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九 十 四 年 指 定 科 目 考 試 數 學 的 一 疑 題 37
y 2 = 4px; 而 選 後 者 的 人 頭 腦 比 較 好 , 但 也 沒 有 好 到 足 以 解 出 整 個 題 目 。 底 下 是 筆 者 用 了 一 個
下 午 的 時 間 所 得 到 的 解 法 。
注 意 到 拋 物 線 在 上 半 平 面 的 條 件 是 多 餘 的 , 因 拋 物 線 與 x- 軸 相 切 , 故 不 是 在 上 半 平 面 就 是
下 半 平 面 , 又 與 另 外 兩 直 線 y = x − 1 與 y = −x − 1 相 切 , 非 得 在 上 半 平 面 不 可 。
二 . 解 答
現 以 分 段 式 解 答 如 下 :
( 一 ) 拋 物 線 與 三 直 線 y = 0, y = x − 1 與 y = −x − 1 相 切 。 方 程 式 的 二 次 項 是 完 全 平 方 數
且 x 2 的 係 數 不 為 零 , 可 設 定 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2ax + 2by + c = 0。
又 b = aλ 時 , 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2a(x + λy) + c = 0,
表 示 退 化 的 拋 物 線 , 故 b ≠ aλ。
( 二 ) 拋 物 線 與 x- 軸 相 切 , y = 0 代 入 時 , 方 程 式
x 2 + 2ax + c = 0
有 等 根 , 因 此 c = a 2 , 而 可 進 一 步 設 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2ax + 2by + a 2 = 0, b ≠ aλ。
( 三 ) 拋 物 線 與 直 線 y = x − 1 相 切 。 現 y = x − 1 代 入 得
(1 + λ) 2 x 2 + 2(a + b − λ(1 + λ))x + (λ 2 + a 2 − 2b) = 0。
上 面 是 二 次 方 程 式 且 有 等 根 , 故 λ ≠ −1 且
[a + b − λ(1 + λ)] 2 = (1 + λ) 2 (λ 2 + a 2 − 2b)。
整 理 得 出
(a + b) 2 − 2λ(1 + λ)(a + b) = (1 + λ) 2 (a 2 − 2b)。 (1)