Tesis de licenciatura

Universidad de GuanajuatoDivisión de Ciencias Naturales y ExactasLa Monodromía Geométrica de la Fibración deMilnor no tiene puntos josT E S I SQUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:Licenciado en MatemáticasPRESENTA:Alexandre Ramos PeonDIRECTOR DE TESIS:Dr. Xavier Gómez-MontJulio de 2009

Índice generalIntroduccióniii1. Singularidades de hipersupercies complejas 11.1. Deniciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La aureola de la singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. La bración de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. La topología de la bra en el caso de singularidad aislada . . 91.5. Monodromía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Ejemplo motivacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2. Monodromía local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.3. Ciclos evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. Digresión: La monodromía como invariante topológico . . . . 221.6.1. Consideraciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2. Demostración de la invarianza . . . . . . . . . . . . . . 241.6.3. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242. Invariantes polares 272.1. Parametrizaciones de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. La curva polar y el diagrama de Cerf . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Los invariantes polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1. Usos en topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2. resultados en equisingularidad . . . . . . . . . . . . . . 343. Demostración del teorema principal 353.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36i

ivIntroducciónliso, estable, genérico. Estudiar singularidades signica, justamente, prestaratención a los fenómenos en el que las herramientas clásicas fallan. Dice 1Heisuke Hironaka, famoso por su teorema de resolución de singularidades:Singularities are all over the place. Without singularities, youcannot talk about shapes. When you write a signature, if thereis no crossing, no sharp point, it's just a squiggle. It doesn'tmake a signature. Many phenomena are interesting, or sometimesdisastrous, because they have singularities. A singularity mightbe a crossing or something suddenly changing direction. Thereare many things like that in the world, and that's why the worldis interesting. Otherwise it would be completely at. If everythingwere smooth, then there would be no novels or movies. The worldis interesting because of the singularities. [...]Dicho esto, pasaré a hablar del contenido sustantivo del trabajo. El teoremacuyo nombre lleva esta tesis pone en evidencia la utilidad de los invariantespolares en topología y, más en concreto, una técnica de seccioneshiperplanas genéricas ideada, mas no desarrollada, por René Thom en los60's. De hecho, son resultados de Lefschetz de los años 20 que muestran lautilidad de considerar secciones hiperplanas regresaremos a esto en el capítulo2. El teorema que nos interesa fue probado por el matemático francésLê D£ung Tráng a principio de los 70's en el contexto de una serie de resultadospublicados principalmente con Bernard Teissier (ambos discípulosde Thom) sobre el uso de los invariantes polares en geometría y topología.Desgraciadamente, algunas de las conjeturas planteadas en estos artículos ylas preguntas que en ellos se formulaban parecen no haber recibido la atenciónque según yo deberían merecer. Lê y otros continuaron explotandoalgunas propiedades de la curva polar y del diagrama de Cerf (denidos enel capítulo 2), pero las ideas y técnicas expuestas en el artículo de Lê fueronpioneras y muy originales. Después, las investigaciones de los usos de la curvapolar se desviaron principalmente hacia la teoría de equisingularidad. Apesar de ser interesante en sí y de presentar conexiones muy profundas con1 Notices of the AMS, v. 52, 9

viiiIntroducción

4 Singularidades de hipersupercies complejasla cual está bien denida porque K ɛ es el conjunto de ceros de f en la esfera.Veremos en la siguiente sección que φ ɛ es la proyección de un haz bradolocalmente trivial sobre S 1 . Presentaremos a continuación los resultados básicosque nos permiten enunciar el teorema de bración. Los teoremas quesiguen han sido probados con un mayor grado de generalidad, ya que nosolo son válidos en el campo de los complejos, sino también para los reales.Solamente veremos las versiones que nos interesan.En [27] tenemos el teorema siguiente:Teorema 1.1. Sea V un conjunto algebraico sobre C y Σ(V ) el conjunto depuntos singulares de V . Sea f : V → C una función algebraica denida enV . Entonces, la restricción de f a V − Σ(V ) sólo tiene una cantidad nitade puntos críticos.Este teorema es esencialmente una consecuencia del teorema de la basede Hilbert (El anillo de polinomios en varias variables sobre los complejos esde Noether). La idea es usar el corolario siguiente: si V y W son subconjuntosalgebraicos de C n+1 , el espacio V −W es la unión ajena de un número nito devariedades diferenciables, cada una con una cantidad nita de componentesconexas.El teorema 1.1 tiene las siguientes consecuencias que nos interesan:Corolario 1.2. Sea f : C n+1 → C una función polinomial. Entonces, existent 0 , . . . , t m ∈ C tales que para todo t ∈ C − {t 0 , . . . , t m }, la hipersupercief −1 (t) no es singular.Sea Σ(V ) el conjunto de puntos singulares de V . Denotando por S ɛ (x)las esferas reales de C n+1 centradas en x de radio ɛ > 0, tenemosCorolario 1.3. Sea V un conjunto algebraico de C n+1 . Si x ∈ Σ(V ) es aislado,S ɛ (x) para ɛ > 0 sucientemente pequeño intersecta transversalmentela parte lisa de V .El primer corolario es obvio, mientras que el segundo se obtiene tomandoU el conjunto en el cual sólo x es punto singular y ɛ menor que todos losvalores críticos de la función N(z) = z 2 0 +. . .+z2 n restringida a (V −{0})∩U.

1.2 La aureola de la singularidad 5En particular, estos resultados se aplican en el caso en el que f es unafunción polinomial tal que f(0) = 0 y que tiene una singularidad aislada en0. Recordando que si V y W son subvariedades de una variedad Z, entoncescodim (V ∩ W ) =codim(V )+codim(W ) (véase [22] por ejemplo), podemosenunciar de nuevo el corolario anterior:Teorema 1.4. Si ɛ es sucientemente pequeño, entonces la aureola K ɛ =S ɛ ∩ V es una subvariedad (real) de C n+1 de dimensión real 2n − 1.Muchos de los resultados que veremos en las siguientes secciones son tambiénválidos en el caso de funciones analíticas denidas en una vecindad del0. Sin embargo, un teorema de Pierre Samuel [30] permite restringirnos alcaso en el que f es un polinomio (véase [17]) para estudiar la topología deV cerca de 0 (alternativamente, una aplicación del teorema de preparaciónde Weierstrass nos da el resultado), ya que indica que la situación es analíticamenteequivalente a la que estamos considerando aquí. Por ello, parasimplicar esta exposición, en el resto de este capítulo sólo consideraremosf polinomio.Regresando al tema de la relación entre la topología de V y la de laaureola K ɛ , podemos decir con mayor precisión lo siguiente (c.f. [27], Teo2.10):Teorema 1.5. Para cada bola (cerrada) sucientemente pequeña B ɛ alrededordel 0 se tiene un homeomorsmo de pares 1 :(B ɛ , B ɛ ∩ V ) ∼ = Cono(S ɛ , K ɛ ) ∼ = (B ɛ , Cono(K ɛ ))La denición topológica de Cono(M) es como sigue: Cono(M) = M×[0,1]M∼{0} .Si M está en un espacio euclideano, este espacio cociente es homeomorfo ala unión de los segmentos de línea que unen 0 con los puntos de M. Parageneralizaciones, más información sobre la independencia del tipo de encajede V y en general sobre la estructura cónica de V ∩ B ɛ , véase [32], sección1 Un homeomorsmo de pares φ : (A, B) → (C, D) es un homeomorsmo φ : A → Ctal que φ(B) = D, donde obviamente B ⊆ A y D ⊆ C

1.4 La topología de la bra en el caso de singularidad aislada 11segunda armación, estudiando la teoría de morse asociada a la función normade f en la bra F θ . Como ha observado J. Seade en [32], una aplicaciónde un teorema de Andreotti y Frankel (c.f. [2]) daría inmediatamente quela bra es un complejo CW, pero los argumentos de la demostración de [2]son esencialmente los mismos que usa Milnor más adelante para probar unosteoremas de conexidad . El teorema de Andreotti-Frankel dice directamenteque si V es una variedad lisa afín de dimensión compleja m, entonces Vtiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión real a lo másm. Véase [27] o [7] para una demostración completa.Las 2n-variedades con frontera F t son todas difeomorfas y las llamaremosF , la bra de Milnor de f en 0. La cantidad µ = µ(f) de esferas en elbouquet se llama el número de Milnor de f en 0. Este número tienedistintas interpretaciones, cada una de las cuales permite deducir distintaspropiedades de este invariante. El siguiente teorema las resume:Teorema 1.12. El número µ tiene las siguientes interpretaciones:1. Es el grado topológico (c.f.[22]) de la aplicación ∇(f)||∇(f)||: S ɛ (0) → S ndada porz ↦→ (f 0, . . . , f n )||(f 0 , . . . , f n )||donde f i := ∂f∂z i.2. Es igual al número de Betti medio de F; esto es, a la dimensión deln-ésimo grupo de homología de F, H n (F ).3. Es la dimensión compleja del espacio vectorialO f = O 0(C n+1 )( ∂f∂z 0, . . . , ∂f∂z n) , (1.5)que es el cociente del anillo local de funciones holomorfas en 0 ∈ C n+1con el ideal Jacobiano de f.4. Está determinado por χ(F ), la característica de Euler de F:µ = (−1) n+1 (1 − χ(F )).

12 Singularidades de hipersupercies complejasTodo esto fue probado en [27] y es una consecuencia del teorema 1.11:Milnor en su libro prueba primero 1.11 y luego dene un entero como en elprimer inciso aqui arriba. Luego procede a probar que es igual al n-ésimonúmero de Betti de la bra, y en un apendice bosqueja la conexión con elálgebra conmutativa. El hecho de que el número de Milnor pueda expresarseen modos diferentes es muy útil. Por ejemplo, la interpretacion topologicade µ fue usada por Lê y Ramanujam ([21]) para probar un hecho basico enteoria de equisingularidad: si n ≠ 2, dada una familia de funciones g t quedependen del parametro complejo t, cada una de las cuales tiene singularidadaislada con el mismo número de Milnor, entonces el tipo topológico de lasbras no depende del parametro t (véase el capítulo 2).Un ejemplo de la utilidad de la interpretación algebraica son los siguientesdos resultados (c.f. [34]):Lema 1.13. µ = 0 si, y solamente si, p no es un punto singular de V .Demostración. El número de Milnor se anula si, y solamente si, el idealJacobiano J f denido como en el teorema anterior genera todo O 0 . Estoocurre si, y solamente si, existen funciones holomorfas g 0 , . . . , g n ∈ O n+1tales que1 = g 0 f 0 + . . . + g n f ndonde f i = ∂f∂z i. Este hecho, a su vez, es equivalente a que alguna f i no seanule en 0, esto es, que 0 no sea un punto singular de V .Teorema 1.14. 0 < µ < ∞ si, y solamente si, 0 es singularidad aislada deV .Demostración. Algebraicamente, 0 es una singularidad aislada si y solosi V (J f ) = {0}, en donde V (J f ) representa la variedad asociada al ideal Jacobiano,como en geometría algebraica (usaremos también I(X) para indicarel ideal que dene a la variedad X, así como el resto de la notación usual delálgebra conmutativa. Véase [14]).Supongamos entonces que 0 es singularidad aislada; tenemos en ese casoque V (J f ) = {0}, y por tanto I(V (J f )) = m, donde m es el ideal maximalde funciones en O 0 que se anulan en 0. Por el Nullstellensatz, tenemos

1.4 La topología de la bra en el caso de singularidad aislada 13I(V (J f )) = Rad(J f ), dondeRad(J f ) = {f ∈ O 0 |f k ∈ J f para algún k ∈ Z}Rad(J f ) es nitamente generado (porque O 0 es de Noether) y por tanto exister > 0 tal que (Rad(J f )) r ⊂ (J f ). Esto se debe a que si f 1 , . . . , f s generana Rad(J f ), existen r 1 , . . . , r s tales que f r ii∈ J f y por tanto si g ∈Rad(J f ),g ∑ r i∈ J f . Como m = Rad(J f ), m r ⊂ J f . Se sigue entonces queOµ = dim 0 OC ≤ dim 0CJ f m rComo m r es generado por monomios de grado r en las variables z 0 , . . . , z n ,O 0 /m r es generado (sobre C) por los monomios de grado inferior a r. Luego,dim C O 0 /m r < ∞ y por tanto µ < ∞.Supongamos ahora que µ < ∞. Tenemos la cadena de idealesde donde resultan las desigualdadesJ f + m ⊇ . . . ⊇ J f + m k ⊇ . . . ⊇ J fOdim 0CJ f + m ≤ . . . ≤ dim O 0CJ f + m k ≤ . . . ≤ dim O 0CJ f= µ < ∞Entonces es posible escoger r ∈ N tal que dim C O 0 /m r = dim C O 0 /m r+1 , yesto implica queJ f + m r = J f + m r+1 (1.6)Antes de continuar, recordemos que si A/B es un anillo cociente e I es unideal de A, se tiene queI A B = B + IA(1.7)BHaremos también uso del segundo teorema de isomorsmos para módulos:A + BB = A(1.8)A ∩ BObservemos que el ideal I = m es el único ideal maximal del anillo local O 0 ,y que M = (J f +m r )/J f es en particular un R-módulo nitamente generado.Entonces, aplicando 1.8 a M, y luego la identidad 1.7, tenemos:IM = mmrJ f ∩ m r = J f ∩ m r + m r+1J f ∩ m r

