Introducción a la Cinemática de las Máquinas. - fimee

Introducción a la Cinemática de las Máquinas.
José María Rico Martínez
Departamento de Ingeniería Mecánica
División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca
Salamanca, Gto. 36885, México
September 12, 2012
Objetivo: El objetivo de estas notas es proporcionar al interesado una recopilación de las
definiciones y resultados mas importantes acerca de los fundamentos de la teoría de las máquinas
y mecanismos. Además permite realizar algunas puntualizaciones necesarias ausentes en algunos
libros de texto.
1 Generalidades
La cinemática de las máquinas, también llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza ciencias
más básicas, como dinámica, con otras más ingenieriles o de aplicación, tales como el diseño de
máquinas. Durante el estudio de la dinámica se aprendió el cálculo de velocidades y aceleraciones
de cuerpos rígidos y agrupaciones de cuerpos rígidos; además, se analizaron las fuerzas necesarias
para producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Mucho de ese material será nuevamente
estudiado en la cinemática de las máquinas; sin embargo, ahora el estudio se concentrará en
agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.
Por otro lado, la cinemática de las máquinas concede especial atención a las distintas posiciones
que los cuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo.
Este análisis de posición es requerido en el diseño de máquinas. Cronologicamente, la primera
consideración en un diseño, es el movimiento que es necesario producir a fín de cumplir con el
objetivo deseado; en un segundo término, se encuentran las consideraciones de resistencia y rigidéz.
En cuanto a predominancia, en algunos casos, como en el diseño del mecanismo de impresión de
una máquina de escribir manual, el punto de vista más importante es aquel que se relaciona con
el movimiento requerido; mientras que en otros, como el diseño de trascabos y maquinaria de
construcción, los argumentos de resistencia y rigidéz predominan sobre los argumentos puramente
cinemáticos. En último caso, el diseño final debe obtenerse después de un compromiso entre ambas
consideraciones. Después de estos comentarios preliminares, es posible intentar una definición de
la cinemática de las máquinas.
1.1 Definición de la Cinemática de las Máquinas.
Definición: La cinemática de las máquinas se define como aquella división del diseño de
máquinas que concierne con el diseño cinemático de eslabonamientos, levas, engranes, etc. A fín
de precisar el significado de la cinemática de las máquinas se requiere de dos definiciones adicionales.
Definición: Diseño de máquinas: Es la creación de un plan para la construcción de una
máquina o dispositivo para realizar una función.
Definición: Diseño cinemático: Es diseño sobre la base de requerimientos de movimiento,
en contraste con el diseño en base a requerimientos de resistencia y rigidéz. Así pues, es posible
redefinir la cinemática de las máquinas como: “Aquella parte del diseño de máquinas que
1

concierne con el diseño, en base a requerimientos de movimiento, de eslabonamientos,
levas, engranes, etc”.
1.2 Mecanismo y Máquina.
Haremos ahora una distinción conceptual entre mecanismos y máquinas.
Definición: Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.
Definición: Máquina 1 : Es un mecanismo o una combinación de mecanismos que trasmiten
fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas están asociadas
con la conversión de la energía de fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de una
máquina térmica 2 .
Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejando
en un plano secundario la transmisión de fuerza necesaria para vencer la fricción o una fuerza
exterior; en la idea de máquina, la mente asocia la transmisión de fuerzas substanciales. Debe
reconocerse que las partes que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformación;
es decir, cuerpos rígidos aproximados. 3
Además, puesto que en la cinemática de las máquinas no interesa la resistencia y la rigidéz,
supondremos que las partes de un mecanismo son completamente rígidas y sin peso. A la luz de la
anterior discusión, podemos definir un mecanismo como un conjunto de cuerpos conectados
de tal manera que cada uno se mueve respecto a los demás y transmiten movimiento.
2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rígido.
El concepto de grados de libertad proviene de la teoría de sistemas y es de aplicación muy general,
en estas notas adoptaremos la siguiente definición.
Definición: Grado de libertad de un sistema. Se define como el número mínimo y
suficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema.
En la cinématica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado de
un sistema, cinemático, es sinónimo con posición. Si se conoce la posición de un sistema cinemático
se conoce todo acerca del sistema. Así pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados de
libertad del movimiento de un cuerpo rígido.
Definición: Grado de libertad de un cuerpo rígido es el número mínimo y suficiente de
variables necesarias para especificar completamente la posición del cuerpo. Si el cuerpo está libre
de moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados de libertad, vea la figura 1.
Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posición del cuerpo:
Tres variables para especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a un
sistema de referencia dado, y tres variables para especificar la orientación de un sistema coordenado
formado por tres líneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de
esas variables se le asocia un grado de libertad.
Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de
libertad, por ejemplo
1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado de libertad, el de
translación a lo largo del eje perpendicular al plano de movimiento.
2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto, pierde los tres
grados de libertad asociados a la translación.
1 En idioma inglés Machine.
2 En idioma inglés Engine.
3 Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en movimiento. Sin
embargo, desde hace unos veinte años, se han dado los primeros pasos en esa dirección.
2

