Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado - fimee ...

Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad
Sujetos a Vibración Libre Amortiguada.
José María Rico Martínez
Departamento de Ingeniería Mecánica
Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, México
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1 Introducción
En estas notas se presentan los fundamentos teóricos de los sistemas vibratorios
de un grado de libertad sujetos a vibración libre amortiguada. El
objetivo de estas notas es su empleo como un auxiliar didáctico en los cursos
de vibraciones mecánicas.
2 Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos,
Grados de Libertad de un Sistema Vibratorio.
Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración
libre amortiguada, vea figura 1. Este modelo incluye además de una masa
y un elemento elástico, que almacenan energía, un amortiguador que disipa
energía. De manera que este modelo predice que un sistema vibratorio sujetoavibración
libre amortiguada, eventualemente regresa a su posición de
equilibrio, un fenómeno que se observa en la realidad, de manera que los
resultados que predice este modelo, son mas realistas que en el caso de un
sistema vibratorio sujeto a vibración libre no amortiguada.
1

Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado.
Las suposiciones de este modelo son:
1. La masa del sistema es constante y totalmente rígida, se denomina M.
2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible
describir el resorte mediante una única constante, denominada la constante
del resorte, k. De manera que la relación entre la fuerza y la
deformación del resorte está dadapor
F = kδ, (1)
donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformación del resorte.
3. El amortiguamiento presente en el sistema es de masa despreciable,
totalmente rígido, y lineal, por lo tanto es posible describir el amortiguador
mediante una única constante, denominada la constante del
amortiguador c. De manera que la relación entre la fuerza y la diferencia
de velocidad entre las terminales del amortiguador está dada por
F = cv, (2)
donde F es la fuerza del amortiguador y v es la velocidad entre las
terminales del amortiguador. 1
1 Un amortiguador satisface estos requisitos cuando el flujo entre las superficies del
amortiguador es laminar o viscoso, esto ocurre para valores del número de Reynolds
menores a 2000.
2

4. El movimiento de la masa es translación rectilínea.
Afín de lograr que la traslación de la masa sea rectilínea, es frecuente que
el sistema emplee guías, en cuyo caso debe suponerse que las guías están
completamente libres de fricción o bien, en este caso, la fricción es lineal y
su efecto está ya incluido en el coeficiente c considerado en el punto 3.
Afín de obtener la ecuación del movimiento del sistema, se parte de
posición de equilibrio estático del sistema. En esta posición, la deformación
estática del resorte está dada por 2
δest = Mg
(3)
k
Para obtener la ecuación de movimiento del sistema. Suponga que a partir
de la posición de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posición de
equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da una velocidad
dada por ˙y(t) en la dirección positiva. Entonces, aplicando la segunda ley de
Newton, se tiene que3 ΣFy = M d2 y(t)
dt2 − Mg+ k (δest − y(t)) − c dy(t)
dt = M d2 y(t)
dt2 ,
o
−M g+ kδest − ky(t) − c dy(t)
dt = M d2 y(t)
dt2 .
Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (3) que determina la deformación
estática del resorte, se obtiene la ecuación de movimiento del sistema vibratorio
M d2y + cdy + ky =0. (4)
dt2 dt
Donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la
constante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de
la partícula y t es el tiempo.
Nuevamente, se propone como solución la función
y(t) =Ce λt
2 Es importante señalar que el amortiguador no responde a la deformación si no a la
velocidad; de manera que en la posición de equilibrio estático la fuerza del amortiguador
es nula.
3 Además se supondrá quey(t)