14 Singularidades de hipersupercies complejasAplicamos nuevamente 1.8, y recordando que m r+1 ⊂ m r :IM =m r+1J f ∩ m r ∩ m r+1 =mr+1J f ∩ m r+1Usamos nuevamente 1.8 seguido de la igualdad 1.6:IM = J f + m r+1J f= J f + m rJ f= MEl lema de Nakayama (c.f. [14]) nos permite concluir que M = 0; esto es,queY entonces obviamenteJ f + m r ⊆ J fm r ⊂ J fAplicando el operador variedad asociada V a cada lado de la ecuaciónanterior, obtenemoslo que concluye la demostración.{0} = V (m r ) ⊇ V (J f )Además, Milnor probó teoremas de conexidad de las bras y de la aureola:Teorema 1.15. El espacio K = V ∩ S ɛ es (n − 2)-conexo, incluso si lasingularidad no es aislada.Esto es, para 0 ≤ k ≤ n − 2, los grupos de homología reducida (entera)˜H k (K) se anulan. Recordemos que los grupos de homología reducida se de-nen como ˜H k (K, G) = H k (K, G) para k ≠ 0 y ˜H 0 (K, G) = H 0 (K, G)/G.Así, por ejemplo si n ≥ 2, entonces K es conexo; si n ≥ 3, K es simplementeconexo.Teorema 1.16. La bra de Milnor F es (n − 1)-conexa en el caso de singularidadaislada.Usando esto, una consecuencia importante del teorema de bración esque se tiene la siguiente sucesión exacta en grupos de homotopía (véaseapéndice):

1.5 Monodromía 151 → π 1 (F θ , x) → π 1 (S ɛ − K ɛ , x) → π 1 (S 1 , e iθ ) → 1con x ∈ F θ , y los isomorsmosπ i (F θ , x) ∼ = π i (S ɛ − K ɛ , x)1.5. MonodromíaUna herramienta básica en el estudio de un germen de función analíticacon singularidad aislada en el origen (o de la hipersupercie V = f −1 (0)) es elgrupo de monodromía local. La palabra monodromía puede signicar variascosas según el autor, la época y el contexto, pero esencialmente se reereal estudio del comportamiento de ciertos objetos al darle la vuelta a unasingularidad. La palabra proviene del griego, µoνo−δρoµoς, que signica algocomo girar o dar la vuelta una vez. Nosotros seguiremos a Ebeling y Gusein-Zade [13] y a la presentación dada por Arnold, Gusein-Zade y Varchenko en[4] usando una morsicación de f. Sin embargo consideraremos primero, ymuy a la ligera, un ejemplo que motiva la teoría.1.5.1. Ejemplo motivacionalSi jamos un círculo alrededor de 0, valor crítico de f : (C n+1 , 0) →(C, 0), cada punto del círculo representa un valor de la función, y en lasección anterior vimos que los conjuntos de nivel correspondientes a estosvalores dan una bración sobre el círculo. Darle la vuelta a éste círculo deneuna aplicación de la bra sobre el punto inicial en sí misma. Resulta que estedifeomorsmo, que es el que llamaremos monodromía geométrica cuando lodenamos más formalmente en el siguiente apartado, está lejos de ser laidentidad, como uno podría sospechar a primera vista.Consideremos ahora la función f(x, y) = x 2 + y 2 con x, y variables complejas.f tiene un único punto crítico en x = y = 0, con valor crítico 0. Elconjunto de nivel crítico V 0 = {(x, y)|x 2 + y 2 = 0} consiste de dos líneascomplejas que se intersectan en el 0. Todos los demás conjuntos de nivel

16 Singularidades de hipersupercies complejasFigura 1.2: Supercie de RiemannV s = {(x, y)|x 2 + y 2 = s} son topológicamente iguales y difeomorfos a cilindros2-dimensionales en R 4 . Esto puede verse al considerar la supercie deRiemann que corresponde a la función y = √ s − x 2 ; esta supercie resultade pegar dos copias del plano complejo (pues √· es bi-valuada) a las cualesles cortamos un segmento (− √ s, √ s) a cada una (Fig 1.2.a): llamamos a± √ s los puntos de ramicación de f. Supongamos además que no sólohacemos este corte, sino que rasgamos a la supercie. Ahora giramos unade estas copias por un ángulo de π y las unimos nuevamente por el corte detal manera que un punto de ramicación en una copia del plano complejo sepegue con el otro punto en el otro plano (Fig 1.2.b). La supercie que resultaes tal que la circunferencia del cilindro correponde a la linea de corte y cadaplano complejo a una mitad del cilindro (En la Fig 1.2.c, el plano de arribacorresponde a la parte superior del cilindro, por ejemplo).Consideremos estas variedades en una vecindad del origen. Los conjuntosde nivel siguen siendo cilindros, pero con frontera, que es igual a dos circulosajenos. Resulta que la monodromía rota cada círculo que compone el cilindopor ángulos diferentes, que cambian continuamente de 0 en una base a 2π enla otra. Es más fácil darse cuenta de ésto último al considerar lo que le ocurre

1.5 Monodromía 17Figura 1.3: Monodromíaal cilindro como supercie de Riemann. Sea r(t) = s · e 2πi·t para t ∈ [0, 1]una curva que describe un círculo de radio s alrededor del 0 en el planocomplejo. Entonces los puntos de ramicación, solución de r(t) − x 2 = 0, son± √ (s)e πi·t , y giran solo por un ángulo de π al recorrer r(t) todo el círculo.Por tanto, el segmento entre los puntos de ramicación también realiza unamedia vuelta sobre sí mismo. Si representamos a la directriz del cilindro, quees una curva transversal a la linea de corte, ocurre lo que se ve en la gura Fig1.3. Uno puede entonces observar que la monodromía geométrica asociada af en efecto consiste en una rotación como fue descrita líneas arriba.Este ejemplo sencillo, presentado informalmente, motiva las construccionesprecisas que daremos a continuación. Además, como veremos, unafunción cualquiera puede perturbarse para que sus puntos críticos se veancomo lo de la función z 2 0 + . . . + z2 n, cuya topología puede estudiarse usandoun análisis similar al expuesto aqui arriba.1.5.2. Monodromía localLa monodromía es un objeto que en general se asocia a haces brados.El apéndice contiene algunos conceptos y proposiciones sobre este tema. Sea(E, π, B, F ) un haz brado con espacio total E, espacio base B, proyecciónπ, y bra F . Supongamos que la bra F es compacta. Sea γ : I → B uncamino diferenciable en B. Existe (véase el apéndice A) una familia suave Γ tde difeomorsmos de la bra inicial E γ(0) = π −1 (γ(0)) a la bra E γ(t) sobre

18 Singularidades de hipersupercies complejasel punto γ(t). Estos difeomorsmos están bien denidos módulo isotopía 2 .Sea h γ = Γ(1) : E γ(0) → E γ(1) . El difeomorsmo h γ , que está bien denidomódulo isotopía se llama la traslación de la bra E γ(0) a lo largo del caminoγ. Además, si dos caminos suaves γ 1 y γ 2 son homotópicos en la clase de caminoscon puntos jos inciales a = γ 1 (0) = γ 2 (0) y nales b = γ 1 (1) = γ 2 (1),las traslaciones h γ1 y h γ2 son isotópicas. En [13] se da una construcción explícitade la traslación, usando un método de transporte paralelo y la llamadaconexión de Ehresmann. Esta construcción es posible en vista de la existenciade una métrica Riemanniana en las variedades que estamos considerando.Consideremos ahora nuestra función polinomial f : (C n+1 , 0) → (C, 0)con singularidad aislada en 0. Recordemos que las bras de la bración deMilnor (1.4), F t = f −1 (t) ∩ B ɛ , con t ∈ D η − {0} son n-variedades complejas(de dimensión real 2n) no-singulares con frontera, que además tienen el tipode homotopía de un bouquet de µ esferas de dimensión media. El grupofundamental de D η − {0} es isomorfo a Z y está generado por la clase dealgún lazo γ 0 que le da una vuelta al 0 en el sentido positivo. Por ejemplo,podemos tomarγ 0 (t) = η · e 2πit t ∈ [0, 1].Como la bración con espacio base S 1 satisface la propiedad de levantamientode trayectorias, la discusión anterior indica que darle la vuelta allazo genera una familia continua de difeomorsmos de la bra F η en F γ(t)Tenemos entonces denido un difeomormsmoh γ = Γ 1 : F η → F ηque es un difeomorsmo de la bra de Milnor sobre sí misma. Podemosentonces hacer la siguiente:Denición. La transformación h γ se llama la monodromía geométricalocal de la bración de Milnor. La monodromía (co)homológica local2 dos funciones continuas f y g de un espacio topológico X en otro Y son isotópicas siexiste una homotopía H tal que H(x, t) sea un homeomorsmo (difeomorsmo) para cadat.

1.5 Monodromía 19es el automorsmo h ∗ en el grupo de (co)homología H n (F η ) de la bra deMilnor.1.5.3. Ciclos evanescentesSabemos que cerca del punto singular, V es localmente un cono (por1.5); por tanto su tipo de homotopía es el de un punto y su homología seanula en todas las dimensiones mayores que 0. Por otra parte el teorema 1.11nos dice que para cada t ≠ 0 con |t| sucientemente pequeño la homologíade F = f −1 (t) ∩ B ɛ en dimensión media es un grupo abeliano libre en µgeneradores. Conforme el parámetro t se aproxima a 0, la bra no-singularse va degenerando en V ∩ B ɛ y la homología de F va desapareciendo. Paraser precisos, V ∩ B ɛ es un retracto por deformación de B ɛ ; la composiciónr ◦ i : F = f −1 (t) ∩ B ɛ → V ∩ B ɛ ,donde r es la retracción e i es la inclusión de f −1 (t) ∩ B ɛ en B ɛ , induce unmorsmo en homología, que manda H n (F ) en H n (V ∩ B ɛ ) ∼ = 0. Por otraparte, desde el punto de vista global, fuera de B ɛ la topología de V puede serno trivial, al igual que la de f −1 (t); si uno considera la deformación continuade f −1 (t) en V que es un difeomorsmo fuera de B ɛ y la anteriormentedescrita en el interior, los ciclos fuera de B ɛ van en ciclos mientras que losque están dentro se anulan. Por este motivo llamamos ciclos evanescentesa los µ generadores de H n (F ).Sirva esta explicación, que debemos admitir es un poco burda, para motivarunas construcciones más precisas. Queremos ahora estudiar de máscerca estos ciclos. Para esto usaremos una deformación de la singularidad:consideremos una morsicación f λ de f. Esto es una perturbación de (unrepresentante de) f (i.e. f 0 = f) denido en una vecindad U del origen enC n+1 , dependiendo de un parámetro λ ∈ C y tal que, para λ ≠ 0 sucientementepequeño, en una vecindad del origen la función f λ tiene solamentepuntos críticos no-degenerados (esto es, det(∂ 2 f/δx j δx k ) ≠ 0) con valorescríticos distintos. Se dice que f λ es una función de Morse. La existenciade una morsicación se sigue de la siguiente

20 Singularidades de hipersupercies complejasProposición 1.17. La función ˜f = f + g es de Morse para casi todas lasfunciones lineales g : C n+1 → C.Demostración. Consideremos la aplicación df : C n+1 → C dada pordf(x) = (∂f/∂x 0 (x), . . . , ∂f/∂x n (x)) x = (x 0 , . . . , x n ) ∈ C n+1Por el teorema de Sard, casi todos los valores (l 0 , . . . , l n ) ∈ C n+1 son regularespara esta aplicación. Si (l 0 , . . . , l n ) es uno de éstos, entonces la función˜f = f − ∑ j l jx j tiene únicamente puntos críticos no degenerados, ya quesus puntos críticos son aquellos en donde ∂f/∂x j − l j = 0 (j = 0, . . . , n),esto es, aquellos puntos que son la preimagen del punto (l 0 , . . . , l n ) bajo df;como justamente (l 0 , . . . , l n ) es regular para df, en estos puntos la matriz(∂ 2 f/∂x j ∂x k ) tiene determinante no nulo, y es igual a la matriz Hessiana de˜f. Ahora, observamos que el conjunto de valores regulares para df es abierto,y por tanto sumarle a ˜f una función lineal sucientemente pequeña nola saca de la clase de funciones con puntos críticos no-degenerados; esto nospermite tomar valores críticos distintos.Si uno toma λ sucientemente pequeño puede asegurar que los puntos críticosde f λ estén contenidos en el interior de f −1λ(D η)∩B ɛ y que la bra f −1λ(t)para t ∈ (D η ) sea transversal a B ɛ . De la proposición 1.12 y de la idea de lademostración anterior se desprende que hay exactamente µ puntos críticosde f λ . Llamémosles p 1 , . . . , p µ , y sean s 1 , . . . , s µ los valores críticos distintos.Entonces η ∈ ∂D η es un valor regular de f λ . Sea ∆ = D η − {s 1 , . . . , s µ }. Larestricción de f λ a f −1λ(∆)∩B ɛ es la proyección de un haz brado localmentetrivial, con bra Y t = f −1λ(t)∩B ɛ. Es claro que las bras de esta bración sondifeomorfas a las de la bración de Milnor. En particular, F η es difeomorfoa Y η . Este difeomormsmo nos permite descomponer a la singularidad def en µ singularidades simples, como veremos a continuación.Tomemos γ : [0, 1] → ∆, un lazo suave que inicia y termina en η y que nopasa por los valores críticos de f λ . El difeomorsmo h γ : Y η → Y η se llama lamonodromía geométrica con respecto a γ, y el homomorsmo inducidoen homología h ∗ : H n (Y η ) → H n (Y η ) es la monodromía homológica conrespecto a γ. Obsérvese la diferencia con la denición de monodromía local.