Figure 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido Libre de Moverse en el Espacio.
3. Un cuerpo sujeto a rotación alrededor de un eje fijo pierde cinco grados de libertad, restándole
tan solo aquel asociado a la rotación alrededor del eje fijo.
4. Un cuerpo sujeto a translación rectilínea, pierde todos sus grados de libertad excepto aquel
asociado a la translación a lo largo del eje de desplazamiento.
5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las partículas del cuerpo
se mueven en planos paralelos, tiene tres grados de libertad. Dos de ellos están asociados
a las translaciones a lo largo de ejes linealmente independientes contenidos en el plano de
movimiento y el grado de libertad restante está asociado a la rotación alrededor de un eje
fijo perpendicular al plano, vea la figura 2.
Figure 2: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General.
Este último tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de que en una gran parte
de los mecanismos industriales los cuerpos que forman el mecanismo se mueven de esta manera.
Más aún, la mayor parte del curso se centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos
El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslación bidimensional y la rotación
alrededor de un eje fijo.
Una vez establecidos estos conceptos fundamentales, se analizarán los elementos que constituyen
los mecanismos.
3

3 Elementos Constitutivos de un Mecanismo.
Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismo
y, por el otro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contacto
y transmitir movimiento. Los cuerpos se denominán eslabones o barras y las conecciones se
denominan pares cinemáticos, en estas sección ambos se definirán de manera puntual y se
clasificarán en diferentes tipos o clases.
3.1 Eslabón o Barra.
Definición: Eslabón o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdo
con lo dicho anteriormente, se suponen que son rígido y no tienen peso.
La condición de rigidéz de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implica
que sea rígido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabón.
Esta consideración da lugar a una clasificación de los eslabones de acuerdo a su rigidéz:
1. Rígido en ambos sentidos, cuando el eslabón tiene rigidéz a tensión y compresión. Ejemplos:
La biela de un compresor, un engrane, el pistón de una máquina de combustión interna,
etc.
2. Rígido en un único sentido.
(a) Rígido cuando se sujeta a compresión. Ejemplo: Fluidos hidráulicos.
(b) Rígido cuando se sujeta a tensión. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas.
A fín de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexiones
se realizan a través de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. La
siguiente subsección examina la relación entre elementos y pares.
3.2 Eslabones y Pares.
Definición: Par cinemático. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones,
mantenidos permanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos,
recibe el nombre de par cinemático.
Esta definición da lugar a una nueva clasificación de los eslabones, esta clasificación depende del
número de elementos que contiene un eslabón; en otra palabras, la clasificación indica el número
máximo de pares, que puede formar el eslabón.
Es lógico que si los eslabones tienen como función la transmisión de movimiento, el número
mínimo de pares que deben formar es dos; así pues, los eslabones se clasifican en:
1. Eslabón o barra binaria, vea la figura 3.
2. Eslabón o barra poligonal. 4
Figure 3: Eslabón o Barra Binaria.
4

Figure 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.
(a) Barra ternaria, vea la figura 4.
(b) Barra cuaternaria.
(c) Barra quinaria, etcetera.
Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario proceder con el estudio
y clasificación de pares cinemáticos.
3.3 Clasificación de Pares Cinemáticos.
La clasificación de pares cinemáticos puede realizarse en base a tres diferentes criterios.
1. El número de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que son conectados
por el par.
2. El tipo de contacto entre los elementos.
3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.
Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número de grados de libertad del
movimiento relativo entre los elementos. 5 En esta clasificación, existen dos condiciones que
imponen un límite superior e inferior al número de grados de libertad, esas condiciones son:
• El par cinemático debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lo
tanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo.
• Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben permanecer
en contacto. De aqui qué deba existir como máximo cinco grados de libertad
en el movimiento relativo entre los eslabones. Una vez que se han determinado los límites
superior e inferior del número de grados de libertad del movimiento relativo que permite un
par cinemático, es posible clasificarlos de forma exhaustiva.
En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinemáticos en base al número de
grados de libertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones.
4A fín de indicar que se trata de un único cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos mediante pares cinemáticos,
los eslabones poligonales se anchuran.
5Esta clasificación está basada en las diferentes formas en que el movimiento relativo entre los dos cuerpos puede
restringirse. Existe otro criterio más estricto para la definición de un par cinemático; este criterio requiere que el
conjunto de movimientos relativos que permite un par sea un subgrupo del grupo de los movimientos de un cuerpo
rígido junto con la operación de composición. Este grupo se conoce como grupo euclidiano.
5

3.3.1 Clasificación de Pares Cinem´ticos en Base a los Grados de Libertad del Movimiento
Permitido Entre los Eslabones.
Pares Cinemáticos de Clase I. Número de grados de libertad del movimiento 1. Número de
grados de libertad perdidos 5. Posibles casos:
1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
Figure 5: Par de Revoluta.
2. Prismático (P), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje, o una curva
dada.
Figure 6: Par Prismático.
3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje
y simultaneamente un movimiento de rotación, dependiente de la translación, alrededor del
mismo eje.
Figure 7: Par de Tornillo o Helicoidal.
6

