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托 勒 密 (Ptolemy) 定 理 與
“ 三 弦 定 理 ” 的 關 係
樂 嗣 康
古 希 臘 天 文 學 家 、 數 學 家 托 勒 密 (Ptole
-my, 約 公 元 90-168 年 ) 曾 發 現 一 個 極 為 著 名
的 定 理 。 即 在 平 面 內 有 四 點 , A, B, C, D 構
成 一 個 凸 四 邊 形 , 則 必 有 下 列 的 結 論 :
AB · CD + AD · BC ≥ BD · AC.
當 四 點 構 成 一 個 圓 內 接 四 邊 形 時 , 則
AB · CD + AD · BC = BD · AC.
這 就 是 著 名 的 托 勒 密 定 理 , 如 圖 1。
. O •
A
B
.
圖 1
.
D
C
18 世 紀 著 名 的 瑞 士 數 學 家 尤 拉 ( 又 譯 為
歐 拉 , Euler, 1707-1783 年 ) 曾 提 出 與 托 勒
密 定 理 相 類 似 的 定 理 , 即
則
若 A, B, C, D 為 一 直 線 上 順 次 四 點 ,
AB · CD + AD · BC = BD · AC.
世 人 稱 這 個 定 理 為 尤 拉 定 理 。
我 們 若 將 圓 的 半 徑 看 成 可 以 無 限 增 大 ,
當 半 徑 趨 向 無 限 大 時 , 這 時 , 托 勒 密 定 理 中 的
共 圓 四 點 ( 即 圓 內 接 四 邊 形 的 四 個 頂 點 ), 可
以 看 成 一 條 直 線 上 的 四 點 , 圓 轉 化 成 直 線 。 顯
然 , 尤 拉 定 理 就 成 為 托 勒 密 定 理 的 特 例 了 。
我 們 若 將 上 述 的 命 題 置 於 球 面 上 來 看 ,
球 面 上 的 直 線 是 一 個 大 圓 , 也 就 是 說 是 封 閉
的 。 由 此 , 也 可 以 清 楚 地 看 到 尤 拉 定 理 與 托 勒
密 定 理 的 統 一 , 是 直 線 與 圓 的 統 一 。
現 在 舉 一 個 例 子 :
設 ABCD 為 圓 內 接 凸 四 邊 形 , 則
AC
BD
=
DA · AB + BC · CD
AB · BC + CD · DA ,
54

托 勒 密 (Ptolemy) 定 理 與 “ 三 弦 定 理 ” 的 關 係 55
如 圖 2
.
B
.
.
.
.
.
.
.
...
A
圖 2
E
F
..
.
.
.
.
證 : 設 ABCD 凸 四 邊 形 的 外 接 圓 半
徑 為 R, 作 BE⊥AC 交 AC 於 E, 作
DF ⊥AC 交 AC 於 F, 如 圖 2,
∵ AC(AB · BC + CD · DA)
= AC(2R · BE + 2R · DF)
= 2R · AC(BE + DF)
.
D
= 2R(AC · BE + AC · DF)
∫ ∫
= 2R(2 +2 )
△ABC △ACD
∫
= 4R · .
ABCD
同 理 , BD(DA · AB + BC · CD)
= 4R · ∫ABCD 。
C
得 到 了 證 明 。
同 樣 , 我 們 可 以 將 ABCD 的 外 接 圓 半
徑 趨 於 無 窮 大 ( 即 這 時 ∠B → 180 ◦ , ∠C →
180 ◦ , ∠A → 0 ◦ , ∠D → 0 ◦ ) 這 時 凸 四 邊
形 ABCD 已 經 轉 化 為 在 一 直 線 上 順 序 之 四
點 A, B, C, D。 此 時 , 其 結 論 仍 舊 不 變 , 當
然 , 我 們 也 可 以 直 接 把 它 證 明 。
點 , 則
由 此 , 我 們 可 以 導 出 一 個 新 命 題 ( 定 理 ):
若 A, B, C, D, 為 一 直 線 上 順 序 的 四
AC
BD
=
DA · AB + BC · CD
AB · BC + CD · DA .
當 然 , 我 們 也 可 以 說 , 若 將 圓 的 半 徑 趨 於 無 限
大 , 則 後 面 的 新 命 題 ( 定 理 ) 就 是 前 面 定 理 的
特 例 。
下 面 我 們 再 舉 一 個 例 子 ( 亦 即 不 久 前
在 浙 江 日 報 刊 登 的 遼 寧 省 侯 明 輝 老 師 發 現 的
“ 三 弦 定 理 ”
.
A
B
.
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.
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. .
.
D
C
∴ AC(AB · BC + CD · DA)
= BD(DA · AB + BC · CD).
但 BD ≠ 0, AB · BC + CD · DA ≠ 0,
∴ AC
BD
=
DA · AB + BC · CD
AB · BC + CD · DA
圖 3
如 圖 3, 設 A 為 圓 O 的 圓 周 上 一 點 , 過

