Matriz Adjunta y Determinación de la Matriz Inversa.

Álgebra Lineal XXIV: Matriz Adjunta y Determinación de la
Matriz Inversa.
José María Rico Martínez
Departamento de Ingeniería Mecánica
Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx
En estas notas definiremos la matriz adjunta y mostraremos su relación con la determinación de la
matriz inversa de una matriz no singular.
1. Matriz adjunta.
En esta sección definiremos la matriz adjunta de una matriz cuadrada.
Definición. Sea M ∈ M m×m ,conm arbitrario y sea
cofactorM =(M ij ).
la matriz de cofactores de la matriz original M y donde el cofactor M ij está localizadoenlai-ésima fila
ylaj-ésima columna de la matriz de cofactores. Entonces la matriz adjunta de M, denominada adjM,
es la transpuesta de la matriz de cofactores; es decir
adjM =(cofactorM) T =(M ij ) T
Teorema. Sea M ∈ M m×m yseani, j enteros tales que i ≠ j, 1≤ i ≤ m y1≤ j ≤ m. Entonces
m∑
m∑
m ik M jk =0 y m ki M kj =0.
Prueba: El término
k=1
k=1
m∑
m ik M jk =0,
k=1
puede interpretarse como la expansión en base a la j-ésima fila del determinante de una matriz ˆM
obtenida a partir de la matriz original M sustituyendo la j-ésima fila con la i-ésima fila. Para mostrar
este resultado, considere la matriz ˆM mostrada a continuación,
⎡
⎤
m 11 m 12 ··· m 1m
m 21 m 22 ··· m 2m
m 31 m 32 ··· m 3m
. .
. . . ..
. .
ˆM =
m i1 m i2 ··· m im
. . . .. i − ésima fila
.
m i1 m i2 ··· m im
j − ésima fila
⎢ . .
⎣
.
. . ..
. ⎥
. ⎦
m m1 m m2 ··· m mm
1

Note que ˆM jk = M jk .Además, puesto que ˆM tiene dos filas iguales det ˆM =0,porlotanto
S =
m∑
m ik M jk = det ˆM = det ˆM T =0.
k=1
Un procedimiento semejante permite probar el valor de la otra sumatoria.
Teorema. Sea M ∈ M m×m .LainversadeM denotada por M −1 está dada por
M −1 = adjM
detM
Prueba: Considere el producto
N = M adjM
detM
Entonces, los elementos de la matriz N están dados por
1. Elementos en la diagonal,
n ii =
n∑
j=1
m ij
M ij
detM = 1
detM
m∑
m ij M ij =1 ∀ 1 ≤ i ≤ m.
j=1
2. Elementos fuera de la diagonal,
n ij =
n∑
k=1
m ij
M ij
detM = 1
detM
m∑
m ij M ij =0 ∀ 1 ≤ i ≤ m, donde i ≠ j.
j=1
De aquí que,
Finalmente
N = M adjM
detM = I m
M −1 = adjM
detM .
2. Problemas Resueltos.
Problema 1. Suponga que la matriz M está dadapor
⎡
M = ⎣ 1 3 −1 ⎤
2 −1 3 ⎦
1 2 −3
Determine la inversa de esta matriz mediante el métododelamatrizadjunta.
Solución. De acuerdo con el método, se debe obtener primero la matriz de menores de la matriz M,
⎡
⎤
−3 −3 5
menorM = ⎣ −7 −4 5 ⎦
8 5 −7
La matriz de cofactores de M está dadapor
⎡
cofactorM = ⎣ −3 3 5 ⎤
7 −4 −5 ⎦
8 −5 −7
2

Finalmente, la matriz inversa de M, dada por M −1 ,estádadapor
M −1 = (cofactorM)
| M |
donde | M |= 3,porlotanto
⎡
⎣ −3 3 5 ⎤
7 −4 −5 ⎦
M −1 8 −5 −7
=
3
T
⎡
= 1 ⎣ −3 7 8 ⎤
3 −4 −5 ⎦
3
5 −5 −7
3. Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere la matriz del problema propuesto 3, de las notas Álgebra Lineal XIX:
Rango de una Matriz y Matriz Inversa, dada por
⎡
1 −2 2 ⎤
M 1 = ⎣ 3 1 0 ⎦
−1 2 1
Determine su matriz inversa.
3