 12 <strong>và</strong> cũng có thể cho các 

<strong>học</strong> sinh ôn tập thi THPT QG, thi chọn <strong>học</strong> sinh giỏi cấp Tỉnh. Khi <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> 

sáng kiến kinh nghiệm này, <strong>học</strong> sinh sẽ dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp 

thích hợp <strong>và</strong> vận <strong>dụng</strong> sáng tạo cho mỗi <strong>bài</strong> <strong>toán</strong>. 

Sáng kiến kinh nghiệm “<strong>Khai</strong> <strong>thác</strong> <strong>và</strong> <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>một</strong> <strong>số</strong> <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> <strong>hình</strong> <strong>học</strong> 

<strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> <strong>thường</strong> <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> trong kỳ thi THPT QG <strong>và</strong>o 

giảng dạy môn <strong>toán</strong> ở trường THPT” có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho 

giáo viên dạy <strong>toán</strong> THPT khi giảng dạy về <strong>hình</strong> <strong>học</strong> <strong>không</strong> <strong>gian</strong>. Sáng kiến kinh 

nghiệm đã được báo cáo trong hội nghị các chuyên đề Toán về ôn thi THPT QG 

<strong>và</strong> bồi dưỡng HSG THPT tại trường THPT Bến Tre, thành phố Phúc Yên <strong>và</strong> 

được hội nghị đánh giá cao về chất lượng nội dung <strong>và</strong> khả năng <strong>ứng</strong> <strong>dụng</strong> của 

Sáng kiến kinh nghiệm. 

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 


9. Các điều kiện cần thiết để áp <strong>dụng</strong> sáng kiến: 





Trang 40 











Sau khi <strong>học</strong> sinh được trang bị xong kiến thức Hình <strong>học</strong> 11 thì có thể áp 

<strong>dụng</strong> các kết quả của sáng kiến cho <strong>học</strong> sinh vận <strong>dụng</strong> <strong>và</strong> <strong>thực</strong> hành. 

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp <strong>dụng</strong> sáng 

kiến theo ý kiến của tác giả <strong>và</strong> theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia 

áp <strong>dụng</strong> sáng kiến lần đầu, kể cả áp <strong>dụng</strong> thử (nếu có) theo các nội dung 

sau: 

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp <strong>dụng</strong> sáng 

kiến theo ý kiến của tác giả: 

Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở <strong>thực</strong> tiễn chọn sáng kiến kinh nghiệm 

<strong>và</strong> các biện pháp triển khai , qua khảo sát <strong>thực</strong> <strong>tế</strong> việc tiếp thu của <strong>học</strong> sinh, tôi 

thấy đã đạt được <strong>một</strong> <strong>số</strong> kết quả cụ thể như sau: 

1. Với việc trình bày các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay 

sau đó, sẽ giúp tăng cường <strong>bài</strong> giảng cho các thầy, cô giáo <strong>và</strong> với các em <strong>học</strong> 

sinh sẽ dễ hiểu <strong>và</strong> biết cách trình bày <strong>bài</strong>, <strong>học</strong> sinh biết vận <strong>dụng</strong> thành thạo các 

kiến thức đã <strong>học</strong> làm cơ sở cho việc tiếp thu <strong>bài</strong> mới <strong>một</strong> cách thuận lợi, vững 

chắc. Đặc biệt là nội dung phần Nhận xét sau <strong>một</strong> <strong>và</strong>i <strong>bài</strong> tập ví dụ sẽ giúp các 

em <strong>học</strong> sinh củng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn 

nhận vấn đề đặt ra cho các em <strong>học</strong> sinh, để trả lời <strong>một</strong> cách thỏa đáng câu hỏi “ 

Tại sao lại nghĩ <strong>và</strong> làm như vậy?” 

2. Luyện tập cho <strong>học</strong> sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để <strong>học</strong> sinh 

phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc 

lập <strong>và</strong> thông qua việc thảo luận, tranh luận mà <strong>học</strong> sinh phát triển khả năng nói 

lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải <strong>toán</strong>. 

3. Học sinh biết vận <strong>dụng</strong> các kiến thức đơn lẻ để giải các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> tổng hợp 

nhiều kiến thức. 

4. Ngoài ra có rất nhiều <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các 


em <strong>học</strong> sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải. 

5. Với phong cách trình bày như vậy, sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm 

giúp cho các em <strong>học</strong> sinh rèn luyện năng lực vận <strong>dụng</strong> lý thuyết được <strong>học</strong>. Tạo 

Trang 41 















<strong>không</strong> khí sôi nổi, niềm say mê h<strong>ứng</strong> thú cho <strong>học</strong> sinh bằng các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> sinh 

động, hấp dẫn <strong>thực</strong> sự biến giờ <strong>học</strong>, lớp <strong>học</strong> luôn là <strong>không</strong> <strong>gian</strong> <strong>toán</strong> <strong>học</strong> cho <strong>học</strong> 

sinh. 

