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八 十 四 學 年 度 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題解 答 及 分 析吳 隆 盛對 於 今 年 的 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題 以 作 者 個 人 觀 點 加 以 解 答 及 分 析 如 下 。第 一 部 分 單 一 選 擇 題[ 一 ] 九 位 學 生 的 數 學 抽 考 分 數 分 別 為 :30, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 601. 這 九 個 分 數 的 中 位 數 為 何 ?(A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80解 : 先 將 這 九 個 數 由 小 而 大 依 序 排 列選 (C)30, 40, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 90第 五 個 數 『 60 』 就 是 中 位 數 。[ 分 析 ] (1) 這 是 簡 單 的 敘 述 統 計 知 識 。(2) 這 九 個 數 由 小 而 大 排 列 之 後 , 第 一 個 和 第 九 個 加 起 來 除 以 二 , 第 二 個 和 第 八 個 加起 來 除 以 二 , 第 三 個 和 第 七 個 加 起 來 除 以 二 , 第 四 個 和 第 六 個 加 起 來 除 以 二 , 都等 於 最 中 間 的 值 。2. 這 九 個 分 數 的 標 準 差 為 何 ?(A) 10√ 34(B) 10√ 34(C) 20√ 7(D) 20√ 7(E) 28009 3 9 3 9解 : 先 計 算 算 術√平 均 數 : (30 + 40 + 50 + 60 + 60 + 60 + 70 + 80 + 90) ÷ 9 = 60√[(30 − 60)2 + (40 − 60)標 準 差 =2 + (50 − 60) 2 ] × 2 2800= = 20√ 799 3選 (D)[ 分 析 ] (1) 根 據 上 述 對 稱 現 象 , 很 容 易 看 出 算 術 平 均 數 顯 然 就 是 60 。(2) 考 你 是 不 是 『 懂 得 』 什 麼 是 標 準 差 。(3) 中 間 三 個 數 就 等 於 算 術 平 均 數 60, 前 後 又 都 對 稱 於 60, 所 以 只 要 計 算 前 三 數1

2 數 學 傳 播 十 九 卷 三 期 民 84 年 9 月與 60 之 差 的 平 方 和 再 乘 以 2 就 可 以 了 , 不 必 每 項 都 算 。現 在 使 用 簡 單 隨 機 抽 樣 法 , 從 這 九 個 分 數 中 取 出 三 個 。 請 回 答 下 面 三 個 小 問 題 。3. 所 取 出 三 個 分 數 中 至 少 有 一 個 為 60 分 的 取 法 有 幾 種 ?(A) 18 (B) 21 (C) 35 (D) 40 (E) 64解 : 用 反 面 算 法 : 由 『 所 有 取 出 三 個 數 的 方 法 數 』 減 去 『 不 含 60 分 的 取 法 數 』9C 3 − 6 C 3 = 84 − 20 = 64選 (E)[ 分 析 ] (1) 至 少 有 一 個 60 分 , 表 示 可 能 有 一 個 60 分 , 也 可 能 有 兩 個 60 分 , 也 可 能 有 三 個60 分 。(2) 一 個 60 分 的 取 法 3C 1 · 6C 2 = 3 · 15 = 45兩 個 60 分 的 取 法 3C 2 · 6C 1 = 3 · 6 = 18三 個 60 分 的 取 法 3C 3 = 1所 以 , 至 少 有 一 個 為 60 分 的 取 法 有 45 + 18 + 1 = 64 種 。