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Introducción a las Señales y losSistemas DiscretosDiego H. MiloneHugo L. RufinerEditores

Índice generalPrefacioXVII1. Introducción a señales 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Clasificación de las señales . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Clasificación Fenomenológica . . . . . . . 61.2.2. Clasificación Morfológica . . . . . . . . . 111.3. Ruido en señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Teoría de la comunicación . . . . . . . . . . . . . 171.4.1. Teoría de la señal . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Teoría de la información y de la codificación 171.5. Procesamiento de señales . . . . . . . . . . . . . 201.5.1. Análisis de Señales . . . . . . . . . . . . . 231.6. Operaciones elementales con señales . . . . . . . 271.6.1. Operaciones unarias . . . . . . . . . . . . 271.6.2. Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . 301.7. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352. Espacio de señales 372.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.1. Desarrollo intuitivo . . . . . . . . . . . . . 382.2. Señales, vectores y álgebra lineal . . . . . . . . . 412.2.1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . 452.3. Espacios vectoriales y señales . . . . . . . . . . . 472.3.1. Conjunto de señales . . . . . . . . . . . . 47vii

2.3.2. Espacios de señales . . . . . . . . . . . . . 492.3.3. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . 512.4. Bases y transformaciones . . . . . . . . . . . . . 542.4.1. Dependencia lineal y conjuntos generadores 542.4.2. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.3. Ortogonalidad y ortonormalidad . . . . . 552.4.4. Aproximación de señales . . . . . . . . . . 572.4.5. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . 612.4.6. Transformaciones lineales . . . . . . . . . 672.5. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733. Transformada discreta de Fourier 753.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2. Familia de bases de Fourier . . . . . . . . . . . . 773.2.1. Series seno . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.2. Series coseno . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.3. Serie exponencial de Fourier . . . . . . . . 793.2.4. Transformada de Fourier de tiempo discreto 813.2.5. Transformada continua de Fourier . . . . 823.3. Exponenciales complejas discretas . . . . . . . . 833.4. Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . 873.5. Propiedades de la TDF . . . . . . . . . . . . . . 913.6. Relación entre la TCF y la TDF . . . . . . . . . 923.7. Utilización de ventanas . . . . . . . . . . . . . . . 963.8. Resolución temporal y frecuencial . . . . . . . . . 993.9. Representación matricial de la TDF . . . . . . . 1023.10. Transformada rápida de Fourier . . . . . . . . . . 1053.11. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.12. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117viii

4. Introducción a sistemas 1194.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2. Interconexión de sistemas . . . . . . . . . . . . . 1204.3. Propiedades de los sistemas . . . . . . . . . . . . 1224.4. Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . 1264.5. Representación de sistemas LTI discretos . . . . 1284.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.7. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335. Convolución discreta 1355.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.2. Convolución lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3. Convolución circular . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4. Relación entre convolución lineal y circular . . . 1455.5. Deconvolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.7. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546. Transformada Z 1556.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.2. Definición de transformada Z . . . . . . . . . . . 1566.2.1. Convergencia de la transformada Z . . . . 1586.2.2. La transformada Z inversa . . . . . . . . 1606.3. Propiedades de la transformada Z . . . . . . . . 1636.4. Representación de sistemas discretos mediante transformadaZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.4.1. Transformación de Euler . . . . . . . . . . 1686.4.2. Transformación bilineal . . . . . . . . . . 1706.5. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178ix

7. Identificación de sistemas 1797.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.1.1. Técnicas convencionales . . . . . . . . . . 1817.1.2. Técnicas no convencionales . . . . . . . . 1827.2. Análisis de la respuesta para sistema continuos . 1827.3. Métodos de predicción lineal . . . . . . . . . . . . 1857.3.1. El modelo ARMA . . . . . . . . . . . . . 1857.3.2. El modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . 1867.3.3. Cuadrados mínimos . . . . . . . . . . . . 1877.3.4. Sistema de Wiener-Hopf para señales determinísticas. . . . . . . . . . . . . . . . 1897.3.5. Sistema de Wiener-Hopf para señales aleatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.3.6. Resolución del sistema de Wiener-Hopf . 1947.3.7. Determinación de la constante de gananciaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.4. Estimación del orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.4.1. Error de predicción final . . . . . . . . . . 1997.4.2. Criterio de Akaike . . . . . . . . . . . . . 2007.5. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.6. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058. Algoritmos Genéticos 2078.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.2. Estructura de un AG . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.3. Diseño de la solución de un problema medianteAGs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.4. Representación de los individuos . . . . . . . . . 2118.5. Función de fitness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.6. Selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.6.1. Rueda de ruleta . . . . . . . . . . . . . . 2148.6.2. Ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.6.3. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . 216x

