Rincón de problemas del CIMAT: Dificiles-06

Rincón de problemas del CIMAT: Dificiles-06
Pedro Pablo Mayorga
mayorga@cimat.mx
Enero 17 de 2009.
1 Descripción del problema.
Considera a todas las sucesiones de n números naturales positivos (a 1 , a 2 , . . .,a n ),
tales que la suma de sus recíprocos satisface
1
a 1
+ 1 a 2
+ . . . + 1
a n
= 1. (1)
Denota al número de tales sucesiones por A n . Por ejemplo, A 1 = A 2 = 1, y
A 3 = 10, dado por (3, 3, 3), (2, 4, 4), (2, 3, 6), y permutaciones de los últimos
dos.
Decide si A 10 es par o impar.
(Sept 11, 1998).
2 Prefacio
La máxima potencia de 2 que divide a n! es
t n = [ n 2 ] + [ n 2 2 ] + [ n 23] + . . . , (2)
donde [·] representa la parte entera de un número. Esto se puede verificar dado
que los números positivos menores o iguales a n divisibles por 2 k satisfacen
2 k ≤ 2 k t ≤ n, o sea, 1 ≤ t ≤ [ n 2 k ] ≤ n 2 k ; por lo que este razonamiento realizado
para k = 1, 2, . . . nos corrobara la afirmación. Por ejemplo
t 10 = [10/2] + [10/4] + [10/8] = 5 + 2 + 1 = 8.
Usando (2) y sabiendo que ∀r ∈ R, [r] ≤ r y que n es finito, se tiene:
t n = [n/2] + [n/4] + [n/8] + . . .
t n ≤ n/2 + n/4 + n/8 + . . .
t n ≤ n (1/2 + 1/4 + 1/8 + . . .) < n
t n ≤ n − 1 (3)
1

3 Solución
Es facil notar que si el número de permutaciones de una solución al problema es
par, esta no contribuye a la paridad de A 10 , por lo que buscaremos la totalidad
de soluciones cuyo total de permutaciones sea un número impar.
Dada la suma 1/a 1 + . . . + 1/a 10 = 1 donde las a i tienen n 1 elementos
iguales a b 1 , . . . , n r elementos iguales a b r , el número de permutaciones es
(
10
n 1,...,n r
)
=
10!
n 1!···n r! .
Usando (2) podemos escribir n! = 2 tn k n , con k n un entero impar. Luego el
factor 2 aparece t 10 − (t n1 + . . . + t nr ) veces en el número ( 10
n 1,...,n r
)
. Por lo que
(
10
n 1,...,n r
)
es par si y solo si t10 > ∑ r t n r
e impar en el caso que t 10 = ∑ r t n r
.
Como t 10 = 8, se tiene que
( )
10
es
n 1 , . . . , n r
Usando (3) tenemos
{ ∑ par si
∑ r t n r
< 8
impar si
r t n r
= 8.
t n1 ≤ n 1 − 1
.
.
t nr ≤ n r − 1;
Sumando las desigualdades previas tenemos que
∑
t nr ≤ ∑ n r − r
r
r
∑
t nr ≤ 10 − r.
r
Esto nos indica que para r ≥ 3, ∑ r t n r
≤ 7, por lo que el número ( 10
n 1,...,n r
)
es par para r ≥ 3.
Luego solo analizaremos los casos para r = 1 y r = 2 para conocer la paridad
de A 10 .
3.1 Caso r = 1
En el caso r = 1, tenemos solamente la solución a i = 10. De hecho, dado
n 1 = 10 tendríamos 10/b 1 = 1, entonces b 1 = 10.
Luego el número total de permutaciones para el caso r = 1 es 1.
3.2 Caso r = 2
Para este caso buscamos t n1 + t n2 = 8, veamos:
t 9 + t 1 = {[9/2] + [9/4] + [9/8]} + {0} = 7
t 8 + t 2 = {[8/2] + [8/4] + [8/8]} + {[2/2]} = 8∗
t 7 + t 3 = {[7/2] + [7/4]} + {[3/2]} = 5
t 6 + t 4 = {[6/2] + [6/4]} + {[4/2] + [4/4]} = 7
t 5 + t 5 = {[5/2] + [5/4]} + {[5/2] + [5/4]} = 6.
.
2

Todas las combinaciones resultarán en un número par excepto n 1 = 8 y
n 2 = 2.
Buscaremos soluciones enteras de la ecuación 2 x + 8 y
= 1, tal que x ≠ y.
Tomemos a x = kx 0 y y = ky 0 tal que (x 0 , y 0 ) son coprimos. Entonces
la ecuación quedaría como 8x 0 + 2y 0 = kx 0 y 0 y dividiendo entre x 0 quedaría
como 8 + 2y0
x 0
= ky 0 , debido a la coprimalidad entre x 0 y y 0 , se deduce que
(
2
x 0 |2, luego agrupamos la expresión como 8 +
x 0
)y 0 = ky 0 y dividiendo entre
y 0 queda como k = 8 y 0
+ 2 x 0
. Las únicas opciones para x 0 y y 0 son x 0 =
{1, 2}, y 0 = {1, 2, 4, 8}, considerando las combinaciones en las que (x 0 , y 0 ) son
coprimos y diferentes tenemos (x 0 , y 0 ) = {(1, 2), (1, 4), (1, 8), (2, 1)}, es decir
cuatro soluciones diferentes.
3.3 Conclusión
Hemos encontrado que de todas las soluciones posibles del problema (no considerando
orden), tienen permutaciones que son números pares excepto por 5
soluciones cuyas permutaciones son impares, 1 del caso r = 1 y 4 del caso r = 2.
Por lo que concluimos que A 10 es impar.
3