De manera que su primera y segunda derivada están dadas por
dy(t)
dt
= dCeλt
dt = Cλeλt ,
d 2 y(t)
dt 2
dCλeλt
=
dt
Sustituyendo estos resultados en la ecuación (4) se tiene que
MC λ 2 e λt + cC λ e λt + kC e λt ≡ 0 ∀ t ≥ 0.
Rearreglando la ecuación se llega a
Ce λt
Mλ 2 + cλ+ k
≡ 0 ∀ t ≥ 0.
Es posible considerar tres posibles casos
= Cλ 2 e λt
1. C = 0, este caso es matemáticamente posible, pero su significado físico
conduce a que la solución de la ecuación está dadapor
y(t) =Ce λt =0e λt ≡ 0 ∀t ≥ 0.
Este resultado indica que el sistema continua en reposo, una solución
perfectamente factible pero que no es interesante.
2. e λt ≡ 0 ∀t ≥ 0, está solución es matemáticamente imposible pues
para t =0,setieneque
y(0) = e λ 0 = e 0 =1= 0.
3. La última opción, es la importante y se obtiene la ecuación característica
del sistema, dada por
c
−
y1(t) =C1 e 2 M t e
Mλ 2 + cλ+ k =0 (5)
La solución de la ecuación caracterítica del sistema, (5), conduce a las
soluciones de λ dadas por
λ = −c ± √ c2 − 4 Mk
= −
2 M
c
2 M ±
c 2
−
2 M
k
. (6)
M
Así pues, las dos soluciones de la ecuación diferencial están dadas por
( c
2 M ) 2 − k
M t
4
c
−
y y2(t) =C2 e 2 M t e −
( c
2 M ) 2 − k
M t
(7)

Es posible decir que las soluciones dadas por la ecuación (7) permiten
determinar la solución general del sistema, sin embargo, es conveniente distinguir
tres casos particulares.
1. Sistemas Sobreamortiguados. En este primer caso
c 2 − 4 Mk>0,
por lo tanto la raiz cuadrada es real
c 2
−
2 M
k
M ∈ℜ,
además
c
2 M >
c 2
−
2 M
k
M .
Resumiendo, en este caso las dos soluciones son negativas
0 >λ1 = − c
2 M +
c 2
−
2 M
k
M
c
> −
2 M −
c 2
−
2 M
k
M
= λ2,
(8)
y0>λ1 >λ2. La solución general de la ecuación de movimiento del
sistema vibratorio amortiguado, es en este caso,
yG(t) =C1 e λ1 t + C2 e λ2 t . (9)
Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas específica, si
el sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condiciones
iniciales:
(a) Para t =0, y(0) = y0, ˙y(0) = 0.
(b) Para t =0, y(0) = 0, ˙y(0) = ˙y0.
El sistema nunca regresa a la posición de equilibrio.
2. Sistemas Críticamente Amortiguados. En este segundo caso
c 2 − 4 Mk=0,
5

por lo tanto, la raiz cuadrada desaparece; es decir:
c 2
−
2 M
k
M =0.
El valor de amortiguamiento que satisface esta condición, se denomina
amortiguamiento crítico, se denota por cc, yestádadopor
c 2 c − 4 Mk=0 o cc =2 √
k
Mk=2M
M =2Mωn, (10)
donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado;
es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un
grado de libertad de las mismas características excepto que no tiene
amortiguamiento alguno.
Resumiendo, en este caso las dos raices de la ecuación característica
son iguales
λ1 = λ2 = − c c
= − ωn, (11)
2 M cc
donde c se denomina la relación del amortiguamiento. Cuando
cc
las dos raices son iguales, las dos soluciones no pueden ser linealmente
independientes. De la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales,
se sabe que dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial son
c
−
y1(t) =e cc ωnt
c
−
y y2(t) =te cc ωnt
(12)
Puede probarse que ambas funciones son, realmente, soluciones de la
ecuación diferencial (4), por lo tanto, la solución general de la ecuación
de movimiento del sistema vibratorio amortiguado, está dado por
c
−
yG(t) =C1 e cc ωnt c
−
+ C2 te cc ωnt . (13)
Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas específica, si
el sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condiciones
iniciales:
(a) Para t =0, y(0) = y0, ˙y(0) = 0.
(b) Para t =0, y(0) = 0, ˙y(0) = ˙y0.
6