8.7. Reproducción y operadores de variación . . . . . 2168.7.1. Mutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.7.2. Cruzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.8. Características principales . . . . . . . . . . . . . 2188.9. Introducción a los fundamentos matemáticos . . 2228.10. Trabajos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229A. Octave (v2.1.36) 231A.1. Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232A.2. Comandos del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 232A.3. Matrices y rangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232A.4. Algunas variables predefinidas . . . . . . . . . . . 232A.5. Operaciones aritméticas y operadores de incremento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233A.6. Operadores booleanos y de comparación . . . . . 233A.7. Sentencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234A.8. Manipulaciones básicas de matrices . . . . . . . . 234A.9. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 235A.10.Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235A.11.Procesamiento de Señales . . . . . . . . . . . . . 235A.12.Procesamiento de Imágenes . . . . . . . . . . . . 236A.13.Funciones de entrada/salida . . . . . . . . . . . . 236A.14.Miscelaneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236A.15.Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.16.Estadistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.17.Gráficos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.18.Otras funciones de graficación . . . . . . . . . . . 237B. Comandos de SciLab (v2.6) 239B.1. Señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240B.2. Sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241B.3. Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241B.4. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 241xi

B.5. E/S a archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243B.6. Creación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 244B.7. Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244B.8. Operaciones lineales de matrices . . . . . . . . . 245B.9. No lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246B.10.Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246B.11.Programación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246B.12.Cadenas de caracteres . . . . . . . . . . . . . . . 247B.13.Utilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247C. Comandos de MatLab (v4.2) 249C.1. Comandos de propósito general . . . . . . . . . . 250C.2. Gráficos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . 251C.3. Análisis de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . 251C.4. Funciones mat. elementales . . . . . . . . . . . . 252C.5. Matrices elementales y manipulación de matrices 253C.6. Toolbox de procesamiento de señales . . . . . . . 254xii

Índice de figuras1.1. Evolución del índice argentino MERVAL entre2002 y 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Señales de ECG y presión tal como aparecen enun monitor de cabecera de uso médico. . . . . . . 41.3. Señal de voz de una frase del idioma inglés . . . 51.4. Imagen en tonos de grises proveniente de un estudiode resonancia magnética cerebral . . . . . 61.5. Montaje de varios cortes de un estudio de resonanciamagnética cerebral . . . . . . . . . . . . . 71.6. Clasificación fenomenológica de las señales . . . . 81.7. Esquema conceptual de un proceso aleatorio . . . 101.8. Conversor A/D y función de transferencia del cuantizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Señal continua, en tiempo discreto y digital . . . 141.10. Sistemas de comunicación . . . . . . . . . . . . . 181.11. Esquema de la Teoría de la Comunicación . . . . 191.12. Tipos de procesamiento de la señal . . . . . . . . 211.13. Esquema del telescopio reflector de Newton . . . 251.14. Descomposición de la /A/ como en “father” enoscilagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1. Una señal de 3 muestras en R 3 . . . . . . . . . . 402.2. Representación gráfica de la energía y amplitudde la señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Varios ejemplos de la norma-p para señales en R 2 442.4. Proyección de la señal x en la dirección de y . . 472.5. El producto interno y su significado en teoría deseñales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48xiii

2.6. Aproximación de vectores utilizando proyeccionesortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.7. El cambio de base visto desde la perspectiva delprocesamiento de señales . . . . . . . . . . . . . . 642.8. Gráfica de un cambio de base . . . . . . . . . . . 663.1. Funciones de la serie seno . . . . . . . . . . . . . 793.2. Funciones de la serie coseno . . . . . . . . . . . . 803.3. Funciones de la serie exponencial de Fourier . . . 813.4. Funciones coseno con diferentes Ω k . . . . . . . . 853.5. Exponenciales complejas como base en R 20 . . . 883.6. Muestreo de una señal continua . . . . . . . . . . 943.7. Fenómeno de alias . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.8. Multiplicación por una ventana cuadrada . . . . 953.9. Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . 963.10. Par de la transformada discreta de Fourier . . . . 973.11. Ventanas temporales más utilizadas . . . . . . . . 983.12. Efecto del agregado de ceros en el dominio temporal1033.13. Comparación del costo computacional de la TDFy el algoritmo de la TRF . . . . . . . . . . . . . . 1093.14. Espectro de magnitud obtenido mediante la TDF 1154.1. Representación de sistemas de tiempo continuo ydiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2. Interconexión de sistemas . . . . . . . . . . . . . 1214.3. Sistema para el cálculo de y[n] = (2.x[n] − x[n] 2 ) 2 1224.4. Interconexión de realimentación . . . . . . . . . . 1234.5. Ejemplos de sistema estable e inestable . . . . . . 1244.6. Representación de operaciones de un sistema LTIdiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.7. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] −2y[n − 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.8. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] +2x[n − 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129xiv