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp <strong>dụng</strong> sáng 

kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 

Kết quả triển khai sáng kiến kinh nghiệm ở trường THPT Bến Tre – tỉnh Vĩnh 

Phúc đã được giảng dạy cho lớp 12 <strong>và</strong> các lớp bồi bưỡng HSG Toán 11, 12, đặc 

biệt là <strong>học</strong> sinh ôn thi THPT QG trong năm <strong>học</strong> 2017 – 2018 <strong>và</strong> năm <strong>học</strong> 2018 

– 2019, bước đầu <strong>học</strong> sinh đã biết vận <strong>dụng</strong> <strong>và</strong> cảm thấy thuận lợi hơn trong việc 

giải quyết các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> về vấn đề này. 

Kết quả qua 02 lần kiểm tra đã thể hiện rõ độ tăng trưởng về điểm <strong>số</strong> như sau: 

Kết quả 

Khảo sát 

Lớp Thực 

nghiệm 

Lớp Đối 

ch<strong>ứng</strong> 

Nhận xét: 

Tổng <strong>số</strong> 

Hs 

Giỏi Khá Trung bình Yếu kém 

SL % SL % SL % SL % 

40 12 30 26 65 2 5 0 0 

40 2 5 18 45 20 50 0 0 

Tỉ lệ <strong>học</strong> sinh Giỏi: Lớp 12A1 tăng 25%. Lớp 12A4 tăng 2.5%. 

Tỉ lệ <strong>học</strong> sinh Khá: Lớp 12A1 tăng 5%. Lớp 12A4 tăng 20%. 

Tỉ lệ <strong>học</strong> sinh TBình: Lớp 12A1 giảm 50%. Lớp 12A4 tăng 5%. 

Tỉ lệ <strong>học</strong> sinh Yếu: Lớp 12A1 giảm 15%. Lớp 12A4 giảm 27.5%. 

Qua <strong>thực</strong> tiễn giảng dạy <strong>và</strong> kết quả <strong>thực</strong> nghiệm, chúng tôi thấy rằng tỷ lệ 

<strong>học</strong> sinh nắm chắc <strong>bài</strong> xếp loại khá giỏi tăng lên đáng kể, tỷ lệ <strong>học</strong> sinh xếp loại 

TBình giảm rõ rệt; <strong>không</strong> có <strong>học</strong> sinh yếu, kém. 

Có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực của bản thân mỗi <strong>học</strong> sinh còn phải 

kể đến việc <strong>sử</strong> <strong>dụng</strong> thành công các kiến thức mà trong sáng kiến kinh nghiệm 

đã <strong>xây</strong> <strong>dựng</strong> <strong>và</strong> áp <strong>dụng</strong> cho đúng đối tượng <strong>học</strong> sinh. 


11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp <strong>dụng</strong> thử hoặc áp <strong>dụng</strong> 

sáng kiến lần đầu: 

Trang 42 















Số 

TT 

Tên tổ 

chức/cá nhân 

Địa chỉ 

Phạm vi/Lĩnh vực 

áp <strong>dụng</strong> sáng kiến 

1 Lớp 12A1, 

12A4 

Trường THPT Bến Tre Vận <strong>dụng</strong> kiến thức SKKN 

qua kiểm tra đánh giá 

2 Tổ Toán-Tin Trường THPT Bến Tre Hội thảo, trao đổi <strong>và</strong> áp <strong>dụng</strong>. 






Trang 43 











TT 

PHỤ LỤC I 

ĐIỂM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12A1 THPT BẾN TRE NĂM 2017 - 2018 

HỌ VÀ TÊN 

(Lớp <strong>thực</strong> nghiệm) 

Trang 44 

Điểm trước tác động 

(Ngày kiểm tra 

15/01/2018) 

Điểm sau tác động 


15/04/2018) 