El sistema regresa a la posición de equilibrio cuando t →∞.
3. Sistemas Subamortiguados. En este tercer y último caso 4
c 2 − 4 Mk≤ 0,
por lo tanto la raiz cuadrada es imaginaria
c 2
−
2 M
k
M ∈ℑ,
y puede reescribirse como
c 2
−
2 M
k
M =
k
−1
M −
c 2
= i ω
2 M
2 n −
c 2
ωn
cc
c 2
= iωn 1 − ,
donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado;
es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un grado
de libertad de las mismas características excepto que no tiene amortiguamiento
alguno y c se denomina la relación de amortiguamiento.
cc
Por lo tanto, las dos raices de la ecuación característica son
λ1 = − c
c 2
ωn + iωn 1 − λ2 = − c
c 2
ωn − iωn 1 −
cc
cc
y las dos soluciones de la ecuación diferencial, están dadas por
y1(t) = e
y2(t) = e
cc
− c
cc ωn+iωn
1−( c
cc )2
− c
cc ωn−iωn
t
cc
c
−
= e cc ωn t e iωn
1−( c
cc )2
t
c
−
= e cc ωn t e −iωn
1−( c
cc )2 t
cc
1−( c
cc )2 t
Estas soluciones son matemáticamente correctas, excepto que es deseable
que la solución de una ecuación diferencial real sea una solución
4Es importante señalar que, después de definir el amortiguamiento crítico como se
indica en la ecuación (10), estos tres posibles casos pueden caracterizarse en términos
de la relación de amortiguameinto c
c
, como: Sobreamortiguados > 1, críticamente
cc cc
amortiguados c
c
= 1 y subamortiguados < 1.
cc cc
7

eal. De hecho, de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales,
se sabe que la solución general de una ecuación diferencial lineal de
segundo orden constituye un espacio vectorial de dimensión 2 en el espacio
vectorial de funciones reales continuamente diferenciables. De
manera que si se encuentran dos funciones reales, que sean:
(a) Soluciones de la ecuación diferencial dada por la ecuación (4),
digamos yr1(t) yyr2(t),
(b) Que las funciones sean linealmente independiente.
Entonces la solución general de la ecuación (4), yG(t), estará dadapor
una combinación lineal de las dos soluciones, es decir
yG(t) =C1 yr1(t)+C2 yr2(t).
La pista para encontrar estas soluciones reales está dada por la identidad
de Euler, que indica que
e +iωn
e −iωn
1−( c
cc )2 t = Cos
1−( c
cc )2 t = Cos
ωn 1 − (c/cc) 2
ωn 1 − (c/cc) 2
t + iSen ωn 1 − (c/cc) 2
t
t − iSen ωn 1 − (c/cc) 2
t
Por lo tanto, dos candidatos naturales de las soluciones reales de la
ecuación (4) son
y
c
−
yr1(t) =e cc ωn t
Cos ωn 1 − (c/cc) 2
t
c
−
yr2(t) =e cc ωn t
Sen ωn 1 − (c/cc) 2
t,
es fácil probar que ambas funciones candidatas son soluciones de la
ecuación diferencial, de manera que la solución general de la ecuación
(4) está dada por
c
− ωn t
yG(t) =e cc ACos ωn 1 − (c/cc) 2
t + BSen ωn 1 − (c/cc) 2
t
donde A y B son constantes arbitrarias.
8
(14)

Este caso, el de sistemas vibratorios subamortiguados es el mas común
en la práctica y se estudia mas a profundidad a continuación. El segundo
término, que está dentro de paréntesis, en el lado derecho de la ecuación (14)
representa una vibración periódica y armónica cuya frecuencia natural, q,
está dada por
c 2
q = ωn 1 −
(15)
Sin embargo, el primer término del lado derecho de la ecuación (14), conocido
como decaimiento exponencial, impide que la vibración dada por la
ecuación (14) sea periódica. De modo que, de manera estricta, no es posible
determinar la amplitud y frecuencia de esta vibración aperiódica. No
obstante, en la siguiente discusión se emplearán los términos amplitud y
frecuencia natural de manera relajada, para evitar explicaciones demasiado
largas. La respuesta del sistema consiste, pues, en una vibración armónica
de “frecuencia” q, cuya “amplitud” disminuye exponencialmente. De manera
que la la solución general de la ecuación (4) está dada por
cc
c
−
yG(t) =e cc ωn t [ACosqt+ BSenqt] (16)
donde A y B son constantes arbitrarias. Mas aún, si el sistema tiene muy
poco amortiguamiento, c < 0.2, se tiene que
cc
c 2 √
q = ωn 1 − = ωn 1 − 0.22 =0.9797 ωn.
cc
De manera que si es sistema tiene muy poco amortiguamiento, la diferencia
entre la “frecuencia” natural de la vibración libre amortiguada q y la frecuencia
natural del sistema no amortiguado asociado, ωn es tan pequeña que
puede despreciarse. Esta relación puede apreciarse en la Figura 2, que muestra
la gráfica de la función
q
c 2
= 1 −
ωn
2.1 Determinación experimental de la constante de amortiguamiento
de un sistema vibratorio de un
grado de libertad amortiguado.
Uno de los problemas prácticos que este análisis permite resolver es la determinación
experimental de la constante de amortiguamiento de un sistema
9
cc