4.9. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] +2x[n − 1] − 2y[n − 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.10. Diagrama en bloques para el Ejercicio 5 . . . . . 1324.11. Entrada para el Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . 1335.1. Descomposición de una señal de tiempo discreto 1395.2. Obtención de la salida de un sistema LTI mediantela convolución lineal . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3. Convolución lineal de secuencias por el métodode espejado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4. Convolución circular (o periódica) de dos secuencias1445.5. Deconvolución con ruido aditivo en la entrada . . 1475.6. Deconvolución con ruido aditivo en la salida . . . 1475.7. Señales de entrada, respuesta al impulso y salidade un sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.8. Influencia del espectro de frecuencias del ruido enla deconvolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.9. Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.10. Sistema con ruido aditivo en la entrada y en lasalida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.1. Representación de X(z) en el plano complejo . . 1616.2. Obtención de la ecuación en diferencias mediantetransformación conforme . . . . . . . . . . . . . . 1666.3. Condiciones de mapeo mediante transformaciónconforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.4. Sustitución de la diferencia hacia atrás por la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.5. Transformación de Euler . . . . . . . . . . . . . . 1716.6. Restricción en θ para que el plano s se mapee enel círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.7. Mapeo de w en Ω por medio de la transformaciónbilineal para la respuesta en frecuencia deun filtro rechaza–banda . . . . . . . . . . . . . . 176xv

6.8. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.1. Respuesta al escalón de dos sistemas lineales . . 1847.2. Superficie de error cuadrático para sistema ARde orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3. Comportamiento de los criterios de estimación deorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4. Esquema del aparato fonador . . . . . . . . . . . 2037.5. Diagrama para el modelo AR del aparato fonador 2047.6. Palabra “hello” separada en fonemas . . . . . . . 2058.1. Representación de los individuos . . . . . . . . . 2128.2. Ejemplo de la rueda de ruleta . . . . . . . . . . . 2158.3. Mutación en un cromosoma de 8 genes . . . . . . 2198.4. Cruza simple a partir de dos cromosomas de 8genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.5. Curva de error para un espacio de soluciones dedimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.6. Curva de error con mesetas . . . . . . . . . . . . 2218.7. Evolución temporal de la población en sus tresestadios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228xvi

PrefacioSe puede decir que los conceptos de señal y sistema permitenencarar el estudio de cualquier problema del mundo físicomediante un “modelo” adecuado de la realidad. Este tipo demodelos se han difundido enormemente en los tiempos actuales,debido principalmente a las bases matemáticas de la teoría dela comunicación y los avances en el área informática que hanpermitido llevar las soluciones al campo digital, invadiendo casitodas las actividades de la sociedad moderna.En este libro se pretende dar una breve introducción a losfundamentos detrás de esta teoría para “comprender” el mundo.El mismo es el fruto de unos 10 años de trabajo impartiendocursos relacionados con el tema, y surgió originalmente comouna necesaria introducción para un curso de modelización desistemas biológicos, en la carrera de grado en Bioingeniería (oIngeniería Biomédica), en la Facultad de Ingeniería de la UniversidadNacional de Entre Ríos, Argentina. Más recientemente,el material fue ampliado y utilizado como primer bloque de fundamentosen un curso de procesamiento digital de señales en lacarrera de grado en Ingeniería Informática, en la Facultad deIngeniería y Ciencias Hídricas de la Universidad Nacional delLitoral.Se supone que el lector cuenta con algunas nociones básicasde física, matemática e informática. Las nociones de físicapermiten aportar la base conceptual para transcribir la realidadconcreta a una versión abstracta y simplificada de la misma.Como requisito, el lector deberá tener conocimientos de físicaelemental para entender la aplicación de los conceptos mostradosmediante algunos ejemplos simples de sistemas mecánicos yeléctricos. Las nociones de matemática aportan la base formalxvii

para la descripción de las señales y sistemas discretos. Se presuponeque el lector conoce los fundamentos de álgebra lineal,cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales y variable compleja.La nociones de informática permiten la implementación computacionalde prácticamente “todo” lo que se ha querido transmitiren este libro. La informática es la herramienta básica utilizadapara llevar a la práctica y terminar de comprender los detallesde cada tema. No se requiere un gran dominio de la computaciónsino más bien algunos conocimientos mínimos de programacióncomo estructuras condicionales y repetitivas, vectores y matrices,subprogramas y graficación básica.Se ha tratado de conservar parte del enfoque heredado delIng. Luis F. Rocha, que fue el que originalmente nos acercó estasideas como parte introductoria de un curso denominado BioingenieríaI. También se ha tratado de rescatar el carácter universalde varias de las ideas planteadas en la teoría de señales ysistemas. Especialmente, los conceptos vertidos en el Capítulo 2“Espacio de señales”, forman una visión genérica de un conjuntomuy amplio de técnicas utilizadas en el procesamiento digital deseñales. Ver a las señales como vectores, interpretar geométricamenteoperaciones básicas como el producto interno en uncambio de base y extender su aplicación a las transformacioneslineales, constituye un núcleo conceptual que permite visualizaroperaciones complejas desde una perspectiva muy simple pero ala vez genérica. Si bien a la fecha todavía han quedado algunoscapítulos con un enfoque más bien clásico, en futuras edicionesse completaría esta tarea, intentando formar un único hiloconductor, conceptual y didáctico, a lo largo de todo el libro.El libro está organizado de la siguiente forma. En el Capítulo1 se presenta una introducción general al tema de señales, conejemplos de varios campos de aplicación. Se discuten los conceptosde señal, sistema, información y ruido. En el Capítulo 2 sepresenta el estudio de las señales, ya no de forma aislada, sinoen el marco de conjuntos de señales que cumplen con determixviii

