5 Variables aleatorias continuas
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5 <strong>Variables</strong> <strong>aleatorias</strong> contínuas<br />
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo<br />
de números reales..<br />
Función de densidad. La función de densidad de una variable aleatoria<br />
continua es una función f que cumple<br />
Z 1<br />
f(x) 0; f(x)dx = 1: (13)<br />
(comparar con (8)) y para todo a < b<br />
1<br />
Z b<br />
F (b) F (a) = P (a < X b) = f(x)dx: (14)<br />
Entonces es evidente que para una variable aleatoria continua:<br />
P (a < X < b) = P (a X b)<br />
La relación entre la función de densidad y la función de distribución está<br />
dada por:<br />
Z x<br />
F (x) = P (X x) = f(y)dy;<br />
de donde se deduce que la función de distribución de una variable aleatoria<br />
continua, es una función continua en todas partes; y que la función de densidad<br />
es la derivada de la función de distribución, en todos los puntos en los<br />
que esta última sea derivable:<br />
f(x) =<br />
dF (x)<br />
dx :<br />
5.1 Esperanza de una variable aleatoria continua<br />
La esperanza o media de una variable continua con función de densidad f; es<br />
Z 1<br />
EX = xf(x)dx:<br />
1<br />
28<br />
1<br />
a<br />
Año<br />
2012
cuando esta integral está de…nida.<br />
Si X es una variable aleatoria continua con densidad f y h es una función<br />
cualquiera, h(X) es una variable aleatoria cuya esperanza se calcula como:<br />
Z 1<br />
Eh(X) = h(x)f(x)dx<br />
1<br />
cuando esta integral está de…nida.<br />
La propiedad de linealidad del valor esperado también vale para variables<br />
<strong>aleatorias</strong> <strong>continuas</strong>, así como la de…nición y propiedades de la varianza, y<br />
de la desviación típica.<br />
Para variables <strong>aleatorias</strong> <strong>continuas</strong> se de…nen los cuantiles de la siguiente<br />
forma, para cualquier 0 < < 1; el cuantil- , es el valor x( ); tal que<br />
F (x( )) = P (X x( )) =<br />
Z x( )<br />
1<br />
f(x)dx =<br />
En particular, el cuantil-0:5 se llama mediana y es el valor e, tal que:<br />
Z e<br />
F (e) = f(x)dx = 1=2<br />
Ejemplo 5.1 Sea X una v. a. con densidad dada por:<br />
f(x) =<br />
Obtener F (x)<br />
Gra…car f(x) y F (x)<br />
Calcular F ( 1), F (0) y F (1)<br />
Calcular P (0 X 0:5)<br />
1<br />
0:2 si 1 x 0<br />
0:2 + cx si 0 < x 1<br />
0 en caso contrario<br />
Ejemplo 5.2 Sea X una v.a. con la siguiente función de distribución:<br />
F (x) =<br />
0 si x < 0<br />
x=8 si 0 x < 2<br />
x 2 =16 si 2 x 4<br />
1 si x > 4<br />
29
Obtener la función de densidad para X<br />
Calcular P (1 X 3)<br />
Calcular P (X 1:5)<br />
Realice los ejercicios de 1 a 5<br />
5.2 Distribución uniforme<br />
Veamos un ejemplo muy simple: supongamos que una persona toma un<br />
colectivo para ir al trabajo, que pasa exactamente cada 5 minutos. Si sale<br />
de su casa sin tener en cuenta la hora, el tiempo X, que tiene que esperar<br />
en la parada es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en el<br />
intervalo [0; 5], la función de densidad para esta variable es:<br />
1=5 si x [0; 5]<br />
f(x) =<br />
0 en otro caso<br />
Es evidente que f(x) 0, para todo x; y que el área total bajo f(x) es<br />
igual a 1.<br />
La probabilidad de que tenga que esperar entre 1 y 3 minutos es:<br />
P (1 X 3) = R 3 1 2 dx = 1 5 5<br />
Se dice que esta variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo<br />
[0,5]<br />
En general se dice que una variable aleatoria tiene distribución uniforme<br />