1.5 Monodromía 21Sea ahora σ : [0, 1] → D η un camino diferenciable que conecta el valorcrítico s i con η y que no pasa por los demás valores críticos de f λ ; estoes, σ(0) = s i , σ(1) = η, y σ((0, 1]) ⊂ ∆. Por el lema de Morse complejoexiste una vecindad del punto crítico no degenerado p i y coordenadas locales(z 0 , . . . , z n ) centradas en p i tales f λ puede escribirse de la siguiente forma:f λ (z 0 , . . . , z n ) = s i + z 2 0 + . . . + z 2 n.Para t > 0 sucientemente pequeño, la bra Y σ(t) contiene una n-esferaS(t) = √ σ(t) − s i · S n ,donde S n es la esfera n-dimensional unitariaS n = {z = (z 0 , . . . , z n ) ∈ C n+1 | Im(z i ) = 0, ∑ z 2 i = 1}.Haciendo una traslación a lo largo de σ uno obtiene una n-esfera S(t) ⊂ Y σ(t)para cada t ∈ (0, 1]. Para t = 0 la esfera S(t) se reduce al punto críticop i . Escojemos una orientación cualquiera de S(1); entonces S(1) es un n-ciclo en Y η y representa a una clase de homología en H n (Y η ). A esto lollamamos un ciclo evanescente de Picard-Lefschetz correspondiente af λ a lo largo de σ, que está bien denido módulo orientación. Si uno repiteeste procedimiento para cada s i y cuidando que los caminos σ i no se autointeresctensolo tengan a η como punto común, obtenemos lo que se llamaun conjunto distinguido de ciclos evanescentes. En [4] uno encuentrael siguiente teorema, que concilia esta denición con la más burda dondela homología simplemente se contraía.Teorema 1.18. El conjunto distinguido de ciclos evansescentes forma unabase del grupo de homología (libre abeliano) H n (F η ) ∼ = Z µ .La existencia del difeomorsmo entre la bra F η correspondiente a f yY η correspondiente a f λ nos ha permitido describir explícitamente a los ciclosevanescentes de H n (F η ): en principio solo sabíamos que éste era libreabeliano de grado µ; ahora identicamos los elementos de este grupo con losciclos de Picard-Lefschetz en H n (Y η ) que se desvanescen a lo largo de un

22 Singularidades de hipersupercies complejascamino que une a uno de los µ valores críticos de f λ con η.Al estudiar la monodromía homológica asociada a lazos alrededor decada punto crítico no-degenerado de f, vemos que a cada punto crítico lecorresponde una acción de π 1 (S 1 ) en H ∗ (F ). Uno puede considerar el grupogenerado por las imagenes de estas acciones, y se le llama el grupo demonodromía asociado a f. La teoría continua desarrollándose al considerarlas auto-intersecciones de los ciclos evanescentes y usando éstos para determinarexplícitamente como es la matriz asociada a h ∗ . La llamada fórmulade Picard-Lefschetz permite medir la variación de un ciclo evanescente de fbajo la acción del grupo de monodromía. A pesar de ser esto muy interesante,no podemos permitirnos profundizar demasiado.1.6. Digresión: La monodromía como invariante topológicoEl contenido de esta sección resulta muy interesante para este trabajo,ya que muestra la importancia que tiene la monodromía en topología. Setrata de un teorema de Lê D.T. que dice que la monodromía es un invariantetopológico de hipersupercies . La notación y algunas técnicas son importantespara el capítulo 3. Vamos a suponer, a lo largo de esta sección, que fes una función analítica y reducida en 0, es decir sin factores cuadráticosen su descomposición en producto de funciones analíticas irreducibles en 0.Las referencias son [17], [18], [19], [27] y [7].1.6.1. Consideraciones algebraicasDado un haz brado ϕ : E → S 1 , usamos el teorema del levantamientode homotopías para levantar un lazo en S 1 al espacio total; como esto dependeúnicamente del tipo de homotopía del lazo, obtenemos una acción deπ 1 (S 1 ) ∼ = Z sobre la homología de la bra. La acción de un generador deπ 1 (S 1 ) en la homología de la bra está descrita por un automorsmoh ∗ : H ∗ (F ) → H ∗ (F )

1.6 Digresión: La monodromía como invariante topológico 23donde h denota lo que hemos llamado la monodromía geométrica local def, y F la bra de Milnor. A h también se la llama el homeomorsmocaracterístico de la bración. Este nombre sí es adecuado: un difeomorsmode F sobre sí mismo denido de esta manera (que está sólo bien denidomódulo isotopía 3 ) dene a la bración de Milnor e induce la transformaciónde monodromía homológica. Esto puede verse al considerar el espacio totalF ×[0,1]de la bración de Milnor como .(x,0)∼(h(x),1)Sea X = S ɛ − K ɛ . El recubrimiento cíclico innito ˜X de X es lacubierta asociada al subgrupo conmutador de π 1 (X) (c.f. [24]). Veamos porquesus transformaciones de cubierta forman un grupo cíclico. Sea z 0 ∈ X,x = ϕ ɛ (z 0 ) y H = kerϕ ɛ∗ , donde ϕ ɛ∗ : π 1 (X, z 0 ) → π 1 (S 1 , x) ∼ = Z. Asociadoa H existe un espacio cubriente p ɛ : ˜X → X y un punto ˜z0 ∈ p −1ɛ (z 0 )tal que p ɛ∗ (π 1 ( ˜X, ˜z 0 )) = H (estos son resultados básicos de la teoría deespacios cubrientes: véase por ejemplo [24], p.134). Además como H es unsubgrupo normal, tenemos que Aut( ˜X) ∼ = π 1 (X, z 0 )/H ∼ = Z ([24] p.163);o sea, ˜X es recubrimiento cíclico innito de X. Además, el conmutador deπ 1 (X, z 0 ), C, está contenido en H: por tanto el homomorsmo inducidoH 1 (X) ∼ = π 1 (X, z 0 )/C → π 1 (S 1 ) ∼ = Z = H 1 (S 1 ) tiene núcleo igual a H/C.Si f tiene un punto crítico aislado, la monodromia puede verse comoinducida por el generador del grupo de automorsmos del recubrimientociclico innito de S ɛ − K: el recubrimiento cíclico universal exp : R → S 1 dapor imagen inversa (pull-back, véase apéndice A) una bración ˜q : ˜X → R,la cual no es dicil vericar que es isomorfa a la que construimos arriba.Además, esta bración es trivial por Teo(A.3), y denotando por p : ˜X →S ɛ − K ɛ al recubrimiento cíclico innito del espacio total de la bración deMilnor, tenemos el diagrama que sigue.˜Xp S ɛ − K ɛ˜qRexpS 1ϕ ɛ3 En general, cualesquiera dos difeomorsmos que denan la misma bración son homotópicos.

24 Singularidades de hipersupercies complejasComo la bración ˜q es trivial, ˜X es difeomorfo a F ×R. Sea h : ˜X → ˜X ungenerador de este grupo cíclico; éste induce por tanto al difeomorsmo característicoe induce en homología a la monodromía homológica h ∗ : H ∗ (F ) →H ∗ (F ) donde F es la bra típica de Milnor.1.6.2. Demostración de la invarianzaHechas estas observaciones algebraicas, pasaremos a ver la prueba delteorema probado por Lê en 1973 [17] 4 , que esencialmente dice que la monodromíaes un invariante topológico:Teorema 1.19. Si dos singularidades aisladas de hipersupercies complejastienen el mismo tipo topologico en 0, entonces sus respectivas monodromíashomológicas locales son conjugadas y tienen el mismo número de Milnor.Demostración. pendiente..1.6.3. ComentariosEn su artículo [17], Lê deja una pregunta abierta. Literalmente: Si dossingularidades de hipersupercie tienen sus monodromías locales conjugadas,¾podemos decir que tienen el mismo tipo topológico? Esto es cierto paralas curvas planas analíticamente irreducibles (véase [27]) . Si la monodromíalocal no es suciente, ¾que hay que agregar para conocer el tipo topológico?.La respuesta a la primera pregunta es no, y la segunda es, en algunos casos,el grupo π 1 (K ɛ ).Primero, veamos como va más o menos el argumento para ver que estoes cierto para curvas planas; nuestra referencia es [27]. Tomemos f : C 2 → Cun polinomio reducido, con f(0) = 0, y S ɛ una esfera real de C 2 de radio ɛsucientemente pequeño para que corte transversalmente a C 0 , la curva denivel f = 0. Entonces C 0 ∩ S ɛ es una variedad compacta de dimensión 1; portanto una unión ajena de círculos en S ɛ , que forman entrelazamientos enla esfera. Además, el número de componentes es el numero de componentes4 Es curioso notar que en un artículo de la misma época ([18]), Lê da una prueba similarde un enunciado un poco menos general.

1.6 Digresión: La monodromía como invariante topológico 25analíticamente irreducibles de f en 0. La bra de la bración de Milnor de fen 0 es conexa y su cerradura tiene como borde el lazo recién descrito. Es unasupercie real conexa con frontera no vacía con el tipo de homotopía de unbouquet de círculos. La proposición 1.5 dice además que el tipo topológicode C 0 en 0 está determinada por el tipo del lazo C 0 ∩ S ɛ en S ɛ . El siguienteteorema es clave (véase [27]):Teorema 1.20. El primer poliomio de Alexander del nudo C 0 ∩ S ɛ es elpolinomio característico de la monodromía homológica local de f en 0.Recordemos que el polinomio característico es∆(t) := det(t · id ∗ − h ∗ )) (1.9)donde h es el difeomorsmo característico de la bración de Milnor.Lo que es exactamente el polinomio de Alexander no es relevante: es unaherramiento algebraica que se utiliza en teoría de nudos, y es un invariantetopológico de éstos. El punto es que la monodromía determina este polinomio,que a su vez determina la multiplicidad de f en 0 y por tanto el tipodel nudo en la esfera (el primer capítulo de [7] resume este tipo de resultadosconvenientemente). Se puede mostrar que se conoce el tipo topológico de C 0en 0 si se conoce el tipo de cada nudo del lazo y la cantidad de enlazamientosentre ellos ([29]). Por tanto, si f es analíticamente irreducible, solo existeun nudo en el lazo y este análisis muestra que la monodromía determina eltipo topológico que C 0 en 0.Ph. DuBois y F. Michel en [9] han dado ejemplos de dos curvas planas,que no son irreducibles, que no son topológicamente equivalentes pero quesí tienen la misma transformación de monodromía.Queda claro que este argumento no funciona para dimensiones superiores.En la sección 5 de [11], que es un artículo del 2006 de Ebeling, se reseñanalgunos avances en este sentido. Milnor ya sabía que para n ≠ 2, la variedadK = S ∩ f −1 (0) es una esfera si y solo si el polinomio característico (dadopor la ecuación 1.9) evaluado en 1:∆(1) = (id ∗ − h ∗ )

26 Singularidades de hipersupercies complejases igual a ±1. Supongamos que esto ocurre: la estructuras diferenciables deK, según Milnor, están completamente determinadas por un cierto invariante,llamado invariante de Kervaire, en el caso en el que n es impar, o porla signatura de una cierta matriz A (llamada matríz de intersección) si nes impar. Sin importar lo que es exactamente el invariante de Kervaire, unresultado de J. Levine dice que éste es{0 si ∆(−1) ≡ ±1 (mód 8)Kv =1 si ∆(−1) ≡ ±3 (mód 8)Por tanto, la monodromía determina el tipo topológico de K ɛ en este caso.Ahora, si n es par, y si f es un polinomio quasi-homogéneo (i.e. si existenenteros k, d 0 , . . . , d n tal que para todo t, f(t d 0x 0 , t d 1x 1 , . . . , t dn x n ) = t k ) 5entonces los valores propios de la monodromía determinan la signatura encuestión.El caso particular en el que n = 2 también ha sido estudiado. Si f esquasi-homogéneo, un cierto resultado de Y. Xu y S.T. Yau muestran que elpolinomio ∆(t) y el grupo fundamental de la aureola, π 1 (K), determinan latopología de V 0 . Esto responde, al menos parcialmente, a la pregunta de Lê.Podemos concluir que en muchos casos, el operador de monodromíadetermina la estructura diferenciable de K (y por tanto su topología). Estoresponde a la pregunta de Lê.5 En otras palabras, que el conjunto de exponentes del polinomio satisfagan una mismaecuación lineal: por ejemplo, el polinomio f(x, y) = x 2 y + xy 3 + y 5 es quasi-homogéneo:2x + y = 5

