Propiedades de las transformaciones

Transformaciones
La escala original de las
mediciones obscurece rasgos
importantes del conjunto de
datos.
Moderar el efecto de valores
extremos.
Muchas técnicas estadísticas
requieren que los datos tengan
una distribución particular,
como la Gaussiana.

Propiedades de las transformaciones
Cada dato puntual xi es reemplazado por su valor
transformado y i
= f(x i
), donde f es una función.
Se aplica una transformación a los datos para: a)
hacer su distribución más simétrica; b) para que
cumpla con las suposiciones de algún proceso de
inferencia estadística, o c) para poder interpretar
mejor los datos.
Generalmente, la función f es invertible y continua.

Transformaciones de potencias
Se aplican para hacer la distribución de valores mas simétrica.
Son útiles cuando se aplican a distribuciones unimodales de
datos con valores positivos.

Propiedades de las transformaciones de potencias
Se usan para distribuciones unimodales de variables
positivas. Estas funciones son estrictamente
crecientes → preservan el orden
Para λ = 1 los datos permanecen esencialmente sin
cambios.
Para λ > 1, los valores más grandes se incrementan
más que los pequeños → ayudan a producir simetría
cuando se aplica a datos con sesgo negativo.
Para λ < 1, los valores más grandes decrecen más
que los pequeños → ayudan a producir simetría
cuando se aplica a datos con sesgo positivo.

Para escoger un valor apropiado para λ se
utiliza el estadístico d λ
:
d λ
= |media(λ) – mediana(λ)|
dispersión(λ)
La medida de dispersión puede ser el IQR o el
MAD.
Se elige la λ que produce el dλ más pequeño,
esencialmente mediante prueba y error.
Generalmente los valores de prueba se eligen a
intervalos de 0.5 o 0.25.

Anomalías estandarizadas
• Las transformaciones también pueden ser útiles cuando nos interesa
trabajar simultáneamente con conjuntos de datos que están
relacionados pero que no son estrictamente comparables. Un
ejemplo serían datos que están sujetos a variaciones estacionales.
• Transformación de los datos en términos de anomalías
estandarizadas:
• El hecho de transformar datos no-gaussianos de acuerdo a z no los
hace más gaussianos.
• Se trata de remover la influencia de la posición y de la dispersión
del conjunto de datos.
• z es adimensional.
• Un conjunto de datos que ha sido transformado en anomalías
estandarizadas tendrá media = 0 y s = 1.

SOI = Z Tahiti
- Z Darwin
Darwin
Tahiti

Promedios corridos
(moving average, running mean)
Se utilizan generalmente con series de tiempo para suavizar las
fluctuaciones de corto plazo o alta frecuencia y para enfatizar las
tendencias de largo plazo o ciclos.
Es similar al filtro paso-bajo utilizado en el procesamiento de
señales.
Dado un conjunto de datos y un tamaño fijo para los subconjuntos, el
promedio corrido se obtiene calculando primero el promedio del
primer subconjunto; después se toma el siguiente subconjunto hacia
adelante, considerando el tamaño elegido, y se calcula su promedio.
Este proceso se repite en toda la serie de datos original. La línea
que une todos los promedios es el promedio corrido.

Técnicas de análisis para datos en pares
Para cada observación en un conjunto de datos existe una
observación correspondiente en la misma fecha en otro
conjunto de datos.
Diagrama de dispersión o gráfico x-y
Diagrama de dispersión o gráfico x-y : Es una colección
de puntos en el plano cuyas coordenadas cartesianas son
los valores de cada elemento de la pareja de datos.
Permiten examinar con facilidad características tales como
tendencias, tipo de relación entre las variables,
aglomeración de una o de ambas variables, cambios en la
dispersión de una variable como función de la otra y
valores extremos o atípicos.

T Max

Coeficiente de correlación lineal de Pearson
La covarianza es una medida de cuánto varían dos variables en
forma conjunta. La varianza es un caso especial de la
covarianza con X = Y.
Propiedades de la covarianza:
a) cov(X,X) = var(X) = s 2
b) cov(X,Y) = cov(Y,X)
c) cov(cX,Y) = c cov(X,Y), donde c = constante
d) Si X y Y son independientes, cov(X,Y) = 0 (el inverso no es
necesariamente cierto)
El coeficiente de correlación normaliza la covarianza, creando
una cantidad adimensional que facilita la comparación entre las
variables.