(3) 『 至 少 有 一 個 60 分 』 的 否 定 句 是 『 每 一 個 都 不 是 60 分 』, 所 以 只 要 由 『 所 有 取 出 三個 數 的 方 法 數 』 減 去 『 不 含 60 分 的 取 法 數 』 就 可 以 了 。 免 去 考 慮 各 種 『 至 少 有 一個 60 分 』 的 情 況 , 以 免 疏 漏 。(4) 通 常 遇 到 『 至 少 有 一 · · ·』 的 情 況 時 , 就 要 立 即 想 到 『 每 一 個 都 不 · · ·』。 這 樣 , 解 起問 題 就 可 輕 鬆 多 了 !4. 所 取 出 三 個 分 數 的 中 位 數 等 於 60 分 的 取 法 有 幾 種 ?(A) 18 (B) 27 (C) 43 (D) 46 (E) 55解 :分 類 取 法 數三 個 分 數 都 是 60 1兩 個 60, 一 個 其 他 3C 2 · 6C 1 = 18一 個 60, 一 個 較 大 , 一 個 較 小 3C 1 · 3C 1 · 3C 1 = 27合 計 46選 (D)[ 分 析 ] (1) 要 看 清 楚 題 目 說 『 從 這 九 個 分 數 中 取 出 三 個 』, 當 然 『 三 個 』 60 不 要 只 當 作 一個 60。(2) 在 計 算 『 有 幾 種 』『 有 幾 個 』 的 時 候 , 常 常 要 用 分 類 法 , 但 是 要 注 意 不 可 重 複 , 不 可 遺漏 。

八 十 四 學 年 度 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題 解 答 及 分 析 35. 若 已 知 所 取 出 三 個 分 數 中 有 一 個 為 70 分 , 則 在 此 條 件 下 , 這 三 個 分 數 的 中 位 數 為 60分 的 機 率 為 何 ?(A) 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1 15(E)14 7 6 3 56解 : 再 取 兩 個 數 的 方 法 : 8C 2 = 28選 (B)分 類 取 法 數再 兩 個 60 分 3C 2 = 3一 個 60, 一 個 較 60 小 3C 1 · 3C 1 = 9合 計 12所 求 之 機 率 = 1228 = 3 7[ 分 析 ] (1) 所 取 三 數 中 , 已 經 有 一 個 數 是 70, 所 以 只 要 在 其 餘 8 個 數 中 再 取 兩 個 數 , 就 得『 所 取 出 三 個 分 數 中 有 一 個 為 70 分 』 的 取 法 , 它 的 取 法 個 數 為 8C 2 = 28。(2) 三 個 分 數 中 已 經 有 一 個 是 70 分 , 它 比 60 分 大 。 想 要 使 中 位 數 為 60 分 , 必 須 有 一個 60 分 , 另 外 那 一 個 也 可 以 是 60 分 , 不 然 就 要 比 60 分 小 。 也 就 是 說 : 除 了 到 手 的70 分 外 , 要 從 『 30, 40, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 90 』 當 中 , 再 取 兩 個 60 分 , 或 者 一個 60 分 一 個 比 60 分 小 。(3) 如 果 死 抱 著 公 式『 從 九 個 分 數 中 任 取 三 個 分 數 , 其 中 有 一 個 是 70 分 , 而 且 中 位 數 是 70 分 』 的 機 率『 從 九 個 分 數 中 任 取 三 個 分 數 , 其 中 有 一 個 是 70 分 』 的 機 率就 有 得 你 累 了 ![ ] [ ] [ ] [ ]x a t 1 1 2[ 二 ] 考 慮 一 次 方 程 式 組 M t = , 其 中 M t =, t 為 實 數 。y b 3 − t t + 1 t + 3 3t + 16. 使 此 方 程 組 恆 有 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 何 ?