Pares cinemáticos de la clase II. Número de grados de libertad del movimiento 2. Número
de grados de libertad perdidos 4. Posibles casos:
1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotación alrededor de dos ejes linealmente
independientes.
Figure 8: Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un Soporte Ranurado.
2. Cilíndrico (C), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje y un movimiento
de rotación independiente alrededor del mismo eje.
Figure 9: Par Cilíndrico.
3. Leva (Ca), permite traslación a lo largo de un eje y rotación alrededor de un eje perpendicular
al primero.
Figure 10: Par de Leva.
7

Pares Cinemáticos de la clase III. Número de grados de libertad del movimiento 3. Número
de grados de libertad perdidos 3. Posibles casos:
1. Esférico o globular (S), permite rotación alrededor de tres ejes . Es decir permite rotación
alrededor de un punto fijo.
Figure 11: Par Esférico o Globular.
2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotación alrededor de dos ejes linealmente
independientes y traslación a lo largo de un tercer eje.
Figure 12: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilíndro Acanalado.
3. Plano (Pl), permite traslación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor de otro eje perpendicular
a los otros dos.
Figure 13: Par Plano.
8

Pares Cinemáticos de la clase IV. Número de grados de libertad del movimiento 4. Número
de grados de libertad perdidos 2. Posibles casos:
1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotación alrededor de tres ejes y translación a lo
largo de otro.
Figure 14: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilindro Ranurado.
2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotación alrededor de dos ejes y traslación a lo largo
de otros dos.
Figure 15: Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.
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Pares Cinemáticos de la clase V. Número de grados de libertad del movimiento 5. Número
de grados de libertad perdidos 1. Posibles casos:
1. Esfera sobre plano (Sp), permite translación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor
de tres ejes.
Figure 16: Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.
Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el análisis de mecanismos
son altamente importantes en el contexto mas amplio del diseño de máquinas.
3.3.2 Clasificación de pares cinemáticos de acuerdo al tipo de contacto entre elementos
. En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a través de una superficie. Ejemplos,
Pistón-camisa de un compresor, par globular de un portaplumas.
2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a través de un
punto o una línea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo.
Para la transmisión de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores;
pues los superiores estarían sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados.
3.3.3 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la forma en que se mantienen
los elementos en contacto
. En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares abiertos ó cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto mediante
el concurso de una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado.
Ejemplo, El par formado por una leva y su seguidor en una máquina de combustión interna.
2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma misma
de construcción del par. Ejemplo, El par prismático formado por el pistón y camara de un
compresor.
Debe observarse que los pares cinemáticos cerrados por forma son mas confiables que los cerrados
por fuerza.
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3.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos.
Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construcción es
sencilla y su estudio relativamente simple, estas características, aunadas a su gran versatilidad de
aplicación, son suficientes para que nuestro curso se concentre en su estudio.
Definición: Mecanismos planos. Los mecanismos planos se definen como aquellos mecanismos
tales que todos sus eslabones están sujetos a movimiento plano general y los planos de
movimiento son paralelos.
La pregunta que surge de inmediato es: Que clase de pares cinemáticos puede formar parte de
un mecanismo plano?.
Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo análisis. Un cuerpo sujeto a movimiento
plano general tiene tres grados de libertad; si además el cuerpo está conectado a otros eslabones a
fín de formar parte de un mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos
planos deben perder como mínimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles
pares a aquellos de las clases I y II.
Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos serán
aquellos que permitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. De
forma más correcta, debe decirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en
el grupo de los movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translación a
lo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o rotación alrededor de un
eje perpendicular al plano. Un sencillo análisis muestra que los pares que pueden formar parte de
un mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismáticos y los pares de leva.
Esta restricción sobre los tipos de pares cinemáticos que pueden formar parte de mecanismos
planos se basa exclusivamente en consideraciones del número de grados de libertad en el movimiento
relativo así como del movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados
exclusivamente por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante
engranes cónicos, la junta de cardan, levas cilindricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras restricciones
que conciernen a la disposición u orientación de los ejes de los pares cinemáticos y que
en conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado es plano. Estas restricciones
se indican a continuación.
1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotación deben
ser paralelos.
2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismático, el eje de desplazamiento del par
prismático debe ser perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta.
3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotación del par de leva debe
ser paralelo a los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslación debe ser
perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta.
Hasta aquí, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de los
mecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es el
tema de la siguiente sección.
4 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e Inversión.
La entidad básica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama cadena cinemática.
Definición: Cadena Cinemática. Una cadena cinemática es la unión de pares cinemáticos
y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos ó lazos 6 cerrados.
Las cadenas cinemáticas se clasifican en:
6 En lenguaje inglés loops.
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1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinemática son binarios.
2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales.
Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un único lazo y cinco eslabones binarios,
por lo tanto es simple.
Figure 17: Cadena Cinemática Simple.
La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe además otro lazo que comprende
parte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que genera
este tercer lazo son combinaciones de las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos.
En esta cadena cinemática, los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son
ternarios, por lo tanto, la cadena es compleja.
Figure 18: Cadena Cinemática Compleja.
El siguiente paso en la generación de mecanismos es la generación de eslabonamientos.
Definición: Eslabonamiento. Un eslabonamiento 7 es una cadena cinemática en la cual se
ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabón fijo se denomina marco o
eslabón fijo.
7 En lenguaje inglés linkage.
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Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido más específico, para nombrar
mecanismos formados exclusivamente por pares inferiores.
Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura 19 se han formado fijando respectivamente
los eslabones 1 y 5 de la cadena cinemática de la figura 17.
Figure 19: Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinemática Simple de la Figura
5.
Estos dos ejemplos permiten introducir el último concepto de está sección.
Definición: Inversión. A partir de una cadena cinemática formada por n-eslabones, puede
generarse como máximo n eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferentes
eslabonamientos que se producen al fijar alternativamente uno de los otros eslabones de la cadena,
se llaman inversiones del eslabonamiento inicial.
Es importante reconocer que en una inversión, el movimiento relativo entre los eslabones no se
altera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversión se
encuentra en la síntesis gráfica de levas.
Una de las aplicaciones más importantes del concepto de inversión cinemática consiste en la
búsqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos es
conocida como síntesis de número o sistemática.
Figure 20: Cadena Cinemática de Watt.
Por ejemplo, la sistemática nos indica que a partir de la cadena cinemática de Watt, figura
20, los únicos eslabonamientos diferentes –sin importar las dimensiones de los eslabones– son los
mostrados en la figura 21.
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Figure 21: Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de Watt.
5 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de
Grübler
.
Definición: Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el número mínimo y
suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posición del eslabonamiento.
Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la posición de cualesquiera de los
eslabones que forman parte del eslabonamiento.
Ejemplos. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen un
conteo de sus grados de libertad o movilidad.
1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatro
barras y cuatro pares de revoluta. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. El
eslabonamiento tiene un grado de libertad o movilidad igual a 1.
Figure 22: Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par
cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismático
entre el seguidor y el marco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual
a 2.
Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en
observar su movimiento –si lo hay–, y determinar empiricamente ese número mínimo y suficiente
de variables.
Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos
que no han sido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon
diferentes criterios de movilidad, uno de los más sencillos es el criterio de Grübler.
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Figure 23: Leva Espacial.
A continuación se deducirá el criterio de Grübler para eslabonamientos planos. Es decir, para
aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento
es la siguiente
1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones, vea la figura 24.
Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad –3 grados de libertad por cada uno de
los cuerpos que se conectarán para construir el eslabonamiento–.
Figure 24: Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento.
2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema referencia,
vea la figura 25. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3(N − 1) grados de libertad.
3. Por último, a fín de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante pares
cinemáticos, vea la figura 26. Puesto que los eslabones están originalmente obligados a
tener movimiento plano general, entonces un par de la clase I –prismático o de revoluta–
elimina 2 grados de libertad y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad.
Así pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuación
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2
Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el número de eslabones
que forman el eslabonamiento, P1 es el número de pares de la clase I que forman parte del
eslabonamiento y P2 es el número de pares de la clase II que forman parte del eslabonamiento.
La ecuación (1) se conoce como el criterio de Grübler.
Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en
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(1)