nadas propiedades de interés. Como anticipamos, este enfoquedesde los espacios de señales permite sentar las bases para lastransformaciones lineales y provee una perspectiva clave, en loconceptual y didáctico, para reinterpretar el resto del materialpresentado en el libro. En el Capítulo 3, como una continuaciónnatural y aplicación del capítulo anterior, se presenta la transformadadiscreta de Fourier. Se ha dedicado un capítulo enteroa esta transformación debido al papel fundamental que juegaactualmente en las aplicaciones. Se revisa la relación que existeentre todos los miembros de la familia de bases de Fourier y sepresentan las ideas principales detrás de la transformada rápidade Fourier. En el Capítulo 4 se completan los conceptos sobresistemas presentados en el primer capítulo, pero orientado principalmentea las propiedades de los sistemas discretos lineales einvariantes en el tiempo. El Capítulo 5 discute las ideas detrásde la sumatoria de convolución, mostrando su conexión naturalcon los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. En elCapítulo 6 se presentan los fundamentos de la transformada Z,que juega para los sistemas de tiempo discreto un papel análogoal de la transformada de Laplace para el caso de los sistemas detiempo continuo. Los Capítulos 7 y 8 tratan tópicos especialesde aplicación a la identificación de sistemas. El Capítulo 7 presentalas nociones básicas de identificación de sistemas discretoslineales, tanto para el caso de sistemas invariantes como para losvariantes en el tiempo. Finalmente en el Capítulo 8 se presentala técnica de algoritmos genéticos, que es un método generalpara la optimización y búsqueda de soluciones. En el contextode este libro se presenta como una alternativa para la identificaciónde sistemas no lineales. Esto se debe a que, aunque el libroestá orientado principalmente a sistemas lineales, los sistemasno lineales están apareciendo cada vez más en las aplicaciones.Los conceptos se refuerzan en cada capítulo con una serie depreguntas y ejercicios prácticos que están pensados para desarrollarseen sesiones adicionales a las clases teóricas, que en nuestroxix

esquema docente denominamos: clases de coloquio y prácticasde laboratorio. Las clases de coloquio están íntimamente relacionadascon los temas desarrollados en las clases teóricas, pero lamodalidad de trabajo es más flexible, participativa y personalizada.Las preguntas pretenden ser una guía para la discusión delos aspectos relevantes de cada tema o aquellos que presentanmayor dificultad en el aprendizaje de los alumnos. Las actividadesprácticas se centran en la resolución de problemas medianteun lenguaje de programación. Si bien no se sugiere ningún lenguajeen particular, los apéndices finales proveen una lista decomandos para algunos lenguajes de cálculo numérico muy utilizadosen la actualidad. Los ejercicios prácticos que poseen unpoco más de dificultad dentro de cada capítulo, o que necesitanun poco más de tiempo para resolverse, están marcados con (∗) ,o con (∗∗) , de acuerdo con el grado de dificultad relativo. La bibliografíade consulta para cada tema se provee al final de cadacapítulo. Se ha tratado de ordenar la misma de acuerdo con laimportancia o peso de cada fuente en el tema considerado.Queremos agradecer las innumerables sugerencias aportadaspor los alumnos, que podemos decir han sido los primerosrevisores de este material. También debemos destacar el aportesustancial de varias personas que han influido de diversas formasen los contenidos actuales de este libro. Entre ellas queremosagradecer especialmente a Daniel Zapata, con quien hemosmantenido muchas discusiones conceptuales acerca de varios delos temas incluidos. En la lista de agradecimientos contamostambién al Ing. Carlos Montalvo, que fue responsable de variasde las notas iniciales tomadas de las clases del Ing. Rocha y alos Bioingenieros Carlos Pais y Cesar Martínez, que han realizadorevisiones de este material. Por último, queremos volvera destacar la fuerte influencia del Ing. Rocha como formador ymaestro de todos nosotros, que modificó nuestra concepción dela ciencia y la ingeniería.Diego H. Milone, Hugo L. Rufinerxx

