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數 學 傳 播 30 卷 1 期 , pp. 36-39
九 十 四 年 指 定 科 目 考 試 數 學 的 一 疑 題
以
明
近 年 來 樂 透 大 流 行 , 使 一 般 小 老 百 姓 都 很 會 猜 數 字 , 沒 想 到 這 股 歪 風 也 吹 到 指 定 科 目 上 。 今
年 數 學 甲 的 指 定 科 目 考 試 , 主 考 官 出 了 一 個 一 般 人 沒 辦 法 全 盤 解 出 的 題 目 , 還 好 是 一 選 擇 題 , 沒
概 念 也 可 以 瞎 猜 , 猜 對 了 可 以 得 到 8 分 , 猜 錯 了 會 倒 扣 4 分 , 差 距 12 分 , 足 以 從 台 大 電 機 系 掉
到 台 大 大 氣 科 學 系 ( 只 是 打 個 比 喻 )。
更 好 玩 的 是 考 試 後 , 補 教 界 公 佈 的 答 案 與 大 考 中 心 的 幾 乎 沒 有 交 集 , 除 一 明 確 公 認 是 對 的
選 項 外 , 其 他 三 選 項 你 有 我 無 , 我 有 你 無 。 在 承 認 大 考 中 心 的 答 案 沒 錯 的 前 提 下 , 也 有 人 用 超 出
高 中 數 學 課 程 範 圍 的 手 法 , 找 到 對 稱 軸 不 在 y- 軸 的 拋 物 線 。
筆 者 看 過 兩 種 解 法 , 一 個 是 明 顯 錯 誤 的 , 居 然 設 定 方 程 式 是 (x + 3y) 2 + ax + by + c = 0
的 形 式 , 另 一 個 超 出 課 程 範 圍 。 現 提 出 的 解 法 限 制 在 高 中 程 度 , 計 算 上 比 較 複 雜 。
一 . 題 目
引 起 爭 議 性 的 題 目 如 下 :
有 一 條 拋 物 線 位 於 坐 標 平 面 之 上 半 面 ( 即 其 y 坐 標 ≥ 0), 並 與 x- 軸 、 直 線 y =
x − 1、 直 線 y = −x − 1 相 切 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 :
(1) 此 拋 物 線 的 對 稱 軸 必 為 y- 軸 。
(2) 若 此 拋 物 線 對 稱 軸 為 y- 軸 , 則 其 焦 距 為 1。 ( 註 : 拋 物 線 的 焦 距 為 焦 點 到 頂 點 的
距 離 )
(3) 此 拋 物 線 的 頂 點 必 在 x- 軸 上 。
(4) 有 不 只 一 條 拋 物 線 滿 足 此 條 件 。
上 面 選 項 (2) 確 定 是 對 的 。 又 (1), (3) 與 (4) 是 兩 組 互 不 相 容 的 選 項 , 答 案 只 有 兩 種 可
能 , (1)(2)(3) 或 (2)(4)。 選 前 者 的 人 頭 腦 比 較 簡 單 , 以 為 拋 物 線 的 方 程 式 不 是 x 2 = 4py 就 是
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y 2 = 4px; 而 選 後 者 的 人 頭 腦 比 較 好 , 但 也 沒 有 好 到 足 以 解 出 整 個 題 目 。 底 下 是 筆 者 用 了 一 個
下 午 的 時 間 所 得 到 的 解 法 。
注 意 到 拋 物 線 在 上 半 平 面 的 條 件 是 多 餘 的 , 因 拋 物 線 與 x- 軸 相 切 , 故 不 是 在 上 半 平 面 就 是
下 半 平 面 , 又 與 另 外 兩 直 線 y = x − 1 與 y = −x − 1 相 切 , 非 得 在 上 半 平 面 不 可 。
二 . 解 答
現 以 分 段 式 解 答 如 下 :
( 一 ) 拋 物 線 與 三 直 線 y = 0, y = x − 1 與 y = −x − 1 相 切 。 方 程 式 的 二 次 項 是 完 全 平 方 數
且 x 2 的 係 數 不 為 零 , 可 設 定 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2ax + 2by + c = 0。
又 b = aλ 時 , 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2a(x + λy) + c = 0,
表 示 退 化 的 拋 物 線 , 故 b ≠ aλ。
( 二 ) 拋 物 線 與 x- 軸 相 切 , y = 0 代 入 時 , 方 程 式
x 2 + 2ax + c = 0
有 等 根 , 因 此 c = a 2 , 而 可 進 一 步 設 方 程 式 為
(x + λy) 2 + 2ax + 2by + a 2 = 0, b ≠ aλ。
( 三 ) 拋 物 線 與 直 線 y = x − 1 相 切 。 現 y = x − 1 代 入 得
(1 + λ) 2 x 2 + 2(a + b − λ(1 + λ))x + (λ 2 + a 2 − 2b) = 0。