en el intervalo [a,b] (X s U[a; b]), si su función de densidad está dada por:<br />
si x [a; b]<br />
1<br />
f(x) = b a<br />
0 en otro caso<br />
esta función cumple: f(x) 0 para todo x; y R 1<br />
f(x)dx = 1.<br />
1<br />
Calculemos la media y varianza de una variable aleatoria con distribución<br />
uniforme en [a,b].<br />
Z 1<br />
Z b<br />
EX = xf(x)dx =<br />
1<br />
a<br />
x 1 b<br />
dx =<br />
b a b a<br />
2 a2 2<br />
= b + a<br />
2<br />
entonces la media de una distribución uniforme es el punto medio del intervalo.<br />
Para calcular la varianza, calculamos primero<br />
EX 2 Z 1<br />
= x 2 Z b<br />
f(x)dx =<br />
1<br />
a<br />
x2 1 b<br />
dx =<br />
b a b a<br />
3 a3 3<br />
30<br />
= a2 + ab + b 2<br />
3
entonces<br />
var(X) = EX 2<br />
(EX) 2 = a2 + ab + b 2<br />
3<br />
La función de distribución está dada por:<br />
F (x) =<br />
0 si x < a<br />
si x [a; b]<br />
1 si x > b<br />
x a<br />
b a<br />
Para calcular la mediana e; podemos hacer:<br />
F (e) =<br />
e a<br />
b a<br />
= 1=2<br />
(b + a) 2<br />
4<br />
= (b a)2<br />
12<br />
y despejando:<br />
b + a<br />
med(X) = e =<br />
2<br />
en este caso la mediana y la media coinciden. Esto ocurre siempre que la<br />
distribución es simétrica.<br />
5.3 Distribución exponencial<br />
Veamos otro ejemplo de variable aleatoria continua. Pensemos en un proceso<br />
temporal de Poisson, y consideramos el tiempo T transcurrido entre la presentación<br />
de dos eventos sucesivos. Ese tiempo T , es una variable aleatoria<br />
que puede tomar cualquier valor no negativo, y puede demostrarse que tiene<br />
función de densidad dada por:<br />
f(x) = e x si x > 0<br />
0 si x 0<br />
y se dice que tiene distribución exponencial con parámetro (X ( )),<br />
donde es el valor medio del número de eventos por unidad de tiempo.<br />
Su función de distribución está dada por:<br />
Z t<br />
F (t) =<br />
1<br />
f(x)dx = 1 e t si t > 0<br />
0 si t 0<br />
31
Ejemplo 5.3 Supongase que se reciben llamadas en una línea telefónica de<br />
emergencias las 24 hs del día, según un proceso de Poisson con una tasa 0.5<br />
llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de dos<br />
horas entre dos llamadas sucesivas?<br />
La variable aleatoria T; el tiempo (medido en horas) entre dos llamados<br />
sucesivos, tiene distribución exponencial con = 0:5. Entonces:<br />
luego<br />
P (T > 2) = 1 P (T 2) = 1 (1 e 0:5 2 ) = 0:3679<br />
La media y varianza de una variable exponencial están dadas por:<br />
Para calcular la mediana e<br />
ET = 1 ; var(T ) = 1 2<br />
F (e) = 1 e<br />
med(T ) = e =<br />
e = 1=2<br />
ln 2<br />
en este caso puede verse que la mediana es menor que la media.<br />
Realice los ejercicios de 6 a 10<br />
5.4 La distribución normal<br />
La distribución normal típica (o normal N(0; 1)) tiene densidad<br />
'(z) = 1<br />
p 2 e z2 =2<br />
se puede ver que esta función es simétrica respecto de 0<br />
Si Z tiene esta distribución, entonces se prueba que<br />
EZ = 0; var(Z) = 1<br />
Llamamos (z) a su función de distribución; entonces para todo a < b:<br />
P (a Z b) = (b) (a):<br />
32
Por ser ' simétrica, la cumple<br />
( z) = 1 (z): (15)<br />
Las tablas de suelen incluir sólo las z 0; y los valores para z < 0 se<br />
obtienen usando (15).<br />
Por ejemplo, se obtiene de la tabla que (1:02) = 0:8461: Para calcular<br />
( 1:02) se hace 1 0:8461 = 0:1539.<br />
Se deduce de (15) que los cuantiles de la N(0; 1) cumplen<br />
y en particular la mediana<br />
z(1 ) = z( ); (16)<br />
med(Z) = e = z(0:5) = 0:<br />