Figure 2: Gráfica de la Relación q
ωn
Versus c
cc .
vibratorio de un grado de libertad, a partir de los resultados experimentales.
Para tal fín, suponga que las condiciones iniciales a las que se sujeta el sistema
vibratorio amortiguado son
Para t =0, y(0) = y0, y ˙y(0) = 0.
Derivando la ecuación (16), respecto al tiempo, se tiene que
c
−
˙yG(t) =e cc ωn t [−AqSenqt+ BqCosqt]− c
c
−
ωne cc
cc
ωn t [ACosqt+ BSenqt]
(17)
Sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene que
c
−
y0 = e cc ωn 0 [ACosq0+BSenq0] = A,
c
−
0 = e cc ωn 0 [−AqSenq0+BqCosq0] − c
c
−
ωne cc
cc
ωn 0 [ACosq0+BSenq0]
= Bq− c
por lo tanto
ωn A,
cc
A = y0
y finalmente, se tiene que
c
0=Bωn 1 −
A = y0, y B =
10
cc
2
− c
c
cc y0
1 − 2 c
cc
ωn A
cc
(18)

Asi pues, la solución particular del sistema está dada, en forma algebraica,
por
yP (t) =
y0
1 − c
cc
y, en forma polar, por
yP (t) =
y0
1 − c
cc
Además, se tiene que
Desplazamiento, u.l.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
c
− ωn t
e cc
2
⎡
c 2
⎣ 1 − Cosqt +
cc
c
⎤
Senqt⎦ , (19)
cc
c
−
e cc
2 ωn t Sen(qt+ φ) , donde Tanφ =
Cosφ = c
cc
c
Senφ = 1 −
Respuesta de un Sistema Subamortiguado
−5
0 1 2 3 4 5
Tiempo, segundos
6 7 8 9 10
cc
2
1 − 2 c
cc
c
cc
.
(20)
Figure 3: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de
Libertad Subamortiguado.
11

Un ejemplo de la respuesta de un sistema subamortiguado a estas condiciones
iniciales, se muestra en la figura 9.
Suponga que, de alguna manera, se obtiene un registro de la respuesta de
un sistema subamortiguado como el mostrado en la figura 9. En particular,
suponga que se conocen los valores de los máximos de la respuesta del sistema.
Los tiempos para los cuales se obtienen los máximos se determinan derivando,
respecto al tiempo, la solución particular , vea ecuación (20), e igualando la
derivada a 0, de modo que
0 =
0 =
0 = −
0 = −
y0
1 − c
cc
y0
1 − c
cc
y0
1 − c
cc
y0
1 − c
cc
0 = − y0 ωn e
c
−
e cc
2 ωn t qCos(qt+ φ) −
c
−
e cc
2
⎡
ωn t ⎣ωn
c
− ωn t
ωn e cc
2
y0
1 − c
cc
2
c
cc
c
−
ωn e cc ωn t Sen(qt+ φ)
c 2
1 − Cos(qt+ φ) −
cc
c
⎤
ωn Sen(qt+ φ) ⎦
cc
⎡
⎣−
c 2
1 − Cos(qt+ φ)+
cc
c
cc
⎤
Sen(qt+ φ) ⎦
c
−
ωn e cc
2 ωn t [−SenφCos(qt+ φ)+CosφSen(qt+ φ)]
c
− ωn t cc
1 − c
cc
Sen[(qt+ φ) − φ] =−
2 y0 ωn e
c
− ωn t cc
1 − c
cc
Los puntos críticos de la función se presentan cuando:
1. Cuando
c
−
e cc ωn t =0.
2 Senq t
Esta condition se presenta cuando t →∞, pero este resultado implica
que y(t) = 0 y simplemente indica que la vibración desaparece para
cuando t tiende al infinito y no es de interés.
2. Cuando
Senq t = 0 es decir, para t = nπ
, n =0, 1, 2, 3, 4,...
q
12

