2. Integrales iteradas dobles. - IMERL

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 27
≤ 2M1Kɛ + 2K(b − a)ɛ = K1ɛ (6)
donde K1 = 2(M1 + b − a)K es una constante independiente de ɛ.
Hemos terminado de acotar en (6) a la primera de las diferencias del segundo miembro de
(3). Para acotar a la última de las diferencias en (3), procedemos de igual modo, pero integrando
primero respecto de x en el intervalo [a, b], usando las funciones η, η1, ξ1 y ξ en lugar de φ, φ1, ψ1
y ψ, y recordando las condiciones (II). Se obtiene:
d b d
b
dy f(x, y)dx − dy g(x, y)dx
≤ K2ɛ (7)
c
a
c
donde K2 = 2(M2 + d − c)K es una constante independiente de ɛ, con M2 igual al máximo en
[c, d] de la función no negativa ξ(y) − η(y). Sustituyendo (6) y (7) en (3) se deduce:
b d d
b
dx f(x, y)dy − dy f(x, y)dx
≤ (K1 + K2)ɛ (8)
a
c
c
a
El primer miembro de la desigualdad (8) es independiente de ɛ, y vale para todo ɛ > 0 suficientemente
pequeño. Tomando límite en (8) cuando ɛ → 0 se deduce:
b d d
b
dx f(x, y)dy − dy f(x, y)dx
= 0
a
c
Esta igualdad es equivalente a la igualdad (1) que queríamos probar.
Lema 2.2.13. Función chichón. Dado un compacto K y un abierto acotado V de R q tal que
K ⊂ V , existe una función ϕ(x1, x2, . . .,xq) (llamada función “chichón”) definida y continua para
todo (x1, x2, . . .,xq) ∈ R q , que es nula fuera del abierto V , que es constante igual a 1 dentro del
compacto K, y que toma valores estrictamente positivos y menores que 1 en 8 V \ K.
c
Nota: Se llama función chichón porque, en el caso bidimensional (R q = R 2 ) la superficie
gráfica en el espacio de coordenadas cartesianas (x, y, z) de la función z = ϕ(x, y) (hacer un dibujo)
tiene forma de chichón, en el caso que se elija por ejemplo V como el disco abierto de centro (0, 0)
y radio 1, K el compacto formado por solo el origen, y ϕ(x, y) decreciente al aumentar cuando
aumenta la distancia de (x, y) al origen, pasando de un máximo igual a 1 en el origen (centro del
chichón), a un mínimo igual a cero fuera de V (fuera del chichón).
Demostración del lema 2.2.13: Denotemos p a un punto de R q , es decir p = (x1, x2, . . .,xq) ∈
R q .
Sea d2(p0) la distancia del punto p0 al borde ∂V de V ; es decir, para cualquier p0 ∈ R q fijo:
d2(p0) = mín ||p − p0||
p∈∂V
El mínimo anterior existe porque ∂V es compacto, y la función ||p −p0|| es continua como función
de p con p0 fijo.
Observamos que d2(p0) es continua respecto de p0 para todo p0 ∈ R q ; es no negativa, y se
anula si y solo si p0 ∈ ∂V .
8 Se denota con V \ K al conjunto de puntos que están en V pero no están en K.
a
a