Figure 25: Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento, con uno de Ellos Fijo.
Figure 26: Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rígidos Inicialmente Aislados.
1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructura
estáticamente indeterminada.
2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estáticamente
determinada.
3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de
1,2,3, etc. grados de libertad, según sea el caso.
5.1 Aplicación del Criterio de Grübler.
En esta sección se determinarán los grados de libertad de diferentes eslabonamientos aplicando el
criterio de Grübler.
1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 26, el eslabonamiento contiene 5 eslabones,
y 6 pares cinemáticos, indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un par
de leva, entre los eslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criterio
de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2 = 3(5 − 1) − 2(5) − 1 = 12 − 10 − 1 = 1. (2)
El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad.
2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 27, el eslabonamiento contiene 4 eslabones,
y 4 pares de revoluta, indicados en itálica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera
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que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2 = 3(4 − 1) − 2(4) − 0 = 9 − 8 − 0 = 1. (3)
El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de esperarse. Este
mecanismo se le conoce como un mecanismo plano de cuatro barras.
Figure 27: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones y Cuatro Pares de Revoluta. Mecanismo
Plano de Cuatro Barras.
3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 28, el eslabonamiento contiene 3 eslabones,
y 3 pares de revoluta, indicados en itálica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera
que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2 = 3(3 − 1) − 2(3) − 0 = 6 − 6 − 0 = 0. (4)
El eslabonamiento es una estructura estáticamente determinada, como era de esperarse pues,
del estudio de la Estática, se sabe bien que un triángulo es la célula básica de las estructuras.
Figure 28: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones y Tres Pares de Revoluta. Estructura
estáticamente Determinada.
4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 29, el eslabonamiento contiene 3 eslabones,
y 3 pares cinemáticos indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 3, que es un par
de leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que
aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2 = 3(3 − 1) − 2(2) − 1 = 6 − 4 − 1 = 1. (5)
El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se conoce
como un mecanismo de leva de disco con seguidor de cara plana.
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Figure 29: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva.
Leva de Disco con Seguidor de Cara Plana .
5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30, el eslabonamiento contiene
4 eslabones, y 4 pares cinemáticos indicados en itálica, todos estos pares, excepto el par 4,
que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de
manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2P1 − P2 = 3(4 − 1) − 2(3) − 1 = 9 − 6 − 1 = 2. (6)
El eslabonamiento es un mecanismo de dos grado de libertad. Este mecanismo se conoce
como un mecanismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultado
parece erroneo, pues una leva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problema
alguno, por una leva de disco con seguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamente
un grado de libertad. Sin embargo, debe notarse que la leva de disco con seguidor de rodillo
presenta un grado de libertad pasivo que consiste en un movimiento de rotación del rodillo,
cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.
Figure 30: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de
Leva. Leva de Disco con Seguidor de Rodillo.
5.2 Excepciones al Criterio de Grübler.
Un criterio de movilidad, como el de Grübler, basado exclusivamente en consideraciones del número
de eslabones y de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para los
cuales el número de grados de libertad determinado mediante el criterio de Grübler no es el correcto.
Algunas de ellas se ilustran a continuación.
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1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostrado
en la figura 31.
Figure 31: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepción del Criterio de
Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(4 − 1) − 4(2) − 0(1) = 9 − 8 = 1 (7)
Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras son
a1 = 4u.l., a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, se
encuentra que la única manera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura
15. Consecuentemente, este “mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertad
y es en realidad una estructura.
2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 32.
Figure 32: Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinemáticos que Constituye una Excepción del
Criterio de Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(5 − 1) − 2(6) − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (8)
Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos,
además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gire
en el sentido indicado, por lo tanto F = 1.
3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 33.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(5 − 1) − 2(6) − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (9)
Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel formado
por los eslabones conectados por los pares prismáticos está asociado a las traslacionales
planas, mientras que cualquiera de los dos restantes lazos está asociado al movimiento plano
general. Puede probarse que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.
19