(A) t ≠ 5 (B) t ≠ 1(C) t ∉ {1, 5} (D) t ∉ {1, −3, 5} (E) t ∉ {−3, 1}t 11 2解 : det(M t ) =∣ 3 − t t + 1 ∣ ∣t + 3 3t + 1 ∣ = (t2 + 2t − 3)(t − 5) = (t − 1)(t+3)(t−5) 使 此 方 程 組 恆 有 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 det(M t ) = (t−1)(t+3)(t−5) ≠選 (D)0, 即 t ∉ {1, −3, 5}[ 分 析 ] (1) 設 A, B, C 為 同 階 方 陣 , 若 A = BC, 則 det(A) = det(BC) =det(B) ·[det(C)。][ ] [ ]m11 m 12x a(2) 設 A = , E 表 方 程 組 A = , 則m 21 m 22 y bE 恰 有 一 組 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 det(A) ≠ 0

4 數 學 傳 播 十 九 卷 三 期 民 84 年 9 月∣ a m 12 ∣∣∣∣ m 11 aE 有 無 限 多 組 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 det(A) = 0 且=∣ b m ∣ 22 m 21 b ∣ = 0∣ a m 12 ∣∣∣∣m 11 aE 無 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 det(A) = 0 但與不 皆 為 0∣ b m ∣ 22 b ∣m 21所 以 , 無 論 a, b 為 何 值 方 程 組 E 『 恆 』 有 解 的 充 分 且 必 要 條 件 為 det(A) ≠ 07. 當 t 滿 足 第 6 題 的 正 確 條 件 時 , 下 列 何 者 成 立 ?(A) 對 於 任 何 一 對 a, b, 此 方 程 組 恰 有 一 組 解(B) 對 於 任 何 一 對 a, b, 此 方 程 組 都 有 無 限 多 組 解(C) 僅 只 有 一 對 a, b, 使 此 方 程 組 恰 有 一 組 解(D) 僅 只 有 一 對 a, b, 使 此 方 程 組 有 無 限 多 組 解(E) 有 不 只 一 對 ( 但 非 所 有 的 ) a, b, 使 此 方 程 組 有 無 限 多 組 解解 : 只 要 det(M t ) ≠ 0, 不 管 a, b 究 竟 是 多 少 , 這 個 方 程 組 都 是 恰 有 一 組 解 。 選 (A)。[ 分 析 ] (1) 當 det(M t ) = 0 時 , 由 於 a, b 的 值 的 『 搭 配 』, 可 使 這 個 方 程 組 有 無 限 多 組 解或 無 解 。(2) 當 det(M t ) ≠ 0 時 , 無 論 a, b 的 值 如 何 地 變 , 這 個 方 程 組 都 是 恰 有 一 組 解 。若 t = 0, a = 0, b = 1, 則8. det(M0 −1 ) = (A) 1 (B) 3 −1 (C) 1 (D) 1 (E) 05 15解 :[ ] [ ]0 1 1 20 11 2M 0 =⇒ det(M 0 ) == (−3)(−5) = 153 1 3 1∣ 3 1 ∣ ∣ 3 1 ∣⇒det(M −10 ) = (det(M 0)) −1 = 15 −1 = 1 15選 (C)[ 分 析 ] (1) 如 果 你 還 曉 得 或 記 得 的 話 , 當 然 先 求 det(M 0 ) 的 值 , 再 用 det(M −10 ) =(det(M 0 )) −1 的 關 係 。(2) 你 也 可 用 先 前 的 det(M t ) = (t 2 + 2t − 3)(t − 5) 得 det(M 0 ) = (−3)(−5) = 15。(3) 要 是 忘 了 det(M0 −1 ) = (det(M 0 )) −1 , 只 好 先 用 矩 陣 乘 法 算 M 0 , 再 求 它 的 逆 矩 陣M0 −1 , 最 後 再 求 行 列 式 det(M0 −1 ) 的 值 。9. x = (A) 1(B) 3 −1(C) 1 (D) 1(E) 05 1510. y =(A) 1 (B) 3 −1(C) 1 (D) 1(E) 05 15

