2. Integrales iteradas dobles. - IMERL

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 23
Aplicando las definiciones 2.1.1 y 2.2.2, un dominio simple en cualquier orden resulta:
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, η(y) ≤ x ≤ ξ(y)} ⊂ [a, b] × [c, d]
donde φ(x) y ψ(x) son continuas para todo x ∈ [a, b] y cumplen c ≤ φ(x) ≤ ψ(x) ≤ d, y η(y) y
ξ(y) son continuas para todo y ∈ [c, d] y cumplen a ≤ η(y) ≤ ξ(y) ≤ b.
Teorema 2.2.12. Teorema de Fubini para integrales dobles iteradas (intercambio del
orden de integración).
Sea D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, η(y) ≤ x ≤ ξ(y)} ⊂
[a, b] × [c, d] un dominio simple en cualquier orden (según la definición 2.2.11).
Sea f(x, y) una función continua para todo (x, y) ∈ D.
Entonces las integrales dobles iteradas de f en D son iguales:
b ψ(x) d ξ(y)
dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx
a
φ(x)
Observación: En la sección 5, se expone el teorema de Fubini para integrales de Riemann (ver
5.5.1). Es consecuencia de aplicar el teorema de Riemann-Lebesgue (ver 5.4.2), y las proposiciones
2.1.7 y 2.2.5 ya vistas. En efecto, el teorema de Riemann asegura que existe
A = lím
(∆x,∆y)→(0,0) σ
donde σ es la suma de Riemann definida en 2.2.6. Ese límite A es lo que se llama integral de
Riemann de f en el dominio D.
Entonces, los límites iterados de las sumas de Riemann, expuestos en las proposiciones 2.1.7
y 2.2.5, son iguales a A. Por lo tanto ambas integrales dobles iteradas son iguales a A, y resultan
ser iguales entre sí como queremos demostrar en el teorema de Fubini.
Esto prueba una versión más fuerte del teorema de Fubini:
Las integrales iteradas dobles de f continua en el dominio simple D, no solo son iguales entre
sí, sino que además son iguales a la integral de Riemann de f en D.
En forma independiente al teorema de Riemann, también se puede demostrar el teorema 2.2.12
de Fubini, usando los resultados de la sección 1 como sigue:
Demostración del teorema 2.2.12.
Esta demostración puede omitirse si se la sustituye por la demostración de los teoremas 5.4.1,
5.4.2 y 5.5.1.
1er. caso: D es un rectángulo. Sea D = [a, b]×[c, d] y sea f(x, y) continua en D. Definamos,
para (X, Y ) y (x, y) fijos en D, las siguientes funciones:
X
I(X, Y ) =
a
c
η(y)
Y
Y X
dx f(x, y)dy, J(X, Y ) = dy f(x, y)dx
c
c a
Y
X
F(x, Y ) = f(x, y)dy, G(X, y) = f(x, y)dx
c
a