Figure 33: Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismáticos y de Revoluta que Constituye una
Excepción del Criterio de Grübler.
4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 34. El eslabonamiento tiene
23 eslabones, 33 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II.
Por lo tanto, aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2PI − 1PII = 3(23 − 1) − 33(2) − 1(0) = 66 − 66 − 0 = 0. (10)
El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura. Estas
estructuras se emplean frecuentemente en techos y puentes.
Figure 34: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente.
De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 35. Este eslabonamiento
tiene el mismo número de eslabones y pares cinemáticos que el eslabonamiento de la figura
34. Por lo tanto, aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2PI − 1PII = 3(23 − 1) − 33(2) − 1(0) = 66 − 66 − 0 = 0. (11)
Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustaría
pasar caminando o manejando un automóvil por un puente diseñado de esa manera.
Es fácil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura 35 se obtuvo del eslabonamiento
mostrado en la figura 34 simplemente cambiando de localización el eslabón
o barra número 14. Este cambio conduce a que el cuadrilátero formado por las barras 16, 17,
20

Figure 35: Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso.
18, 19 y 20 forma una subestructura estaticamente indeterminada, de manera que el comportamiento
cinemático del eslabonamiento no se altera si el cuadrilátero se sustituye por un
cuerpo rígido como se muestra en la figura 36. Este eslabonamiento tiene 18 eslabones o bar-
Figure 36: Un eslabonamiento equivalente al mostrado en la figura 35.
ras, 25 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II. Aplicando,
el criterio de Grübler se tiene
F = 3(N − 1) − 2PI − 1PII = 3(18 − 1) − 25(2) − 1(0) = 51 − 50 − 0 = 1. (12)
Este cálculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecanismo,
confirmando las sospechas que habiamos indicado en el párrafo anterior.
6 Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de
Paul.
Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el número de variables necesarias
para determinar la posición del eslabonamiento así como las ecuaciones que restringen esas
variables, es debido a Paul y se estudia a continuación. El método requiere de formular las ecuaciones
vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer
las ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones
escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto
21

que las ecuaciones escalares de clausura son, también, el punto de partida para resolver el análisis
de posición de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinemáticas mediante
ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del análisis de posición de mecanismos planos.
6.1 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posición del eslabonamiento
queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, θ4. Estas variables
cinemáticas se conocen también como coordenadas Lagrangianas, ó coordenadas generalizadas. Es
importante reconocer que estas variables no son independientes sino que están obligadas a satisfacer
las ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento.
Figure 37: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuación de clausura en forma
vectorial es
a2 +a3 = a1 +a4
(13)
y las ecuaciones escalares resultantes son
a2 Cosθ2 + a3 Cosθ3 = a1 Cosθ1 + a4 Cosθ4
a2 Senθ2 + a3 Senθ3 = a1 Senθ1 + a4 Senθ4 (14)
sustituyendo θ1 = 0 ◦ , y reagrupando los términos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como
f1(θ2, θ3, θ4) = a2 Cosθ2 + a3 Cosθ3 − a1 − a4 Cosθ4 = 0
f2(θ2, θ3, θ4) = a2 Senθ2 + a3 Senθ3 − a4 Senθ4 = 0 (15)
Entonces, el número de grados de libertad, F, será el número de coordenadas Lagrangianas o
generalizadas, C, menos el número de ecuaciones independientes E. Es decir
En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras,
F = C − E (16)
F = 3 − 2 = 1. (17)
Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grübler.
22

