ESTADÍSTICA - Departamento de Estatística e Investigación Operativa

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Beatriz Pateiro López Estadística. Ingeniería Química Ejemplo 4: Indicar en los experimentosE1,E2 yE3 del Ejemplo 3 cuáles son los sucesosA∪B,A∩B. ¿son los sucesosAyB incompatibles?, ¿son los sucesosAyA c incompatibles? 3 Definiciones de probabilidad El principal objetivo de un experimento aleatorio suele ser determinar con qué probabilidad ocurre cada uno de los sucesos elementales. A continuación citamos las tres definiciones más manejadas para asignar probabilidades a los sucesos. 3.1 Definición clásica o de Laplace Nos encontramos ante un experimento, con su colección de sucesos, y nos preguntamos cómo tenemos que actuar para asignarle a cada suceso un número entre 0 y 1 de forma que se respeten los dos axiomas de la definición de probabilidad. Por desgracia, no existe una solución universal a este problema. En los casos más sencillos podemos hacer deducciones de la propia estructura del experimento, generalmente utilizando su simetría. En otros casos tendremos que combinar la experimentación con la naturaleza teórica del experimento para poder obtener conclusiones. Cuando el espacio muestral es finito, el problema se reduce a asignar probabilidades a los sucesos elementales. Las probabilidades de los demás sucesos se obtendrán sumando las de los sucesos elementales que lo componen (suma finita). Sin duda el caso más fácil es aquél en el que no tenemos razones para suponer que unos sucesos sean más probables que otros. Cuando, siendo el espacio muestralΩfinito, todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, diremos que son equiprobables y podremos utilizar la conocida Regla de Laplace P(A)= casosfavorables casosposibles Ejemplo 5: Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2?, ¿y de obtener un 7? 3.2 Definición frecuentista Cuando se emplea coloquialmente el término probabilidad quiere expresarse el grado de certidumbre o incertidumbre en el resultado de un experimento antes de su realización. Para cuantificar la probabilidad nos apoyamos en la experiencia empírica que ya podamos tener de ese experimento. Así, si ya fue observado con anterioridad pudimos haber calculado las frecuencias relativas de los distintos resultados. fn(A)= No de veces que ha ocurridoAennrepeticiones . n En base a esas frecuencias elaboramos nuestra idea de certidumbre sobre el resultado de una futura realización del experimento. Destacamos que las frecuencias se calculan después de la realización del experimento y las probabilidades antes de la realización del experimento. Como respaldo a este planteamiento disponemos de la Ley de Estabilidad de las Frecuencias, que nos dice que cuando se repite muchas veces un mismo experimento, las frecuencias relativas de sus posibles resultados tienden a estabilizarse en torno a unos valores. Aquí usamos que el experimento se puede repetir, siempre en las mismas condiciones, cuantas veces necesitemos. Así, en el siglo XIX se definió la probabilidad de un suceso como el límite de sus frecuencias relativas cuando realizamos el experimento muchas veces. Página 4 de 8
Beatriz Pateiro López Estadística. Ingeniería Química Esta definición presenta ciertos problemas. Aparte de serias dificultades formales, en la práctica quizás podamos realizar el experimento muchas veces, pero nos será imposible repetirlo indefinidamente. 3.3 Definición axiomática (Kolmogorov 1933) Las dificultades que presenta la definición frecuentista de probabilidad se han resuelto a principios del siglo XX mediante la utilización de una definición axiomática de la probabilidad, que se basa en que le exigimos unas condiciones de coherencia. La definición, debida al ruso Kolmogorov, es muy parecida a la que damos a continuación. SeaΩel espacio muestral, y seaP(Ω) el conjunto formado por todos los sucesos. Se define la probabilidad como una aplicaciónP:P(Ω)−→[0,1] que cumple las siguientes condiciones: P(Ω)=1 La probabilidad del suceso seguro es 1. A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B) Si A y B son sucesos incompatibles, entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. A partir de la definición anterior se pueden sacar una serie de consecuencias: 1.P(∅)=0 2. SiA1,A2,...,An son sucesos incompatibles dos a dos, se cumple 3.P(A c )=1−P(A) 4. SiA⊂B, entoncesP(A)≤P(B) P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An) 5. SiAyB son dos sucesos cualesquiera (ya no necesariamente incompatibles) se cumple P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) En esta definición está basado todo el Cálculo de Probabilidades en el siglo XX. 4 Probabilidad condicionada Supongamos que en el estudio de un experimento aleatorio nos interesa conocer la probabilidad de que ocurra un cierto sucesoA. Pero puede ser que dispongamos de información previa sobre el experimento: supongamos que sabemos que el sucesoB ha ocurrido. Está claro que ahora la probabilidad deAya no es la misma que cuando no sabíamos nada sobreB. Por ejemplo, si lanzamos un dado, la probabilidad de que salga 1 es1/6, pero si disponemos de la información adicional de que el resultado es impar reducimos los casos posibles de 6 a 3 (sólo puede ser un 1, un 3 o un 5), con lo cual la probabilidad es1/3. Estamos ahora en condiciones de entender la siguiente definición: La probabilidad del sucesoAcondicionada al sucesoB se define: P(A/B)= P(A∩B) P(B) , siendo P(B)=0 Página 5 de 8
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