1 ĐỖ THỊ LAN ANH 5 7 

2 NGUYỄN THẾ ANH 7 9 

3 NGUYỄN HỮU DOANH 7 9 

4 NGUYỄN HỒNG DUYÊN 9 9 

5 LÊ HẢI DƯƠNG 5 7 

6 NGUYỄN THÙY DƯƠNG 6 7 

7 NGUYỄN THÀNH ĐẠT 6 7 

8 NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH 5 7 

9 VŨ NGỌC HIẾU 4 7 

10 NGUYỄN VIẾT HÙNG 6 7 

11 NGÔ QUANG HUY 7 9 

12 NGUYỄN THẢO HƯƠNG 8 9 

13 NGUYỄN THỊ HƯƠNG LAN 5 7 

14 NGUYỄN THỊ LÂM 9 9 

15 ĐỖ HOÀNG LINH 6 7 

16 LÊ THÀNH LONG 5 8 

17 NGUYỄN THỊ MAY 7 9 

18 ĐINH HỒNG MINH 6 8 

19 ĐINH TUẤN MINH 5 8 

20 NGUYỄN TRÀ MY 8 9 

21 NGUYỄN THỊ TRÀ MY 6 7 

22 NGUYỄN ĐĂNG NAM 5 7 

23 ĐỖ MINH NGỌC 7 9 

24 CAO THỊ PHƯƠNG 6 7 

25 NGUYỄN CÔNG SƠN 5 7 

26 NGUYỄN VĂN SƠN 8 9 


27 PHẠM NGỌC THÀNH 6 7 

28 NGUYỄN THỊ THAO 3 5 















29 LÊ THU THẢO 8 9 

30 NGUYỄN THỊ THẢO 5 7 

31 NGUYỄN CÔNG THÌN 4 8 

32 ĐÀO PHƯƠNG THÙY 7 9 

33 HOÀNG QUỲNH TRANG 5 7 

34 ĐINH THỊ CẨM TÚ 4 7 

35 PHẠM VĂN TUẤN 6 7 

36 NGUYỄN THỊ THU YẾN 8 9 

37 NGUYỄN CHÂU LINH 4 7 

38 VŨ QUANG CHIẾN 4 5 

39 NGÔ KHƯƠNG DUY 5 7 

40 NGUYỄN VĂN MINH ĐỨC 7 9 

TT 

ĐIỂM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12A4 THPT BẾN TRE NĂM 2017 - 2018 

HỌ VÀ TÊN 

(Lớp đối ch<strong>ứng</strong>) 

Trang 45 

Điểm trước tác động 


15/01/2018) 

Điểm sau tác động 


15/04/2018) 

1 NGUYỄN THỊ AN 3 5 

2 ĐẶNG VÂN ANH 5 5 

3 NGUYỄN MAI ANH 4 5 

4 NGUYỄN MINH ANH 5 5 

5 NGUYỄN TRUNG HẬU 9 9 

6 PHẠM THỊ QUỲNH HOA 5 5 

7 ĐOÀN KHÁNH HÒA 7 7 

8 ĐOÀN LINH HƯƠNG 4 4 

9 ĐỖ THỊ THANH HƯƠNG 5 5 

10 NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG 5 7 

11 ĐỖ ĐĂNG KHÁNH 7 8 

12 NGUYỄN THỊ KHIÊM 7 8 

13 ĐOÀN THANH LAM 6 7 


14 LÊ THỊ THÙY LINH 5 7 

15 NGUYỄN DIỆU LINH 5 5 

16 NGUYỄN DIỆU LINH 7 9 















17 NGUYỄN HƯƠNG LY 6 7 

18 NGUYỄN HÀ LINH 7 7 

19 NGUYỄN LÊ THÙY LINH 4 5 

20 ĐỖ THỊ LOAN 4 5 

21 LÊ ĐỨC LONG 7 7 

22 NGUYỄN THÀNH LONG 5 5 

23 TRẦN HÀ LINH 7 7 

24 LÊ HÀ MY 4 5 

25 NGUYỄN NGỌC THANH NGOAN 4 5 

26 NGUYỄN MINH NGỌC 6 7 

27 NGUYỄN THỊ NHUNG 7 8 

28 NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG 5 7 

29 NGUYỄN ANH QUÂN 6 7 

30 KIỀU THỊ BÍCH PHƯỢNG 6 7 

31 NGUYỄN VĂN THẮNG 7 7 

32 NGUYỄN NHƯ QUỲNH 4 5 

33 NGUYỄN THỊ THỦY 5 7 

34 HOÀNG HÀ VI 5 6 

35 NGUYỄN THANH VÂN 5 6 

36 NGUYỄN HẢI YẾN 5 7 

37 DƯƠNG THỊ HỒNG ANH 4 5 

38 LÊ SĨ VIỆT ANH 4 4 

39 NGUYỄN HUYỀN ANH 7 8 

40 NGUYỄN MAI ANH 3 5 

Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2019 

Hiệu trưởng 

Nguyễn Thanh Hiên 

Vĩnh Phúc, ngày 19 tháng 02 năm 2019 

Tác giả sáng kiến 

Dương Ngọc Anh 






Trang 46

Khai thác và xây dựng một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?