La variable X tiene distribución normal con media y varianza 2 (que<br />
se indica N( ; 2 )) si su función de densidad está dada por:<br />
f(x) = 1<br />
p 2<br />
e (x )2 =2 2<br />
puede verse que la grá…ca de esta función es simétrica respecto de :<br />
También puede demostrarse que si X s N( ; 2 ), entonces:<br />
E(X) = , V (X) = 2<br />
Importante: La familia de distribuciones normales tiene la siguiente<br />
propiedad: si X s N( ; 2 ), entonces para cualquier a 6= 0 y cualquier b, se<br />
veri…ca que Y = aX + b s N(a + b; a 2 2 )<br />
Entonces, variable normalizada Z = (X )= tiene distribución N(0; 1):<br />
O sea que<br />
X s N( ;<br />
2 ) si X = + Z donde Z s N(0; 1): (17)<br />
Ejemplo 5.4 Sea X s N(30; 4), se desea calcular P (28 < X < 31):<br />
33
P (28 < X < 31) = P ((28 30)=2 < (X 30)=2 < (31 30)=2) =<br />
= P ( 1 < Z < 1=2) = (0:5) ( 1) = (0:5) (1 (1)) =<br />
= 0:6915 (1 0:8413) = 0:5328<br />
En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con<br />
distribución N( ; 2 ); se la lleva al caso N(0; 1), trabajando con Z = (X<br />
)= : Su función de distribución es entonces<br />
F (x) = P (X x) = P Z<br />
y por lo tanto, si a < b :<br />
P (a X b) = F (b) F (a) =<br />
x<br />
=<br />
x<br />
b a<br />
De aquí se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con distribución<br />
normal, la probabilidad de que X esté dentro de 1 desvío estándar<br />
de su media es:<br />
P ( < X < + ) = (1) ( 1) = 0:6826<br />
P ( 2 < X < + 2 ) = (2) ( 2) = 0:9544<br />
y P ( 3 < X < + 3 ) = (3) ( 3) = 0:9974<br />
Usando (17), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribución<br />
N( ; 2 ) cumplen<br />
x( ) = + z( ); (18)<br />
donde z( ) son los cuantiles de N(0; 1):<br />
En particular, la mediana de una X s N( ; 2 ) es<br />
med(X) = x(0:5) =<br />
Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable<br />
normal X con media 5 y desviación 2. De la tabla: (0:84) = 0:7995 y<br />
(0:85) = 0:8023: Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0:843; y<br />
por lo tanto x(0:8) = 5 + 2 0:843 = 6:686: Para el otro cuantil, usamos<br />
z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0:843 = 3:314:<br />
Realice los ejercicios de 11 a 14<br />
34<br />
;<br />
:
6 "Propagación de errores": Funciones de una<br />
variable<br />
Cuando se realiza cualquier medición, siempre se cometen de errores. Los<br />
errores pueden ser sistemáticos, como en el caso de una balanza mal calibrada<br />
que siempre da un valor superior al verdadero, o pueden ser aleatorios. En<br />
muchas situaciones los errores sistemáticos deben ser eliminados, por ejemplo<br />
calibrando correctamente la balanza, en otras cuando se conoce la magnitud<br />
del error, puede corregirse el resultado de la medición sumando (o restando<br />
según sea el caso) el valor del error sistemático.<br />
Los errores que podemos tratar en estadística son los errores aleatorios.<br />
Debido a los errores aleatorios cuando repetimos una medición, en idénticas<br />
condiciones, los resultados de esas mediciones no son constantes, y ‡uctúan<br />
alrededor de un valor medio. Este tipo de error no puede ser eliminado.<br />
Entonces, consideremos el resultado de una medición, como una variable<br />
aleatoria X = a + ", donde a es el verdadero valor de la magnitud que se<br />
está midiendo y " es el error aleatorio, que en general, podemos suponer que<br />
tiene distribución normal con media 0 (esto indica que es igualmente probable<br />
que el error sea positivo o negativo) y varianza 2 , el valor de la varianza<br />
depende de la precisión del método de medición. Resumiendo, consideramos<br />