八 十 四 學 年 度 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題 解 答 及 分 析 5解 :[ ] [ ] [ ]0 1 1 2 3 1M 0 == ⇒ M0 −1 = 1 [ ] 7 −13 1 3 1 6 7 15[ ] [ ]−6 3x a= M0−1 = 1 [ ] [ ] 7 −1 0= 1 [ ] [ ] 1 1/15=y b 15 −6 3 −1 15 −3 −1/5故 x = 115 , y = −1 5第 9 題 選 (C), 第 10 題 選 (B) 。[ ] [ ] x a[ 分 析 ] (1) 當 二 階 方 陣 M 所 相 應 的 行 列 式 det(M) ≠ 0 時 , 方 程 組 M = 之y b解 為 [ xy]]= M −1 [ ab第 二 部 分一 、 填 充 題1. 設 一 圓 與 直 線 2x − 5y − 6 = 0 及 2x − 5y + 10 = 0 都 相 切 , 且 圓 心 在 直線 x − 2y + 2 = 0 上 , 則 圓 的 方 程 式 為 。解 : 兩 直 線 方 程 式 的 常 數 項 相 加 後 除 以 2 (−6 + 10) ÷ 2 = 2直 線 2x − 5y − 6 = 0 及 2x − 5y + 10 = 0 是 兩 平 行 線 ,圓 心 { 在 這 兩 線 的 『 正 中 { 央 』 2x − 5y + 2 = 0 上 。2x − 5y + 2 = 0 x = −6解得x − 2y + 2 = 0 y = −2 , 圓 心 就 是 (−6, −2)半 徑 = √ |10−2|2= √ 82 +5 2 29( 這 是 兩 平 行 線 2x −5y +10 = 0 及 2x −5y +2 = 0r 的 距 離 ) 所 求 圓 之 方 程 式 為 (x + 6) 2 + (y + 2) 2 = 6429 。[ 分 析 ] (1) 要 注 意 到 直 線 2x − 5y − 6 = 0 及 2x − 5y + 10 = 0 是 兩 條 平 行 的直 線 。(2) 一 個 圓 要 和 兩 平 行 直 線 『 都 相 切 』, 它 的 圓 心 就 要 在 這 兩 直 線 的 『 正中 央 』 上 。(3) 只 要 把 這 兩 平 行 直 線 2x − 5y − 6 = 0 及 2x − 5y + 10 = 0 的 常 數 項 相加 再 除 以 2, 就 得 圓 心 在 直 線 2x − 5y + 2 = 0 上 了 。2. △ABC 的 三 頂 點 坐 標 為 A(2, −3, 5), B(3, 0, 10), C(x, y, 0), 則 使 △ABC的 周 長 為 最 小 的 C 點 之 坐 標 為 。

6 數 學 傳 播 十 九 卷 三 期 民 84 年 9 月解 : 因 為 AB 之 長 為 定 值 , 欲 使 △ABC 之 周 長 為 最 小 , 其 實 就 是 使AC + BC 為 最 小 ! C(x, y, 0) 在 xy 平 面 上 , A, B 在 此 平 面 之 同 側 , 而 到此 平 面 的 距 離 之 比 = 5 : 10 = 1 : 2 取 A(2, −3, 5) 對 於 xy 平 面 的 對 稱點 A ′ (2, −3, −5)。 按 1:2 之 比 取 A ′ 與 B 之 內 分 點 就 得 C 點 。