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數 學 傳 播 34 卷 4 期 , pp. 24-30
拋 物 線 的 斜 角 坐 標 方 程 式 和 拋 物 線 弓 形 面 積
張 海 潮
本 文 從 拋 物 線 的 ( 準 線 — 焦 點 ) 定 義 出 發 , 以 相 似 形 比 例 關 係 導 出 拋 物 線 滿 足 的 各 類 方 程
式 ( 第 一 節 ), 並 據 以 得 到 拋 物 線 比 例 性 質 ( 第 二 節 )。 此 一 比 例 性 質 是 阿 基 米 德 以 槓 桿 法 和 窮 盡
法 求 拋 物 線 弓 形 面 積 的 基 礎 , 我 們 將 在 三 、 四 兩 節 重 現 阿 基 米 德 的 論 述 。
一 . 拋 物 線 滿 足 的 方 程 式
先 複 習 拋 物 線 的 標 準 式 。 如 圖 一 所 示 , 拋 物 線 的 焦 點 F, 準 線 L 和 過 拋 物 線 頂 點 V 的 切
線 M, CV F 是 拋 物 線 的 對 稱 軸 , V F = V C。
圖 一
在 L 上 任 取 一 點 Y , 連 Y F 交 M 於 T, 過 Y 作 直 線 N 平 行 於 V F , 並 交 M 於
W; 過 T 作 Y F 的 中 垂 線 交 N 於 Q , 則 Q 在 以 F 為 焦 點 , L 為 準 線 的 拋 物 線 上 ( 註 一 )。
在 直 角 三 角 形 Y QT 中 , 有 Y W.WQ = WT 2 , 又 因 WT = 1 CY , 所 以
2
4Y W.WQ = CY 2 (1)
24

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如 果 將 V F 看 成 x 軸 , V W 看 成 y 軸 , 則 (1) 式 相 當 於
y 2 = 4ax (2)
其 中 a = Y W 是 拋 物 線 的 焦 距 , CY = y, WQ = x。
接 下 來 固 定 拋 物 線 上 一 點 P 及 過 P 點 的 切 線 l( 見 註 一 )。 如 圖 二 所 示 , 切 線 l 交 N 於
S, 交 M 於 U;N ′ 與 V F 平 行 並 交 M 於 P ′ , 交 L 於 R。
CV = a
CY = y
WQ = x
RC = r
RY = r − y
∠SPR = θ
圖 二
因 為
△SWU ∼ △PP ′ U, SW : P ′ P = WU : P ′ U (3)
令 RC = r, 則 RY = r − y 並 由 (1)、(2) 知 P ′ P = r 2 /4a。
在 圖 二 中 ,
SW = SQ − WQ = SQ − x, WU = 1 2 RC − CY = r 2 − y, P ′ U = 1 2 RC = r 2 .
將 相 關 的 量 代 入 (3), 得 到
SQ − x : r 2 /4a = r 2 − y : r/2 或 SQ − x = r
2a (r 2 − y)

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再 將 x 以 y 2 /4a 代 入 , 得
由 於 l 和 拋 物 線 的 對 稱 軸 夾 定 角 θ , 所 以
SQ = r2
4a − ry
2a + y2
4a = 1
4a (r − y)2 = 1
4a RY 2
SQ : PS 2 = 1 ( RY
) 2 1 =
4a PS 4a sin2 θ
若 以 l 與 N ′ 兩 直 線 作 為 夾 角 θ 的 斜 角 坐 標 軸 , 原 點 定 為 P, 則 Q 點 滿 足
sin 2 θ.PS 2 = 4a(SQ) (4)
此 即 拋 物 線 在 斜 角 坐 標 l − N ′ 中 滿 足 的 方 程 式 。 易 見 當 P 是 頂 點 V 時 , θ = 90 ◦ , 此 時
(4) 式 回 歸 到 (1)、(2) 的 標 準 式 。 總 結 以 上 的 討 論 如 下 ( 圖 三 ):
圖 三
固 定 拋 物 線 上 一 點 P, l 是 拋 物 線 過 P 點 的 切 線 , S 是 l 上 任 一 點 , Q 在 拋 物 線 上 並 且 SQ
與 拋 物 線 的 對 稱 軸 平 行 , 則 SQ : SP 2 是 一 個 定 值 , 與 S 無 關 。
二 . 拋 物 線 比 例 性 質
如 圖 四 所 示 , PT 是 拋 物 線 過 P 點 的 切 線 , SK、TJ 均 與 拋 物 線 的 對 稱 軸 平 行 , Q 在 拋
物 線 上 , 延 長 PQ 交 TJ 於 R。

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圖 四
由 上 一 節 的 結 果 ,
(PS = m, SQ = p, PT = a, TJ = n, TR = q) m2
p = a2
n
因 為 SK//TJ, 所 以
a
q = m p = a2
mn , 得 到
(5) 式 稱 為 拋 物 線 比 例 性 質 ( 註 二 )
n
q = a m , 從 而
SK
QK = PJ
KJ
或
m
p = a2
mn
SK
SQ = n q , a
m = PJ
PK
或
(5)
三 . 以 槓 桿 法 求 弓 形 面 積
續 圖 四 , 假 設 PR 是 △PTJ 底 邊 TJ 的 中 線 , PR 交 拋 物 線 於 Q, SQ = QK, LI 平
行 對 稱 軸 , 並 將 PR 延 長 一 倍 到 U 點 :