6.2 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera.
Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 38. La posición del eslabonamiento
queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, y la coordenada s. Debe notarse
que las dimensiones a2, a3, e, θe, θs son parámetros constantes.
Figure 38: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera.
Las ecuación de clausura, en forma vectorial, está dada por
Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son
a2 = e + s +a3. (18)
f1(θ2, θ3, s) = a2 Cosθ2 − s − a3 Cosθ3 = 0
f2(θ2, θ3, s) = a2 Senθ2 − e − a3 Senθ3 = 0 (19)
Entonces, el número de grados de libertad será
F = C − E = 3 − 2 = 1 (20)
De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado.
6.3 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos.
Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 39. La posición del eslabonamiento
queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, θ4, θ5, θ6. Debe notarse que las
dimensiones a1, a2, a3, a4, a5, a6, b1, b2, θ1, δ y γ son parámetros constantes.
Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son
a2 +a3 = a1 +a4
Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son
a2 + b2 +a6 = a1 + b1 +a5 (21)
f1(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cosθ2 + a3 Cosθ3 − a1 Cosθ1 − a4 Cosθ4 = 0
f2(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Senθ2 + a3 Senθ3 − a1 Senθ1 − a4 Senθ4 = 0
f3(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cosθ2 + b2 Cos(θ3 + δ) + a6 Cosθ6 − a1 Cosθ1 − b1 Cos(θ4 − γ) − a5 Cosθ5 = 0
f4(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Senθ2 + b2 Sen(θ3 + δ) + a6 Senθ6 − a1 Senθ1 − b1 Sen(θ4 − γ) − a5 Senθ5 = 0
23
(22)

Figure 39: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos.
Entonces, el número de grados de libertad está dado por
F = C − E = 5 − 4 = 1 (23)
De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado. Sin embargo, una
revisión de la figura 39, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuaciones
vectoriales, por ejemplo
a4 + b3 +a6 = b1 +a5
(24)
No obstante, puede probarse que esta ecuación vectorial, al igual que cualquier otra ecuación
que se pueda obtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se han
obtenido. En particular, si se resta la primera ecuación (21) de la segunda ecuación (21), se tiene
que
a2 + b2 +a6 −a2 −a3 = a1 + b1 +a5 −a1 −a4
(25)
o
Sin embargo, de la figura 39, es evidente que
Por lo tanto, la ecuación puede escribirse como
b2 −a3 +a6 +a4 = b1 +a5
b2 −a3 = b3
a4 + b3 +a6 = b1 +a5
Es claro, pues, que la aplicación de este criterio requiere de la determinación de un conjunto de
ecuaciones vectoriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones de
clausura del eslabonamiento. Información completa acerca de este problema puede encontrarse en
el libro de Paul, vea [1].
6.4 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque
Falla el Criterio de Grübler.
En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los
casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 40.
24
(26)
(27)
(28)

Figure 40: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite Ilustrar
Porque Falla el Criterio de Grübler.
La posición del eslabonamiento queda únicamente definida si se conocen los ángulos θ2, θ3,
θ4, θ5. Existen dos ecuaciones vectoriales de clausura, que están dadas por
Las ecuaciones escalares son
a2 +a3 = a1 +a4
b2 +a5 = a3 + b4 (29)
a2 Cosθ2 + a3 Cosθ3 = a1 Cosθ1 + a4 Cosθ4
a2 Senθ2 + a3 Senθ3 = a4 Senθ4 + a1 Senθ1
b2 Cosθ2 + a5 Cosθ5 = a3 Cosθ3 + b4 Cosθ4
b2 Senθ2 + a5 Senθ5 = a3 Senθ3 + b4 Senθ4 (30)
Debe notarse que a1, a2, a3, a4, b2, b4, y θ1 son parámetros cuyo valor no cambia durante el
movimiento del eslabonamiento. Por lo tanto, el número de grados de libertad o movilidad del
eslabonamiento será
F = C − E = 4 − 4 = 0 (31)
De aquí que, en general, el eslabonamiento sea una estructura.
Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condiciones
a1 = a3 = a5, a2 = a4 y b2 = b4. (32)
Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior,
vea las dos primeras ecuaciones de las de la ecuación (30), donde se han sustituido las igualdades
indicadas en la ecuación (32).
a2 Cosθ2 + a1 Cosθ3 = a1 Cosθ1 + a2 Cosθ4
a2 Senθ2 + a1 Senθ3 = a2 Senθ4 + a1 Senθ1 (33)
Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los términos correspondientes,
se tiene que
a2(C 2 θ2 + S 2 θ2) + a1(C 2 θ3 + S 2 θ3) + 2a1 a2(C θ2 C θ3 + S θ2 S θ3) =
a2(C 2 θ4 + S 2 θ4) + a1(C 2 θ1 + S 2 θ1) + 2a1 a2(C θ1 C θ4 + S θ1 S θ4)
25