2(2,−3,−5)+(3,0,10)C 點 之 坐 標 為= ( 7 , −2, 0)2+1 3[ 分 析 ] (1) 不 要 被 『 周 長 為 最 小 』 所 唬 住 了 , 已 經 有 一 邊 是 固 定 了 呢 。(2) 怎 樣 用 反 射 原 理 求 AC + BC 的 最 小 值 , 總 不 該 忘 了 吧 !(3) 如 果 不 曉 得 用 『A ′ 與 B 的 內 分 點 』 去 求 C 點 的 話 , 那 就 只 好 求 過 A ′ ,B 的 點 的 直 線 與 xy 平 面 的 交 點 了 。3. 設 △ABC 中 , AB = 2, AC = 1 + √ 3, ̸ A = 30 ◦ , 則 BC 的 長 度 為 ,̸ C 的 大 小 為 度 。解 :按 餘 弦 定 理 : BC 2 = 2 2 + (1 + √ 3) 2 − 2 · 2 · (1 + √ 3) cos 30 ◦ = 2故 BC = √ 2按 餘 弦 定 理 : cosC = (1 + √ 3) 2 + ( √ 2) 2 − 2 22 · (1 + √ 3) · √2故 ̸ C = 45 ◦= 1 √2[ 分 析 ] (1) 已 知 一 三 角 形 的 兩 邊 之 長 及 一 角 之 度 數 , 欲 求 這 已 知 角 的 對邊 之 長 , 當 然 是 用 餘 弦 定 理 了 。(2) 算 完 了 BC 之 長 以 後 , 三 邊 的 長 都 知 道 了 , 要 算 其 中 的 一 角 , 當 然 也用 餘 弦 定 理 的 另 一 『 型 』 了 。4. 曲 線 y = x 4 − 2x 3 − x 2 + 2x 與 x 軸 的 交 點 中 , 最 左 端 的 點 坐 標 為。 此 曲 線 與 x 軸 所 圍 成 區 域 的 面 積 為 。解 :f(x) = x 4 − 2x 3 − x 2 + 2x = x 3 (x − 2) − x(x − 2) = x(x − 2)(x 2 − 1)= x(x − 2)(x − 1)(x + 1)令 x 4 − 2x 3 − x 2 + 2x = 0得 x(x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0x = −1, 0, 1, 2故 此 曲 線 與 x 軸 的 最 左 端 之 交 點 為 (−1, 0)

八 十 四 學 年 度 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題 解 答 及 分 析 7=此 曲 線 與 x 軸 所 圍 成 區 域 的 面 積∫ 0 ∫ 1 ∫ 2−f(x)dx + f(x)dx + −f(x)dx = 49−101 30[ 分 析 ] (1) 注 意 到 了 f(x) = x 4 − 2x 3 − x 2 + 2x 這 個 式 子 前 兩 項 和 後 兩 項的 係 數 比 相 等 , 就 好 分 解 了 。(2) 曲 線 與 x 軸 所 圍 成 區 域 分 成 三 『 塊 』, 前 後 兩 塊 都 在 x 軸 『 下 方 』, 只 有中 間 那 塊 在 x 軸 『 上 方 』, 求 面 積 時 , 不 要 把 式 子 列 錯 了 。5. 下 圖 中 ABCDEF 為 一 正 六 邊 形 , 將 各 邊 延 長 形 成 一 個 六 角 星 形 。 令正 六 邊 形 所 圍 成 之 區 域 為 R 1 , 斜 線 區 域 為 R 2 。 設 f(x, y) = 5x − 4y, 則f(x, y) 在 R 1 上 之 最 大 值 為 ; f(x, y) 在 R 2 上 之 最 小 值 為 。解 : 因 為 x 坐 標 相 同 , 所 以 A(2, 7), D(2, 3) 兩 點 連 線 與 x 軸 垂 直 。連 AD, BE, CF, 將 R 1 分 成 六 個 正 三 角 形 , 其 邊 長 等 於 AD 之 半 =(7 − 3) ÷ 2 = 2。E 點 在 D(2, 3) 的 右 方√3 單 位 上 方 1 單 位 , 故 E 點 的 坐 標 為 (2+ √ 3, 4)。