Capítulo 1Introducción a señalesHugo Leonardo RufinerTemas a tratar• Definiciones básicas de señales.• Clasificación de las señales.• Contexto de la teoría de la señal.• Descripción de los procesamientos de señales más usuales.• Operaciones elementales sobre y entre señales.Objetivos• Operar con señales discretas y reconocer las característicasy propiedades generales de las mismas.• Aprender a aplicar a ejemplos sencillos las herramientas yconceptos en estudio.• Generar y manipular señales digitales en forma de vectorespor medio de un lenguaje de programación.1

2 Capítulo 1. Introducción a señales1.1. IntroducciónLa teoría de las comunicaciones ha invadido prácticamentenuestra vida diaria, con aplicaciones tecnológicas en campostan diversos como: el comercio, la medicina, la educación y lapolítica, entre muchos otros. Los conceptos de señal, sistema einformación, soportan esta teoría y están íntimamente relacionados.Los mismos poseen un carácter universal que permitedescribir prácticamente cualquier problema del mundo real entérminos de estos conceptos, e inmediatamente tener a manotoda la teoría para intentar resolverlos.Podemos decir que las señales transportan información acercadel sistema que las produjo, contenida o codificada en unpatrón de variaciones de alguna magnitud física. Desde el puntode vista matemático las señales son descriptas por medio defunciones, y los sistemas en términos de transformaciones. Estastransformaciones modifican a las denominadas señales de entradapara dar lugar a otras señales de salida del sistema. En estecapítulo nos ocuparemos principalmente de las señales y dejaremoslos aspectos específicos de los sistemas para tratarlos enel Capítulo 4. La descripción matemática de la cantidad de informacióncontenida en una señal no será explorada de maneradirecta en el presente libro.Las señales son funciones de una o más variables independientesque contienen información acerca de la naturalezao comportamiento de algún fenómeno, mientras que los sistemasresponden a señales particulares produciendo otras señales.Aunque las señales se pueden representar de muchas maneras,en todos los casos la información dentro de una señal está contenidaen un patrón de variaciones de alguna forma. 1La palabra señal proviene del latín signale, que significa:marca que se pone o hay en una cosa para darla a conocer odistinguirla de otras. Otras acepciones tradicionales pueden ser:1 Señales y Sistemas, A.V. Oppenheim – A.S. Milsky.

1.1. Introducción 3Figura 1.1. Evolución del índice argentino MERVAL entre 2002 y2003signo, imagen o representación de una cosa. Como hemos vistouna señal es un fenómeno que representa información. En generalse consideran señales eléctricas, pero la teoría de la señalpuede ser aplicada a cualquier clase de señal (lumínica, sonora,magnética, etc.), sin importar su naturaleza física. Pueden definirseinfinidad de señales en otros campos como el económico,social, biomédico, etc; por lo tanto las técnicas aquí desarrolladasson de aplicación general.En la Figura 1.1 se muestra la señal de evolución del índiceMERVAL en los años 2002 y 2003 2 . Se puede apreciar unalenta recuperación del mercado argentino luego de la difícil situacióneconómica de fines del año 2001. En este ejemplo quedaevidenciado como podemos extraer información útil acerca deun sistema determinado analizando las señales producidas porel mismo.En el ámbito biomédico, las señales provenientes del registroa nivel de la piel de la actividad eléctrica del corazón (ECG),son de uso diario. Estas señales junto con otras como la de presión,constituyen parámetros básicos para análisis y control delestado del sistema cardiovascular. Por ello están incorporadas2 Tomado de http://ar.finance.yahoo.com

4 Capítulo 1. Introducción a señalesFigura 1.2. Señales de ECG y presión tal como aparecen en un monitorde cabecera de uso médico.en los monitores de cabecera y otros instrumentos médicos (VerFigura 1.2).Otro ejemplo de señal biológica puede ser la señal de voz,que es producida por el aparato fonador humano a través deun complicado mecanismo en el que intervienen varios órganospara modificar las propiedades acústicas del tracto vocal y delos estímulos sonoros implicados. De esta forma se producen lospatrones de variación de la presión sonora característicos queconstituyen la base de la comunicación humana. En la Figura 1.3se puede apreciar el sonograma de una señal de voz provenientede una frase del idioma inglés. En la misma pueden apreciarsemarcas verticales correspondientes a los trozos de la señalque representan distintas unidades acústico-fonéticas, como losfonemas y las palabras.Generalmente se toma como variable independiente al tiempo,aunque puede ser también alguna dimensión espacial, como

1.2. Clasificación de las señales 50 26112 How did one join them?AmplitudTiempo [seg.]Figura 1.3. Señal de voz de una frase del idioma inglés (tomada de labase de datos TIMIT)en el caso de las imágenes (que constituyen señales bidimensionales).Un caso de particular interés son las imágenes médicas,en la Figura 1.4 se puede apreciar una imagen del cerebro producidapor medio de la técnica de resonancia magnética (MRI).Si juntamos varios cortes de este tipo —como los que podemosver en la Figura 1.5— tendríamos en realidad una señal tridimensional.1.2. Clasificación de las señalesComo en cualquier ámbito, una adecuada taxonomía delos distintos tipos de señales permite el estudio sistemático delas mismas. Las señales se pueden clasificar de acuerdo a lossiguientes criterios:Dimensional: basado en el número de variables independientesdel modelo de la señal.Energético: de acuerdo a si poseen o no energía finita.