o, reduciendo aún mas,
C (θ3 − θ2) = C (θ1 − θ4). (34)
Figure 41: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinación de la Longitud AN.
Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 41, la determinación de
la longitud AN conduce a la ecuación
a 2 1 + a 2 2 − 2a1 a2 C (θ2 − θ1) = a 2 3 + a 2 4 − 2a3 a4 C (θ4 − θ3),
sustituyendo las igualdades dadas por (32), la ecuación se reduce a
o, finalmente,
a 2 1 + a 2 2 − 2a1 a2 C (θ2 − θ1) = a 2 1 + a 2 2 − 2a1 a2 C (θ4 − θ3),
C (θ2 − θ1) = C (θ4 − θ3). (35)
Las ecuaciones (34) y (35), conducen a las siguientes posibilidades
θ3 − θ2 = θ1 − θ4 o θ3 − θ2 = −(θ1 − θ4) (36)
θ2 − θ1 = θ4 − θ3 o θ2 − θ1 = −(θ4 − θ3) (37)
Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (36) y (37), se obtiene que 8
θ3 = θ1 y θ4 = θ2. (38)
Puesto que θ4 = θ2, un análisis mucho mas simple para el lazo superior conduce a
θ5 = θ3 = θ1. (39)
El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 42.
Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restricción se reducen a
a2 Cosθ2 + a1 Cosθ1 = a1 Cosθ1 + a2 Cosθ2
a2 Senθ2 + a1 Senθ1 = a1 Senθ1 + a2 Senθ2
b2 Cosθ2 + a1 Cosθ1 = a1 Cosθ1 + b2 Cosθ2
b2 Senθ2 + a1 Senθ1 = a1 Senθ1 + b2 Senθ2 (40)
8 Un análisis de las restantes posibilidades conduce a soluciones en las que las condiciones solo se satisfacen
momentaneamente.
26

Figure 42: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 40.
Es fácil notar que estas ecuaciones se satisfacen idénticamente. Por lo tanto,
F = C − E = 1 − 0 = 1 (41)
El grado de libertad, indicado por la ecuación anterior, es evidente cuando se observa que el
conjunto puede rotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel.
6.5 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que
Clarifica Porque Falla el Criterio de Grübler.
En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los
casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 43,
que se emplea en mecanismos de prensas mecánicas e hidraúlicas. En particular, debe notarse la
simetría de la geometría y de la topología. Esta simetría se emplea para aplicar de manera mas
uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superior representado por el eslabón 6.
El mecanismo de la figura 43, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10 pares de revoluta y
2 prismáticos, si se aplica el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(N − 1) − 2PI − PII = 3(9 − 1) − 2(12) − 0 = 24 − 24 = 0. (42)
De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que
θ1 = 180 ◦
θ2 = 270◦ θ3 = 90 ◦ + γ3
θ4 = 90 ◦ + γ4 θ5 = 270◦ θ6 = 180 ◦
θ7 = 90 ◦ − γ7 θ11 = 0 ◦ θ12 = 270 ◦
θ13 = 90 ◦ − γ3 θ14 = 90 ◦ − γ4 θ16 = 0 ◦
θ17 = 90 ◦ + γ7
Además, las siguientes magnitudes son constantes a1 = a11,a3 = a13,a4 = a14,a6 = a16,a7 = a17.
Por lo que, las únicas coordenadas generalizadas son a2,a12,a5, junto con γ3,γ4,γ7.
Las ecuaciones vectoriales de clausura, están dadas por
a1 +a2 = a3 +a4
27

Figure 43: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite Ilustrar
Porque Falla el Criterio de Grübler.
a5 +a6 +a7 = a3
a11 +a12 = a13 +a14
a5 +a16 +a17 = a13 (43)
Puesto que, en general, cada ecuación vectorial genera 2 ecuaciones escalares, a primera vista el
criterio de Paul conduce a
F = C − E = 6 − 8 = −2 (44)
Ambos resultados, nos indican que el eslabonamiento es una estructura, aún cuando el criterio de
Paul, nos indica que la estructura es estaticamente indeterminada.
En la parte final de este ejemplo, se analizarán, con mas detalle, las ecuaciones escalares que
resultan de las ecuaciones vectoriales (43), para de esa forma descubrir el número correcto de
grados de libertad del eslabonamiento. Las ecuaciones vectoriales están dadas por
−a1 î − a2 ˆj = a3 C (90 ◦ + γ3)î + a3 S (90 ◦ + γ3)ˆj + a4 C (90 ◦ + γ4)î + a4 S (90 ◦ + γ4)ˆj
−a5 ˆj − a6 î + a7 C (90 ◦ − γ7)î + a7 S (90 ◦ − γ7)ˆj = a3 C (90 ◦ + γ3)î + a3 S (90 ◦ + γ3)ˆj
a11 î − a12 ˆj = a13 C (90 ◦ − γ3)î + a13 S (90 ◦ − γ3)ˆj + a14 C (90 ◦ − γ4)î + a14 S (90 ◦ − γ4)ˆj
−a5 ˆj + a16 î + a17 C (90 ◦ + γ7)î + a17 S (90 ◦ + γ7)ˆj = a13 C (90 ◦ − γ3)î + a13 S (90 ◦ − γ3)ˆj (45)
Sustituyendo las condiciones de igualdad entre los eslabones, las ecuaciones escalares son
−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4
−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4
28
(46)
(47)