B 點 的 上 方 之 頂 點 G 在 A(2, 7) 的 左 方√3 單 位 上 方 1 單 位 ,故 G 點 的 坐 標 為 (2 − √ 3, 8)。按54的 斜 率 , 將 直 線 L : 5x − 4y = k 由 左 上 向 右 下 平 行 移 動 。就 R 1 而 言 , L 最 後 從 E(2 + √ 3, 4) 離 開 , 故 f(x, y) 在 R 1 上 之 最 大 值 為f(2 + √ 3, 4) = 5(2 + √ 3) − 4 · 4 = −6 + 5 √ 3就 R 2 而 言 , L 最 先 從 G(2 − √ 3, 8) 進 入 , 故 f(x, y) 在 R 2 上 之 最 小 值 為f(2 − √ 3, 8) = 5(2 − √ 3) − 4 · 8 = −22 − 5 √ 3。

8 數 學 傳 播 十 九 卷 三 期 民 84 年 9 月6. 設1p + 1 3q = 12, 其 中 p, q 為 正 數 , 則 3 log 1/3 p + log 1/3 q 的 最 大 值 為, 此 時 (p, q) = 。解 :已 知 : 12 = 13p + 1而 有 : 3 = 12 4 = 1 4⇒ 3 4 1≥3 4 · p 3 · q⇒ p 3 q ≥ 3 −93p + 1 3p + 1 (3q13p + 1 3p + 1 3p + 1 3q)≥ 4 √13p ·13p ·13p ·13p⇒log 1/3 p 3 q ≤ log 1/3 3 −8⇒ 3 log 1/3 p + log 1/3 q ≤ 8故 3 log 1/3 p + log 1/3 q 的 最 大 值 為 81此 時3p = 1 3q = 124 = 3, p = q = 1 ( 91故 (p, q) =9 , 1 。9)[ 分 析 ] (1) 先 把 3 log 1/3 p + log 1/3 q 化 為 log 1/3 p 3 q, 就 知 道 要 先 求 p 3 q 的 最 大值 了 。(2) p 3 q 是 由 三 個 p 和 一 個 q 乘 起 來 的 , 所 以 就 找 找 看 題 目 的 已 知 中 有 沒有 三 個 p 和 一 個 q 加 起 來 為 定 值 的 。 結 果 找 不 到 。(3) 但 是 由1p + 1 3q = 12 找 到 三 個13p和 一 個13q加 起 來 為 定 值 。 利 用 它 , 根 據『 算 幾 不 等 式 』 就 算 出1p 3 q的 最 小 值 , 從 它 的 倒 數 , 就 得 p 3 q 的 最 大 值 了 。二 、 設 T 1 , T 2 , T 3 , . . . 為 一 群 多 邊 形 , 其 作 法 如 下 : T 1 為 邊 長 等 於 1 之 正 三 角 形 ; 以 T n每 一 邊 中 間 三 分 之 一 的 線 段 為 一 邊 向 外 作 正 三 角 形 , 然 後 將 該 三 分 之 一 線 段 抹去 所 得 的 多 邊 形 為 T n+1 , n = 1, 2, 3, . . . ( 如 圖 所 示 )。

八 十 四 學 年 度 大 學 聯 考 自 然 組 數 學 試 題 解 答 及 分 析 9令 a n 表 T n 的 周 長 , 請 計 算 T 3 之 面 積 及∑ ∞n=1 1a n之 值 。解 : T 1 之 面 積 A = √ 341T 2 比 T 1 多 了 3 個 小 三 角 形 , 每 一 個 的 邊 長 是 T 1 邊 長 的 , 31每 一 個 小 三 角 形 的 面 積 等 於 A。3 2T 3 比 T 2 多 了 12 個 小 三 角 形 , 每 一 個 的 邊 長 是 T 1 邊 長 的1每 一 個 小 三 角 形 的 面 積 等 於 A。 81T 3 之 面 積 = A × (1 + 1 × 3 + 1 × 12) = √ 3× 40 = 10√ 39 81 4 27 271T n 的 邊 長 是 T n−1 的 邊 長 的 , T 3 n 的 邊 數 是 T n−1 的 邊 數 的 4 倍 , 故 a n4是 a n−1 的 。 