Matriz Adjunta y Determinación de la Matriz Inversa.

Note que ˆM jk = M jk .Además, puesto que ˆM tiene dos filas iguales det ˆM =0,porlotanto
S =
m∑
m ik M jk = det ˆM = det ˆM T =0.
k=1
Un procedimiento semejante permite probar el valor de la otra sumatoria.
Teorema. Sea M ∈ M m×m .LainversadeM denotada por M −1 está dada por
M −1 = adjM
detM
Prueba: Considere el producto
N = M adjM
detM
Entonces, los elementos de la matriz N están dados por
1. Elementos en la diagonal,
n ii =
n∑
j=1
m ij
M ij
detM = 1
detM
m∑
m ij M ij =1 ∀ 1 ≤ i ≤ m.
j=1
2. Elementos fuera de la diagonal,
n ij =
n∑
k=1
m ij
M ij
detM = 1
detM
m∑
m ij M ij =0 ∀ 1 ≤ i ≤ m, donde i ≠ j.
j=1
De aquí que,
Finalmente
N = M adjM
detM = I m
M −1 = adjM
detM .
2. Problemas Resueltos.
Problema 1. Suponga que la matriz M está dadapor
⎡
M = ⎣ 1 3 −1 ⎤
2 −1 3 ⎦
1 2 −3
Determine la inversa de esta matriz mediante el métododelamatrizadjunta.
Solución. De acuerdo con el método, se debe obtener primero la matriz de menores de la matriz M,
⎡
⎤
−3 −3 5
menorM = ⎣ −7 −4 5 ⎦
8 5 −7
La matriz de cofactores de M está dadapor
⎡
cofactorM = ⎣ −3 3 5 ⎤
7 −4 −5 ⎦
8 −5 −7
2