Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas

Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas
José María Rico Martínez
Departamento de Ingeniería Mecánica
Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1. Sumas y Sumas Directas
En estas notas definiremos sumas y sumas directas de subespacios vectoriales.
Definición de suma de subespacios. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K ydos
subespacios U y W de V. Entonces la suma de U y W, se define como:
U + W = {⃗u + ⃗w| ⃗u ∈ U, ⃗w ∈ W}
Teorema. Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo K. Entonces U+W ≤
V.
Prueba: Suponga que ⃗v 1 ,⃗v 2 ∈ V son dos elementos arbitrarios. Entonces existen vectores ⃗u 1 ,⃗u 2 ∈ U
y vectores ⃗w 1 ,⃗w 2 ∈ W tales que:
⃗v 1 = ⃗u 1 + ⃗w 1 , ⃗v 2 = ⃗u 2 + ⃗w 2
yseaλ ∈ K arbitrario. Entonces, la suma U + W está cerrada respecto a la suma
⃗v 1 + ⃗v 2 =(⃗u 1 + ⃗w 1 )+(⃗u 2 + ⃗w 2 )=(⃗u 1 + ⃗u 2 )+(⃗w 1 + ⃗w 2 )
puesto que U y W son subespacios, entonces ⃗u 1 + ⃗u 2 ∈ U y ⃗w 1 + ⃗w 2 ∈ W y ⃗v 1 + ⃗v 2 ∈ U + W.
Similarmente, la suma U + W está cerradarespectoalamultiplicación por escalar
λ⃗v 1 = λ(⃗u 1 + ⃗w 1 )=(λ⃗u 1 )+(λ⃗w 1 )
puesto que U y W son subespacios, entonces λ⃗u 1 ∈ U y λ⃗w 1 ∈ W y λ⃗v 1 ∈ U + W.
Definición. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y dos subespacios U y W de V.
Entonces la suma de U + W, se dice que una suma directa, denotada por U ⊕ W si, y sólo si, para
cada ⃗v ∈ U + W existe un único elemento ⃗u ∈ U yunúnico elemento ⃗w ∈ W tal que
⃗v = ⃗u + ⃗w ∈ U + W.
Teorema. Considere un espacio vectorial finito-dimensional V sobre un campo K y dos subespacios
U y W de V. LasumaS = U + W es una suma directa si, y solo si, U ∩ W = {⃗0}.
Prueba. Suponga que U ∩ W = {⃗0} ysea⃗v ∈ U + W y considere dos “posibles”, representaciones
de ⃗v, dadas por:
⃗v = ⃗u 1 + ⃗w 1 ⃗v = ⃗u 2 + ⃗w 2
1

donde ⃗u 1 ,⃗u 2 ∈ U y ⃗w 1 ,⃗w 2 ∈ W, entonces
⃗0 =⃗v − ⃗v =(⃗u 1 + ⃗w 1 ) − (⃗u 2 + ⃗w 2 )=(⃗u 1 − ⃗u 2 ) − ( ⃗w 2 − ⃗w 1 )
Por lo tanto
(⃗u 1 − ⃗u 2 )=(⃗w 2 − ⃗w 1 ) ∈ U ∩ W
Pero puesto que U ∩ W = {⃗0}, entonces:
⃗u 1 = ⃗u 2 y ⃗w 1 = ⃗w 2 .
De modo que las representaciones son iguales y la suma de subespacios es una suma directa. Suponga
ahora que existe un ⃗v ∗ ≠ ⃗0 que pertenece a U ∩ W, ysea⃗v ∈ U + W donde una posible representación
está dadapor:
⃗v = ⃗u + ⃗w, donde ⃗u ∈ U y ⃗w ∈ W
Entonces
⃗v = ⃗v − ⃗0 =⃗u + ⃗w + ⃗v ∗ − ⃗v ∗ =(⃗u + ⃗v ∗ )+(⃗w − ⃗v ∗ )
pero
(⃗u + ⃗v ∗ ) ∈ U y( ⃗w − ⃗v ∗ ) ∈ W
Por lo tanto, no existe una única representaciónylasumanoesdirecta.
Teorema. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre un campo K, talqueV = U ⊕ W.
Entonces la unión de una base de U y una base de W es una base de V. Por lo tanto, la dimensión de
V es la suma de la dimención de U yladimensión de W.
Prueba: Suponga que B u = {⃗u 1 ,...,⃗u m } es una base de U y B w = { ⃗w 1 ,..., ⃗w n } es una base de
W. Entonces para todo ⃗v ∈ V = U + W, setieneque:
⃗v = ⃗u + ⃗w =(λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m )+(μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n ).
Por lo tanto, B u ∪ B w = {⃗u 1 ,...,⃗u m ,⃗w 1 ,..., ⃗w n } es un conjunto generador de V. Para probar la independencia
lineal de B u ∪ B w considere una combinación lineal de este conjunto
o, escribiendo la ecuación, como
λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m + μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n = ⃗0
(λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m )+(μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n ) = ⃗0
(λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m )=−(μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n ),
donde
(λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m ) ∈ U y − (μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n ) ∈ W.
Sin embargo, puesto que la suma es directa, U ∩ W = {⃗0}. Por lo tanto, la ecuación se reduce a:
λ 1 ⃗u 1 + ...+ λ m ⃗u m = ⃗0 y μ 1 ⃗w 1 + ...+ μ n ⃗w n = ⃗0
Finalmente puesto que B u = {⃗u 1 ,...,⃗u m } es una base de U y B W = { ⃗w 1 ,...,⃗w n } es una base de W, se
tiene que ambos conjuntos son linealmente independientes y la única solución es la trivial. Es decir:
λ 1 = ...= λ m =0 y μ 1 = ...= μ n =0.
Por lo tanto B u ∪ B w = {⃗u 1 ...⃗u m ,⃗w 1 ...⃗w n } es un conjunto linealmente independiente de V yporlo
tanto una base. Mas aún, la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U ydeW.
2