3於 是 < a n > 是 一 個 等 比 數 列 , 首 項 為 3, 公 比 為而 有 < 11a n> 是 一 個 等 比 數 列 , 首 項 為 , 3公 比 為 。3 4∑故 ∞n=1 1a n= 1 3= 4。1− 3 34三 、 試 就 實 數 k 之 值 的 變 化 , 討 論 二 元 二 次 方 程 式的 圖 形 。x 2 + y 2 + 2x + 2y + k(x 2 − y 2 + 2x + 2y) = 0解 : 原 方 程 式 可 化 為 Γ : (k + 1)x 2 + (1 − k)y 2 + 2(k + 1)x + 2(k + 1)y = 0(1) 當 k = 0 時 , Γ : (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 2 表 一 圓 。(2) 當 k = 1 時 , Γ : 2x 2 + 4x + 4y = 0, 即 x 2 + 2x + 2y = 0 表 一 拋 物 線 。(3) 當 k = −1 時 , Γ : y 2 = 0 表 直 線 , 即 x 軸 。(4) 當 −1 < k < 1, 但 k ≠ 0 時 , Γ : (k + 1)(x + 1) 2 + (1 − k)(y + k+11−k )2 =(k +1)+ (k+1)21−k , 其 中 等 號 左 端 兩 係 數 是 不 等 兩 正 數 , 而 等 號 右 端是 一 正 數 。 Γ 之 圖 形 為 一 橢 圓 。43 。19 ,

10 數 學 傳 播 十 九 卷 三 期 民 84 年 9 月(5) 當 k < −1 或 k > 1 時 , Γ : (k + 1)(x + 1) 2 + (1 − k)(y + k+11−k )2 =(k + 1) + (k+1)2 其 中 等 號 左 端 兩 係 數 一 正 一 負 , 而 等 號 右 端 不 等1−k於 0 。Γ 之 圖 形 為 一 雙 曲 線 。四 、 考 慮 函 數 f(x) = cos 2x + 4 sin 2 x − cosx − 21. 解 方 程 式 f(x) = 0解 : 把 cos 2x 化 為 2 cos 2 x−1 [ 不 要 化 為 cos 2 x−sin 2 x, 也 不 要 化 為 1−2 sin 2 x]把 sin 2 x 化 為 1 − cos 2 x [ 這 樣 一 來 f(x) 就 可 化 成 單 純 的 cosx 的 多 項式 了 !]原 方 程 式 變 成(2 cos 2 x − 1) + 4(1 − cos 2 x) − cosx − 2 = 0−2 cos 2 x − cosx + 1 = 0−(2 cosx − 1)(cosx + 1) = 0cosx = 1 2 , −1x = 2nπ ± π 3或 (2n + 1)π, n ∈ Z[ 注 意 ] 如 果 只 有 答 x = ± π 3或 π 是 不 會 得 滿 分 的 。[ 分 析 ] 從 民 國 七 十 三 年 起 , 高 中 數 學 教 材 裡 就 取 消 了 反 三 角 函 數 , 連帶 也 取 消 了 三 角 方 程 式 , 能 夠 完 整 寫 出 通 解 的 考 生 恐 怕 不 多 。2. 在 0 ≤ x ≤ 2π 的 條 件 下 , 解 不 等 式 f(x) > 0解 : 承 上 題 , 不 等 式 f(x) > 0 變 成−(2 cosx − 1)(cosx + 1) > 0而 有 (2 cosx − 1)(cosx + 1) < 0 [ 去 負 號 後 , 記 得 要 改 變 不 等 號 的方 向 ]−1 < cosx < 1 2又 知 0 ≤ x ≤ 2ππ故 < x < 5π, 但 x ≠ π3 3π也 就 是 說 < x < π 或 π < x < 5π 。3 3[ 註 ] 因 為 x > −1, 所 以 要 去 掉 x = π。— 本 文 作 者 任 教 於 金 甌 女 中 —