Capítulo 2Invariantes polaresEn este capítulo nos proponemos estudiar los denominados invariantespolares asociados a singularidades de funciones analíticas. En nuestro caso,estamos considerando las hipersupercies complejas. En particular, nos interesala curva polar y su imagen bajo un cierto morsmo analítico, quellamaremos diagrama de Cerf. La geometría de este último resulta ser laherramienta fundamental que usaremos para la demostración del teoremaprincipal en el siguiente capitulo.Estas técnicas fueron introducidas por Bernard Teissier y Lê a principiosde la década de 1970 para estudiar problemas de equisingularidad en[21],[36] y [37]. Después, Lê en [17], [18], [19] y [20] le da aplicaciones topológicasa estas ideas. Teissier en [38] hace un estudio muy completo sobre estosinvariantes de hipersupercies. Lê tiene además artículos más recientes endonde ha continuado explotando las propiedades topológicas de la curva polar.Existe una bibliografía bastante extensa sobre este tema, que siempre seremonta a estos trabajos fundamentales, y desgraciadamente aún no existentratados que condensen estos resultados, aunque libros textos muy recientes(como [12]) ya incluyen estas herramientas en algún punto. Mi ambición enun principio fue reunir los fundamentos algebraicos, analíticos y topológicosque permiten denir y trabajar con estas variedades polares, y hacer un estudiode los resultados que históricamente fueron surgiendo como fruto dela explotación de éstos invariantes. Sin embargo, las dicultades se volvieron

28 Invariantes polaresimportantes y éste es un proyecto que he tenido que posponer.Iniciaremos la exposición con la presentación del teorema de parametrizaciónde Puiseux, que resulta fundamental para denir la curva polar desdeel punto de vista topológico. Después, procederemos a considerar un resultadode genericidad, central en [15], que en cierto modo permite denir a lacurva polar como lugar crítico de una aplicación Φ : C n+1 → C 2 cuya primeracomponente es una forma lineal y la segunda una función singular f. Acontinuación estudiamos la geometría del diagrama de Cerf, que es la imagende esa curva bajo el morsmo Φ. Finalmente, reseñamos brevemente la de-nición algebraica según Teissier de los mismos invariantes, y consideramosalgunas aplicaciones que resultan interesantes en teoría de equisingularidad,y en relación a las tasas de evanescencia de los ciclos de Picard-Lefschetzque describimos en la sección 1.5.2.1. Parametrizaciones de curvasEstaremos interesados en parametrizar ciertas curvas analíticas. En nuestrocaso, el invariante principal es una curva compleja. El siguiente teoremaes clave:Teorema 2.1 (Teorema de Puiseux). SeaP (z, t) = t n + c 1 (z)t n−1 + . . . + c n (z) ∈ C{z}[t] (2.1)un polinomio irreducible con c j (z) ∈ C{z} convergentes, c j (0) = 0 paraj = 1, . . . , n. Entonces existe una serie de potencias convergenteϕ(ζ) =∞∑a ν ζ ν ∈ C{ζ}ν=0tal que en el anillo C{ζ} de series de potencias convergentees,P (ζ n , ϕ(ζ)) = 0.

2.1 Parametrizaciones de curvas 29Denición. Escribiendo z = ζ n , uno obtieneϕ(ζ) = ϕ( n√ z) =∞∑a ν z ν/nque es una serie con exponentes fraccionarios: se llama la serie de Puiseuxcorrespondiente al polinomio P . La serieresuelve entonces la ecuaciónν=0t = ϕ( n√ z)P (z, t) = 0.La importancia de este teorema radica en el siguiente hecho: si P (x, y) =0 dene una curva algebraica plana irreducible, entonces puede ser parametrizadade la siguiente manerax =t ny =∞∑a i t ii=mHaremos un uso importante de este hecho en el capítulo 3. Otra observaciónimportante: el teorema de preparación de Weirstrass nos permite suponerque toda curva está dada por una ecuación del tipo 2.1, y que no perdemosgeneralidad al suponer que P se escribe de esta manera (c.f. [39]). Esteteorema fue originalmente probado por Puiseux para curvas algebraicas; sinembargo, la demostración es tediosa. Nosotros haremos uso de este resultadoúnicamente en el caso de curvas analíticas, y por tanto la demostración quesigue (c.f. [12]) es únicamente en este caso. Haremos uso de algunas nocionesde la teoría de funciones de varias variables complejas, así como de algunosde sus teoremas conocidos.Demostración.Sea R > 0 el mínimo radio de convergencia de las series de potenciasc 1 (z), . . . , c n (z). Sea además r > 0 sucientemente pequeño de tal maneraque en el disco D r (0) de radio r centrado en 0, el origen sea el único puntocrítico de P (z, t). Tomamos a ∈ D r (0) − {0} y r ′ > 0 tal que D r ′(a) ⊂ D r (0)

30 Invariantes polaresy f : D r ′(a) → C sea una función holomorfa que satisface P (z, f(z)) = 0para todo z ∈ D r ′(a) (la cual existe por el teorema de la función implícita).Haremos uso ahora del siguiente teorema (Teo 1.2 de [12]): si f : G → Cen holomorfa en una región G, entonces existe una continuación meromorfaramicada de f. Esto signica que existe una supercie de Riemann X yfunciones holomorfas :p : X → Ĉ,j : G → X con p ◦ j = id Gˆf : X → Ĉ con ˆf ◦ j = f.Sea Y = p −1 (Dr(0)), ∗ donde el asterisco denota que hemos quitado el origen.Otro teorema (c.f. Teo 1.3 de [12]) nos dice que p| Y : Y → Dr(0) ∗ es unacubierta ramicada de n hojas (aquí usamos la irreducibilidad). Sin embargo,por la clasicación de los cubrientes del disco agujerado (que son exp : C → Ĉy p k : C → Ĉ, z ↦→ zk ), existe un biholomorsmo φ : Dρ(0) ∗ → Y , conρ = n√ r, tal quep(φ(w)) = w n∀w ∈ D ∗ ρ(0)Si además denimos Φ(0) = p −1 (0), la aplicación φ se extiende a una aplicaciónholomorfa del disco de radio ρ centrado en 0 a X con p(φ(w)) = w npara todo w ∈ D ρ (0). Entonces, por construcciónP (p(φ(w)), ˆf(φ(w))) = P (w n , f(w n )) = 0.Si ponemos g(w) = ˆf(φ(w)) y ϕ(w) la expansión en series de potencias de galrededor del origen, entonces tenemosP (w n , ϕ(w)) = 0en una vecindad sucientemente pequeña, como había que probar.Si m ≠ 0, y m ′ /n ′ = m/n con (m ′ , n ′ ) = 1, se dice que (m ′ , n ′ ) es elprimer par de Puiseux correspondiente a la curva.

2.2 La curva polar y el diagrama de Cerf 312.2. La curva polar y el diagrama de CerfSea f : U ⊂ C n+1 → C una función analítica denida en una vecindadabierta del 0 ∈ C n+1 . Sea l una forma lineal no-nula de C n+1 . No perdemosgeneralidad al suponer que l = z 0 es una coordenada de C n+1 , y quez 1 , . . . , z n son las demás. Podemos denir un morsmo Φ : U → C 2 cuyaprimera componente es la restricción de la forma z 0 a U y la segunda esla función f; en símbolos, Φ(z) = (z 0 (z), f(z)). Llamemos Σ(Φ) el lugarcrítico de Φ, i. e. el lugar geométrico de los puntos de U donde Φ no es derango máximo; comoD(Φ)(z) =(1 0 . . . 0∂f∂z 1. . .∂f∂z 0)∂f∂z nΣ(Φ) = {z ∈ U| ∂f∂z 1= . . . = ∂f∂z n= 0} (2.2)Observamos entonces que Σ(Φ) contiene siempre al lugar crítico de f, cuandoU es sucientemente pequeño. Como Σ(Φ) está denido por n ecuaciones, esuna variedad de dimensión compleja 1; es decir, una curva. Sin embargo, noes necesariamente reducida 1 . El siguiente teorema, probado en 1973 por Lêy H. Hamm en [15], es fundamental y nos dice que la curva no está contenidaen f = 0 y que es reducida en casi todos los casos:Teorema 2.2. Existe un abierto de Zariski denso Ω del espacio proyectivode hiperplanos lineales de C n+1 que pasan por el 0 de tal manera que paraL ∈ Ω, digamos denido por z 0 = 0, para U sucientemente pequeño se tienequeΣ(Φ) = Σ(f) ∪ Γdonde Γ es un conjunto vacío o una curva no contenida en f = 0; además,si Γ ≠ ∅, en cualquier x ∈ Γ − {0} el ideal (∂f/∂z 1 , . . . , ∂f/∂z n ) dene unacurva reducida.Cuando Γ ≠ ∅, llamamos a Γ la curva polar con respecto a la dirección l.,1 Una curva se dice reducida cuando ninguna de sus componentes irreducibles se repite.Equivalentemente, una curva es reducida si y sólo si el ideal que la dene es radical.

32 Invariantes polaresConsideremos el caso en el que f tiene una singularidad aislada en 0.Entonces{() }∂f/∂z 0 . . . ∂f/∂z n+1Σ(Φ) = z ∈ U|rango< 2∂l/∂z 0 . . . ∂l/∂z n+1= {z ∈ U|grad(f(z)) = ɛ · grad(l(z))para algún ɛ ∈ C}= {z ∈ U|z es un punto crítico de f − ɛ · l para un ɛ ∈ C}Como f tiene una singularidad aislada en 0, la función f − ɛ · l tiene solo unacantidad nita de puntos críticos en U para U y ɛ sucientemente pequeños.De este cálculo uno puede dar otra descripción de la curva polar: se tieneque Σ(Φ) = {0} ∪ Γ , donde Γ es el conjunto de puntos x ∈ U en el cualel espacio tangente a la curva de nivel de f que pasa por x es paralela alhiperplano jo l = 0, ya que esto ocurre para un z ∈ U si y solo si los gradientesgrad(f(z)) y grad(l(z)) son linealmente dependientes. Por lo tanto,si f tiene una singularidad aislada, se ve que Γ no es vacío y el hecho que lasecuaciones denan una curva reducida en un punto de Γ − 0 es equivalentea decir que la restricción de la matriz Hessiana al tangente a f −1 (f(x)) enx es no degenerada y que, por tanto, la hipersupercie f = f(x) tiene en xuna singularidad cuadrática ordinaria (esto es, que la restricción de la formal a la bra f = f(x) tiene un punto doble ordinario en x).El nombre diagrama de Cerf y sus uso en el estudio de la monodromíay de singularidades fue introducido, según Lê, por René Thom en un articuloque no fue publicado. Cerf, cuyo único trabajo conocido es su tesis de doctorado[8], no tiene nada que ver con estos temas y, de hecho, la relaciónque guardan sus resultados con las propiedades de la curva que hoy lleva sunombre es algo misteriosa.Dada f y una forma lineal l tal que l ∈ Ω (en notación del teorema deLê y Hamm), se dene el diagrama de Cerf como la imagen bajo Φ dela curva polar Γ, y lo denotaremos por D. En [17], Lê prueba un resultadosobre la geometría del diagrama, que resulta ser una herramienta importanteen el capítulo 3.

2.2 La curva polar y el diagrama de Cerf 33Teorema 2.3. Si df(0) = 0, entonces el diagrama de Cerf D es una curvaanalítica cuyo cono tangente en 0 es {0} × C.Demostración (Según Lê, [17]). Sean (λ, t) las coordenadas de C 2 .Sea p : D → Γ un camino analítico de Γ denido sobre un disco abierto deC centrado en 0 tal que p(0) = 0. Queremos probar lo siguientelim τ→0f(p(τ))l(p(τ))= 0, (2.3)lo que mostraría que para cada rama de D, se tiene una aplicaciónτ → (f ◦ p, l ◦ p) = ( ∑ k≥k 0A k τ k , ∑ k≥k 1B k τ k ),y como ∑ k≥k 0A k τ k / ∑ k≥k 1B k τ k → 0, se tendría que k 0 > k 1 . Esto mostraríaefectivamente que el cono tangente a cada rama, y por tanto al diagramaD es {λ = 0}.Supongamos entonces que l está denida por la primera coordenada,z 0 = 0. En este caso, Γ está denido por ∂f/∂z 1 = . . . = ∂f/∂z n = 0.Aplicando la regla de la cadena para f ◦ p, obtenemosddτ f(p(τ)) =n∑i=0∂f∂z i(p(τ)) · ∂z 0∂τ (p(τ)),porque justamente la primera coordenada de p : C → C n+1 es z 0 (p(τ)).Ahora, como sobre la curva polar las últimas n derivadas parciales de f son0, esta ecuación se reduce a∂f∂z 0(p(τ)) · ∂z 0∂τ (p(τ)).Por la regla de l'Hôpital, el límite cuando τ tiende a 0 de f(p(τ))l(p(τ))es igual allímite del cociente de las derivadas de cada composición, pero éste es∂f∂z 0(p(τ)) · ∂z 0∂τ (p(τ))∂l∂τ (p(τ)) = ∂f (p(τ)),∂z 0porque l es z 0 , y por tanto este cociente tiende a 0 cuando τ tiende a 0 yaque df(0) = 0.

34 Invariantes polares2.3. Los invariantes polaresHasta el momento, sólo hemos considerado una curva polar, pero esposible denir variedades polares de dimensiones superiores. La deniciónexacta es la siguiente, para f : U → C una función analítica denida en unavecindad U del 0 en C n+1 :Denición. Sea H ⊂ C n+1 un i-plano, con i un entero entre 1 y n. Lavariedad polar con respecto a H es la cerradura toplógica deS H = {p ∈ U − {0}|H ⊂ T p (f −1 (f(p)))},2.3.1. Usos en topologíaTeissier ei,mi y ciclos evanescentes.2.3.2. resultados en equisingularidadCerradura integral e equisingularidad.