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圖 五
由 式 (5) 拋 物 線 比 例 性 質 得 LI : MI = PJ : IJ = PR : RN = RU : RN 或
MI.RU = LI.RN (6)
當 I 沿 JP 從 J 變 化 到 P 時 , MI 掃 過 拋 物 線 弓 形 PQJ, 此 時 LNI 以 RN 為 力
矩 , 從 TJ 掃 過 △PTJ。 以 R 為 支 點 , (6) 式 的 左 邊 因 此 可 以 看 成 弓 形 PQJ 掛 在 U 點 的 力
矩 , (6) 式 的 右 邊 可 以 看 成 △PTJ 掛 在 △PTJ 重 心 位 置 的 力 矩 , 因 此 ( 弓 形 PQJ).UR =
(△PTJ). 1PR 。 由 於 UR = PR, 所 以 3( 弓 形 PQJ) = △PTJ 又 因 △PTJ = 4△PQJ,
3
所 以 ( 註 三 ) 弓 形 PQJ = 4△PQJ 注 意 到 PK = KJ, SQ = QK。
3

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四 . 以 窮 盡 法 求 弓 形 面 積
如 圖 六 所 示 , PJ 是 拋 物 線 的 弦 , CD 切 拋 物 線 於 Q 並 且 滿 足 CD//PJ, CP//QK//DJ
// 對 稱 軸 。 以 Q 為 原 點 , CD, QK 為 斜 角 坐 標 軸 , 拋 物 線 滿 足 CP : QC 2 = DJ : QD 2 ;
又 因 為 CP = DJ, 所 以 QC = QD, 亦 即 K 是 PJ 的 中 點 。 再 取 QC 的 中 點 E, 作
EG//CP, 交 拋 物 線 於 F。 因 為 EF : QE 2 = CP : QC 2 , 所 以 CP = 4EF。 以 下 圖 表 示
( 圖 七 )
圖 六
圖 七
連 PQ 交 EG 於 H, 則 EH = 1 2 PC, 但 因 EF = 1 4 PC, 因 此 有 EF = FH = 1 2 HG, 所
以 △PFQ = 2△PFH = △PHG = 1 4 △PQK 或 ( 圖 八 , F, F ′ 的 取 法 如 上 ) 斜 線 部 分 面
積 = 1 4 △PQJ。
圖 八

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以 同 樣 的 方 法 繼 續 填 充 拋 物 線 弓 形 PQJ, 因 此 而 得 一 無 窮 等 比 級 數 (△PQJ)(1 + 1 + 1 + 4 16
· · ·) = 4△PQJ, 此 即 阿 基 米 德 的 窮 盡 法 , 結 論 與 上 一 節 的 槓 桿 法 相 同 : 拋 物 線 弓 形 PQJ 面
3
積 = 4△PQJ( 註 四 )。
3
註 一 : TQ 是 Y F 的 中 垂 線 , 所 以 QY = QF, 因 此 Q 在 拋 物 線 上 。 至 於 TQ, 一 方 面
可 以 看 成 是 ( 當 Y 變 動 時 ) 拋 物 線 的 包 絡 線 ; 另 一 方 面 也 可 以 證 明 TQ 直 線 與 拋 物 線 只 在 Q
點 相 交 , 這 表 示 TQ 是 拋 物 線 在 Q 點 的 切 線 。 請 參 考 數 學 傳 播 30 卷 第 一 期 , 45 頁 張 海 潮 等 人
所 著 《 圓 錐 曲 線 的 光 學 性 質 》。
註 二 : C. H. Edwards 在 所 著 《The Historical Development of the Calculus》 第 37
頁 提 到 此 一 拋 物 線 比 例 性 質 和 相 關 延 伸 時 , 有 下 列 的 評 論 : Archimedes quotes these facts
without proof, referring to earlier treatises on the conics by Euclid and Aristaeus.
( 阿 基 米 德 引 用 歐 幾 里 得 和 阿 里 斯 泰 奧 斯 早 期 有 關 錐 線 的 結 果 , 並 未 給 出 證 明 。) 此 一 比 例 性 質
並 見 S. Stein 寫 的 《 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事 !》 第 7 章 — 譯 者 陳 可 崗 , 2004 年 , 天 下 遠 見 出 版 。
Stein 在 該 書 的 附 錄 A 中 提 出 了 一 個 基 於 仿 射 變 換 的 證 明 。
註 三 : 阿 基 米 德 以 拋 物 線 比 例 性 質 為 基 礎 , 從 力 矩 的 觀 點 討 論 拋 物 線 弓 形 面 積 , 見 曹 亮 吉
著 《 微 積 分 》2.3 頁 , 歐 亞 出 版 社 , 1990 年 。 並 見 《 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事 !》 第 7 章 。
註 四 : 同 註 三 。
— 本 文 作 者 為 台 大 數 學 系 退 休 教 授 —