U1 MAT 7ºB (001-035).qxd - Ediciones Cal y Canto
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Séptimo básico<br />
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE<br />
Leonardo Cárdenas <strong>Cal</strong>derón<br />
Profesor de Educación General Básica,<br />
con especialidad en Matemática.
Estructura del libro<br />
Entrada de Unidad<br />
Una introducción al tema de la Unidad, los aprendizajes que se espera que logres y<br />
la sección Para comenzar, serán tu punto de partida a nuevos aprendizajes.<br />
4<br />
Integración de la unidad<br />
Te invitamos a cerrar cada Unidad<br />
relacionando los conceptos y habilidades<br />
aprendidos.<br />
Introducción a la Unidad<br />
Una pequeña historieta o imagen te<br />
invita a descubrir nuevos desafíos.<br />
Proyecto<br />
Te proponemos actividades de<br />
investigación, interrelacionadas con<br />
temas de la vida diaria.
Secciones<br />
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
Aplica lo que trabajaste en la resolución de<br />
nuevos problemas.<br />
TRABAJO EN EQUIPO<br />
“Dos cabezas piensan más que una”.<br />
Te proponemos que en equipo<br />
desarrolles tus habilidades y construyas<br />
nuevos aprendizajes.<br />
Me evalúo<br />
Reutiliza tus conocimientos y evalúa tu aprendizaje.<br />
DISCUSIÓN EN GRUPO<br />
Analiza, evalúa o decide en conjunto<br />
con tu grupo la mejor respuesta para<br />
las preguntas aquí propuestas.<br />
EXPLORA<br />
Solo o acompañado descubre los<br />
procedimientos para resolver problemas,<br />
aplicando distintas estrategias.<br />
Conexión con Internet<br />
Puedes buscar más<br />
información con ayuda de un<br />
adulto.<br />
¿Sabías?<br />
Aquí encontrarás muchos<br />
datos curiosos y anécdotas<br />
históricas relacionados con<br />
la matemática. ¡Descúbrelos!<br />
TOMA NOTA<br />
Una vez que desarrollaste<br />
nuevos aprendizajes, aquí te<br />
entregamos la formalización de<br />
los aspectos más importantes.<br />
5
Índice<br />
1<br />
UNIDAD 1<br />
Los números<br />
enteros<br />
negativos en la<br />
vida diaria<br />
• La necesidad de crear números . . . . . . 10<br />
• Los números naturales. . . . . . . . . . . . . . 11<br />
• ¡Números negativos! . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
• Del número natural a los<br />
números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
• ¿Qué es el valor absoluto de<br />
un número entero?. . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
• ¡A comparar y ordenar<br />
números enteros! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
• ¿Cómo resolver operaciones<br />
con números enteros? . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
• Sustracción de números enteros . . . . . 26<br />
• La operatoria combinada y<br />
el uso de paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
• Integración de la Unidad . . . . . . . . . . . . 33<br />
• Me evalúo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
6<br />
8<br />
2<br />
36<br />
3<br />
66<br />
UNIDAD 2<br />
UNIDAD 3<br />
Las potencias<br />
y el sistema<br />
decimal<br />
• Razonando con potencias . . . . . . . . . . . 38<br />
• ¡Una reproducción exponencial!. . . . . . 39<br />
• Potencias, desarrollo y producto . . . . . 40<br />
• Potencias de exponente 2 . . . . . . . . . . . 42<br />
• Midiendo superficies . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
• <strong>Cal</strong>culando áreas para<br />
medir superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
• Potencias de exponente 3 . . . . . . . . . . . 48<br />
• Potencias y regularidades . . . . . . . . . . . 51<br />
• ¿Que regla habrá para la<br />
división de potencias? . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
• Potencias de exponente 1 y 0 . . . . . . . . 54<br />
• Números decimales y<br />
potencias de base 10 . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
• Notación científica y las<br />
potencias de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
• Relaciona el teorema con<br />
las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
• Integración de la Unidad . . . . . . . . . . . . 63<br />
• Me evalúo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
Iniciación al<br />
lenguaje<br />
algebraico y<br />
ecuaciones<br />
• Trabaja con variables . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
• ¡Variables y constantes<br />
en las cuentas!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
• Escritura de expresiones y<br />
lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
• ¿Cómo hacer para sumar y restar<br />
expresiones algebraicas? . . . . . . . . . . . . 76<br />
• ¿Cómo expresar una<br />
diferencia algebraicamente? . . . . . . . . 78<br />
• Las igualdades y el uso de ecuaciones . . 80<br />
• ¿Qué es una ecuación?. . . . . . . . . . . . . . 82<br />
• ¿Cómo podemos resolver<br />
una ecuación? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
• Integración de la Unidad . . . . . . . . . . . . 89<br />
• Me evalúo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4<br />
UNIDAD 4<br />
Razones y<br />
proporciones<br />
• ¿Qué es una razón?. . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
• Razones en la vida cotidiana. . . . . . . . . 96<br />
• Formulando razones y proporciones . . 97<br />
• Variación proporcional y<br />
no proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
• Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . 102<br />
• Proporcionalidad inversa. . . . . . . . . . . 105<br />
• Proporcionalidad directa y<br />
porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
• El porcentaje y sus aplicaciones . . . . . 112<br />
• Representando porcentajes . . . . . . . . 118<br />
• Dibujando a escala . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
• Integración de la Unidad. . . . . . . . . . . 123<br />
• Me evalúo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
5<br />
UNIDAD 5<br />
Formas y<br />
transformaciones<br />
geometricas<br />
• Los orígenes de la geometría . . . . . . .128<br />
• Trabajando con poliedros . . . . . . . . . .129<br />
• Investigando los prismas . . . . . . . . . . .130<br />
• ¿Qué otras características tienen<br />
los prismas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132<br />
• Combinación y partición de prismas .134<br />
• ¿Cómo determinar el volumen<br />
en los prismas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136<br />
• <strong>Cal</strong>culando volúmenes . . . . . . . . . . . . .138<br />
• Cálculo de volumen por descomposición .140<br />
• Una relación importante: unidades<br />
de volumen y capacidad . . . . . . . . . . .141<br />
• Del espacio a la transformaciones<br />
en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142<br />
• Reflexiones en el plano . . . . . . . . . . . .144<br />
• Reflexiones en el plano de coordenadas .144<br />
• Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145<br />
• Dirección, sentido y magnitud . . . . . .149<br />
• Coordenadas para describir<br />
una traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150<br />
• Una transformación que gira figuras 152<br />
• Simetría rotacional . . . . . . . . . . . . . . . .154<br />
• Transformaciones geométricas y<br />
teselados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158<br />
• Integración de la Unidad . . . . . . . . . . .160<br />
• Me evalúo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162<br />
6<br />
UNIDAD 6<br />
92 126 164<br />
El mundo de los<br />
datos y las<br />
probabilidades<br />
• Trabajando con la información. . . . . . 166<br />
• Tratamiento de datos cualitativos . . . 167<br />
• Tratamiento de datos<br />
cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
• Datos cuantitativos continuos . . . . . . 174<br />
• Experimentos aleatorios y<br />
sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178<br />
• Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br />
• ¿Qué probabilidad hay de<br />
que ocurra un suceso? . . . . . . . . . . . . . 181<br />
• Probabilidad v/s<br />
Frecuencia Relativa. . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
• Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br />
• Integración de la Unidad. . . . . . . . . . . 186<br />
• Me evalúo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br />
7
1UNIDAD 1<br />
Durante nuestros años de estudio, la<br />
Matemática y en especial los números<br />
han sido parte importante en la<br />
comprensión del mundo que nos rodea.<br />
Sin duda, lo que has trabajado y<br />
aprendido en relación con los diferentes<br />
aspectos y usos de los números te ha<br />
permitido interpretar y resolver diferentes<br />
problemas que ocurren en la vida diaria.<br />
En el desarrollo y estudio de esta<br />
Unidad, te invitamos a conocer,<br />
comprender y aplicar un nuevo tipo de<br />
números, que, a diferencia de los ya<br />
conocidos, son menores que cero,<br />
conocimiento que también podrás<br />
utilizar para describir e interpretar<br />
diferentes situaciones del mundo real.<br />
Aprenderás a:<br />
Describir e interpretar situaciones del<br />
mundo real en las que estén<br />
involucrados números negativos y<br />
números positivos.<br />
Comprender el sentido y significado<br />
que tiene el uso del signo positivo y el<br />
del negativo en los números.<br />
Representar en la recta numérica<br />
números enteros positivos y números<br />
enteros negativos, estableciendo<br />
relaciones de orden entre ellos.<br />
Resolver problemas en diferentes<br />
contextos, en que se requiera aplicar<br />
la adición y la sustracción de números<br />
positivos y de números negativos con<br />
la interpretación de su resultado.