Capítulo 3Demostración del teoremaprincipalEn este capítulo está nalmente la demostración del teorema que llevael título de este trabajo. Empezaremos viendo los antecedentes, es decir, elresultado que inspiró al autor: A'Campo probó un teorema que sugería queuno puede elegir la monodromía geométrica (bien denida módulo isotopía)sin puntos jos. Lê probó que este es el caso: construye un difeomorsmode la bra integrando un campo de vectores. Por ello, en la segunda secciónreplantearemos el enunciado del teorema, por razones que se volverán clarasmás adelante.La demostración es por inducción: en la segunda sección probamos elcaso n = 0. El paso de inducción es relativamente largo y se fundamentasobre una construcción que nos permite usar las ideas del capítulo anterior:uno elige un hiperplano genérico L y supone que el resultado es válido paraf restringido a L, y la expansión en series de Puiseux del diagrama de Cerfrelativo a L se usa para construir un campo vectorial en un toro sólido en C 2cuya línea central corresponde a u = 0, ecuación lineal que dene a L. Estecampo es el tangente unitario sobre esta línea central, y tiene la propiedad deque ninguna otra curva integral se cierra después de un sólo circuito alrededordel toro. La prueba concluye al levantar este campo al espacio total de labración de Milnor extendiendo el que ya estaba denido inductivamente.

36 Demostración del teorema principalResulta conveniente subdividir este paso en tres etapas: la construcción deldiagrama de Cerf, la construcción del campo en el toro y el levantamiento.Como fue indicado en la introducción, la prueba que sigue es para singularidadaislada. La última seccion explica como se generaliza la demostraciónen el caso en el que la singularidad no es aislada. Incluyo esto al nal porquela demostración es esencialmente la misma pero es más sosticada ya quehace uso de estraticaciones.La referencia para todo lo que sigue es por supuesto [19], articulo de LêD£ung Tráng de 1974 que lleva por nombre la monodromie n'a pas de pointsxes.3.1. AntecedentesHemos visto en el capítulo 1 que la bración de Milnor puede ser denidapor un difeomorsmo característico de F sobre sí mismo, que estábien denido módulo isotopía y que induce la monodromía homológica h ∗y cohomológica h ∗ . Ya hemos visto también que la monodromía homológicade f en 0 es un invariante topológico.En 1973, A'Campo demuestra el teorema siguiente (c.f. [1]):Teorema 3.1. Sea f : U → C una función analítica denida sobre unavecindad abierta U del 0 ∈ C n+1 . Supongamos que f(0) = 0 y que df(0) = 0.Entonces el número de Lefschetz de la monodromía en cohomología de f en0 es nulo:Λ(h) = 0Observemos que la condición df(0) = 0 es esencial; esto es, f tiene unasingularidad (no necesariamente aislada) en el 0, y aplican todas las consideracionesdel capítulo 1. Recordemos lo que signica este teorema.Denición. Dada una aplicación continua f : X → X entre variedades, sedene el número de Lefschetz como la suma alternada de las trazas de lasmatrices asociadas a las aplicaciones lineales inducidas por f en los distintosgrupos de cohomología singular de X con coecientes racionales:Λf = Σ k≥0 (−1) k T r(f ∗ H k (X, Q))

3.2 Enunciado y base de inducción 37La relevancia de este concepto radica en el siguiente teorema, que enunciamosen un caso simplepero importante.Teorema 3.2 (Teorema del punto jo de Lefschetz). Si Λ(f) ≠ 0, entoncesf tiene al menos un punto jo.De hecho, como el número de Lefschetz se dene en cohomología, seconcluye que cualquier función homotópica a f también debe tener un puntojo. Observemos sin embargo que el recíproco de este teorema no es válidoen general: el número de Lefschetz puede ser cero incluso si f tiene puntosjos.El teorema de A'Campo sugiere entonces la posible existencia de un difeomorsmocaracterístico sin puntos jos. Probaremos entonces que bajolas condiciones del teorema de A'Campo, existe un difeomorsmo sin puntosjos de la bra de Milnor sobre sí misma que induce la monodromía homológica.Es este hecho al que nos referimos cuando decimos que la monodromíano tiene puntos jos, cuando sería realmente más preciso decir la monodromíageométrica de la bración de Milnor de una hipersupercie complejasingular no tiene puntos jos. El resultado de A'Campo resulta entonces serun corolario del teorema que probaremos en las secciones a seguir.3.2. Enunciado y base de inducciónSean ɛ y η reales positivos sucientemente pequeños, de tal forma quese satisfagan las hipótisis del teorema 1.9. Nos permitiremos además reducirarbitrariamente el valor de η > 0 en el transcurso de la demostración,conforme vaya siendo necesario. Como ya habíamos observado, la bración(1.4) se puede extender (trivialmente en el caso de singularidad aislada) a labración sobre la bola cerrada:Ψ ɛ,η = B ɛ ∩ {|f| = η} → ∂D η (3.1)Un difeomorsmo característico de (3.1) es entonces un difeomorsmo característicode un variedad compacta con frontera, F , que hemos llamadola bra de Milnor. Estamos entonces en las condiciones de aplicación delteorema del punto jo de Lefschetz (c.f. teorema 1, de [6]).

38 Demostración del teorema principalDe hecho, no consideraremos la bración en B ɛ , sino en un polidiscoadecuado, esto es, en un producto de discos cerrados. Observemos que estoes lo que se llama una variedad con esquinas. Adecuado signica losiguiente:Denición. Un polidisco ∆ = D 0 ×· · ·×D n centrado en cero es un polidiscoadecuado de f en 0 si1. Para todo b ∈ C − {0} sucientemente pequeño, la hipersupercieV b = {f = b}corta a D 0 ×. . .×D n transversalmente, esto es, corta transversalmentea cada subvariedad (con o sin frontera) de ∆.2. Para todo η > 0 sucientemente pequeño, f dene una bración C ∞˚D 0 × · · · × ˚D n ∩ {|f| = η} → ∂D ηque es homotópica a la bración de Milnor por una homotopía queconserva las bras.En el caso de singularidad aislada, es obvio que existe un polidisco adecuadopara f en 0; basta tomar los radios de los discos sucientemente pequeños.La versión nal del teorema a probar es entonces como sigue:Teorema 3.3. Si df = 0, existe un polidisco adecuado ∆ de f en 0 tal quela bración en variedad con esquinas denida por f∆ ∩ {|f| = η} → ∂D η (3.2)para η sucientemente pequeño tiene un difeomorsmo característico sin puntosjos.Como estamos por el momento en el caso con singularidad aislada, únicamentehace falta demostrar la segunda armación.Realmente el difeomorsmo característico será dado por un campo devectores integrable en ∆ tal que su restricción a ∆ ∩ {|f| = η} para cada

3.2 Enunciado y base de inducción 39η sucientemente pequeño se proyecte bajo f sobre el campo de vectoresunidad de ∂D η ; a pesar del abuso de lenguaje, aquí campo de vectoresunidad se reere al campo vectorial constante de longitud η y de direcciónpositiva. Además, buscaremos que la integración de este campo dé un difeomorsmode una bra sobre sí misma que no tenga puntos jos. Diremos queninguna línea integral del campo se cierra después de una vueltasobre ∂D η .Estudiemos el caso n = 0. Tenemos entonces una función analítica f :C → C con f(0) = 0 y df(0) = 0. La situación es analíticamente equivalente aaquella en la cual f(z) = z m , donde m es la multiplicidad de f en 0 (y m ≥ 2,porque df(0) = 0). Para justicar esta última armación, consideremos elsiguiente teorema:Teorema 3.4 (Forma local de aplicaciones holomorfas). Sea f : C → Cuna función holomorfa no constante con f(0) = 0, denida en U, un abiertoalrededor del 0. Entonces existe V , una vecindad contenida en U, un naturalk ≥ 1 y un cambio de coordenadas φ : V → V tal que F := f ◦ φ −1 : V → Vesté denida porF (w) = w ken términos de la coordenada w en U.Demostración. Como f(0) = 0, existe un k ≥ 1 tal quef(z) = z k g(z)donde g(0) ≠ 0 (k es la multiplicidad de f en 0). Sea V sucientementepequeño de tal forma que una rama de k√ g(z) está denida; esto es, que existeuna función h denida en V tal que h(z) k = g(z). Sea φ(z) = zh(z) = w.Entoncesf(z) = (φ(z)) ko, equivalentemente,F (w) = f(φ −1 (w)) = w kEsta φ es entonces el cambio de coordendas deseado.

40 Demostración del teorema principalUn polidisco privilegiado aquí es simplemente un disco, D, de C: su interseccióncon {|f| = η} es esto mismo, es decir, un círculo de radio η 1/m .Sea ∂D η el círculo de radio η y w la variable del espacio base: el campoX = 2πiw ∂∂wes el unitario: esto es, que su curva integral restringida al círculo de radio ηes la rotación por un ángulo de 2π. Para ver esto, consideramos un caminoγ(t) = ηe 2πit y observamos queX(γ(t)) = η2πie 2πit = γ ′ (t).Denimos ahora un campo vectorial en la variable z (en un disco de C quecontiene a D η 1/m) que levante a este campoY (z) = (Df(z)) −1 (X(f(z))) = (Df(z)) −1 (2πiz m ∂∂w )Como (Df(z)) = mz m−1 y entonces (Df(z)) −1 = 1/m · z 1/(m−1) , tenemosY (z) = 2πizmmz m−1 ∂∂z = 1 m (2πiz ∂ ∂z )que es justamente el campo que realiza la rotación por un ángulo de 2π/m.En este caso la bras es F = f −1 (η) = η 1/m , el conjunto discreto de lasraices m-ésimas de η. Como m ≥ 2, este campo dene un difeomormo deuna bra sobre sí misma sin puntos jos (una permutación de raices de launidad). Esto prueba que en este caso existe un difeomorsmo característicosin puntos jos, y el teorema es cierto para n = 0.3.3. Paso de inducciónSupongamos entonces que n + 1 ≥ 2 y que el teorema es válido paraf : C n → C.3.3.1. Construcción del diagrama de CerfConsideremos V = f −1 (0). Según lo visto en el capítulo 2, podemos elegirun hiperplano L, que supondremos sin pérdida de generalidad dendo por

3.3 Paso de inducción 41Figura 3.1: Situación geométrica: construcción del polidisco D × ∆.z 0 = 0, tal que L pertenezca al abierto de Zariski del teorema 2.2. Es decir,que el conjunto{z ∈ C n+1 ∂| (z) = . . . =∂z 1∂∂z n(z) = 0}sea una curva Γ, que pase por 0, que no esté contenida en V , y que seareducida en todos los puntos de Γ − {0}. (Γ no es vacío: véase capítulo 2).La hipótesis de inducción nos dice que existe un polidisco adecuado ∆ de C npara la restricción de f a L, y además tenemos para cada η sucientementepequeño un campo de vectores integrable sobre ∆ ∩ L cuya restricción a∆ ∩ L ∩ {|f| = η} se proyecte por f al campo unitario en ∂D η , y cuyaintegracón dene en las bras homeomorsmos sin puntos jos. Vamos acontruir un polidisco D×∆ centrado en 0 que tendrá las mismas propiedadescon respecto a V que las que tiene ∆ con respecto a V ∩ L. Véase gura 3.1.Consideremos ahora el diagrama de Cerf D de f con respecto a z 0 . Llamemostodavía z 0 la coordenada que corresponde a los valores de z 0 y λ la

42 Demostración del teorema principalFigura 3.2: Diagrama de Cerf de f con respecto a z 0que corresponde a los valores de f en el diagrama. Según el teorema 2.3, larecta λ = 0 es el cono tangente del diagrama de Cerf. Elegimos el disco Dde C centrado en 0 de tal manera que D × {0} sólo corte a D en {0}. Estose obtiene con un radio sucientemente pequeño, porque como Γ no estácontenido en V , ninguna componente de D coincide con λ = 0. Observemosademás que como Γ ≠ ∅, D ≠ ∅. Elegimos η sucientemente pequeño paraque para todo b con 0 < |b| ≤ η, los puntos de interesección de la curva reducidaD con D × {b} sean simples y sean en cantidad igual a la multiplicidadde interesección de D con λ = 0 en 0. Además requeriremos que el polidiscoD × D η , donde D η es el disco de radio η, esté contenido en la imagen deD × ∆ bajo Φ = (z 0 , f) : U → C 2 (esto es, que D η ⊂ f(∆), lo siempre esposible si η es sucientemente pequeño). Uno puede imaginarse la situacióndescrita en la gura del diagrama de Cerf 3.2.Observemos que T = D × ∂D η es un toro sólido en R 3 , ya que es elproducto de un disco (de dimensión real 2) con un círculo. Véase la guradel toro, 3.3.El paso crucial es constatar que El espacio (D × ∆) ∩ {|f| = η} es lainterescción de D×∆ con la imagen inversa bajo Φ del toro sólidoT = D×∂D η . Esto se sigue inmediatamente de la última condición que leimpusimos a η en el párrafo anterior y del hecho que f −1 (∂D η ) = {|f| = η}.