el resultado de una medición como una variable aleatoria:<br />
X = a + ", donde a es el verdadero valor y " N(0;<br />
o lo que es equivalente:<br />
X N(a;<br />
2 ) (19)<br />
2 ), donde a es el verdadero valor (20)<br />
En muchos casos interesa conocer el valor de una medición indirecta, es<br />
decir se está midiendo x, pero se desea conocer f(x), y también interesa conocer<br />
cual es el error en la medición indirecta f(x), esto es lo que denominamos<br />
"propagación de errores". Por ejemplo, sabemos que la absorbancia a de una<br />
solución es el negativo del logaritmo (decimal) de su transmitancia t :<br />
a = log t:<br />
Se tiene una medición de t con error, representada por una variable aleatoria<br />
X con media t y desviación ; entonces la absorvancia también es una variable<br />
35
aleatoria Y :<br />
Y = log X: (21)<br />
Con estos elementos se desea calcular la desviación típica de Y; sabiendo que<br />
t = 0:501; = 0:001:<br />
Para resolver este problema, lo plantearemos de modo más general, sea<br />
una variable aleatoria Y que es función de otra variable X :<br />
Y = h(X);<br />
donde X tiene media y desviación ; buscaremos una forma de aproximar<br />
su media y su varianza.<br />
La aproximación de la serie de Taylor a h(X) en un entorno de es:<br />
h(X) ' h( ) + h 0 ( )(X ) (22)<br />
El lado derecho de esta ecuación es una función lineal de X. Si la distribución<br />
de X está concentrada en un intervalo sobre el que la función h sea<br />
aproximadamente lineal, entonces (22) es una buena aproximación de Y; y<br />
puede usarse para aproximar los valores de E(Y ) y dt(Y ); utilizando (22) y<br />
(9):<br />
E(h(X)) ' h( ) + h 0 ( )E(X ) = h( )<br />
del mismo modo, usando (22)y (10):<br />
dt(h(X)) ' jh 0 ( )j dt(X)<br />
Por ejemplo, si Y = X 2 ; es h(x) = x 2 ; por lo tanto h 0 (x) = 2x; y en<br />
consecuencia<br />
dt(Y ) 2 j j :<br />
En el caso (21) es = t; y h(x) = log x; por lo tanto<br />
h 0 (x) =<br />
(con e = 2:71828::::); lo que da<br />
log e<br />
x<br />
EY log 0:501 = 0:30; dt(Y )<br />
Realice el resto de los ejercicios<br />
36<br />
= 0:434<br />
x<br />
0:434 0:001<br />
0:501<br />
= 0:0008:
Práctica 3<br />
1. Sea X una variable aleatoria con densidad dada por:<br />
f(x) =<br />
c(2 x) si 0 x 2<br />
0 en caso contrario<br />
(a) Determinar el valor de c y gra…car f(x)<br />
(b) Obtener y gra…car F (x)<br />
(c) Calcular P (1 X 2)<br />
(d) Calcule E(X) y V (X)<br />
(e) Sea Y = 2X 3, ¿cuál es la E(Y )?<br />
(f) Calcular el 80-percentil. (el cuantil-0:80)<br />
2. El tiempo de reacción (en segundos) a cierto estímulo es una variable<br />
aleatoria X con función de distribución dada por:<br />
0 si x < 1<br />
F (x) = (3=2)(1 1=x) si 1 x 3<br />
1 si x > 3<br />
(a) Calcular la función de densidad f(x) y gra…car.<br />
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción sea a lo<br />
sumo 2,5 segundos? ¿entre 1,5 y 2,5 segundos?<br />
(c) Calcular el tiempo esperado de reacción y la mediana.<br />
(d) Calcular la desviacón estándar del tiempo de reacción<br />
(e) Sea Y = X 3 , calcular E(Y )<br />
3. El tiempo de vida (en horas) de cierto tubo de radio es una variable<br />
aleatoria continua con función de densidad dada por<br />
f(x) =<br />
0 si x 100<br />
100=x 2 si x > 100<br />
(a) Veri…car que ésta es una función de densidad.<br />
(b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reemplazado<br />
antes de las 150 horas de operación<br />
37
(c) ¿Puede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos?<br />