Los números<br />
enteros negativos<br />
en la vida diaria<br />
Para comenzar<br />
1. Observa la temperatura en grados Celsius (ºC) que<br />
se muestra en cada termómetro.<br />
A B a. ¿Qué escala e<br />
intervalo de<br />
graduación tienen<br />
ambos termómetros?<br />
b. ¿Qué temperatura<br />
marca cada uno?<br />
Estas medidas, ¿están<br />
sobre o bajo cero?<br />
2. El siguiente esquema muestra algunas de las<br />
principales montañas y fosas oceánicas del mundo.<br />
12.000 m<br />
Everest, 8.853 m<br />
Aconcagua, 6.980 m<br />
Kilimanjaro, 5894 m<br />
Mont Blanc, 4.807 m<br />
8.000 m<br />
4.000 m<br />
0 Nivel del<br />
mar<br />
4.000 m<br />
Fosa de Atacama, 7.<strong>035</strong> m<br />
8.000 m<br />
Fosa de Filipinas, 10.500 m<br />
Fosa de Las Marianas, 11.034 m<br />
12.000 m<br />
a. ¿Cuáles de estas marcas se ubican por sobre el nivel<br />
del mar? ¿Y bajo el nivel del mar?<br />
b. ¿Cuál está más próximo al nivel del mar? ¿Cuál está<br />
más lejos?<br />
c. ¿Qué tanto más cerca del nivel del mar está el Mont<br />
Blanc que el Aconcagua?<br />
d. ¿Qué relación tiene el nivel del mar con las marcas de<br />
las montañas? ¿Y con las marcas de las fosas?<br />
9
La necesidad de crear<br />
números<br />
¿Sabías?<br />
Los pueblos primitivos sólo<br />
contaban hasta 3 con<br />
símbolos; para cantidades<br />
mayores decían muchos.<br />
10<br />
Torak vio<br />
muchos<br />
mamuts en<br />
el valle,<br />
¡muchos!<br />
Imagina a personas primitivas sentadas frente al fuego escuchando el<br />
relato de historias que servirían de aprendizaje para los más pequeños y<br />
que luego formaron parte de la experiencia y tradición de la tribu.<br />
Observa y lee el siguiente cómic:<br />
UNIDAD 1<br />
¿Estos<br />
mamuts?<br />
No, ¡más!<br />
Comenta el diálogo con tu grupo y<br />
responde:<br />
• ¿Qué dificultades enfrentaron los<br />
primeros seres humanos para<br />
comunicar cantidades?<br />
• Cuando aún no se creaban los<br />
símbolos numéricos, ¿qué otros<br />
recursos o medios crees tú<br />
emplearon hombres y mujeres<br />
para poder representar<br />
cantidades?<br />
• ¿Qué importancia tiene para el<br />
ser humano la creación de<br />
símbolos de expresión<br />
numérica?<br />
Entonces,<br />
¿estos?<br />
No, anciano,<br />
más todavía.<br />
¿Cómo<br />
les explico<br />
bien lo<br />
que vi?<br />
Después...<br />
Ya... todos estos<br />
mamuts vio Torak<br />
en el valle...uf!!!!
Los números naturales<br />
Antiguamente, para contar se ponían en<br />
correspondencia uno a uno los distintos<br />
elementos del conjunto contado con un<br />
mismo tipo de objetos encontrados en la<br />
naturaleza. Así, por ejemplo: diez mamuts<br />
podían ser representados por los dedos de<br />
ambas manos, con diez piedrecillas, diez<br />
semillas o marcas en una varilla.<br />
Cuando las personas comenzaron a emplear<br />
estos procedimientos de conteo y orden de<br />
los elementos, dieron lugar a la creación de<br />
un conjunto numérico de referencia que<br />
conocemos con el nombre de números<br />
naturales.<br />
Recuerda que los números naturales son un conjunto infinito y<br />
ordenado que nos permite responder a la pregunta de ¿cuántos hay?<br />
Ellos también son empleados para ordenar un conjunto de elementos<br />
y trabajar con diferentes operaciones.<br />
Su representación en la recta numérica es:<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
Los números también nos permiten conocer e interpretar la realidad.<br />
Lee la siguiente información.<br />
La cordillera de los Andes constituye la fachada oriental del territorio<br />
nacional. Su altura promedio hasta la latitud de Santiago es de 5.000<br />
m.s.n.m. Al sur de Santiago comienza a descender hasta el extremo austral<br />
del continente. Reaparece en la Antártica con el nombre de Antartandes.<br />
En el norte y centro del país las cumbres más sobresalientes son el volcán<br />
Llullaillaco (6.739 m), Nevado de Incahuasi (6.621 m), Ojos del Salado<br />
(6.893 m), tres Cruces (6.753 m) y cerro Tupungato (6.570 m). Entre la<br />
latitud de Santiago y los Andes patagónicos las alturas disminuyen<br />
considerablemente, de manera que en la región magallánica la máxima<br />
altura se encuentra en la cordillera de Darwin (3.000 m). (Fuente, INE)<br />
¿Qué importante información es descrita usando números? Explica.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
¿Sabías?<br />
Los papúes de Nueva Guinea<br />
para indicar 7 tocan con su<br />
mano izquierda<br />
sucesivamente los dedos de<br />
su mano derecha, la muñeca<br />
y el codo.<br />
11
12<br />
¡Números negativos!<br />
En la vida real ocurren situaciones de tipo numérico que no pueden<br />
describirse completamente con los números naturales. Sin duda, estas<br />
descripciones requieren el uso de números bastante exclusivos.<br />
¿Cuáles serán?<br />
Observa y analiza la siguiente información numérica.<br />
a. ¿Qué observas de especial en estos números?<br />
b. Según la situación, ¿qué crees tú representa el signo (–) ? ¿Y el (+)?<br />
¿Qué indica cada número independiente de su signo?<br />
Región de Tarapacá, al sur de TALTAL, entre <strong>Cal</strong>eta Cifuncho y Punta Ballenita<br />
Océano Pacífico<br />
Nivel del Mar<br />
0<br />
1.000<br />
2.000 Fosa de Atacama<br />
3.000<br />
4.000<br />
5.000<br />
6.000<br />
7.000<br />
7.<strong>035</strong><br />
De acuerdo con la información numérica que se muestra en el<br />
esquema de la fosa de Atacama:<br />
• ¿Qué signos pondrías a los números que indican los metros de altura<br />
y los metros de profundidad? ¿Por qué?<br />
• Según el esquema, ¿qué relación tiene el cero con los metros de<br />
profundidad? ¿Y con los metros de altura?<br />
• Si el nivel del mar está representado por un cero, ¿le pondrías signo?<br />
¿Por qué?<br />
UNIDAD 1<br />
Pampa<br />
CERRO Aguas Blancas 5.760 m<br />
Cordillera de los<br />
Andes<br />
5.000<br />
4.000<br />
3.000<br />
2.000<br />
1.000<br />
0
En las imágenes se observan números con un signo menos (–),<br />
llamados números negativos, y otros que llevan un signo más (+), los<br />
números positivos. Ambos signos permiten representar información<br />