3.3 Paso de inducción 43Figura 3.3: El toro T = D × ∂D η con una sección.

44 Demostración del teorema principalAntes de continuar, describiremos el procedimiento del resto de la demostración.En 3.3.2, construiremos un campo de vectores diferenciable sobre Tque verica las condiciones siguientes:1. La proyección sobre ∂D η da el campo de vectores unidad.2. La restricción a {0} × ∂D η es este campo unidad.3. El campo de vectores es tangente a T ∩ {δ = θ} para todo θ ∈ Csucientemente pequeño, donde δ = 0 es la ecuación reducida quedene al diagrama de Cerf D.4. Ninguna linea integral de este campo más que {0} × ∂D η se cierradespues de una vuelta sobre ∂D η .Haremos primero la construcción en el caso donde el diagrama de Cerf tienesolo una componente irreducible. Esto simplica notablemente la pruebay permite ver con claridad el argumento. Después veremos como se generalizaesto al caso donde hay cualquier cantidad de componentes.En 3.3.3 procederemos a levantar el campo contruido sobre el toro sólidoT a (D × ∆) ∩ {|f| = η} de tal suerte que el campo obtenido extienda alcampo que ya tenemos por hipótesis en ∆∩{|f| = η}∩L. Una vez hecha estaconstrucción, el campo de vectores obtenido no tiene ninguna linea integralque se cierra después de una vuelta sobre ∂D η , porque toda linea integralcerrada daría una linea integral cerrada del campo de vectores en T . Comosolo {0}×∂D η es la que se logra cerrar después de una vuelta sobre ∂D η , unalinea integral del campo sobre (D × ∆) ∩ {|f| = η} que se cerrara después deuna vuelta sobre ∂D η estaría sobre L y esto es imposible por la hipótesisde inducción.Para terminar la demostración, procederemos a realizar las construccionesrecién descritas.

3.3 Paso de inducción 453.3.2. Construcción del campo de vectoresCaso especial: el diagrama de Cerf sólo tiene una componenteEmpecemos suponiendo que el diagrama de Cerf D sólo tiene una componenteirreducible, o lo que es lo mismo, que la curva polar Γ sólo tiene unacomponente irreducible. Entonces el diagrama de Cerf, denido por δ = 0,puede parametrizarse de la siguiente maneraλ = t pz 0 =∞∑a i t i , con a k ≠ 0i=kPodemos además decir lo siguiente:Lema 3.5. Bajo las hipótesis del teorema, i.e. f(0) = 0 y df(0) = 0, se tieneque k < p.Demostración. Consideremos la parametrización∞∑t ↦−→ (z 0 (t), λ(t)) = ( a i t i , t p ) = t k (a k + . . . , t p−k )Entonces tenemos quei=klímt→0 (1/tk )(z 0 (t), λ(t)) = (a k , lím t p−k )t→0Pero segun el lema 2.3, éste límite debe ser de la forma (∗, 0): por tanto debeocurrir que t p−k → 0, y esto implica que p > k.Sean m, n los enteros, primos relativos, tales quemn = k pDenotemos por C a la curva denida por{λ = t nz 0 = a k · t mEsto es, (m, n) es el primer par de Puiseux de D en el sistema de coordenadasdado por λ y z 0 . (c.f. [40]). Lo importante es que cuando η > 0 es

46 Demostración del teorema principalFigura 3.4: Giro en la sección D × {η}sucientemente pequeño los puntos de T ∩ D están en una vecindad tubularde T ∩ C .Sea ahora r = |a k |η m/n . Este es la norma de z 0 = a k λ m/n (ecuación quedene a C ) cuando nos restringimos al toro sólido T = D × ∂D η , porque ahíla norma de λ es justamente η. Consideremos una sección de T , digamos eldisco D × {η}. Podemos decir ahora lo que vemos en esta sección: los puntosde C ∩T están entonces sobre el círculo centrado en (0, η) de radio r (porquesu segunda coordenada, λ, es η y la primera es el z 0 que acabamos de verdebe tener norma r). Observamos además que los puntos de D ∩ (D × {η})están en una vecindad de los puntos de C ∩ (D × {η}).Esta discusión aplica para cualquier ηe iθ en ∂D η . Podemos decir entoncesque los puntos de C ∩ (D × {ηe iθ }) están sobre el círculo de radio r centradoen (0, ηe iθ ). Si recordamos que la ecuación que dene a C es z 0 = a k · λ m/n ,observamos que cuando θ recorre el segmento [0, 2π], los puntos de C ∩ (D ×{η}) giran sobre el circulo de radio r por un ángulo de 2π(m/n), que esmenor a 2π según el lema 3.5. Véase la gura 3.4.

3.3 Paso de inducción 47Figura 3.5: D está en una vecindad tubular (no representada aquí) de CSea ahora ɛ > 0. Llamaremos ɛ-tubo de C ∩T a la unión de los discos deradio ɛ de D × {ηe iθ } centrados en los puntos de C ∩ (D × {ηe iθ )}, cuando θrecorre el segmento [0, 2π]. Si ɛ es sucientemte pequeño, un ɛ-tubo de C ∩Tes una vecindad tubular de C ∩T , y contiene a D ∩T . Consideremos tambiénun ɛ/2 tubo.Ahora sí construiremos el campo. Fijamos η > 0 tan pequeño tal quetodas las construcciones anteriores sean posibles. Observamos que por continuidad,si θ ∈ C es sucientemente pequeño, digamos |θ| < θ 0 , entoncesD θ ∩T está contenido en el ɛ/2-tubo de C , donde D θ está denido por δ = θ.Probaremos entonces la siguiente proposición:Proposición 3.6. Existe sobre T = D × ∂D η un campo de vectores diferenciabletal que1. La proyección de este campo sobre ∂D η es el campo de vectores unidadde ∂D η ;2. La restricción de este campo a {0} × ∂D η es el campo unidad;3. El campo es tangente a T ∩ D θ para |θ| < θ 0 ;4. Ninguna línea integral de este campo más que {0} × ∂D η se cierradespués de una vuelta sobre ∂D η .

48 Demostración del teorema principalDemostración. Llamemos w 0 al campo de vectores de T que es la extensióntrivial del campo unitario en {0} × ∂D η . En D × {η} tenemos uncampo w rot tal que en el disco de radio menor a r, es el campo que realizala rotación de ángulo 2π(m/n), es decir, el campo que en un punto de esedisco a distancia r ′ de 0 es tangente al círculo de radio r ′ , orientado en elsentido positivo y con norma r ′ (m/n). En particular, en el origen este campoes nulo.Ahora extendemos trivialmente w rot a todo T , y le seguimos llamandow rot . Usando una partición de la unidad conveniente, modicamos este campoen uno que sea igual a w rot afuera del ɛ-tubo y nulo en el interior delɛ/2-tubo. Esto signica que en cada sección, w rot realiza la rotación de ángulo2π(m/n) fuera de los círculos de radio ɛ centrados en los puntos de C ,en la zona entre los discos realiza una rotación de ángulo menor, y adentrodel ɛ/2-disco no hace nada. Llamamos w 1 a la suma de este campo reciénconstruido con el w 0 .Geométricamente w 1 dene un ujo que tiene velocidad constante conrespecto a {0} × ∂D η en todo el toro, y que en la otra coordenada realiza ungiro fuera del ɛ-tubo y que es nulo en el ɛ/2-tubo; entre estos dos, hay unaregión en la cual no sabemos exactamente que pasa. Observemos que el campow 1 es tangente a C . Como todos los D θ para θ sucientemente pequeñoestán en el ɛ/2-tubo y son muy similares a C (por continuidad), medianteuna proyección podemos hacer que w 1 sea tangente a D θ ∩ T : llamamos wa tal tampo (observemos que fuera del ɛ-tubo, esta última modicación esnula).El campo w es el buscado. Veriquemos que satisface las propiedadesdeseadas. Las primeras tres son evidentes a partir de la construcción cuidadosaque hemos dado. Para vericar el último punto, vemos que una lineaintegral fuera del ɛ-tubo no se cierra después de una vuelta sobre ∂D η , porqueesta linea permanece sobre un toro ∂D s × ∂D η (donde ∂D s es el círculode radio s centrado en 0) y es tal que si inicia en un punto de ∂D s × {η}termina llegando en un punto de ∂D s × {η} que resulta de una rotación deun ángulo estrictamente menor a 2π. Por otra parte, una linea integral enel ɛ-tubo no sale de él y evidentemente no puede cerrarse después de una

3.3 Paso de inducción 49vuelta, porque después de darle una vuelta al circuito que centrado sobre unpunto de C ∩ (D × {η}) distinto al primero (recordar gura 3.5).Caso generalVeamos como generalizar al caso en el que la curva polar, o el diagramade Cerf, tiene más de una componente irreducible. La idea de la demostraciónes la misma, pero hay algunas construcciones que se deben de hacer conmás cuidado. Por tanto esta sección es muy técnica. Nótese que la notacióntiene que cambiar ligeramente con respecto a la subsección anterior.Empezamos desde la parametrización del diagrama de Cerf. Ahora, laparametrización queda como sigue:λ = t nz 0,1 =. . . . . .z 0,r =∞∑i=k 1a i,1 t i , con a k1 ,1 = α 1 ≠ 0∞∑i=k ra i,r t i , con a kr,r = α r ≠ 0El entero r es el número de componente irreducibles de D en 0. LlamemosD 1 , . . . , D r a la ramas de D. El análogo al lema 3.5, cuya prueba es idéntica,queda de la siguiente forma:Lema 3.7. Para todo j, j = 1, . . . , r, se tiene que k j < n.Denotemos ahora por m j , n j a los enteros primos relativos tales quem jn j= k jny por C 1 . . . C r las curvas dadas, para cada j, por{λ = t n jz 0,j = α j · t m j

50 Demostración del teorema principalNuevamente, para η pequeño, los puntos de (D × ∂D η ) ∩ D j están en unavecindad tubular sucientemente pequeña de (D × ∂D η ) ∩ C j . La dicultadahora es que las curvas C j no son necesariamente distintas, al igual que lospares (m j , n j ). Vamos a ordenar los índices j como sigue:|α 1 | · η m 1/n 1≤ . . . ≤ |α r | · η mr/nr (3.3)para η > 0 sucientemente pequeño.Llamamos ahora C 1 ′, . . . , C l′ a las curvas C j distintas. Sin embargo, lospares (m ′ j , n′ j ) (que hemos llamado pares de Puiseux) no son necesariamentedistintos para estas curvas: necesitamos ser más explícitos. Para j = 1, . . . , l,la curva C j ′ está denida por {y además, tenemosλ = t n′ jz 0,j = α ′ j · tm′ j⎧⎪ ⎨⎪ ⎩C ′ 1 = C 1 = . . . = C i1C ′ 2 = C i 1 +1 = . . . = C i2. . . . . .C ′l= C il−1 +1 = . . . = C rEn palabras: dividimos a las r curvas en l paquetes de curvas distintas, cadauno con i ∗ curvas. En relación a los pares de Puiseux, notamos que si doscurvas eran iguales, entonces tienen el mismo par; sin embargo, puede haberdos curvas distintas con el mismo par. Exhibimos los siguientes paquetes,indexando con el parámetro l :⎧m ′ 1= . . . = m′ l 1n ′ 1n ′ l 1⎪⎨⎪⎩m ′ l 1 +1n ′ l 1 +1. . . . . .m ′ l s−1 +1n ′ l s−1 +1= . . . = m′ l 2n ′ l 2= . . . = m′ ln ′ lA pesar de la dicultad para leer estas ecuaciones, solo dicen que son spares distintos, con (l ∗ − l (∗−1) ) curvas con el mismo par. Por la observación

3.3 Paso de inducción 51anterior, es obvio que s ≤ l. La ecuación (3.3) nos dice además que loscocientes quedan en este orden:m ′ l 1n ′ l 1> . . . > m′ ln ′ lUna última ráfaga de notación:⎧r j ′ ⎪⎨= |α′ j | · ηm′ j /n′ j (j = 1, . . . , l)ρ k = rl ′ k(k = 1, . . . , s − 1)⎪⎩ρ ′ k = r′ l k +1(k = 1, . . . , s − 1)ρ s = r l(3.4)Los s valores de ρ así denidos corresponden a los s grupos que se distinguenpor tener pares de Puiseux distintos. Sin embargo los l valores r ′ , quecorresponden a las l curvas distintas, no son necesariamente distintos; peropodemos armar lo siguiente:Lema 3.8. Para η > 0 sucientemente pequeño, se tiene que ρ k < ρ ′ k paratodo k = 1, . . . , s − 1.Demostración. La demostración es realmente elemental. Simplementeobsevamos queρ k = |α ′ l k| · η m′ l k/n ′ l kρ ′ k = |α′ l k +1 | · ηm′ l k +1 /n′ l k +1Si η > 0 es tan pequeño para que se satisfaga el orden dado en (3.3), vemosque los valores de r j se van incrementando; sin embargo, el orden de (3.4)nos dice en particular quem ′ l kn ′ l k> m′ l k +1n ′ l k +1Por tanto, si η > 0 es sucientemte pequeño, la desigualdad es estricta.Queremos ahora describir lo que ocurre en D × {η}. La discusión de lasubsección anterior en referencia a lo que ocurre en este disco nos permiteobservar rápidamente lo siguiente:Los puntos de C j ′ ∩(D×{η}) están sobre un círculo de radio r′ j centradoen (0, η). Como hemos visto, distintos C j ′ pueden dar puntos en D×{η}sobre el mismo círculo.