Mas aún, puede probarse que para n =0, 2, 4,...,lavibración presenta un
máximo, mientras que para n =1, 3, 5,... la vibración presenta un mínimo.
En el resto de esta sección se emplearán los valores máximos. 5
Determinando los valores máximos, para t =0,setieneque
yP (0) =
yP (0) =
y0
1 − c
cc
y0
1 − 2 c
cc
c
−
e cc
2 ωn 0 Sen(q 0+φ) =
c
1 −
cc
2
= y0.
La validez de este resultado se verifica en la Figura 9.
Para t =
y0
1 − c
cc
2 Senφ
2 nπ
q , donde n es un número natural arbitrario, se tiene que
yn ≡ yP
= y0 e
2 nπ
=
q
y0
c 2 nπ
− ωn
e cc q
1 −
Sen q
2
c
cc
2 nπ c
cc
−
1−( c
cc ) 2
1 − Senφ = y0 e
2
c
cc
Para el máximo, es decir para t =
yn+m ≡ yP
= y0 e
= yn e
2(n + m) π
=
q
y0 e
1 − c
cc
−
2(n+m) π c
cc
1−( c
cc ) 2
1 − Senφ = y0 e
2
c
cc
2 mπ c
cc
− 1−( c
cc ) 2
2 nπ
c
cc
− 1−( c
cc ) 2
2 nπ
q
2(n+m) π
,setieneque
q
c 2(n+1) π
− ωn
cc q
−
2
2(n+1) π
c
cc
1−( c
cc ) 2
Sen
= y0 e
q
+ φ
2(n +1)π
q
2 nπ
c
cc
− 1−( c
cc ) 2
−
e
+ φ
2 mπ
c
cc
1−( c
cc ) 2
5 Un análisis semejante puede llevarse a cabo empleando los valores mínimos o mezclando
los valores máximos con los valores mínimos.
13

Por lo tanto
yn
yn+m
= e
2 mπ
c
cc
− 1−( c
cc ) 2
o
yn+m
En particular, se tiene que si m = 1, entonces
yn
yn+1
= e
2 π
c
cc − 1−( c
cc ) 2
o
yn
yn+1
yn
= e
= e
2 mπ c
cc
1−( c
cc ) 2
2 π c
cc
1−( c
cc ) 2
(21)
(22)
Esta es una característica de los sistemas vibratorios con amortiguamiento
lineal, la relación de “amplitudes” consecutivas, es siempre constante. De
la ecuación (21), se deducirá una ecuación para determinar la relación de
amortiguamiento.
ln
yn
yn+1
=
2 π c
cc
1 − c
cc
Manipulando algebraicamente el resultado anterior, se tiene que
c 2
1 − ln
cc
ln
o, finalmente
yn
2
yn+m
yn
2
yn+m
c
cc
2
c
cc
=
=
=
=
2
2 mπ c
2 cc
⎡
c 2
⎣4 m
cc
2 π 2
⎤
yn
2
+ ln ⎦
yn+m
yn 2
ln
yn+m
4 m2 π2 +
ln 1
yn 2 = ⎡
yn+m 1+ ⎣ 2
mπ
ln yn
1
⎡
1+ ⎣ 2 mπ
yn ln
y n+m
⎤2
⎦
y n+m
⎤2
⎦
(23)
La ecuación (23) proporciona la solución exacta de la relación de amortiguamiento
cuando se conocen las “amplitudes” máximas yn y yn+m. Es
curioso que esta ecuación (23) no aparezca en muchos de los libros de vibraciones
mecánicas pero si en los libros de sistemas de control automático. La
14

azón es que los libros de vibraciones mecánicas emplean, frecuentemente,
una aproximación de la ecuación (21), si la relación de amortiguamiento del
sistema vibratorio es pequeña, digamos c
≤ 0.2, entonces, se tiene que
cc
c
1 −
cc
2
y la ecuación (21) puede aproximarse como
yn
yn+m
c
−2 mπ
= e cc o
≈ 1.0
yn+m
yn
c
2 mπ
= e cc (24)
donde el término δ ≡ 2 mπ c se denomina decaimiento exponencial, de
cc
esta ecuación (24) se deduce que
c
=
cc
ln
yn+m
yn
2 mπ
(25)
Esta ecuación (25) es mas sencilla que la ecuación (23) y puede usarse
para determinar la relación de amortiguamiento, después de probar que este
es suficientemente pequeño.
3 Simulación de sistemas vibratorios de un
grado de libertad sujetos a vibración libre
amortiguada
En esta sección se mostrará que el comportamiento de un sistema vibratorio
de un grado de libertad amortiguado sujeto a vibración libre puede simularse
de manera muy simple empleando Simulink c○ . Sin embargo, para propósitos
de simulación, conviene escribir la ecuación de movimiento del sistema, (4)
como
d2y c dy k
= − −
dt2 M dt M y.
Es bien conocido que existen tres diferentes casos de sistemas amortiguados:
15