numérica, referida, por ejemplo, a temperaturas sobre o bajo cero,<br />
indicar qué tan arriba o abajo del nivel del mar se encuentra un lugar,<br />
las ganancias o pérdidas en dinero, etc.<br />
Como puedes ver, los números negativos y los números positivos<br />
también permiten describir e interpretar hechos de la realidad.<br />
EXPLORA<br />
• Observa la información obtenida a partir de las mediciones hechas por<br />
la Estación Meteorológica Teniente Vidal de Coihaique.<br />
Temperaturas ºC Tº Máx. abs. Tº Min. abs.<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
–10<br />
DISCUSIÓN EN GRUPO<br />
Temperaturas 2005<br />
E F M A M J J A S O N D<br />
Meses<br />
Fuente: Gráfico elaborado por el INE, con información proporcionada por<br />
la Dirección Meteorológica de Chile (Adaptación).<br />
a. Realizando una aproximación a un valor entero, organiza en una tabla<br />
de datos las temperaturas máximas y mínimas registradas<br />
mensualmente en el gráfico, anteponiendo un signo – o + según<br />
corresponda. Explica el criterio utilizado para asignar uno u otro signo.<br />
b. De acuerdo con el gráfico y tabla confeccionados, ¿qué relación tiene<br />
el cero con las temperaturas con signo positivo? ¿Y cuál con las de<br />
signo negativo?<br />
c. Respecto del cero, ¿qué indica? ¿Le pusiste signo? ¿Por qué?<br />
• ¿En qué otras situaciones o hechos de la vida diaria se podrán utilizar<br />
números negativos?, ¿en cuáles se podrán usar números positivos?<br />
Piensa en algunas y comparte con tus compañeros y compañeras los<br />
ejemplos.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
¿Sabías?<br />
El cero es el único número<br />
entero que no es positivo ni<br />
negativo.<br />
13
14<br />
Del número natural a los<br />
números enteros<br />
TRABAJO EN EQUIPO<br />
La siguiente actividad probablemente te permitirá hacer un<br />
descubrimiento interesante. ¿Cuál será? Realiza el juego con tu<br />
profesor o profesora y observa lo que puede ocurrir. ¡Manos a la obra!<br />
• Por pareja, se utilizan 2 dados de colores diferentes y un papel donde se<br />
debe dibujar la recta de los números naturales.<br />
• Por turno, cada jugador tira los 2 dados, se restan los dos números y se<br />
avanza o retrocede en la recta, dependiendo del color del dado, tantos<br />
lugares como indica el resultado.<br />
• Gana el jugador que consigue sobrepasar un cierto número de la recta<br />
numérica, el que debería estar acordado previamente como meta.<br />
Por ejemplo:<br />
El juego consiste en sobrepasar 6. Un jugador que está en la posición 4<br />
hace su cuarto lanzamiento y los dados muestran respectivamente:<br />
La resta es 5 – 3 = 2 pero como el número mayor es representativo del<br />
dado rojo, entonces desde 4 se deben retroceder 2 lugares.<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Observación<br />
• Avanzar se describe con un signo más (+) y retroceder con un signo menos (–). Los desplazamientos<br />
deben quedar registrados en la recta.<br />
UNIDAD 1<br />
Materiales: 2 dados de diferente color, una hoja cuadriculada,<br />
lápiz mina, regla y una goma de borrar.<br />
retrocede (–) avanza (+)<br />
Las tareas realizadas anteriormente te han permitido constatar la<br />
existencia de otro tipo de números y la imposibilidad de poder<br />
resolver ciertos problemas haciendo uso de los números naturales.<br />
Vemos, entonces, que es necesario ampliar los naturales.<br />
• Los números naturales pasarán a considerarse como números<br />
enteros positivos y podrán estar precedidos o no del signo más (+).<br />
• Por cada número entero positivo (número natural) se incorpora el<br />
correspondiente número entero negativo, los que estarán siempre<br />
precedidos por un signo menos (–).
enteros negativos enteros positivos<br />
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7<br />
En consecuencia, la unión de los enteros negativos con los enteros<br />
positivos y el cero forman un nuevo conjunto, llamado números enteros.<br />
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
1. Escribe una expresión numérica que represente las siguientes<br />
situaciones:<br />
a. En el apertura del 2007 Colo-Colo tuvo 16 goles en contra.<br />
b. El IPC del año 2006 fue de 2,6 %; el 2007 aumentó en 5,2 %.<br />
c. En 1993, la tasa de crecimiento de la economía chilena fue del 6%.<br />
d. El oxígeno se convierte en líquido a los 183 ºC bajo cero.<br />
e. La fosa Challenger es el punto más profundo de la Tierra.<br />
Alcanza 11.034 m de profundidad.<br />
2. Grafica cada uno de los siguientes números en una recta numérica:<br />
9, –1, 0, –8, +1, –9, 4, –2 y 10.<br />
a. ¿Cuáles de estos números son positivos?<br />
b. ¿Cuáles de ellos son negativos?<br />
3. Escribe una situación cuya información numérica pudiese ser<br />
descrita con las siguientes expresiones:<br />
a. – 2.500 m<br />
b. 18 ºC<br />
c. + 800 UF<br />
d. – $ 100<br />
¡Ahora la recta numérica<br />
también ha sido ampliada!<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
¿Sabías?<br />
En el ascensor se reconocen<br />
números enteros.<br />
Para subir al octavo piso:<br />
presiono + 8.<br />
Para bajar al segundo<br />
subterráneo:<br />
presiono – 2.<br />
15
¿Qué es el valor absoluto de un<br />
número entero?<br />
16<br />
Números<br />
enteros<br />
Es probable que esta pregunta no la puedas responder de inmediato,<br />
pero revisa con atención la siguiente situación. Ella te ayudará a<br />
comprender el significado del valor absoluto de un número entero.<br />
Imagina que de paseo por Santiago quieres llegar a diferentes puntos.<br />
Si caminas de la plaza de la Libertad al Cerro Santa Lucía, recorres 2.000<br />
metros. Y si caminas de la plaza de la Libertad a la estación del metro Los<br />
Héroes, viajas la misma distancia pero en dirección opuesta. Entonces, ¿esto<br />
último quiere decir que viajas –2.000 metros para llegar a la estación?<br />
¡Imposible! ¡De ninguna manera! El Cerro Santa Lucía y la estación están a<br />
2.000 metros de la plaza. En este tipo de situaciones, no importa en qué<br />
dirección viajes, ya que la distancia siempre será un número positivo.<br />
