to download the PDF file.

托 勒 密 (Ptolemy) 定 理 與 “ 三 弦 定 理 ” 的 關 係 55
如 圖 2
.
B
.
.
.
.
.
.
.
...
A
圖 2
E
F
..
.
.
.
.
證 : 設 ABCD 凸 四 邊 形 的 外 接 圓 半
徑 為 R, 作 BE⊥AC 交 AC 於 E, 作
DF ⊥AC 交 AC 於 F, 如 圖 2,
∵ AC(AB · BC + CD · DA)
= AC(2R · BE + 2R · DF)
= 2R · AC(BE + DF)
.
D
= 2R(AC · BE + AC · DF)
∫ ∫
= 2R(2 +2 )
△ABC △ACD
∫
= 4R · .
ABCD
同 理 , BD(DA · AB + BC · CD)
= 4R · ∫ABCD 。
C
得 到 了 證 明 。
同 樣 , 我 們 可 以 將 ABCD 的 外 接 圓 半
徑 趨 於 無 窮 大 ( 即 這 時 ∠B → 180 ◦ , ∠C →
180 ◦ , ∠A → 0 ◦ , ∠D → 0 ◦ ) 這 時 凸 四 邊
形 ABCD 已 經 轉 化 為 在 一 直 線 上 順 序 之 四
點 A, B, C, D。 此 時 , 其 結 論 仍 舊 不 變 , 當
然 , 我 們 也 可 以 直 接 把 它 證 明 。
點 , 則
由 此 , 我 們 可 以 導 出 一 個 新 命 題 ( 定 理 ):
若 A, B, C, D, 為 一 直 線 上 順 序 的 四
AC
BD
=
DA · AB + BC · CD
AB · BC + CD · DA .
當 然 , 我 們 也 可 以 說 , 若 將 圓 的 半 徑 趨 於 無 限
大 , 則 後 面 的 新 命 題 ( 定 理 ) 就 是 前 面 定 理 的
特 例 。
下 面 我 們 再 舉 一 個 例 子 ( 亦 即 不 久 前
在 浙 江 日 報 刊 登 的 遼 寧 省 侯 明 輝 老 師 發 現 的
“ 三 弦 定 理 ”
.
A
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
D
C
∴ AC(AB · BC + CD · DA)
= BD(DA · AB + BC · CD).
但 BD ≠ 0, AB · BC + CD · DA ≠ 0,
∴ AC
BD
=
DA · AB + BC · CD
AB · BC + CD · DA
圖 3
如 圖 3, 設 A 為 圓 O 的 圓 周 上 一 點 , 過