(d) ¿Puede calcular la mediana del tiempo de vida de estos tubos?<br />
(e) Determinar el valor tal que el tiempo de vida del 90% de los tubos<br />
de radio de ese tipo sea inferior a ese valor (el 90-percentil)<br />
4. Sea X la temperatura a que tiene lugar cierta reacción química, y sea<br />
su densidad:<br />
(a) Gra…car f(x)<br />
f(x) =<br />
1<br />
9 (4 x2 ) si 1 x 2<br />
0 en otro caso<br />
(b) Hallar la función de distribución y gra…carla<br />
(c) ¿Es 0 la temperatura mediana a que se realiza la reacción química?.<br />
Si no es así, ¿la temperatura mediana es menor o mayor que 0?<br />
(d) Suponga que esta reacción química se realiza en 10 laboratorios<br />
en forma independiente, y que la función de densidad de la temperatura<br />
de reacción es la misma en cada laboratorio. Sea Y el<br />
número entre estos 10 laboratorios en los que la temperatura de<br />
la reacción es superior a 1. ¿Qué distribución tiene esta variable<br />
aleatoria?<br />
5. Para ciertas muestras de minerales, la proporción de impurezas por<br />
muestra es una variable aleatoria Y, con densidad dada por:<br />
f(y) = (3=2)y2 + y si 0 y 1<br />
0 en caso contrario<br />
El valor de cada muestra es U = 5 0:5Y . Encontrar E(U) y V (U)<br />
6. Suponga que la temperatura de reacción X (en o C) de un cierto proceso<br />
químico tiene una distribución uniforme en [70; 95]. Calcular:<br />
(a) P (X < 80), P (75 < X < 90)<br />
(b) Calcular la media y la varianza de X<br />
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté dentro de 1<br />
desvío estándar del valor medio?<br />
38
7. La duración de cada operación que realiza cierta máquina puede representarse<br />
mediante una v.a. uniforme de media 10 segundos y varianza<br />
3 seg2. ¿Cuántos segundos tarda como mínimo, el 75% de las veces?<br />
8. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una lámpara está<br />
exponencialmente distribuida con media 10. Supongamos que una persona<br />
entra en una habitación donde hay una lámpara encendida.<br />
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara dure menos de 6 horas?<br />
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la<br />
persona desea trabajar 5 horas?<br />
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre 4 y 8 horas?<br />
9. Sea X el tiempo (en minutos) entre dos llegadas sucesivas a un servicio<br />
de emergencias. Si X tiene distribución exponencial con = 0; 125.<br />
Calcular:<br />
(a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas.<br />
(b) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sea menor de<br />
10 minutos<br />
10. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos<br />
sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es<br />
la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado<br />
este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el<br />
marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,<br />
¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?<br />
11. La variable Y tiene distribución normal típica. Calcular las probabilidades<br />
de (a) Y 2; 23, (b) Y > 1; 35, (c) 0; 51 < Y < 1; 54<br />
12. Calcular:<br />
(a) la mediana y los cuartiles de una variable con distribución normal<br />
tipica<br />
(b) Idem, para la distribución N(10; 36)<br />
(c) Para esta última, calcular los percentiles del 10% y del 90%.<br />
39
13. En determinada población la presión arterial diastólica entre mujeres<br />
de 18 a 74 años se encuentra distribuida normalmente con una media<br />
de = 77 mmHg y una desviación estándar de = 11; 6 mmHg<br />
