2. Integrales iteradas dobles. - IMERL

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 25
Sin embargo, si f(x, y) fuera nula en ∂D, entonces f sería continua en R y por el resultado
obtenido en el primer caso se deduce la igualdad (1).
Si f(x, y) no es nula en ∂D definiremos una función auxiliar g(x, y) continua para todo (x, y) ∈
D, que sea nula en ∂D y que difiera de f en un conjunto muy pequeño. Es aplicable el resultado
del primer caso a g. Probaremos que, como el lugar donde g difiere de f es muy pequeño, las
integrales iteradas de f difieren de las de g menos que ɛ > 0 y por lo tanto están muy próximas
entre sí. Como la diferencia entre ellas (2ɛ > 0) es arbitrariamente pequeña, esto implica que son
iguales.
Veamos ahora los detalles:
Sea dado ɛ > 0 suficientemente pequeño.
En lo que sigue es imprescindible hacer una figura en el rectángulo [a, b]×[c, d] e ir agregándole
los dibujos que corresponden a cada párrafo.
Por hipótesis
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} =
= {(x, y) : c ≤ y ≤ d, η(y) ≤ x ≤ ξ(y)} ⊂ [a, b] × [c, d]
Sea en el rectángulo [a+ɛ, b −ɛ] ×[c+ɛ, d −ɛ] un dominio simple D1 (respecto de x y respecto
de y), contenido en el interior de D y tal que todo punto de su borde ∂D1 dista del borde de D
menos que ɛ. Más precisamente:
D1 = {(x, y) : a + ɛ ≤ x ≤ b − ɛ, φ1(x) ≤ y ≤ ψ1(x)} =
= {(x, y) : c + ɛ ≤ y ≤ d − ɛ, η1(y) ≤ x ≤ ξ1(y)} ⊂ [a + ɛ, b − ɛ] × [c + ɛ, d − ɛ] tal que:
c ≤ φ(x) < φ1(x) < φ(x) + ɛ < ψ1(x) < ψ(x) − ɛ < ψ(x) ≤ d ∀x ∈ [a + ɛ, b − ɛ] (I)
a ≤ η(y) < η1(y) < η(y) + ɛ < ξ1(y) < ξ(y) − ɛ < ξ(y) ≤ b ∀y ∈ [c + ɛ, d − ɛ] (II)
Sea g(x, y) una función continua tal que:
g(x, y) = 0 = f(x, y) si (x, y) ∈ R \ D
g(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ D1
|g(x, y)| ≤ |f(x, y)| para todo (x, y)
Existe alguna función g(x, y) con esas propiedades: En efecto, tal como se probará en el lema
2.2.13, (independientemente del resultado del teorema 2.2.12 que estamos demostrando), existe
una función “chichón”ϕ(x, y) que cumple la tesis del lema 2.2.13 (usando en las hipótesis de
dicho lema: el abierto V igual al interior del dominio D, y el compacto K = D1). Definiendo
g(x, y) = ϕ(x, y)f(x, y), se obtiene la función auxiliar buscada.
Como g es continua, puede aplicarse el resultado obtenido en el primer caso:
b d d b
dx g(x, y)dy = dy g(x, y)dx (2)
a
c
Ahora acotemos superiormente la diferencia en valor absoluto de las integrales iteradas de f
comparándolas con las de g:
b d d
b
dx f(x, y)dy − dy f(x, y)dx
≤
a
c
c
c
a
a