Así como ocurre con las distancias en un plano, las distancias desde 0 a<br />
cualquier otro punto en la recta numérica siempre son positivas. El<br />
valor absoluto de un número es su distancia respecto del cero u origen.<br />
De 0 a –6, distancia 6. De 0 a +6, distancia 6.<br />
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 n +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7<br />
Se acostumbra a representar esta relación escribiendo el número entre barras.<br />
En conclusión, el valor absoluto de +6 y –6 se escribe y lee<br />
respectivamente:<br />
|+6| = 6, el valor absoluto de seis positivo o más seis es 6.<br />
|–6| = 6, el valor absoluto de seis negativo o menos seis es 6.<br />
UNIDAD 1
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
1. Encuentra el valor absoluto de:<br />
a. | 20 | b. |– 200| c. |–1| d. |+ 2.800| e. | 0 | f. |–20|<br />
2. Escribe el opuesto (op.) de los números:<br />
a. + 21 b. – 112 c. 1.500 d. + 5.100 e. – 9 f. – 222<br />
3. Señala los números enteros que corresponde escribir en los puntos rojos.<br />
Según la actividad anterior, responde.<br />
• ¿Qué números son positivos?<br />
• ¿Cuáles son negativos?<br />
• ¿Qué pares de números son opuestos?<br />
4. Si los valores absolutos de tres números enteros son: 39,<br />
5 y 111, ¿cuáles pueden ser estos números enteros? ¿Por qué?<br />
¿Estás de acuerdo con la siguiente afirmación?<br />
0<br />
Números<br />
enteros<br />
5. El volcán Mauna Kea (Isla de Hawai), desde la base, en el suelo<br />
oceánico, hasta la cima alcanza la mayor altura entre las montañas del<br />
mundo. Mide 5.500 metros desde el fondo del océano hasta la<br />
superficie y se eleva 4.205 metros sobre el nivel del mar.<br />
Según esta información, dibuja un esquema del volcán Mauna Kea e<br />
incorpora una recta numérica vertical. Posteriormente, escribe los<br />
números enteros que describen la altura sobre el nivel del mar y su<br />
profundidad bajo el nivel del mar.<br />
ME EVALÚO<br />
“Entonces, el valor absoluto de un entero negativo es su opuesto (número<br />
positivo), y el valor absoluto de un entero positivo o 0 es el mismo número”<br />
Sí _____ No ______ ¿Por qué?<br />
• Comparte tus argumentos en clase.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
TOMA NOTA<br />
El valor absoluto de un<br />
número entero es su<br />
distancia respecto del<br />
cero u origen en la recta<br />
numérica. Se indica<br />
escribiendo el número<br />
entero entre dos barras.<br />
Los números opuestos<br />
se encuentran a la misma<br />
distancia del cero. Según<br />
el ejemplo anterior, –6 y<br />
+ 6 son números<br />
opuestos porque ambos<br />
están a 6 unidades de<br />
distancia respecto del<br />
origen, pero en distinta<br />
dirección.<br />
17
¿Sabías?<br />
En gran parte del mundo se<br />
usan los grados Celsius para<br />
medir la temperatura. Según<br />
esta escala, el agua se<br />
congela a los 0 ºC y hierve a<br />
los 100 ºC, a nivel del mar.<br />
18<br />
¡A comparar y ordenar<br />
números enteros!<br />
En las lecciones anteriores resolviste problemas relacionados con la<br />
descripción y representación de situaciones por medio de números<br />
enteros. Ahora trabajarás en compararlos y ordenarlos.<br />
EXPLORA<br />
La siguiente tabla muestra parte de las temperaturas registradas por las<br />
estaciones meteorológicas de nuestro país el año 2005.<br />
Arica<br />
Iquique<br />
Estaciones<br />
Antofagasta<br />
Isla de Pascua<br />
Según esta información:<br />
a. Dibuja un bosquejo vertical de un termómetro y anota las<br />
temperaturas.<br />
b. ¿Cuál de las estaciones meteorológicas registró el 2005 la<br />
temperatura mínima anual más alta? ¿Y la más baja? ¿Cómo lo<br />
supiste?<br />
c. ¿Cuál de estas temperaturas estuvo más lejos de los 0 ºC? Explica.<br />
d. Entre las siguientes temperaturas, ¿cuál crees tú es mayor en cada<br />
caso?<br />
–4 o 4 –2 o –6 11 o 9 –22 o –1 0 o –3 –17 o 11<br />
Explica tus razones.<br />
UNIDAD 1<br />
Temperatura mínima absoluta anual (aproximada)<br />
Año 2005<br />
9<br />
9<br />
6<br />
11<br />
Copiapó ...<br />
La Serena<br />
Valparaíso<br />
Santiago (Qta. Normal)<br />
Pudahuel<br />
4<br />
0<br />
–1<br />
–3<br />
Cerrillos 0<br />
Juan Fernández<br />
7<br />
Curicó<br />
Chillán<br />
Concepción<br />
Temuco<br />
Estaciones<br />
Año 2005<br />
–4<br />
–2<br />
Fuente: Adaptación de Dirección Meteorológica de Chile<br />
0<br />
–6<br />
Valdivia –2<br />
Osorno<br />
Puerto Montt<br />
Coihaique<br />
Balmaceda<br />
–4<br />
–3<br />
–17<br />
–22<br />
Punta Arenas –9<br />
Base Antártica Eduardo Frei –22
Reúnete en grupo y busquen establecer reglas generales para la<br />
relación de orden entre los números enteros. Las preguntas que<br />
pueden ayudar son:<br />
• ¿Qué regla se puede establecer para saber cuál es el número mayor o<br />
el menor entre dos números enteros positivos?<br />
• ¿Qué regla se puede establecer para saber cuál es el número mayor o<br />
el menor entre dos números enteros negativos?<br />
• ¿Qué regla se puede formular para saber cuál es el número mayor o<br />
el menor entre dos números enteros con diferente signo?<br />
Escriban sus conclusiones en un papelógrafo y compartan sus<br />
explicaciones en clase.<br />
Observemos el siguiente ejemplo.<br />
En la siguiente recta numérica se ubican de menor a mayor los números<br />
–4, 6, 5, –1, 0 y 3.<br />
Números<br />
enteros<br />
DISCUSIÓN EN GRUPO<br />
–4 –1 0<br />
3 5 6<br />
Según su ubicación, el número que está más a la izquierda es el – 4,<br />
entonces es el menor de todos. Luego, en orden creciente, le siguen el<br />
–1, 0, 3, 5 y el 6.<br />
–4 < –1 < 0 < 3 < 5 < 6<br />
Recuerda que el símbolo < significa o quiere decir menor que, y el<br />
símbolo > significa mayor que.<br />
Observa el termómetro y resuelve de acuerdo con el ejemplo.<br />
a. ¿Qué temperatura marca?<br />
b. Si al cabo de 2 horas la temperatura desciende 4 grados, ¿qué<br />
temperatura marca ahora el termómetro?<br />
c. Entre ambos registros de temperatura, ¿cuál es menor? ¿Por qué?<br />
Ahora bien, al ordenar los números en una recta numérica horizontal o<br />