6 Capítulo 1. Introducción a señalesFigura 1.4. Imagen en tonos de grises proveniente de un estudio deresonancia magnética cerebral (U.S.A. National Institute of Health)Espectral: basado en la forma de la distribución de frecuenciasdel espectro de la señal.Fenomenológico: basado en el tipo de evolución de la señal,predefinido o aleatorio.Morfológico: basado en el carácter continuo o discreto dela amplitud de la señal o de la variable independiente.Desarrollaremos a continuación principalmente las dos últimas,debido a la importancia de las mismas, y a que el restoresultan ser de la aplicación de conceptos sencillos ya conocidoso enunciados.1.2.1. Clasificación FenomenológicaEn la Figura 1.6 se muestra en esquema de la clasificaciónfenomenológica cuyos elementos describiremos en las siguientessecciones.

1.2. Clasificación de las señales 7Figura 1.5. Montaje de varios cortes de un estudio de resonanciamagnética cerebral (U.S.A. National Institute of Health)

8 Capítulo 1. Introducción a señalesSeñalesDeterminísticasAleatoriasPeriódicasAperiódicasEstacionariasNo estacionariasSinusoidalesCuasiperiódicasErgódicasEspecialesArmónicasTransitoriasNo ergódicasPseudoaleatoriasFigura 1.6. Clasificación fenomenológica de las señalesSeñales determinísticasUna señal se puede definir como determinística si sus valoresson conocidos de antemano o pueden ser predichos exactamente.Por lo tanto, los próximos valores de una señal puedenser determinados si son conocidas todas las condiciones anterioresde la señal. Así, ésta puede ser representada completamentepor las ecuaciones que la definen.A su vez, las señales determinísticas se pueden subdividiren periódicas y aperiódicas. Se dice que una señal continua esperiódica si y sólo si x(t + T ) = x(t) para todo t ∈ (−∞, ∞). Elvalor positivo más chico de T para el cual se cumple la ecuaciónanterior se llama período de la señal y se nota con el símboloT . Además, esta ecuación va a seguir siendo cierta si T esreemplazado por kT .Cualquier señal que no es periódica se dice que es aperiódica.Algunas señales aperiódicas tienen propiedades únicasy son conocidas como funciones singulares, porque poseen deri-

1.2. Clasificación de las señales 9vadas discontinuas o son discontinuas ellas mismas. Entre estasseñales se encuentra la tipo escalón, delta de Dirac, etc..Otro tipo de señales que no poseen las propiedades que hemosnombrado anteriormente son las señales transitorias. Estasseñales son aquellas que agotan su energía dentro del períodode observación. Esta clasificación no depende tanto de la señalen sí, como de la escala temporal desde la cual se observa a lamisma.Señales estocásticasHay señales en las que existe casi siempre alguna incertezaacerca de los valores que puede tomar en los siguientes instantes.Estas señales son llamadas estocásticas o aleatorias y pueden serdescriptas solamente desde un punto de vista estadístico. Porejemplo, se puede considerar que la señal de tensión del tendidoeléctrico es determinística y hasta periódica, pero por otrolado, si se tienen en cuenta las pequeñas perturbaciones electromagnéticasesta misma señal puede ser considerada estocástica.Las señales aleatorias son más difíciles de manejar que las determinísticas,una señal con valores al azar es una muestra deun proceso aleatorio. Una función muestra (o realización) de unproceso aleatorio difiere de las otras en su descripción temporal,pero sin embargo poseen las mismas propiedades estadísticas.Se puede dividir a las señales aleatorias en 2 tipos: estacionariasy no estacionarias.Un proceso estacionario es aquél en el cual las propiedadesestadísticas de la señal no varían con el tiempo. Por ejemplo,para un proceso de este tipo podemos calcular la esperanza promediandolos valores de x(t) a lo largo de toda la muestra encualquier momento. Dentro de este tipo de señales aleatoriasse encuentran las de tipo ergódicas: para estas señales, las estadísticas(ej.: promedio) a lo largo de la muestra son igualesa las estadísticas temporales a lo largo del eje del tiempo para

10 Capítulo 1. Introducción a señalescualquier función muestra. En la Figura 1.7 se ejemplifica unproceso aleatorio ergódico de n muestras o realizaciones.La estacionariedad y ergodicidad son propiedades que permitenel uso de métodos de procesamiento prácticos, un procesoque es no estacionario (y por lo tanto no ergódico) es muy difícilde procesar.X (t)= Proceso Aleatoriox 1 ( t)x 2 ( t)x n ( t)t it jt k......tttfdp(x 1(t)) fdp(x 2(t)) fdp(x n(t))...Estacionariedad + = E rgodicidadfdp(X(t i)) fdp(X(t j)) fdp(X(t k))= E s t a c ion arieda dFigura 1.7. Esquema conceptual de un proceso aleatorio

