ESTADÍSTICA - Departamento de Estatística e Investigación Operativa

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Beatriz Pateiro López Estadística. Ingeniería Química Figura 4: Polígono de frecuencias acumuladas. Diagrama de tallo y hojas: Los datos se redondean a dos o tres cifras significativas, tomándose como tallo la primera o dos primeras cifras y como hojas las ultimas cifras. El tallo se separa de las hojas por una línea vertical. Así, cada tallo se representa una sola vez y el número de hojas representa la frecuencia. La impresión resultante es la de acostar un histograma. Ejemplo 7: El DDT es un potente insecticida que fue muy empleado a comienzo de los 80. La mezcla técnica de DDT está compuesta básicamente por tres compuestos, entre ellos el pp-DDT. Se tienen los siguientes niveles de pp-DDT en 30 muestras de judías blancas (mg Kg −1 ). 0.03 0.05 0.08 0.08 0.10 0.11 0.18 0.19 0.20 0.20 0.22 0.22 0.23 0.29 0.30 0.32 0.34 0.40 0.47 0.48 0.55 0.56 0.58 0.64 0.66 0.78 0.78 0.86 0.89 0.96 A continuación se muestra el diagrama de tallo y hojas correspondiente. El punto decimal se situa un dígito a la izquierda de |. 0 | 3588 1 | 0189 2 | 002239 3 | 024 4 | 078 5 | 568 6 | 46 7 | 88 8 | 69 9 | 6 5 Medidas características: Medidas de posición, de dispersión y de forma En estas dos últimas secciones del tema estudiamos las medidas que sirven para obtener una descripción muy resumida sobre alguna propiedad concreta del conjunto de datos. Por medida entendemos, pues, un número Página 10 de 14
Beatriz Pateiro López Estadística. Ingeniería Química que se calcula sobre la muestra y que refleja cierta cualidad de la misma. Parece claro que el cálculo de estas medidas requiere la posibilidad de efecutar operaciones con los valores que toma la variable. Por este motivo, en lo que resta del tema tratamos sólo con variables cuantitativas. 5.1 Medidas de posición En esta sección estudiamos medidas que nos indican la posición que ocupa la muestra. La posición central son el objetivo de la media, la mediana y la moda. El estudio de posiciones no centrales se hará con los cuantiles. Media aritmética: Se define la media aritmética (o simplemente media) como: ¯x = n i=1 xi n ; ¯x = m i=1 cifi donde la primera expresión corresponde a tener todos los datos cuantitativos y la segunda corresponde a datos agrupados. Así, en el caso de una variable continua, tenemos dos opciones: o calculamos la media con todos los datos (los sumamos y dividimos por el tamaño muestral), o usamos la tabla de frecuencias considerando las marcas de clase y las frecuencias en cada clase. Los resultados serán diferentes, siendo la segunda opción una aproximación de la primera, con la ventaja de una mayor sencillez de cálculo. La media aritmética tiene interesantes propiedades: Propiedades: 1. mín(xi) ≤ ¯x ≤ máx(xi) y tiene las mismas unidades que los datos originales. 2. Es el centro de gravedad de los datos: n i=1 (xi − ¯x) = 0, n i=1 (xi − ¯x) 2 n = mín i=1 a∈R (xi − a) 2 . 3. Si yi = a + bxi ⇒ ¯y = a + b¯x. (las transformaciones lineales se comportan bien con la media). Mediana: Una vez ordenados los datos de menor a mayor, se define la mediana como el valor de la variable que deja a su izquierda el mismo número de valores que a su derecha. Si hay un número impar de datos, la mediana es el valor central. Si hay un número par de datos, la mediana es la media de los dos valores centrales. Si la variable está agrupada en intervalos de clase, se calcula la clase mediana (aquel intervalo donde la frecuencia relativa acumulada es menor o igual que 0,5 en su extremo inferior y mayor que 0,5 en su extremo superior) para a continuación elegir un representante de este intervalo como mediana (la marca de clase, el valor obtenido por interpolación lineal, etc.). Propiedades: 1. La mediana es la medida de posición central más robusta (i.e. más insensible a datos anómalos). 2. La mediana verifica: n i=1 |xi n − Me| = mín i=1 a∈R |xi − a|. Observa que la media y la mediana tendrán valores similares, salvo cuando haya valores atípicos o cuando la distribución sea muy asimétrica. Página 11 de 14
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