Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado - fimee ...

Por lo tanto
yn
yn+m
= e
2 mπ
c
cc
− 1−( c
cc ) 2
o
yn+m
En particular, se tiene que si m = 1, entonces
yn
yn+1
= e
2 π
c
cc − 1−( c
cc ) 2
o
yn
yn+1
yn
= e
= e
2 mπ c
cc
1−( c
cc ) 2
2 π c
cc
1−( c
cc ) 2
(21)
(22)
Esta es una característica de los sistemas vibratorios con amortiguamiento
lineal, la relación de “amplitudes” consecutivas, es siempre constante. De
la ecuación (21), se deducirá una ecuación para determinar la relación de
amortiguamiento.
ln
yn
yn+1
=
2 π c
cc
1 − c
cc
Manipulando algebraicamente el resultado anterior, se tiene que
c 2
1 − ln
cc
ln
o, finalmente
yn
2
yn+m
yn
2
yn+m
c
cc
2
c
cc
=
=
=
=
2
2 mπ c
2 cc
⎡
c 2
⎣4 m
cc
2 π 2
⎤
yn
2
+ ln ⎦
yn+m
yn 2
ln
yn+m
4 m2 π2 +
ln 1
yn 2 = ⎡
yn+m 1+ ⎣ 2
mπ
ln yn
1
⎡
1+ ⎣ 2 mπ
yn ln
y n+m
⎤2
⎦
y n+m
⎤2
⎦
(23)
La ecuación (23) proporciona la solución exacta de la relación de amortiguamiento
cuando se conocen las “amplitudes” máximas yn y yn+m. Es
curioso que esta ecuación (23) no aparezca en muchos de los libros de vibraciones
mecánicas pero si en los libros de sistemas de control automático. La
14