Tarea 1 de Matemáticas Elementales 1.- Describe A2, el producto ...

Tarea 1 de Matemáticas Elementales
1.- Describe A 2 , el producto carteciano de A con si mismo, cuando
i).- A = {1, 2}
ii).- A = {a, b, c}
iii).- A = {2, 4, 6, 8}
2.- Sean A = {a, b} y B = {1, 2} dos conjuntos.
i).- Di cuantas relaciones existen entre (de) A y (en) B y enlístalas todas.
ii).- Di cual es el dominio, codominio e imagen de cada una de esas relaciones.
iii).- Di en cuales coincide el codominio con su imagen.
iv).- Di cuales de estas relaciones cumplen con la definición de ser función.
3.- De cada una de las siguientes funciones di cual es su imagen.
a).- f : Z −→ Z dada por f(n) = 2n
b).- f : Z −→ N dada por f(n) = n 2 + 1
c).- f : N −→ N dada por f(n) = n 2 + 1
d).- I A : A −→ A dada por I A (x) = x
4.- Dadas f : R −→ R y g : R −→ R definidas por f(x) = x 2 + 1 y g(x) = 3x + 2.
Di cual es el dominio, contradominio, imagen y como están definidas las funciones f ◦ g
y g ◦ f.
5.- i).- Demuestra que la función f : N −→ Z dada por f(n) = (−1) n [ n ] es biyectiva.
2
ii).- Demuestra que la inclusión natural f : Z −→ Q es inyectiva.
iii).- Demuestra que la función f : Q −→ Z dada por f( n ) = m 2n 3 m , donde ( n ) es fracción
m
simplificada, es una función inyectiva.
iv).- Explica por que con lo anterior podemos demostrar que los conjuntos N, Z y Q tienen
la misma cardinalidad.
6.- Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones tales que g ◦ f es inyectiva.
i).- Demuestra entonces que f es inyectiva
ii).- Da un ejemplo donde g no necesariamente es inyectiva pero g ◦ f es inyectiva.
iii).- Da un ejemplo donde f es inyectiva pero g ◦ f no lo es.
7.- Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones tales que g ◦ f es suprayectiva.
i).- Demuestra entonces que g es suprayectiva
ii).- Da un ejemplo donde f no necesariamente es suprayectiva pero g ◦ f sí lo es.
iii).- Da un ejemplo donde g sea suprayectiva pero g ◦ f no lo es.

8.- Sean A, B y C conjuntos. Demuestra las siguientes propiedades:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
9.- Sean A y B conjuntos. Demuestra que:
a) (A ∩ B) c = (A c ∪ B c )
b) (A ∪ B) c = (A c ∩ B c )