Tarea 8

Licenciaturas en Matemáticas y en ComputaciónUniversidad de GuanajuatoTarea 8 de Álgebra Lineal II: Forma Racional.lunes 22 de octubre de 2012Fecha de entrega: lunes 29 de octubre de 2012.Dado un campo K y una matriz A ∈ M n×n (K), se dirá que A está en bloquesracionales si⎛⎞A 1 0 . . . 00 A 2 . . . 0A = ⎜⎝... ... ..⎟⎠0 0 . . . A ndonde A i es una matriz de la forma⎛⎞0 0 0 . . . 0 −a 01 0 0 . . . 0 −a 10 1 0 . . . 0 −a 2⎜⎝.... ... ... ..⎟⎠0 0 0 . . . 1 −a kpara i = 1, . . . , n.1. Hallar una matriz real A que esté en bloques racionales y que sea similara la siguiente matriz real⎛0 −1 −1⎞B = ⎝ 1 0 0 ⎠−1 0 02. Sea A la matriz realA =⎛⎝ 1 3 3⎞3 1 3 ⎠−3 −3 −5Hallar una matriz real P , invertible, tal que P −1 AP esté en bloquesracionales.3. Sean A, B ∈ M 3×3 (R). Demuestre que A y B son similares si, y sólo si,tienen el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo.4. Sea A ∈ M n×n (C) una matriz con coecientes reales. Denote por L A elendomorsmo de R n denido por v ↦→ Av. Suponga que u + iv es vectorpropio de A asociado al valor propio a + ib, donde u y v son vectores concoecientes reales.a) Demuestre que u − iv es vector propio asociado al valor propio a − ib.Esto es, demuestre que a − ib también es valor propio de A y u − ives vector propio asociado a dicho valor. Demuestre también que elespacio vectorial real E, generado por u y v, es L A -invariante.

) Demuestre que si b ≠ 0 entonces u y v son linealmente independientessobre R. Calcule la matriz asociada a L A | E , la restricción de L A aE, en la base {u, v} para el caso b ≠ 0.2