Propiedades de r xy :
a) -1

Coeficiente de correlación de rangos de
Spearman
Es un estadístico robusto y resistente.
Es el coeficiente de correlación de Pearson pero calculado
usando los rangos de los datos, es decir, la posición que
ocupa cada dato al ser ordenados en forma ascendente.
El promedio de los enteros de 1 a n es (n+1)/2 y su
varianza es n(n 2 – 1)/[12(n-1)].
donde D i
es la diferencia de los rangos para la i-ésima
pareja de datos.

En caso de empates, e.d., cuando un valor particular
aparece más de una vez, a todos esos valores se les
asigna el rango promedio.
Este coeficiente establece que tan bien describe una
función monótona arbitraria la relación entre dos
variables.
A diferencia del coeficiente de Pearson, no requiere
suponer que la relación entre las variables es lineal.
(ejercicio)

Matriz de Correlación
Es una herramienta útil para mostrar simultáneamente las
correlaciones entre más de dos variables o conjuntos de
datos.
Las correlaciones entre las variables se pueden
acomodar en un arreglo matricial: R = r i,j
Para K variables hay K(K-1)/2 apareamientos distintos.
Por lo tanto, solamente K(K-1)/2 de los K 2 elementos de
la matriz proporcionan información no redundante.
Los elementos de la diagonal son iguales a 1.
La matriz R es simétrica, es decir, ri,j = r j,i
, por lo tanto los
valores por encima y por debajo de la diagonal son como
imágenes reflejadas.

Pearson
Spearman

Matriz de Dispersión
Es una extensión gráfica de la matriz de correlación.
Es un arreglo de diagramas de dispersión de acuerdo
con la lógica de la matriz de correlación.

Mapas de Correlación (one­point correlation maps)
La necesidad de trabajar con datos de un gran número de localidades hace
ineficiente el uso de matrices de correlación y/o de dispersión.
Si se tiene una o más variables medidas en distintas localidades, el arreglo
geográfico de los sitios puede usarse para organizar la información sobre la
correlación en forma de mapa.

Autocorrelación temporal o correlación serial
• Persistencia – tendencia de las condiciones meteorológicas a
ser similares en períodos de tiempo sucesivos.
• Autocorrelación temporal – es la correlación de una variable
consigo misma en diferentes tiempos, pasados o futuros.
También se denomina correlación con retraso (lagged
correlation).
• Generalmente se utiliza el coeficiente de correlación de
Pearson.
• El proceso de calcular autocorrelaciones puede ser
visualizado imaginando dos copias de una serie de n
observaciones con una de las series desplazada cierto
intervalo de tiempo con respecto a la otra.
• La autocorrelación con retraso 1 es la medida de persistencia
más comúnmente utilizada. En este caso se tienen n-1
parejas de datos para calcular la correlación.

Autocorrelación con retraso k - Las dos series se desplazan entre
sí más de una unidad de tiempo. Progresivamente habrá menos
datos para calcular la correlación, por lo que generalmente sólo los
primeros valores de k serán de interés; rara vez se calculan
correlaciones para valores de k > n/2 o k > n/3.

Función de autocorrelación
La colección de autocorrelaciones calculadas para varios retrasos o
lags (k) es llamada la función de autocorrelación: r(k) = r k
Una función de autocorrelación siempre comienza con r 0
= 1.
Típicamente una función de autocorrelación exhibe un decaimiento
más o menos gradual hacia cero conforme k se incrementa, reflejando
la relación estadística más débil que generalmente existe entre datos
más alejados en el tiempo.
Función de autocovarianza – Se multiplican las autocorrelaciones por
la varianza de los datos.
La aplicación de métodos estadísticos clásicos que requieren la
independencia de los datos en una muestra, puede conducir a
resultados engañosos cuando las series de datos son fuertemente
persistentes.

Información que proporciona la función
de autocorrelación
Detecta si un proceso es o no aleatorio.
Detecta que tan rápido cambia un proceso en el
tiempo.
Detecta si el proceso tiene una componente
periódica y cuál puede ser la frecuencia esperada.