(a) Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga<br />
una presión arterial diastólica menor de 60 mmHg?<br />
(b) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica mayor<br />
de 90 mmHg?<br />
(c) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica entre<br />
60 y 90 mmHg?<br />
14. Una fábrica produce tornillos, las especi…caciones indican que el diámetro<br />
de los mismos debe estar entre 1; 19 y 1; 21 pulgadas. Si el proceso de<br />
producción es tal que el diámetro de los tornillos es una variable aleatoria<br />
con distribución normal con media 1; 196 y desviación estandar<br />
0; 005: ¿Qué porcentaje de la producción no satisface las especi…caciones?<br />
15. Si el voltaje v en un medio es …jo, pero la corriente I es aleatoria,<br />
entonces la resistencia (R = v=I) también será aleatoria. Si I = 20 y<br />
I = 0:5, calcule los valores aproximados de R y R.<br />
16. Se desea calcular el volumen de un tanque, sabemos que el radio de la<br />
base circular es la mitad de la altura. Se mide la altura y el resultado<br />
es 2m, esta medición tiene un error aleatorio con = 0:1m. Calcular<br />
aproximadamente la desviación típica del error del cálculo del volumen<br />
del tanque.<br />
17. Un sistema consta de 5 componentes idénticos conectados en serie.<br />
Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga<br />
que cada componente tiene una duración que está distribuida exponencialmente<br />
con = 0; 01 y que dicha duración es independiente para<br />
cada componente. De…na Ai ={i-ésimo componente dura por lo menos<br />
t horas}, i = 1; :::; 5 (estos Ai son eventos independientes). Sea X = el<br />
tiempo en que falla el sistema (esto es la duración más breve entre las<br />
cinco componentes)<br />
(a) El evento (X t), ¿es equivalente a qué evento donde aparecen<br />
las Ai?<br />
40
(b) Por medio de la independencia de las Ai, calcule P (X t). Luego<br />
obtenga F (t) = P (X t) y la densidad de X<br />
18. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) es una<br />
varable aleatoria X con densidad dada por:<br />
f(x) = 2(1 1=x2 ) si 1 x 2<br />
0 en caso contraio<br />
(a) Calcular la función de distribución.<br />
(b) Calcular la mediana.<br />
(c) Calcular E(X) y V (X)<br />
(d) Si al principio de la semana hay 2300 galones en existencia y no<br />
se recibe nuevo suministro durante la semana, ¿cuántos galones se<br />
espera que queden al terminar la semana?<br />
19. Se ha estudiado el volumen corpuscular medio eritrocitario (VCM) en<br />
pacientes con posible diagnóstico de anemia ferropénica como indicador<br />
de esta patología, el verdadero diagnóstico se establece con biopsia de<br />
médula osea. Para simpli…car, suponemos que los valores de VCM en la<br />
población siguen ua distribución normal. En una población de pacientes<br />
con diagnóstico con…rmado de anemia ferropénica se ha estimado =<br />
73 y = 6; 1. En una población donde se ha descartado ese diagnóstico<br />
se ha estimado = 82 y = 5; 9: Si se utilza un valor del VCM inferior<br />
a 75, para diagnosticar anemia ferropénica.<br />
(a) ¿Cuál es la sensibilidad de este método? Esto es: ¿cuál es probabilidad<br />
de diagnosticar correctamente un paciente que tiene anemia<br />
ferropénica? ¿Cuál es la probabilidad de un falso positivo?<br />
(b) ¿Cuál es la especi…cidad? Esto es la probabilidad de clasi…car<br />
correctamente a un paciente sin anemia ferropénica ¿Cuál es la<br />
probabilidad de un falso negativo?<br />
(c) ¿Cómo cambiarían esos valores si el valor de corte fuera 80, y si<br />
fuera 85?<br />
41