vertical, mientras más distante hacia la derecha o hacia arriba esté un<br />
número entero respecto de otro, es mayor. Por el contrario, mientras<br />
más lejos se encuentre hacia la izquierda o hacia abajo un número<br />
respecto de otro, es menor.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
19
TOMA NOTA TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
Relación de orden entre<br />
números enteros.<br />
1. Entre dos números<br />
enteros positivos, es<br />
mayor el entero que<br />
tiene mayor valor<br />
absoluto. Por ejemplo:<br />
|12| = 12 y |10| = 10,<br />
entonces 12 > 10.<br />
2. Entre dos números<br />
enteros negativos, es<br />
mayor el entero que<br />
tiene menor valor<br />
absoluto, puesto que<br />
está ubicado más a la<br />
derecha en la recta<br />
numérica. Por<br />
ejemplo: |–5| = 5 y<br />
|–20| = 20, entonces<br />
– 5 > –20.<br />
3. Entre dos números<br />
enteros cualesquiera,<br />
es mayor el entero que<br />
está ubicado más a la<br />
derecha en la recta<br />
numérica. Por<br />
ejemplo: 0 > –1.<br />
20<br />
Durante el campeonato interescolar de fútbol, Sergio y Leonardo<br />
comparan los goles a favor y goles en contra que lleva cada equipo.<br />
Ellos anotan sus resultados en la siguiente tabla, pero falta completar<br />
algunos datos:<br />
Escuela<br />
Pablo Neruda<br />
Óscar Castro<br />
Gabriela Mistral<br />
Marcela Paz<br />
Escribe por cada escuela la diferencia de goles. Luego ordénalas en<br />
función de la mayor y menor diferencia. Explica qué pensaste para<br />
resolver.<br />
1. Con ayuda de la siguiente recta numérica, escribe una desigualdad<br />
para indicar entre cada par de enteros cuál es el menor. Observa el<br />
ejemplo.<br />
Ejemplo: entre el par de enteros –1 y 0 se cumple la desigualdad –1 < 0<br />
Ahora, es tu turno:<br />
a. 5, 7 b. –3, –4 c. 0, 1 d. 3, –3<br />
e. –1, –4 f. –2, 2 g. –1, –3 h. 7, –4<br />
2. Ordena cada conjunto de números en forma decreciente.<br />
a. 212 ºC, 0 ºC, –21 ºC, –2 ºC, 18 ºC y 27 ºC.<br />
b. 0 UF, –100 UF, –7 UF, –2 UF, –10 UF y 100 UF.<br />
3. Escribe el conjunto de números que satisface la solución.<br />
a. ¿Qué números son mayores que –1?<br />
b. ¿Cuáles números son menores que –1?<br />
c. ¿Qué números son menores que 7 y mayores que –4?<br />
d. ¿Cuáles números son mayores que –5 pero menores que +5?<br />
UNIDAD 1<br />
Números<br />
enteros<br />
Partidos<br />
jugados<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
Goles<br />
a favor en contra<br />
+12<br />
+5<br />
Manuel Rojas 3 3 –3<br />
8<br />
0<br />
–4 –3 –2 –1 0<br />
–9<br />
–8<br />
–1<br />
–8<br />
Diferencia de<br />
goles
4. Trabaja con los datos que se muestran en la tabla.<br />
300 a. de C.<br />
500 a. de C.<br />
300 d. de C.<br />
50 d. de C.<br />
51 a. de C.<br />
70 d. de C.<br />
27 a. de C.<br />
500 a. de C.<br />
Nace Euclides.<br />
Se descubre el Teorema de Pitágoras.<br />
Los mayas realizan las primeras inscripciones o glifos.<br />
Los mayas inventan y emplean el cero en sus cálculos astronómicos.<br />
Cleopatra VII, reina de Egipto.<br />
Los romanos destruyen el templo de Jerusalén.<br />
Nace el Imperio Romano.<br />
Los mapuches habitan territorio chileno y argentino.<br />
a. Describe cada acontecimiento usando números enteros. Explica<br />
el criterio usado para asignar ambos signos.<br />
b. Dibuja una recta numérica y ubica cada acontecimiento. ¿Qué<br />
evento será considerado para el año 0? Explica.<br />
5. Observa el esquema de las capas que forman la estructura del<br />
planeta Tierra y resuelve.<br />
Estructura de la Tierra<br />
Núcleo interno<br />
6.400 km 5.200 km 2.900 km 650 km 40 km<br />
Núcleo externo<br />
Núcleo externo<br />
Manto superior<br />
Corteza terrestre<br />
Profundidad<br />
Según este esquema, resuelve.<br />
a. Emplea los números enteros para describir las profundidades<br />
mínima y máxima de cada región.<br />
b. Explica el criterio usado para asignar el signo a cada número.<br />
6. Se tiene conocimiento de que una de las temperaturas más altas<br />
que ha experimentado el planeta Tierra fue de +58 ºC en Libia. Por<br />
el contrario, la más baja alcanzó los –54 ºC, en Vostok, Antártica.<br />
Según esta información:<br />
a. ¿Cuál es el valor absoluto de cada temperatura?<br />
b. ¿Cuál de ellas está más próxima a los 0 ºC?<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
¿Sabías?<br />
El batiscafo Trieste, diseñado<br />
en 1953 por el físico suizo<br />
Auguste Piccard y construido<br />
por su hijo Jacques, alcanzó<br />
los 10.916 m de profundidad<br />
en la fosa oceánica de Las<br />
Marianas.<br />
21
¿Cómo resolver operaciones<br />
con números enteros?<br />
22<br />
En cursos anteriores aprendiste cómo resolver las operaciones de<br />
adición y sustracción en el ámbito de los números naturales. ¿Cómo se<br />
procederá para resolver ambas operaciones usando enteros negativos y<br />
enteros positivos?<br />
Lee con atención el siguiente diálogo:<br />
¡Millaray!, la profesora<br />
de Matemática nos dio como tarea<br />
pensar en cómo poder resolver la<br />
suma 3 + (–2)... ¿sabes cómo?<br />
Lo que propone Millaray a su amigo es trabajar con modelos que<br />
ayuden a representar y comprender mejor la adición entre enteros.<br />
Estudia con atención los ejemplos.<br />
Paso 1 Representar la suma con un modelo.<br />
Recuerda que<br />
el opuesto de un número<br />
entero se ubica al lado<br />
contrario en la recta y a una<br />
misma distancia del cero.<br />
Paso 2 Se deben eliminar los pares de fichas rojo-negro.<br />
UNIDAD 1<br />
¡Sí!<br />
Representa los enteros<br />
positivos con fichas rojas y<br />
los enteros negativos con<br />
fichas negras.<br />
3 + (–2)<br />
Paso 3 El valor que representa la o las fichas restantes corresponde al<br />
resultado de la adición. Entonces:<br />
3 + (–2) = +1<br />
Observemos el modelo que permite calcular – 2 + (–5)<br />
sumando con<br />
0<br />
Modelo<br />
–2 + –5 =<br />
–7<br />
0<br />
+1<br />
3 + (–2)<br />
Como puedes observar, no hay fichas rojas que representen enteros<br />
positivos. En este caso, la adición sólo es entre números enteros negativos.