52 Demostración del teorema principalFigura 3.6: Radios relativos en D × {η}Los círculos de radio r j ′ se agrupan por paquetes situados entre loscírculos de radio r 1 ′ y ρ 1 , ρ ′ 1 y ρ 2 ,. . . ,ρ ′ s−1 y ρ s . Véase la gura (círculos).Los puntos de D j ∩ (D × {η}) están en una vecindad de los puntos de∩ (D × {η}). Especicaremos en que modo más adelante.C ′jComo en el caso de una solo componente, los puntos de C j ′ ∩ (D × {ηeiθ )están sobre el cículo de radio r j ′ centrado en (0, ηeiθ ); cuando θ recorre [0, 2π],los puntos en C j ′ ∩ (D × {η}) giraron por un ángulo de 2π(m′ j /n′ j ), que esinferior a 2π. Con la notación que hemos dado, este ángulo es el mismo paraC 1 ′, . . . , C l ′1, que es distinto del paquete que sigue, y que es distinto que elángulo que comparten Cl ′s−1 +1 , . . . , C l ′.Es preciso observar que el campo que construiremos en esta situación másgeneral va a diferir del que hemos dado arriba: hay que denir los ángulosde rotación adecuados en anillos adecuados. Sea A(r, r ′ ) el anillo abiertode puntos comprendidos entre los círculos centrados en 0 de radio r y r ′ .Tenemos la siguienteProposición 3.9. Si η es sucientemente pequeño, existen R k , R ′ k y R s parak = 1, . . . , s − 1, tales queρ k < R k < R ′ k < ρ′ k , ρ s < R s

3.3 Paso de inducción 53y ɛ j > 0 (j=1,. . . ,l) tales quepara todo k tal que (a k , m k /n k ) = (a ′ j , m′ j /n′ j ), D k ∩ T está contenidoen el ɛ j /2-tubo de C ′ k ∩ T.Los ɛ-tubos de los Ck ′ ∩ T son sucientemente pequeños para ser vecindadestubulares.Para todo j, l k +1 ≤ j ≤ l k+1 , (k = 0, . . . s−1 con l 0 = 0 y l s = l), el ɛ-tubo de C j ′ ∩T está contenido en el anillo A(R′ k , R k+1) (k = 0, . . . , s−1con R 0 ′ = 0).Con toda la notación dada anteriormente, la veracidad de esta proposiciónes obvia: solo hay que tomar vecindades realmente pequeñas.Con esta descripción, construimos el campos w buscado, como en la subsecciónanterior, que cumpla los requisitos de la proposición (3.6). La únicadiferencia es la construcción del campo w rot en D ×{η}; en esta caso más general,requeriremos que w rot realice la rotación de ángulo 2π(m ′ l k ′ +1/n′ l k +1 )en el anillo A(Rk ′ , R k+1) con k = 0, . . . , s − 1 y l 0 = 0; esto es, el campoque en un punto de A(Rk ′ , R k+1) que esté a distancia r de 0 sea tangente alcírculo de radio r, con sentido positivo y de norma r(m ′ l k ′ +1/n′ l k +1). Además,en las zonas entre los anillos y al exterior del último anillo solo requerimosque el campo en un punto x sea tangente al círculo centrado en 0 que pasepor x. La existencia de este campo se sigue de la existencia (evidente) deuna función decreciente C ∞ φ : [0, R] → R, donde R es el radio de D, talque φ sea constante en los intervalos cerrados [0, R 1 ], [R 1 ′ , R 2], . . . , [R s−1 ′ , R]con valores (respectivamente) de m ′ l 1/n ′ l 1, m ′ l 2/n ′ l 2, . . . , m ′ l /n′ l . Entonces w rotes tal que si x pertenece al anillo cerrado A(R k , Rk ′ ), que está a distancia rdel 0, este campo de un vector tangente al círculo de radio r centrado en 0de dirección positiva y norma φ(r).Siguiendo la demostración de (3.6), extendemos este campo al toro sólidoT , y mediante una partición de la unidad lo modicamos de tal forma quesea nulo en el exterior de los ɛ j /2-tubos de los C j ′ ∩ T y que su valor no semodique al interior de los ɛ j -tubos. La prueba de la existencia de un campocomo en (3.6) concluye como para el caso de una componente conexa.

54 Demostración del teorema principal3.3.3. Levantamiento del campoSiguiendo nuestro plan para la demostración, procederemos ahora a levantarel campo de vectores a (D×∆)∩{|f| = η}. Haremos uso del morsmoΦ : U → C 2 y de la hipótesis de inducción.Tenemos ya denido (hipótesis de inducción) el campo de vectores v C ∞sobre ({0} × ∆) tal que restringido a ({0} × ∆) ∩ {|f| = η} levanta el campovectorial unidad de {0} × ∂D η . Hemos visto que el diagrama de Cerf en Tno está arbitrariamente cerca de {0} × ∂D η (el centro del toro): por tantoexiste una vecindad U 0 de 0 dentro de D tal que Φ = (z 0 , f) restringido aU 0 × ∂D η no tiene puntos críticos. Como la proyección bajo Φ de {|f| = η}es el centro del toro, y la proyección de v es el campo unitario, que coincidecon w, podemos extender el campo v de ({0} × ∆) ∩ {|f| = η} en un campov ′ C ∞ de ((U 0 × ∆)) ∩ {|f| = η}.Además, en todo punto de (D × ∆) ∩ {|f| = η} que no está sobre lacurva polar, se puede levantar localmente el campo w de T = D × ∂D η(por el teorema de la función implícita). En otras palabras: para todo puntox ∈ (D × ∆) ∩ {|f| = η} que no está sobre la curva polar Γ y que estéfuera de (U 0 × ∆) ∩ {|f| = η}, existe una vecindad abierta U x de x en(D × ∆) ∩ {|f| = η} que no toca a ({0} × ∆) ∩ {|f| = η} y un campo devectores w x cuya imagen bajo Φ es el campo de vectores restricción de w aΦ(U x ) . Observemos al paso que los puntos de ∂(D ×∆)∩{|f| = η} no estánsobre la curva polar.Falta considerar el caso donde x es un punto de la curva polar Γ. Hemosnotado ya en el capítulo 2 que Φ induce un germen de morsmo (C n+1 , 0) →(C 2 , Φ(x)) cuya bra sobre Φ(x) tiene una singularidad quadratica ordinariaen x. La posibilidad de hacer el levantamiento depende de la siguienteproposición:Proposición 3.10. Todo campo de vectores A en una vecindad abierta sucientementepequeña de Φ(x) en C 2 tangente a δ = θ para θ sucientementepequeño, se levanta por Φ en una vecindad abierta sucientemente pequeñade x en C n+1 en un campo de vectores diferenciable tangente al sitio críticode Φ (en esta caso, la curva polar Γ).

3.3 Paso de inducción 55La demostración de Lê hace uso de un sosticado lema de Tjourina de1969, publicado en ruso, que habla de deformaciones locales planas y semiuniversales.Sin embargo es posible dar una demostración más elemental,usando el Lema de Morse complejo (a parámetros) y el teorema de la funciónimplícita. Para esto haremos uso del siguiente lema:Lema 3.11. Existen funciones holomorfas h : C 2 → C 2 y h ′ : C n+1 → C n+1tales que F = h ′ ◦ Φ ◦ h esté denido por F (x 1 , . . . , x n , λ) = ( ∑ nj x j 2 , λ).Demostración. Consideremos una vecindad de x en C n+1 sucientementepequeña de tal manera que una aplicación del teorema de la funciónimplícita nos proporcione un cambio de coordenadas tal que f localmentetenga la forma f(λ, w 1 , . . . , w n ) = λ. Para cada x ′ ∈ Γ, el tangente en x ′a la bra sobre f(x ′ ), es decir T (x, f −1 (f(x ′ ))), es paralelo al hiperplanoL = {z 0 = 0}; por tanto, la curva Γ corta transversalmente a cada bra. Esposible entonces hacer un nuevo cambio suave de coordenadas de tal maneraque Γ = (λ, 0, . . . , 0) y que aún tengamos que f(λ, w 1 , . . . , w n ) = λ. Véasela gura 3.7.Recordemos que el diagrama de Cerf está denido por la ecuación δ = 0.Otra aplicación del teorema de la función implícita proporciona coordenadas(t 1 , t 2 ) de C 2 en las que la curva δ = θ, para un θ jo sucientementepequeño, se ve (localmente) en coordenadas como (C, θ) (véase gura 3.7).( queda claro que la coordenada t 2 es igual a λ). Hasta el momento tenemosentonces coordenadas λ, w 1 , . . . , w n de C n+1 y t 1 , t 2 de C 2 tales que Φ = (l, f)evaluada en (λ, w 1 , . . . , w n ) es (l(λ, w 1 , . . . , w n ), λ).Dado un λ 0 , la restricción de l a la bra (λ 0 , w 1 , . . . , w n ) tiene un puntocrítico no-degenerado en (λ 0 , 0, . . . , 0) ∈ Γ y por tanto (lema de Morse, comoen capítulo 1) existe un abierto U λ0 de C, contenido en la bra, tal que lrestringido U λ0 se escribe como ∑ ni=1 w2 i . Es posible hacer esto sobre cadabra, y considerar un cambio de coordenadas global en C n+1 que combine atodos éstos cambios en C n .Concluimos entonces que con estas nuevas variables, que podemos llamarλ, x 1 , . . . , x n , se tiene que Φ(λ, x 1 , . . . , x n ) = ( ∑ x 2 i , λ).Demostración de 3.10. Usaremos las coordenadas x 1 , . . . , x n tal quela aplicación Φ se vea como (λ, x 1 , . . . , x n ) → (λ, ∑ x 2 j ), y las coordenadas

56 Demostración del teorema principalt 1 , t 2 como en la demostración anterior. El campo A, que era tangente a δ = θpara θ sucientemente pequeño se ve encontes como A(t 1 , t 2 ) = (B(t 1 , t 2 ), 0).Dado que la derivada de Φ en estas coordenadas se ve como()1 0 . . . 0D(Φ) =,0 2x 1 . . . 2x nse tiene que⎛D(Φ)⎜⎝⎞Ỹ o·(·=⎟· ⎠Y˜n)Ỹ 0,2x 1 Ỹ 1 + . . . + 2x nYn ˜donde (Ỹ0, . . . , Y ˜ n ) es un campo en C n+1 . Por tanto, un campo tangente ala curva Γ, que con estas coordenadas tiene todas las últimas n entradasnulas, se proyecta en un campo tangente a todos los t 2 = θ. Escribiendoal campo B dado en la forma ∑ i,j a ijt i 1 tj 2 , vemos que el campo en Cn+1Y = ( ∑ i,j a ijt i 1 (∑ nk=1 x2 k )j , 0, . . . , 0) se proyecta sobre el campo B:⎛D(Φ)⎜⎝⎞∑i,j a ijt i 1 (∑ nk=1 x2 k )j( )0·⎟⎠ = B(t 1 , t 2 )= A(t 1 , t 2 ).00Por tanto, hemos conseguido el levantamiento que deseabamos.El campo w que hemos construido en T , denido en una vecindad deΦ(x), es tangente a δ = θ para todo θ sucientemente pequeño. Por laproposición anterior, la restricción de este campo en una vecindad de Φ(x)sucientemente pequeña en T se levanta en un campo diferenciable en unavecindad de x en (D × ∆) ∩ {|f| = η} sucientemente pequeña. Este nuevocampo es entonces tangente a la intersección de la curva polar y de {|f| = η}.Consideremos la cubierta abierta de (D × ∆) ∩ {|f| = η} que resulta detomar las vecindades de los párrafos anteriores. Utilizando una partición de

3.4 Singularidades arbitrarias 57la unidad asociada a esta cubierta, podemos pegar los campos recién construidosque satisfacen las propiedades que buscamos. Esta técnica clásica nosda entonces un campo de vecotres diferenciable v sobre (D × ∆) ∩ {|f| = η},tangente a ∂(D × ∆) ∩ {|f| = η}, y que se proyecta bajo Φ sobre el campode vectores diferenciable w.Para concluir, recordemos el argumento: toda órbita de v que se cierradespués de una vuelta sobre ∂D η se proyecta sobre T en una órbita de w quetambién se cierra después de una vuelta sobre ∂D η . Sin embargo la únicaórbita de w que satisface esta propiedad es {0} × ∂D η , y por tanto una talórbita de v estaría contenida en {z 0 = 0, |f| = η}, cosa que está excluidasegún la hipótesis de inducción. Esto muestra que de la integración dev se obtiene un difeomorsmo característico de la bración (D × ∆) ∩ {|f| =η} → D η sin puntos jos, y el teorema queda demostrado.3.4. Singularidades arbitrariasUna revisión a las secciones anteriores exhibe las siguientes dicultadesen el caso en el que la singularidad no es aislada:1. No es inmediatamente obvio que la bración 3.1 se extienda a la bolacerrada.2. La construcción de los polidiscos adecuados es más sutil.3. Incluso el enunciado preciso del teorema debe modicarse: se debehacer la demostración sobre cada estrato de los polidiscos.4. La elección de D en 3.3.1 debe contemplar la estraticación de V .5. La curva polar puede resultar vacía.Realmente estas obstrucciones pueden ser superadas sin muchas verdaderasdicultades haciendo uso de estraticaciones apropiadas y una elecciónmás cuidadosa del hiperplano genéricosalvo para el último punto, donde