Es importante notar la diferencia entre la unión de subespacios y la suma de subespacios. Considere
la interpretación geométrica usual del espacio vectorial R 3 sobre el campo R y dos subespacios de R 3
dados por
U =[(1, 0, 0)] V =[(0, 1, 0)]
Es fácil de observar que U representa a los vectores que están sobre el eje X, mientrasqueU representa
a los vectores que están sobre el eje Y .
En ese caso, la suma U + V es un subespacio de R 3 yestádadopor
U + V = {λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 1, 0) | λ 1 ,λ 2 ∈ R} = {(λ 1 ,λ 2 , 0) | λ 1 ,λ 2 ∈ R}
y representa todos los vectores que yacen en el plano X − Y . Mientras que la union U ∪ V no es un
subespacio de R 3 yestádadopor
U ∪ V = {(λ 1 , 0, 0)}∪{(0,λ 2 , 0)}
λ 1 ,λ 2 ∈ R
y representa el conjunto de los vectores que están en el eje X oenelejeY .Esteconjuntonoesun
subespacio pues (1, 0, 0), (0, 1, 0) ∈ U ∪ V pero
El conjunto no está cerrado respecto a la adición.
2. Ejemplos
(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) /∈ U ∪ V
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de sumas de subespacios y de sumas directas.
Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R 3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere los siguientes subconjuntos de R 3 .
1. U = {(x 1 , 0,x 3 )|x 1 ,x 3 ∈ R} y W = {(x 1 ,x 2 , 0)|x 1 ,x 2 ∈ R}
2. U = {(x 1 , 0,x 3 )|x 1 ,x 3 ∈ R} y W = {(0,x 2 , 0)|x 2 ∈ R}
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de R 3
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
Determinesilasumaesdirectaono.
Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial P 3 de polinomios de grado menor o igual que 3 con
coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y
multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de P 3
1. U = {a 0 + a 1 x +0x 2 +0x 3 |a 0 ,a 1 ∈ R} y W = {0+0x + a 2 x 2 + a 3 x 3 |a 2 ,a 3 ∈ R}
2. U = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 |a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ∈ R, a 2 = a 3 } y W = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 |a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ∈
R a 2 = −a 3 }
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de P 3
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
3

Determinesilasumaesdirectaono.
Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial M 2×2 de matrices 2 × 2 de coeficientes reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere los siguientes subconjuntos de M 2×2 .
1.
2.
U =
W =
U =
W =
{ [ ] ∣∣∣a11 }
a11 0
M 1 =
,a
0 a 22 ∈ R
22
{ [ ] ∣∣∣a12 0 a12
M 2 =
,a
a 21 0
21 ∈ R}
{ [ ] ∣∣∣a11 }
a11 a
M 1 =
12
,a
0 a 12 ,a 22 ∈ R
22
{ [ ] ∣∣∣a12 0 a12
M 2 =
,a
a 21 0
21 ∈ R}
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de M 2×2
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
Determinesilasumaesdirectaono.
4