56 數 學 傳 播 26 卷 1 期 民 91 年 3 月
A 任 作 三 弦 AB, AC, AD, 則
AC · sin ∠BAD
= AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠BAC。
很 明 顯 , 這 是 將 托 勒 密 定 理 中 的 邊 與 邊 之 間
的 關 係 轉 化 為 邊 與 角 之 間 的 關 係 。
事 實 上 , 我 們 只 要 應 用 托 勒 密 定 理 來 證
即 可 得 到 這 個 “ 三 弦 定 理 ”。
證 : 既 然 有 過 A 點 的 三 弦 AB, AC,
AD, 則 連 結 BC、CD, 必 得 到 一 個 圓 內 接
四 邊 形 ABCD, 如 圖 3。
又 ∵ △ABD, △ABC, △ACD 都 內
接 於 同 一 個 圓 。 設 該 圓 的 半 徑 為 R, 則 應 用 正
弦 定 理 即 可 得 到
AB · CD + AD · BC
= AB · 2R · sin ∠CAD
+AD · 2R · sin ∠BAC
AC · BD = AC · 2R · sin ∠BAD
由 托 勒 密 定 理 知 ,
AB · CD + AD · BC = AC · BD。
∴ 2R·AB sin ∠CAD+2R·AD·sin ∠BAC
= 2R · AC · sin ∠BAD。 即
AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠BAC
= AC · sin ∠BAD
於 是 得 出 了 “ 三 弦 定 理 ”, 並 得 到 了 證 明 。
所 以 可 以 說 , “ 三 弦 定 理 ” 是 一 個 新 命 題
( 定 理 ), 也 是 托 勒 密 定 理 的 一 個 推 論 。
“ 三 弦 定 理 ” 的 逆 命 題 也 是 可 以 證 明 的 。
如 果 有 同 一 頂 點 的 三 條 線 段 AB, AC,
AD, 它 們 的 夾 角 分 別 為 ∠BAC, ∠CAD,
∠BAD, 且 具 有 下 列 關 係 : AC · sin ∠BAD
= AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠BAC, 則
A, B, C, D, 這 四 點 必 共 圓 。 也 即 線 段 AB,
AC, AD 為 同 一 圓 上 且 有 公 共 頂 點 A 的 三
條 弦 。
現 在 來 證 明 “ 三 弦 定 理 ” 的 逆 命 題 。
.
B
.
.
.
.
.
O •
A
圖 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D
C.
C ′
如 圖 4, 有 公 共 端 點 A 的 三 條 線 段 AB,
AC, AD, 且 它 們 的 長 度 與 相 互 間 的 夾 角 具
有 下 列 關 係 :
AC · sin ∠BAD
= AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠BAC.
則 A, B, C, D 四 點 共 圓 。
證 : 過 不 在 一 直 線 上 的 三 點 A, B, D 作
一 圓 O, 交 AC( 或 延 長 線 上 ) 於 C ′ 點 , 並
設 圓 O 的 半 徑 為 R, 連 結 BC ′ , DC ′ , 構 成
一 個 圓 內 接 四 邊 形 ABC ′ D, 於 是 , 由 “ 三 弦

托 勒 密 (Ptolemy) 定 理 與 “ 三 弦 定 理 ” 的 關 係 57
定 理 ” 可 得 ,
AC ′ · sin ∠BAD
= AB · sin ∠C ′ AD + AD · sin ∠BAC ′
但 已 知
AC · sin ∠BAD
= AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠BAC。
而 A, C, C ′ 共 線 ,
∴ ∠BAC = ∠BAC ′ , ∠CAD = ∠C ′ AD
∴ AC ′ · sin ∠BAD = AC · sin ∠BAD.
∴ AC ′ = AC, 即 C ′ ≡ C.
但 A, B, C ′ , D 共 圓 , ∴ A, B, C, D
共 圓 。 這 就 是 說 , AB, AC, AD 為 過 同 一 頂
點 A 在 圓 O 上 的 三 條 弦 , 得 到 了 證 明 。
由 此 可 知 , “ 三 弦 定 理 ” 的 逆 定 理 也 是 存
在 的 。
當 然 , 我 們 若 把 “ 三 弦 定 理 ” 當 作 原 始 的
定 理 則 也 可 以 推 出 托 勒 密 定 理 。 後 者 同 樣 可
以 成 為 前 者 的 推 論 , 然 而 托 勒 密 定 理 發 現 於
公 元 後 二 世 紀 , 距 今 已 有 一 千 八 百 多 年 , 因
而 我 們 只 能 說 “ 三 弦 定 理 ” 是 托 勒 密 定 理 的 推
論 。 由 於 “ 三 弦 定 理 ” 敘 述 簡 明 , 且 在 計 算 上 便
於 應 用 , 稱 它 為 三 弦 定 理 也 是 合 乎 情 理 的 。 正
像 托 勒 密 定 理 與 尤 拉 定 理 的 關 係 相 類 似 。
以 上 只 是 我 個 人 的 一 點 看 法 , 不 知 妥 當
否 ?
— 本 文 作 者 任 教 於 中 國 寧 波 大 學 —