3.0.1 Sistemas Sobreamortiguados
El archivo libamorsob.mdl, cuyacarátula se muestra en la figura 4, simula
el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a
vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dadapor
junto con las condiciones iniciales
d2y +20dy +25y =0,
dt2 dt
dy
Para t =0, y(0) = 5, y (0) = 0.
dt
Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un
sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.
Figure 4: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad
Sobreamortiguado.
Por lo tanto
De aquí que
k
ωn =
M =
25
1 =5rad.
seg.
cc =2Mωn = (2)(1)(5) = 10 kgm.
seg.
16

Obviamente, el sistema es sobreamortiguado, pues
c
cc
= 20 kgm.
seg.
10 kgm.
seg.
=2.
Puede mostrarse que el sistema no vibra.
El archivo libamorsob.mdl permite verificar el comportamiento de un
sistema vibratorio sobreamortiguado y la solución particular. En particular,
la figura 5 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado de libertad
sobreamortiguado.
Desplazamiento, u.l.
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Respuesta de un Sistema Sobreamortiguado
0
0 1 2 3 4 5
Tiempo, segundos
6 7 8 9 10
Figure 5: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de
Libertad Sobreamortiguado.
3.0.2 Sistemas Críticamente Amortiguados
El archivo libamorcri.mdl cuya carátula se muestra en la figura 6, simula
el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a
vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dadapor
junto con las condiciones iniciales
d2y +10dy +25y =0,
dt2 dt
Para t =0, y(0) = 5, y
17
dy
(0) = 0.
dt

Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un
sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.
Figure 6: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad
Críticamente Amortiguado.
Por lo tanto
De aquí que
k
ωn =
M =
25
1 =5rad.
seg.
cc =2Mωn = (2)(1)(5) = 10 kgm.
seg.
Obviamente, el sistema está críticamente amortiguado, pues
c
cc
= 10 kgm.
seg.
10 kgm.
seg.
=1.
Puede mostrarse que el sistema no vibra.
El archivo libamorcri.mdl permite verificar el comportamiento de un
sistema vibratorio críticamente amortiguado y la solución particular. En
particular, la figura 7 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado
de libertad sobreamortiguado.
18

Desplazamiento, u.l.
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Respuesta de un Sistema Criticamente Amortiguado
0
0 1 2 3 4 5
Tiempo, segundos
6 7 8 9 10
Figure 7: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de
Libertad Sobreamortiguado.
3.0.3 Sistemas Subamortiguados
El archivo libamorsub.mdl cuya carátula se muestra en la figura 8, simula
el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a
vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dadapor
d2y +1dy +25y =0,
dt2 dt
junto con las condiciones iniciales
dy
Para t =0, y(0) = 5, y (0) = 0.
dt
Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un
sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.
Por lo tanto
k
ωn =
M =
25
1 =5rad.
seg.
De aquí que
cc =2Mωn = (2)(1)(5) = 10 kgm.
seg.
Obviamente, el sistema es subamortiguado, pues
c
cc
= 1 kgm.
seg.
10 kgm.
seg.
19
=0.1

Figure 8: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad
Subamortiguado.
Puede mostrarse que el sistema vibra. Mas aún, los resultados del archivo
libamorsub.mdl permiten verificar la relación de amortiguamiento, a partir
de la medición de las amplitudes consecutivas del registro de la vibración.
El archivo libamorsub.mdl permite verificar el comportamiento de un
sistema vibratorio subamortiguado y la solución particular. En particular, la
figura 9 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado de libertad
subamortiguado.
20

Desplazamiento, u.l.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
Respuesta de un Sistema Subamortiguado
−5
0 1 2 3 4 5
Tiempo, segundos
6 7 8 9 10
Figure 9: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de
Libertad Subamortiguado.
21