Representa o dibuja el modelo que permite resolver las siguientes adiciones:<br />
a. 6 + 4<br />
b. 3 + (–7)<br />
Explica tu procedimiento fundamentando ambos resultados.<br />
DISCUSIÓN EN GRUPO<br />
Reúnete con tus compañeros y compañeras y respondan a las siguientes<br />
preguntas:<br />
• ¿Qué explicación matemática habrá para eliminar los pares de fichas<br />
rojo-negro? Escribe tu conclusión.<br />
• Cuando sumas dos números enteros positivos, la suma ¿es positiva,<br />
negativa o no es posible saberlo?<br />
• Cuando sumas dos números enteros negativos, ¿la suma es positiva,<br />
negativa o no es posible determinarlo?<br />
• Cuando sumas dos números enteros de distinto signo, ¿la suma es<br />
positiva o negativa? Explica tu razonamiento.<br />
EXPLORA<br />
1. <strong>Cal</strong>cula las siguientes sumas. Si lo encuentras necesario, representa<br />
con modelos, empleando fichas rojas y negras.<br />
a. 7 + 3 b. – 4 + 0 c. –10 + (+ 8) d. – 6 + (–6)<br />
e. 9 + (–5) f. 7 + (–7) g. –1 + 3 h. 0 + (+7)<br />
2. Si sumas dos números enteros de distinto signo, ¿el resultado será<br />
positivo o negativo? ¿Por qué?<br />
Otra forma de representar, ahora en la recta numérica<br />
1. Con ayuda de una recta numérica, también puedes sumar números<br />
enteros. Cada vez que sumes un número entero positivo avanza hacia la<br />
derecha; por el contrario, cuando sumes un entero negativo avanza<br />
hacia la izquierda.<br />
Observa el siguiente ejemplo:<br />
Representemos en la recta numérica la adición + 6 + (–5).<br />
a. Desde el origen mueves 6 hacia la derecha.<br />
b. Y desde 6, mueves 5 hacia la izquierda. ¿A qué número llegas?<br />
Números<br />
+ 6 + (–5) = 1<br />
enteros<br />
–7<br />
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
TOMA NOTA<br />
Para sumar dos números<br />
enteros del mismo signo<br />
se debe:<br />
• Sumar los valores<br />
absolutos de cada<br />
número.<br />
• Al resultado se añade<br />
el signo que tienen<br />
ambos.<br />
Para sumar dos números<br />
enteros de distinto signo<br />
se debe:<br />
• Restar sus valores<br />
absolutos.<br />
• Agregar al resultado el<br />
signo que tiene el<br />
entero con mayor valor<br />
absoluto.<br />
23
Cuando sumas números<br />
enteros con signos<br />
diferentes, empleas el<br />
inverso aditivo, el cual<br />
corresponde al opuesto<br />
de un número. Por<br />
ejemplo, el inverso<br />
aditivo de –10 es +10 o<br />
10. Así, la suma de un<br />
número entero y su<br />
inverso aditivo es 0.<br />
–6<br />
¿Sabías?<br />
Para calcular sumas de<br />
números enteros puedes usar<br />
calculadora.<br />
Por ejemplo, para resolver<br />
–10 + 7 ingresa y<br />
luego presiona la tecla<br />
. A continuación<br />
presiona .<br />
TOMA NOTA<br />
24<br />
– 3 + (+ 3 ) = 0<br />
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
2. Observa este segundo ejemplo.<br />
Representemos ahora la adición (–3) + (–5)<br />
–10<br />
a. Ahora, desde el origen mueves 3 hacia la izquierda.<br />
b. Desde –3, nuevamente mueves 5 hacia la izquierda.<br />
¿A qué número llegas?<br />
Números<br />
enteros<br />
UNIDAD 1<br />
(– 3) + (– 5) = – 8<br />
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
1. Representa en la recta numérica las adiciones:<br />
a. –7 + 8 b. 2 + (–2) c. 5 + (–8) d. –7 + (+7) e. 0 + (–5)<br />
2. Escribe la adición que se representa en cada recta.<br />
a.<br />
b.<br />
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
ME EVALÚO<br />
Observa la siguiente adición.<br />
(+10) + (–25) + (–5) + (+4) + (–5)<br />
• ¿Qué estrategia o procedimiento puedes usar para calcular su<br />
resultado? ¿Será la misma estrategia que emplearán tus compañeros y<br />
compañeras?<br />
• Explica el procedimiento utilizado.
Trabaja con variables.<br />
1. Encuentra la suma en cada expresión cuando x = 0, 1 y –2.<br />
I<br />
II<br />
III<br />
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
Según las expresiones x + 5; x + (–2) y –15 + x, ¿por qué la x puede<br />
ser considerada como una variable? Explica.<br />
2. Según los valores asignados para x e y, completa la tabla.<br />
x<br />
–5<br />
–3<br />
–2<br />
x<br />
0<br />
1<br />
–2<br />
x<br />
0<br />
1<br />
–2<br />
x<br />
0<br />
1<br />
–2<br />
x + 5<br />
x + (–2)<br />
–15 + x<br />
y<br />
–10<br />
0<br />
+4<br />
x + y y + x (x + y) + (–2) x + (y + (–2))<br />
a. ¿Qué observas de especial en estos cálculos?<br />
b. Escribe una explicación que permita comprender lo que ocurre.<br />
3. Cuando x = 3, –1 y – 5, ¿cuál puede ser la suma de x y 10?<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
¿Sabías?<br />
La letra x es muy utilizada por<br />
los matemáticos para resolver<br />
problemas con variables.<br />
25
Sustracción de números enteros<br />
También puedes<br />
representar la diferencia<br />
en la recta numérica.<br />
26<br />
En las páginas anteriores trabajaste la técnica para calcular la suma<br />
entre diferentes números enteros. Ahora estudiarás cómo resolver la<br />
sustracción, es decir, te abocarás a determinar la diferencia entre dos<br />
números enteros.<br />
En la tabla se muestran las temperaturas mínimas y las máximas<br />
registradas un fin de semana en Puerto Montt.<br />
Números<br />
enteros<br />
–4<br />
¿Cuál es la diferencia de temperatura del día sábado? ¿Y del domingo?<br />
5<br />
Días<br />
Sábado<br />
Domingo<br />
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
UNIDAD 1<br />
Temperatura mínima<br />
+4<br />
+6<br />
¡Amigos!, para calcular<br />
la diferencia se resta la mínima a<br />
la máxima, es decir:<br />
9 – 4<br />
Mira, usaré las fichas.<br />
Temperatura máxima<br />
5<br />
+9<br />
+10<br />
1. ¿Qué te parecen ambas estrategias de solución?, ¿fáciles o difíciles?<br />
2. ¿Por qué en el primer caso sólo se usan fichas rojas? ¿Por qué no se<br />
emplearon fichas negras en esta oportunidad? Escribe una<br />
explicación.<br />
3. ¿Por qué en la recta numérica se representa la diferencia a la<br />
derecha del 0?<br />
4. Ahora hazlo tú. Representa la diferencia de temperaturas del<br />
domingo.
Revisemos un segundo caso. Encontrar la diferencia entre la<br />
temperatura máxima y mínima en los siguientes casos:<br />
Días<br />
Lunes<br />
Martes<br />
Temperatura mínima<br />
– 6<br />
–1<br />
Temperatura máxima<br />
Ahora se debe hallar la diferencia entre un número entero positivo y<br />
otro negativo, es decir, debemos restar – 6 a 4. ¿Cuál es la diferencia?<br />
La operación debería representarse respetando los siguientes pasos.<br />
Paso 1: Representamos el minuendo 4 con fichas rojas.<br />
Paso 2: El sustraendo (– 6) en la resta<br />
indica cuántas fichas negras se deben<br />
eliminar. Si no hay, se tienen que<br />
agregar tantos pares de fichas rojonegro<br />
hasta alcanzar la cantidad<br />
necesaria.<br />
Paso 3: Finalmente, se eliminan<br />
tantas fichas según indique el<br />
sustraendo. En este caso 6 fichas<br />
negras, puesto que el número es<br />
negativo.<br />
Por lo tanto: 4 – (– 6) = 10<br />
Al representar la sustracción 4 – (– 6) con ayuda de la recta numérica,<br />
la solución es la siguiente:<br />
10<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
+4<br />
+7<br />
se agregan 6 pares... rojo-negro<br />
Ahora, hay +10 y – 6<br />
• Utiliza ambos procedimientos para representar y hallar la diferencia<br />
de temperatura entre la máxima y mínima del día martes.<br />
Números<br />
enteros<br />
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
+10<br />
¿Cómo calculo<br />
4 – (– 6)?<br />
27
TOMA NOTA<br />
Para restar dos números<br />
enteros, al primer<br />
número se debe sumar el<br />
opuesto o inverso aditivo<br />
del segundo número.<br />
Ejemplo:<br />
el opuesto de más 7 es<br />
menos 7<br />
–10 – ( + 7) = – 10 + ( – 7)<br />
se transforma en suma<br />
28<br />
• ¿Cómo representarías con fichas y luego en la recta numérica la diferencia<br />
entre las temperaturas máximas y mínimas que lees en la tabla?<br />
Días<br />
Miércoles<br />
Jueves<br />
Describe y explica a tus compañeros y compañeras el procedimiento<br />
utilizado.<br />
• Lee atentamente el siguiente diálogo.<br />
Con Millaray anotamos<br />
en esta tabla todos los<br />
resultados de los casos<br />
anteriores.<br />
UNIDAD 1<br />
DISCUSIÓN EN GRUPO<br />
Tº<br />
mínima<br />
+4<br />
+6<br />
– 6<br />
–1<br />
–5<br />
– 6<br />
Temperatura mínima<br />
Tº<br />
máxima<br />
+9<br />
+10<br />
+4<br />
+7<br />
–1<br />
0<br />
–5<br />
–6<br />
Diferencias<br />
9 – 4 = 5<br />
10 – 6 = 4<br />
4 – (–6) = 10<br />
7 – (–1) = 8<br />
– 1 – (–5) = 4<br />
0 – (–6) = 6<br />
Temperatura máxima<br />
–1<br />
¡Sí, pero hicimos un<br />
descubrimiento muy importante!<br />
Pon atención a las 2 últimas<br />
columnas.<br />
0<br />
Sumas<br />
9 + (– 4) = 5<br />
10 + (– 6) = 4<br />
4 + (+6) = 10<br />
7 + (+1) = 8<br />
– 1 + (+5) = 4<br />
0 + (+6) = 6<br />
• Observa las operaciones de la columna de las diferencias y de la<br />
columna de las sumas. ¿Qué importante descubrimiento hacen estos<br />
amigos? Escribe una explicación.<br />
• Efectivamente, ellos descubren algo importante. ¿Será posible que se<br />
cumpla para otros casos? Busca ejemplos que puedan ayudar a<br />
confirmar el hallazgo de Millaray y Pablo.<br />
• Según el hallazgo hecho ahora por ti, ¿qué regla importante se<br />
puede enunciar para la sustracción de números enteros? Explica tu<br />
conclusión.