1.2. Clasificación de las señales 111.2.2. Clasificación MorfológicaSeñales continuas y discretasDesde el punto de vista morfológico hay dos tipos básicosde señales: señales continuas y señales discretas. En el caso deuna señal continua la variable independiente es continua, porlo tanto estas señales están definidas para un continuo de valoresde la variable independiente. Por otro lado, las señalesdiscretas están definidas únicamente en valores discretos y consecuentementepara estas señales la variable independiente tieneúnicamente un conjunto de valores.Para distinguir entre señales continuas y discretas normalmentese utiliza el símbolo t para denotar una variable continuay n para una variable discreta. Además, para señales de tiempocontinuo se encerrará la variable independiente entre paréntesis(p.e. y(t) = sen(ωt)), mientras que en el caso de las de tiempodiscreto se encerrará entre corchetes (p.e. y[n] = sen(nT )).Una señal discreta x[n] puede representar un fenómeno parael cual la variable independiente es inherentemente discreta.Señales como estas pueden ser la relación especie-abundancia,o los datos demográficos tomados a determinados intervalos detiempo. También las fotos en los diarios realmente consisten deuna grilla de puntos muy fina y cada uno de estos puntos representaun muestreo del brillo del punto correspondiente de laimagen original. No importa el origen de los datos, de todas formasla señal x[n] está definida únicamente para valores enterosde n.En el caso en que la amplitud y la variable independientesean continuas, entonces la señal es analógica; en cambio si laamplitud es discreta y la variable independiente también la señales digital.

12 Capítulo 1. Introducción a señalesSeñales analógicas y digitalesLa mayoría de las señales de interés en la naturaleza sonanalógicas. Sin embargo, es importante analizar las señales digitales,ya que la tecnología moderna en términos de software yhardware, hace al procesamiento en tiempo discreto más ventajosoque el procesamiento en tiempo continuo. Las ventajas sontales que normalmente es conveniente convertir la señal analógicaen una digital de forma tal que se pueda llevar a cabo elprocesamiento en tiempo discreto.La conversión es llevada a cabo por sistemas de conversiónanalógica a digital (A/D), que muestrean, retienen cada muestrapor un instante de tiempo, y cuantizan la señal en valoresdiscretos. Normalmente el muestreo es llevado a cabo en instantesde tiempo uniformemente espaciados, sin embargo, tambiénpuede ser llevado a cabo un muestreo no-uniforme para tomarventaja de algunas propiedades de la señal.Las señales digitales son señales de tiempo discreto cuyosvalores en amplitud son cuantizados. La salida de un conversorA/D, que muestrea una señal de entrada continua y genera unasecuencia de números binarios de longitud finita es una señaltípicamente digital. En la parte superior de la Figura 1.8 semuestra un diagrama esquemático de un conversor A/D. Si seutiliza una frecuencia de muestreo determinada (por ejemplo 1MHz, es decir una muestra cada 1 µs.) el cuantizador tiene unarelación entrada/salida como la de la parte inferior de la Figura1.8. Si además se da una función continua x(t) que tiene laforma que se ve en la Figura 1.9 (a), entonces las correspondientesseñales en tiempo discreto x 1 (nT ) y la señal digital de salidax(nT ), tomarían las formas representadas en la figuras (b) y (c).En términos estrictos, las computadoras pueden manejarúnicamente señales digitales, ya que las señales discretas puedenser discretas en el tiempo pero pueden no serlo en amplitud.Como en una señal digital sólo hay un número finito de niveles,los errores están presentes en cualquier sistema que opere con

1.2. Clasificación de las señales 13x ˆ(t)x1(nT )x(nT )MuestreoCuantizaciónConversor de señales analógicas a digitales8Entrada642-8 -6 -4 -22 4 6 8Salida-2-4-6-8Figura 1.8. Conversor A/D y función de transferencia del cuantizador.Arriba: diagrama de bloques de un conversor A/D. Abajo: funciónde transferencia del cuantizador.