58 Demostración del teorema principalsimplemente hay que ver que si la curva es vacía se simplica mucho la prueba.Sólo por afán de completitud, diremos que una estraticación es unadescomposición de una variedad X, posiblemente singular, en subvariedadesde dimensiones estrictamente decrecientes: es una ltración por conjuntos cerradosde X, tal que la diferencia entre dos miembros sucesivos de la ltraciónes o bien vacía, o una variedad suave de dimensión pura, cuyas componentesconexas se llaman estratos. También puede entenderse como una colecciónde subespacios suaves S i , cuya unión es X, tal que dos a dos sus interioresson ajenos, y si S i ∩ ¯S j ≠ ∅, entonces S i ⊂ ¯S j ; se pide además que la colecciónde la cerradura de los S i 's sea localmente nita. Además, generalmente serequiere que una estraciación satisfaga ciertas condiciones técnicas, comolas denominadas condiciones A y B de Whitney, o de Thom-Mather; ambasnociones están relacionadas con el comportamiento límite de los tangentesa los estratos. El hecho importante es que cualquier variedad algebraica, oanalítica, admite estraticaciones de Whitney.En el contexto de singularidad no-aislada, la existencia de estas estraticacionespermite descomponer el sitio singular en estratos y esto vuelvela situación manejable. Las condiciones permiten construir homeomorsmosde conjuntos estraticados integrando campos de vectores: nos proporcionansuciente control sobre los límites de los planos tangentes provenientes de unestrato incidente de tal manera que es posible levantar campos de estratosde dimensión baja a otros de dimensión mayor.En nuestro caso, Lê y Hamm denen y prueban existencia de estraticacionesen [15], que llaman bonnes stratications, y la usan para ir vericandolas condiciones que se necesitan para la construcción que hemos vistoen cada estrato, en los bordes de los estratos, etc. Esta discusión es sobretodo técnica y entorpece notablemente la uidez de la demostración. Creoque es suciente remitir al lector a [15] y a [19] para completar los detalles.

Apéndice AHaces brados y homotopíaEn este apéndice daremos las deniciones y las convenciones que usamosen este trabajo con lo que respecta a los haces brados, así como algunaspropiedades que son útiles en el capítulo 1. La idea de usar el término hazpara lo que es simplemente una aplicación, pero que se llamará proyeccióndel haz brado, proviene de Grothendieck. La referencia principal son [16] y[28].A.1.HomotopíaAntes de dar la denición de haz, conviene recordar algo de teoría dehomotopía, muy en general. Primero, unas deniciones clásicas:Una homotopía f t : X → Y es una familia continua a un parámetro deaplicaciones; dos funciones f y g se dicen homotópicamente equivalentessi existe una homotopía f t con f = f 0 y g = g 1 . Como esto es una relaciónde equivalencia, tiene sentido hablar de clases de homotopía de aplicaciones.Se dice también que dos espacios X, Y son homotópicamente equivalentes,o tienen el mismo tipo de homotopía, si existen funciones continuasf : X → Y y g : Y → X tales que f ◦ g es homotópica a la identidad en Y yg ◦ f a la identidad en X. Los espacios homotópicamente equivalentes a unpunto se llaman contraibles. Un espacio Y está conectado en dimensión n,si toda aplicación f : S n−1 → Y es nul-homotópica (i.e. es homotópica a

60 Haces brados y homotopíauna constante), o lo que es lo mismo, se puede extender a F : B n → Y .Para X y Y jos, consideremos la clase de homotopía de aplicaciones deX a Y que preservan algun punto x 0 ∈ X; a este conjunto se le puede daruna estrucura de grupo de la manera usual. Si tomamos X = S n , entoncespara cada Y , este grupo se llama el n-ésimo grupo de homotopía de Yy se denota por π n (Y ). Éstos son invariantes topológicos.Muchos conceptos o propiedades son invariantes de homotopía. Solo paradar unos ejemplos, si X y Y son espacios homotópicamente equivalentes,entonces los grupos de homología y cohomología de X y de Y son isomorfos;si X es simplemente conexo, Y también lo es; si X y Y son arco-conexos, entoncessus grupos fundamentales son isomorfos, y también lo son sus gruposde homotopía de rango superior .A.2.A.2.1.Haces bradosDenicionesUn haz es sencillamente una aplicación vista en una categoría en especí-co. Nosotros estamos interesados en el caso holomorfo, por lo que de unavez damos la denición en la categoría adecuada:Denición. Sean F, E, B espacios topológicos suaves, y π : E → B unaaplicación diferenciable. (f, E, B, π) se llama un haz brado si existe unacubierta abierta {U α } α∈Λ de B y para cada α ∈ Λ un difeomorsmoΦ α : U α × F → π −1 (U α ) tal que el diagramaU α × F Φα π −1 (U α )p 1πU αconmuta, donde p 2 es la proyección al segundo factor.A la colección {(U α ) α∈Λ } le llamamos la cubierta trivializadora. Sesigue de esta denición que si B es arco-conexo, para todo x ∈ B, los conjuntosF = π −1 (x) son difeomorfos (o homotopy equivalent) y llamamos a

A.2 Haces brados 61F la bra; el espacio E se llama el espacio total, B el espacio base, y πla proyección del haz brado.En todo este trabajo, los términos bración y haz brado se reeren aun haz brado C ∞ localmente trivial tal como el que acabamos de denir. Entodo rigor, esta convención no respeta la terminología más sutil que existe ensituaciones más generales. Sin embargo, las braciones que nos ocupan sonentre espacios muy bien comportados; las sutilezas que distinguen algunasde las deniciones pierden su importancia y todas las nociones pasan a serequivalentes.Es natural ahora introducir el concepto de aplicaciones entre haces brados,y ver cuando dos haces son equivalentes.Denición. Una aplicación entre haces brados es un diagrama conmutativoE ′ f ′ Eπ ′ B ′f Bπtal que π ′−1 (b ′ ) → π −1 (f(b ′ )) es un homeomorsmo para cada b ′ ∈ B.El haz (F, E ′ , B, π ′ ) es equivalente a (F, E, B, π) si existe una aplicaciónentre haces con f ′ un homeomorsmo:E ′ f ′ Eπ ′ π B idBBEventualmente también usaremos la noción de pullback. Supongamos quetenemos una bración π : E → B. y una aplicación f : B ′ → B. DenimosE f := {(b ′ , x) ∈ B ′ ×E|f(b ′ ) = π(x)}. Llamamos a E f el pullback de E bajof. Si denimos π ′ : E f → B ′ por (b ′ , x) ↦→ b ′ y f ′ : E f → E por (b ′ , x) ↦→ x,entonces (F, E f , B ′ , π ′ ) es bración y el siguiente diagrama conmuta:

62 Haces brados y homotopíafE ′ f Eπ ′ B ′fUsando esto, se puede denir la suma de Whitney de dos haces sobreel mismo espacio base B (con espacios totales E y E ′ , y bras F y F ′ ) comoel pullback BπE ⊕ E ′E × E ′B∆ B × Bcon ∆(b) = (b, b).Por último, estamos especialmente interesados en la propiedad de levantamientode homotopías (en inglés, homotopy lifting property), tambiénllamada axioma de homotopía cubriente (covering homotopy axiom).Intuitivamente, se trata de una condición técnica sobre una función continuaentre espacios topológicos E, B, que permite ver una homotopía en B comouna en E.Denición. Una aplicación π : E → B tiene la propiedad de levantamientode homotopías si para todo espacio topológico X, para cadahomotopía f t : X → B y para cualquier función g : X → E con π ◦ g = f 0(i.e. que levanta a f 0 ) se tiene otra homotopía g t : X → E con g 0 = g yπ ◦ g t = f t (i.e. que levanta a f t para todo t ∈ [0, 1]).A.2.2.PropiedadesPasemos ahora a estudiar algunas propiedades de los haces brados.Como sugiere la notación de la última denición, se tiene que la propiedadde levantamiento de homotopías vale en el caso de una proyección de unhaz brado, donde el levantamiento no necesariamente es único (véase [28],theorem 3.1.1). Esta propiedad es fundamental para la construcción de lamonodromía como la hemos dado en el capítulo 1:

A.2 Haces brados 63Proposición A.1. La propiedad de levantamiento de homotopías se satisfacepara la proyección de un haz brado si el espacio base es compacto y Hausdor(o paracompacto).En particular, si el espacio base es cualquier variedad topológica, se satisfacela proposición anterior. Esta proposición tiene el siguiente corolarioque nos interesa:Corolario A.2. Si ϕ : E → S 1 es la proyección de un haz brado, entonceslevantando los lazos denidos porexp iθcon 0 ≤ t ≤ 2πpodemos elegir una familia (continua) de difeomorsmos h t : ϕ −1 (exp iθ) →ϕ −1 (exp i(θ + t)) tal que h 0 es la identidad y h 2π es un difeomorsmo.Además, los levantamientos están bien denidos móludo clase de homotopíadel lazo.Existe un teorema conocido (véase por ejemplo [35], Teo. 11.6, o [12],Propo 4.7) del cual haremos uso en la sección 1.6:Teorema A.3. Si f : N → P es la proyección de un haz brado localmentetrivial, y P es contraible, entonces es de hecho la proyección de un haz bradotrivial.En el teorema anterior, trivial se reere a que la cubierta trivializadoraen la denición de localmente trivial es un solo abierto.Otra propiedad que usaremos es la existencia de la llamada sucesiónexacta larga para un haz brado (c.f. Teorema 5.3 de [16], o 4.18 de[12]):Teorema A.4. Sea (F, E, B, π) un haz brado, x 0 ∈ π −1 (b 0 ) = F la -bra de π sobre b 0 ∈ B. Existe entonces un morsmo natural de grupos∂ : π n (B, b 0 ) → π n−1 (F, x 0 ) tal que la siguiente sucesión de grupos es exacta:→ π n (E, x 0 ) → π∗π n (B, b 0 ) → ∂ π n−1 (F, x 0 ) → i∗ π n−1 (E, x 0 ) →

64 Haces brados y homotopíaA.3.Teorema de bración de EhressmanEste teorema nos será de utilidad en el capítulo 3. La prueba original esde Ehresmann, pero la referencia que seguiremos aquí es como en [32]. Nosólo nos interesa el resultado, sino que la demostración es interesante en símisma, ya que se usa una técnica de levantamiento de campo de vectores,como en el capítulo 3.Teorema A.5 (Teorema de Fibración de Ehresmann). Sean M, N variedades(digamos C ∞ ) orientadas, de dimensón n + k y k, respectivamente. Supongamosque M es cerrada (i.e. compacta y sin frontera) y sea f : M → Nuna función propia y diferenciable que es suprayectiva en todo punto; estoes, que la matriz jacobiana Df(x) = ((∂f i /∂x j )(x)) tenga rango k ∀x ∈ M.Entonces f es la proyección de un haz brado localmente trivialDemostración. Como f es submersión, todos los puntos de M son regularesy el Teorema de la función implícita nos dice que cada bra f −1 (y)es una subvariedad suave de M de codimensión k. Entonces basta probar latrivialidad local, i.e. que dado y ∈ N existe un disco abierto D y ⊂ N tal quef −1 (D y ) = D y × f −1 (y).En cada punto x ∈ M tenemos un descomposición del haz tangenteT x (M) ∼ = T x (f −1 (y)) ⊕ ν x (f −1 (y))y = f(x)donde ν x (f −1 (y))es el haz normal de la bra de f que contiene a x (paraalguna métrica Riemanniana). Como el rango de Df(x) es k, ν x (f −1 (y)) esisomorfo (con Df(x) el isomorsmo) a T y (N). Entonces el haz normal def −1 (y) es trivial e isomorfo al pullback por f de T y (N).Como haremos una construcción local, vamos a suponer que hemos aplicadoel cambio de coordenadas local y que N es R k . Tomemos {a 1 , . . . , a k } labase canónica para N: entonces ∂/∂x 1 , . . . , ∂/∂x k es una base para T y (N).Podemos extender el dominio de denición de esta base a k campos vectorialesintegrables linealmente independientes en una vecindad D y de y, quedenen ujos locales alrededor de y que pueden usarse para parametrizar D y .Por el argumento anterior, como el haz normal en M es trivial, {a 1 , . . . , a k }

A.3 Teorema de bración de Ehressman 65se levanta a una trivialización {α 1 , . . . , α k } del haz normal ν(f −1 (y)), quese extiende a un conjunto de n campos vectoriales integrables en una vecindadtubular N y de f −1 (y), linealmente independientes en todas partes yotrogonales a todas las bras de f. Por ser M cerrada y f propia, las brasson compactas: entonces los ujos son completos y parametrizan a todo N y .Re-escalando el tiempo si es necesario, esta parametrización es compatiblecon la de la base D y (Manuel, no se si esto es superuo?). Entonces N y esde la forma D y × f −1 (y) y esto concluye la demostración.La misma prueba demuestra que si M tiene frontera y ∂f : ∂M → Ntambien es submersiva y propia, entonces f y ∂f son proyecciones de hacesbrados diferenciables (véase por ejemplo [12], Teo 4.2).

66 Haces brados y homotopía

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