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
1. Escribe, en el mismo orden en que están los números, la operación<br />
que permite calcular la diferencia entre:<br />
a. 40 y (–15) b. – 20 y – 50 c. 100 y (–18) d. –15 y 35<br />
2. Observa cada representación. Escribe la resta que corresponde.<br />
a.<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
3. Emplea las fichas rojas y negras o bien, la recta numérica para calcular<br />
cada resta.<br />
a. 40 – 3 b. 2 – 15 c. –17 – 17 d. – 55 – (–25)<br />
4. Escribe cada uno de los siguientes números enteros como diferencia de<br />
dos números enteros.<br />
a. – 10 b. 5 c. 0 d. – 7 e. – 1 f. + 120<br />
5. Trabaja con variables.<br />
a<br />
– 2<br />
0<br />
4<br />
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
–6 –1 0<br />
b<br />
– 10<br />
5<br />
– 1<br />
–3 0<br />
10<br />
Números<br />
enteros<br />
Números<br />
enteros<br />
Números<br />
enteros<br />
Números<br />
enteros<br />
a – b b – a op (a – b) op (a) – op (b)<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
29
30<br />
La operatoria combinada y<br />
el uso de paréntesis<br />
¿Sabías?<br />
Las expresiones matemáticas<br />
se pueden organizar<br />
utilizando paréntesis<br />
redondos ( ), paréntesis de<br />
corchete [ ] y de llaves { }.<br />
¿Qué procedimiento<br />
podemos utilizar para resolver<br />
la operación<br />
–10 + (5 – 20)?<br />
Esperamos hayas aprendido los diferentes procedimientos que<br />
permiten resolver una adición y sustracción de números enteros. Ahora<br />
estudiaremos cómo calcular expresiones de combinación operatoria.<br />
Observa la siguiente situación:<br />
En este ejercicio, el entero –10 se debe sumar al resultado de la diferencia<br />
entre 5 y 20. Este cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:<br />
Resolviendo primero la operación que se indica en el paréntesis.<br />
–10 + (5 – 20) = –10 + [5 + (–20)]<br />
= –10 + –15<br />
= – 25<br />
También se puede resolver eliminando paréntesis. En esto debemos<br />
considerar 2 posibles situaciones.<br />
1. Si el paréntesis está precedido de un signo (+), se omite el<br />
paréntesis sin modificar el signo de los números enteros contenidos<br />
en él; por ejemplo:<br />
–10 + (5 – 20) = –10 + 5 –20<br />
UNIDAD 1<br />
= – 5 + (– 20)<br />
= – 25<br />
2. Si, por el contrario, el paréntesis está precedido por un signo (–),<br />
entonces se elimina el paréntesis pero cambiando el signo de los<br />
números enteros contenidos en él, por ejemplo:<br />
5 – (4 – 10) = 5 + op. (4 – 10) = 5 + op (4) + op (–10)<br />
=5 – 4 + 10<br />
= 1 + 10<br />
= 11
TRABAJA CON LO APRENDIDO<br />
1. Escribe el desarrollo de las siguientes operaciones, realizando<br />
primero las operaciones indicadas entre paréntesis.<br />
a. –50 + [100 + (–130)]<br />
b. 40 – [25 + (–12)]<br />
c. (2 – 3) + (–100)<br />
2. Efectúa el desarrollo de las siguientes operaciones, eliminando<br />
paréntesis.<br />
a. –50 + [240 – 500] b. 30 – [40 – 55] c. 62 – (30 + 100 – 175)<br />
d. 7 + [–240 + 40] e. 3 – [– 4 – 55] f. 19 – (3 – 7 + 5)<br />
3. Observa las siguientes igualdades.<br />
a. –20 + ( – 15) = – 20 + 7 – 15 =<br />
b. 17 – ( – 12) = 17 – 30 + 12 =<br />
c. –100 + (– 80 – ) = 100 – 80 – 111 =<br />
Escribe el número entero que corresponde en cada recuadro.<br />
¿Qué estrategia usaste para determinar su valor? Explica.<br />
ME EVALÚO<br />
Encuentra una manera de resolver la siguiente operatoria combinada.<br />
72 – {– 30 + [25 – 75]}<br />
¡No olvides considerar los procedimientos trabajados anteriormente!<br />
Explica a tus compañeros y compañeras el procedimiento utilizado.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
TOMA NOTA<br />
Una expresión<br />
matemática que se<br />
encuentra entre<br />
paréntesis se puede<br />
resolver de dos formas:<br />
• Resolviendo primero<br />
las operaciones escritas<br />
dentro del paréntesis.<br />
• Eliminando el<br />
paréntesis. Si el signo<br />
que precede al<br />
paréntesis es un más<br />
(+), no cambian los<br />
signos de los números<br />
contenidos en él. Por el<br />
contrario, si el signo<br />
que le precede es un<br />
menos (–), los números<br />
cambian de signo.<br />
31
¿Recuerdas el juego de dados y desplazamientos practicado con un compañero o compañera en una<br />
recta numérica a comienzos de la Unidad? En esta oportunidad te invitamos a reunirte en grupo para<br />
trabajar en un nuevo proyecto. El propósito es que juntos elaboren una recta numérica o línea de<br />
tiempo de sus vidas. ¡Manos a la obra!<br />
32<br />
Proyecto<br />
Materiales: Un pliego de cartulina de color, lápiz mina, regla, tijeras,<br />
pegamento, plumones, fotografías de eventos familiares y recortes de<br />
noticias publicadas en diarios o revistas.<br />
Instrucciones<br />
1. Del pliego de cartulina, a lo largo, corta 3 o 4 huinchas de 10 cm de<br />
ancho. Únelas por sus extremos hasta obtener una sola huincha.<br />
2. En sus extremos, dibuja o añade dos dibujos de flechas que<br />
representen la continuidad de la recta.<br />
3. Escribe en el centro de la recta la fecha de nacimiento de uno de los<br />
dos y anota un cero debajo de ella. Esta fecha representa el origen; por<br />
lo tanto, se habrán sucedido eventos importantes antes de tu<br />
nacimiento y después de tu nacimiento (a. de n. y d. de n.).<br />
4. A continuación, organizarás una línea cronológica personal, donde,<br />
haciendo uso de fotografías y/o recortes, anotarás las fechas y eventos<br />
más significativos para ti, antes de nacer y después de nacer. Por<br />
ejemplo: tu primera mascota en 2<strong>001</strong>.<br />
5. Explica tu línea de vida al curso y la relación que tiene tu fecha de<br />
nacimiento con los años descritos con signo negativo o positivo.<br />
UNIDAD 1<br />
Nace mi<br />
hermano mayor<br />
0<br />
Fecha de mi<br />
nacimiento<br />
–1994 1997<br />
2<strong>001</strong><br />
0<br />
Mi primera<br />
mascota
Integración de la Unidad<br />
