Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado - fimee ...

por lo tanto, la raiz cuadrada desaparece; es decir:
c 2
−
2 M
k
M =0.
El valor de amortiguamiento que satisface esta condición, se denomina
amortiguamiento crítico, se denota por cc, yestádadopor
c 2 c − 4 Mk=0 o cc =2 √
k
Mk=2M
M =2Mωn, (10)
donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado;
es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un
grado de libertad de las mismas características excepto que no tiene
amortiguamiento alguno.
Resumiendo, en este caso las dos raices de la ecuación característica
son iguales
λ1 = λ2 = − c c
= − ωn, (11)
2 M cc
donde c se denomina la relación del amortiguamiento. Cuando
cc
las dos raices son iguales, las dos soluciones no pueden ser linealmente
independientes. De la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales,
se sabe que dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial son
c
−
y1(t) =e cc ωnt
c
−
y y2(t) =te cc ωnt
(12)
Puede probarse que ambas funciones son, realmente, soluciones de la
ecuación diferencial (4), por lo tanto, la solución general de la ecuación
de movimiento del sistema vibratorio amortiguado, está dado por
c
−
yG(t) =C1 e cc ωnt c
−
+ C2 te cc ωnt . (13)
Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas específica, si
el sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condiciones
iniciales:
(a) Para t =0, y(0) = y0, ˙y(0) = 0.
(b) Para t =0, y(0) = 0, ˙y(0) = ˙y0.
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