ESTADÍSTICA - Departamento de Estatística e Investigación Operativa

Beatriz Pateiro López Estadística. Ingeniería Química
probabilidades conjuntas y a la tabla siguiente la llamaremos distribución de probabilidad conjunta del vector
aleatorio (X, Y ).
X\Y y1 . . . yj . . . ys
x1 p11 · · · p1j · · · p1s p1•
.
.
.
xi pi1 · · · pij · · · pis pi•
.
.
.
xr pr1 · · · prj · · · prs pr•
p•1 · · · p•j · · · p•s 1
Nótese que a esta tabla le hemos añadido una última columna a la derecha y una última fila en la base.
Representan las distribuciones marginales de las variables X e Y , respectivamente. La distribución marginal de
X es la distribución de probabilidad que tiene la variable X sin tener en cuenta la variable Y . Por eso se obtiene
de sumar la fila correspondiente.
s
pi• = P (X = xi) =
Análogamente definimos la distribución marginal de la variable aleatoria Y y la obtenemos sumando en la
columna correspondiente.
r
p•j = P (Y = yj) =
2.1 Distribuciones condicionadas
Si ya conocemos que la variable X ha tomado el valor xi, esta información modificará la distribución de probabilidad
de la variable Y . De hecho de toda la tabla de valores que puede tomar el vector aleatorio nos restringiremos
a la fila de xi. Sobre ella calcularemos las probabilidades condicionadas
j=1
i=1
.
.
pij
pij
P (Y = yj/X = xi) = P (X = xi, Y = yj)
P (X = xi)
.
.
= pij
pi•
y constituirán la distribución de Y condicionada a que X = xi. Como vemos, se obtiene dividiendo la fila de xi
por el total de la fila pi•.
Análogamente podemos definir la distribución de X condicionada a que Y = yj.
2.2 Independencia
Diremos que las variables aleatorias X e Y son independientes si cualesquiera dos sucesos relativos respectivamente
a X e Y son independientes. Esta definición es aplicable a cualquier vector aleatorio (X, Y ). En el caso
discreto es equivalente a que la distribución conjunta resulte del producto de las marginales, esto es:
P (X = xi, Y = yj) = P (X = xi) · P (Y = yj) ∀i ∈ {1, . . . , r} ∀j ∈ {1, . . . , s}
[pij = pi• · p•j]
Ejemplo 2: Calcula la distribución de probabilidad conjunta del ejemplo 1, las distribuciones marginales y la
distribución de X condicionada a Y = 2. ¿Son X e Y independientes?
Ejemplo 3: Considérense las siguientes distribuciones de probabilidad conjunta:
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