上 面 是 二 次 方 程 式 且 有 等 根 , 故 λ ≠ −1 且
[a + b − λ(1 + λ)] 2 = (1 + λ) 2 (λ 2 + a 2 − 2b)。
整 理 得 出
(a + b) 2 − 2λ(1 + λ)(a + b) = (1 + λ) 2 (a 2 − 2b)。 (1)

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( 四 ) 另 由 拋 物 線 與 直 線 y = −x − 1 相 切 , 得 出 λ ≠ 1 且
(a − b) 2 − 2λ(1 − λ)(a − b) = (1 − λ) 2 (a 2 − 2b)。 (2)
(1) + (2), (1) − (2), 去 常 數 因 數 得 出
a 2 + b 2 − 2λ(a + bλ) = (1 + λ 2 )(a 2 − 2b) (3)
ab − λ(b + aλ) = λ(a 2 − 2b)。 (4)
整 理 (4) 得 出 b(a + λ) = aλ(a + λ), (b − aλ)(a + λ) = 0, 但 b ≠ aλ, 故 a = −λ。
( 五 ) 以 a = −λ 代 入 (3), 整 理 得
b 2 + 2b = λ 4 − 2λ 2
或 (b + 1) 2 = (λ 2 − 1) 2 ,
解 出 b = λ 2 − 2 或 b = −λ 2 。 但 b = −λ 2 時 又 使 b = aλ, 是 退 化 的 情 形 。 當 a = −λ,
b = λ 2 − 2, 得 出 拋 物 線 方 程 式 為
x 2 + 2λxy + λ 2 y 2 − 2λx + 2(λ 2 − 2)y + λ 2 = 0, λ ≠ ±1。
特 別 是 λ = 0, 得 出 方 程 式 為 x 2 = 4y, 是 以 y- 軸 為 對 稱 軸 的 拋 物 線 。 當 然 , 滿 足 三 相 切 條 件
的 拋 物 線 不 只 一 條 。
三 . 用 常 識 判 斷
其 實 二 次 曲 線 的 方 程 式 是 二 元 二 次 方 程 式 , 形 如
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0。
五 個 條 件 才 足 以 決 定 出 六 個 係 數 A, B, C, D, E, F 的 比 值 。 現 所 給 的 條 件 只 是
(1) 拋 物 線 , 即 B 2 = AC。
(2) y = 0, y = x − 1, y = −x − 1 分 別 代 入 , 得 出 的 二 次 方 程 式 有 等 根 , 這 只 提 供 3 個 條
件 。
故 少 了 一 個 條 件 , 所 得 到 的 解 帶 有 一 參 數 。
現 回 到 原 先 的 問 題 上 面 , (2) 的 選 項 是 對 的 。 當 拋 物 線 的 對 稱 軸 是 y 軸 且 與 x 軸 相 切 時 ,
方 程 式 必 是 y = ax 2 的 形 式 , 又 與 直 線 y = x − 1 相 切 , 二 次 方 程
ax 2 = x − 1, ax 2 − x + 1 = 0

九 十 四 年 指 定 科 目 考 試 數 學 的 一 疑 題 39
有 等 根 , 而 解 出 a = 1 。 拋 物 線 是 x 2 = 4y, 頂 點 在 (0,0), 焦 點 在 (0,1) 之 間 的 距 離 是 1。
4
要 是 (4) 的 選 項 是 對 的 話 , (1)(3) 的 選 項 就 不 成 立 . 想 拉 出 一 拋 物 線 時 與 三 直 線 相 切 , 並
不 容 易 , 較 省 力 的 方 式 在 一 般 式
(x + λy) 2 + 2ax + 2by + a 2 = 0, b ≠ aλ
中 設 定 λ, a, b 之 一 是 定 值 , 但 這 樣 做 有 冒 險 性 , 萬 一 沒 有 解 時 需 重 新 設 定 , 而 重 新 再 來 一 次 , 故
倒 不 如 一 開 始 就 不 設 定 。
四 . 試 題 好 不 好
很 顯 然 , 這 不 是 一 公 平 的 考 題 , 大 部 份 的 考 生 不 會 有 充 分 的 時 間 去 解 出 整 個 問 題 , 取 代 的
方 式 只 是 去 猜 , 考 試 的 方 式 到 這 種 地 步 , 是 不 是 有 些 出 題 人 員 對 高 中 數 學 太 生 疏 ? 不 會 創 造 新 題
目 , 也 該 有 辦 法 用 現 有 的 題 目 更 改 數 據 。 早 期 大 專 聯 考 有 人 去 抄 襲 日 本 的 試 題 , 連 數 據 也 一 成 不
變 , 這 當 然 不 能 再 發 生 , 但 像 這 樣 連 高 中 老 師 都 解 不 出 的 題 目 , 最 好 留 著 自 己 先 研 究 研 究 , 待 自
己 有 了 研 究 成 果 才 拿 出 來 考 試 , 否 則 補 教 界 上 門 討 標 準 答 案 , 若 提 不 出 令 人 心 服 口 服 的 解 法 , 恐
怕 會 使 數 學 界 招 架 不 住 。