En esta Unidad aprendimos que:<br />
• En la vida cotidiana ocurren situaciones que pueden ser descritas utilizando números enteros<br />
positivos y números enteros negativos.<br />
• El conjunto de los números enteros incluye el cero, los números positivos y los números negativos.<br />
• El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros; por lo tanto, los<br />
naturales son enteros positivos.<br />
• El valor absoluto de un número entero es su distancia desde el cero en la recta numérica.<br />
• Una recta numérica puede ser representada de forma horizontal o vertical. El punto cero es el origen.<br />
• Los números enteros positivos son mayores que cero. Los enteros negativos son menores que cero.<br />
• El inverso aditivo de un número entero es su opuesto. La propiedad del inverso aditivo establece<br />
que, si a es un número entero, entonces se cumple que: a + op (a) = 0.<br />
• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene el<br />
mismo signo. Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se<br />
añade el signo de aquel entero con mayor valor absoluto.<br />
• Para restar números enteros, al minuendo se suma el opuesto del sustraendo. Es decir, si a y b son<br />
números enteros, entonces a – b = a + op. (b).<br />
• Para resolver operatoria combinada se puede hacer de dos maneras: resolviendo primero la<br />
operación indicada en el paréntesis o bien eliminando paréntesis en función del signo más (+) o<br />
menos (–).<br />
Observa el mapa conceptual. Cópialo en tu cuaderno y complétalo.<br />
Describir diferentes<br />
situaciones numéricas<br />
La altura o profundidad de un<br />
punto según el nivel del mar<br />
Los números enteros<br />
del mismo signo<br />
los hay<br />
se emplean para:<br />
Responde en tu cuaderno.<br />
Positivos<br />
Establecer relaciones de<br />
orden y determinar que:<br />
un entero positivo es un entero negativo es<br />
Opuestos<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
Realizar operaciones de:<br />
Sustracción<br />
Operatoria combinada<br />
• ¿Cómo se relaciona la adición con la sustracción en los números enteros?<br />
• Cuando trabajabas sólo con los números naturales las sustracciones del tipo 25 – 80 no tenían<br />
solución. Ahora, ¿puedes resolverla? ¿Por qué?<br />
33
34<br />
Me evalúo<br />
Las siguientes tareas tienen como propósito evaluar cuánto has aprendido en esta Unidad.<br />
1. ¿Qué números enteros pueden representar los<br />
siguientes datos? (0,5 c/u)<br />
a. El centro del Sol alcanza aproximadamente<br />
una tº de 15.999.727 ºC sobre cero, y en la<br />
superficie, 4.727 ºC sobre cero.<br />
b. La profundidad de la corteza terrestre varía<br />
de 8.045 m a 40.225 m bajo el nivel del mar.<br />
c. En el planeta Tierra se han registrado<br />
temperaturas de 90 ºC bajo cero y de 58 ºC<br />
sobre cero.<br />
d. En Saturno, las temperaturas alcanzan los<br />
176 ºC bajo cero.<br />
2. En la siguiente tabla se muestra la temperatura<br />
superficial mínima aproximada de algunos<br />
planetas del Sistema Solar.<br />
Planeta<br />
Mercurio<br />
Venus<br />
Tierra<br />
Marte<br />
Júpiter<br />
Temperatura ºC<br />
–184<br />
477<br />
–90<br />
–123<br />
–234<br />
Ordena las temperaturas de menor a mayor.<br />
(1 punto)<br />
UNIDAD 1<br />
3. Escribe una desigualdad entre los siguientes<br />
pares de números, anotando > o < (0,5 c/u)<br />
a. –7 , –10<br />
b. –200, 0<br />
c. 25 , –3<br />
d. 18 , –18<br />
4. Anota >, < o = para comparar los siguientes<br />
enteros. (0,5 c/u)<br />
a. –8 –9<br />
b. |–20| |–1|<br />
c. –215 |–300|<br />
d. |–18| –18<br />
e. – 4 0<br />
f. |– 46| |–51|<br />
g. 100 –100<br />
h. |–17| |+17|<br />
5. Escribe una explicación para cada una de las<br />
siguientes preguntas: (1 c/u)<br />
a. ¿Por qué –1.000 es mayor que –1.000.000?<br />
b. ¿Por qué –1 es el mayor número entero<br />
negativo?<br />
c. ¿Por qué 40 es el inverso aditivo u opuesto<br />
de – 40?<br />
d. ¿Por qué el 0 es mayor a cualquier número<br />
entero negativo?<br />
6. Resuelve cada operación. (1 c/u)<br />
a. –7 + 11<br />
b. –21 + (–15)<br />
c. 25 – 43<br />
d. –18 – 18<br />
e. (–20) + 9
7. Completa el siguiente cuadrado mágico.<br />
En un cuadrado mágico, los números enteros de cada fila, columna y diagonal suman el mismo<br />
número. Observa el cuadrado 1, suma siempre 18. (4 puntos)<br />
7 8 3<br />
2 6 10<br />
9 4 5<br />
Revisa tus respuestas y puntaje obtenido con tu profesor o profesora y evalúate con la siguiente pauta.<br />
Nº de respuestas<br />
correctas<br />
Nivel de logro<br />
22 ¡Bien, lo lograste!<br />
17 a 21 ¡Casi lo logras! Sigue intentando.<br />
12 a 16 ¡Regular, aún te falta! Revisa nuevamente tus apuntes.<br />
0 a 11 Necesitas revisar tus apuntes. ¡Si te esfuerzas más, lo lograrás!<br />
Marca con una X la opción que mejor te represente respecto de lo que aprendiste en esta Unidad.<br />
Reconozco que los números positivos y negativos permiten describir<br />
información numérica presentada en situaciones reales.<br />
Aprendí que los números naturales son un subconjunto de los números<br />
enteros y que ahora los naturales pasan a ser enteros positivos.<br />
Utilicé correctamente las reglas de relación de orden para poder<br />
ordenar números enteros positivos, negativos y el cero.<br />
Utilicé modelos de fichas y/o me apoyé en la recta numérica para<br />
comprender mejor la adición y sustracción de números enteros.<br />
Comprendí que para sumar dos números enteros de diferente<br />
signo se restan sus valores absolutos y luego se añade el signo del<br />
entero con mayor valor absoluto.<br />
Comprendí que para restar dos números enteros, debo sumar al<br />
minuendo el inverso aditivo u opuesto del sustraendo.<br />
Valoro el hecho de que los números enteros permiten describir<br />
información en sucesos de mi vida.<br />
Los números enteros negativos en la vida diaria<br />
–4<br />
–1<br />
–5 +2<br />
Nunca Ocasionalmente Generalmente<br />
35<br />
Siempre