−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3
−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3
a1 = a3 S γ3 + a4 S γ4
−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4
a6 − a7 S γ7 = a3 S γ3
−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3
Un análisis muy simple de las ecuaciones revela que las siguientes parejas de ecuaciones, la (46)
y la (50), la (48) y la (52), la (49) y la (53) son redundantes por lo tanto, el sistema de ecuaciones
se reduce a
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4 (54)
−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (55)
−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3 (56)
−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (57)
−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (58)
De esa manera, se tiene que el número de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul,
está dado por
F = C − E = 6 − 5 = 1 (59)
Además es interesante notar que las ecuaciones (55) y (58) conducen a
a2 = a12
Este resultado permite verificar la completa simetría del mecanismo, que es la causante de los
errores iniciales en el cálculo de los grados de libertad del mecanismo.
6.6 Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Excepción
del Criterio de Grübler.
Considere el mecanismo plano mostrado en la figura 44, el mecanismo está formado por cinco
eslabones y seis pares de la clase I, cuatro pares prismáticos y dos pares de revoluta. Si se aplica
el criterio de Grübler, el resultado es
F = 3 · (N − 1) − 2 · PI − PII = 3 · (5 − 1) − 2 · 6 − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (61)
De acuerdo con este resultado el eslabonamiento parece ser una estructura. Si se consideran
las ecuaciones de clausura dadas por
y las ecuaciones escalares correspondientes son
s1 + s2 = a2 + b3
(60)
a2 +a3 = s3 + s4 (62)
s1 C θs1 + s2 C φ2 = a2 Cθ2 + b3 C (θ3 + γ)
s1 S θs1 + s2 S φ2 = a2 Sθ2 + b3 S (θ3 + γ)
a2 Cθ2 + a3 C θ3 = s3 C θs3 + s4 C φ4
a2 Sθ2 + a3 S θ3 = s3 S θs3 + s4 S φ4 (63)
29

Figure 44: Mecanismo Plano Complejo que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler.
Además, las siguientes magnitudes son constantes a2, a3, b3, φ2, φ4, γ, φs1, φs3. Por lo que,
las únicas coordenadas generalizadas son, a primera vista, θ2, θ3, s1, s2, s3 y s4.
De esa manera, se tiene que el número de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul,
está dado por
F = C − E = 6 − 4 = 2. (64)
Sin embargo, debe notarse que el eslabón triangular está conectado al eslabón fijo mediante dos
pares prismáticos de modo que el movimiento relativo del eslabón triangular respecto al
eslabón fijo es unicamente de traslación, por lo tanto la “variable” θ3 es en realidad un
parámetro.
Por lo tanto, volviendo a aplicar el criterio de Paul, se tiene que la movilidad está dada por
El mecanismo tiene un grado de libertad.
F = C − E = 5 − 4 = 1. (65)
6.7 Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores.
En los tres ejemplos anteriores se mostró que la movilidad de mecanismos planos puede determinarse
substrayendo al número de variables necesarias,para determinar la posición de todos los
eslabones del mecanismo, el número de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecuaciones
de clausura de los lazos. Sin embargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamente
pares de revoluta y prismáticos. En esta pequeña nota, se muestra como se puede determinar, empleando
este mismo método, la movilidad de mecanismos planos que contienen pares de leva, en
particular una pareja de engranes.
Considere el mecanismo mostrado en la figura 45, el mecanismo está formado por un eslabón
fijo, una pareja de engranes y dos bielas. Por lo tanto, el número total de eslabones del mecanismo
es N = 5, además el mecanismo tiene PI = 5 pares de la clase I, todos ellos de revoluta, finalmente
el mecanismo tiene un par de leva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, PII = 1.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3 · (N − 1) − 2 · PI − PII = 3 · (5 − 1) − 2 · 5 − 1 = 12 − 10 − 1 = 1. (66)
30

Figure 45: Mecanismo Plano con un Par de Leva, Formado por una Pareja de Engranes.
Considere ahora la ecuación vectorial mostrada en la figura 45. La ecuación está dada por
a1 +a2 +a3 = a5 +a4
las componentes escalares de esta ecuación están dadas por
a1 Cθ1 + a2 Cθ2 + a3 Cθ3 = a5 Cθ5 + a4 Cθ4
a1 Sθ1 + a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = a5 Sθ5 + a4 Sθ4
los parámetros de estas ecuaciones son a1, a2, a3, a4, a5, r2 y r5 donde estos dos últimos parámetros
son los radios de los engranes. Además θ1 = 0 ◦ , las variables son θ2, θ3, θ4 y θ5.
Figure 46: Relación Entre los Ángulos de Giro de los Engranes.
Sin embargo, los engranes introducen una nueva ecuación, sean θ20 y θ50 las posiciones iniciales,
o de ensamble, de los eslabones 2 y 5. Entonces, las ángulos θ2 y θ5, vea la figura 46, están
relacionados por
o
θ2 − θ20
θ5 − θ50
(67)
(68)
(69)
= − r5
. (70)
r2
(θ2 − θ20)r2 = −(θ5 − θ50)r5. (71)
31

En algunos libros, esta ecuación se denomina ecuación auxiliar.
Concluyendo, el número de variables necesarias para determinar la posición del mecanismo es
V = 4, mientras que las ecuaciones escalares independientes son las ecuaciones (68,69,71). Es
decir, E = 3, por lo tanto
F = V − E = 4 − 3 = 1. (72)
El mismo número de grados de libertad que el determinado empleando el criterio de Grübler.
Bibliografía
[1] Paul, B. [1979], Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Englewood Cliffs, New Jersey:
Prentice-Hall.
32