14 Capítulo 1. Introducción a señaleseste tipo de señales. Por lo tanto, una de las consideracionesde diseño de cualquier sistema que maneje señales digitales esel número de bits o el número de niveles de cuantización quese necesita para representar a la señal de una forma fidedigna.Cuanto más grande sea el número de bits usados, mayor va aser la precisión en la representación de la señal, y más costosova a ser el sistema digital.64x (t)64x 1(n T ) T = 1µs eg . x 1(n T ) T = 1 µs e g .642-224681 0t (µ seg.)224-2( a) (b)-2(c )Figura 1.9. Señal continua, en tiempo discreto y digital. (a) Ondacontinua de entrada al sistema, (b) señal en tiempo discreto y (c)señal digital.6810n2246810nAdemás de los efectos de la cuantización, el hecho de discretizarla señal mediante un conversor A/D, también puede introducirerrores importantes en la señal resultante. Es fácil imaginarseque si muestreamos la señal a una velocidad más lenta quela de la mayor frecuencia presente en la señal podemos perderinformación importante. De hecho esto puede producir cambiosmorfológicos significativos en la señal considerada. Este efecto,que conduce a una “confusión” acerca cuales son las frecuenciasque componen la señal y se denomina aliasing, será tratado condetalle en el Capítulo 3.1.3. Ruido en señalesGeneralmente las señales están contaminadas con perturbacionesno deseadas que dificultan el análisis o proceso de la

1.3. Ruido en señales 15señal de interés, dichas perturbaciones se denominan ruido. Estrictamente,se denomina ruido a cualquier fenómeno o proceso(interferencia, distorsión aleatoria, etc.) que perturba la percepcióno interpretación de una señal. Comparte la misma denominaciónque los efectos acústicos análogos y siempre está presenteen la obtención de cualquier señal real.Cuando se está en presencia de una señal contaminada conruido se define una medida de cuánto una señal esta contaminadapor ruido, dicha medida se denomina relación señal-ruido(S/R o SNR). Esta se define como la razón ξ entre la potenciade la señal P s y la potencia del ruido P r :ξ = P sP rAntes de continuar, es conveniente hacer una distinción entreel ruido generado por disturbios de la señal puramente aleatorios(y por lo tanto impredecibles) y la interferencia causadapor la recepción no deseada de otra señal útil (como puede serla causada por el acoplamiento de las líneas de alimentación).Las fuentes de ruido pueden clasificarse en dos grandes grupos:Fuentes de ruido colocadas fuera de cualquier sistema deprocesamiento (externas) y actuando en él por susceptibilidad.Fuentes de ruido dentro del sistema (internas) que generanruido independiente a las condiciones externas.Aunque siempre es posible mejorar el diseño de un sistemade procesamiento hasta reducir las interferencias a un nivelaceptable, es absolutamente imposible eliminar la contribuciónde las fuentes de ruido internas.Normalmente un sistema se va a comportar correctamenteúnicamente cuando el nivel útil de señal es más alto que el nivel

16 Capítulo 1. Introducción a señalesde ruido. Sin embargo, algunos métodos de procesamiento máselaborados permiten trabajar con pequeñas SNR, gracias a lainformación de propiedades de la señal conocida a priori.Las fuentes de ruido externas al sistema pueden ser divididasen dos grandes grupos: las fuentes de interferencias generadaspor artefactos eléctricos y fuentes de interferencias del tipoelectromagnético. Dentro de las primeras se puede agrupar a losmotores eléctricos, las bobinas (reactancias) de los fluorescentes,transformadores, rectificadores, etc. Dentro de las interferenciaselectromagnéticas se pueden citar las ondas electromagnéticasde comunicación, radiocomunicación, TV, etc..Las fuentes de ruido interno también pueden ser divididasen dos grandes grupos: perturbaciones del tipo impulsivasgeneradas por la conmutación de corrientes y ruido de fondogenerado en los cables y componentes electrónicos debidos a lanaturaleza electrónica de los mecanismos de conducción. Esteúltimo tiene varios orígenes, como una generalización se puededecir que se produce como consecuencia del movimiento aleatoriode las partículas cargadas en equilibrio térmico (movimientoBrowniano) o bajo influencia de campos aplicados a los mismos.Bajo condiciones estables pueden ser vistos como procesos estacionarios.Sus tres principales constituyentes en componenteselectrónicos son: el ruido térmico, el ruido tipo disparo y el ruidode aleteo o flicker.El ruido térmico es el encontrado más frecuentemente, yes causado por la vibración aleatoria de los portadores de cargaprovocada por la temperatura en los conductores. El ruido tipodisparo aparece en válvulas, transistores, diodos, fotodiodos,etc; donde existe una barrera de potencial que deben atravesarlos portadores. El ruido de aleteo es atribuible a las propiedadesde la superficie de un material.

1.4. Teoría de la comunicación 171.4. Teoría de la comunicaciónEl estudio de las señales se encuentra contenido en lo quese denomina Teoría de la Comunicación. La teoría de la comunicaciónse encarga del estudio de los sistemas de comunicación,tanto artificiales como biológicos o naturales. En la Figura 1.10se pueden ver dos ejemplos de este tipo de sistemas.Esta teoría está compuesta a su vez por 2 grandes ramas: laTeoría de la Señal y la Teoría de la Información y Codificación(Ver Figura 1.11).1.4.1. Teoría de la señalLa descripción matemática de las señales es el objetivo fundamentalde la teoría de la señal. Esta proporciona el modode enfatizar (de forma matemáticamente conveniente) las característicasfundamentales de una señal, como pueden ser sudistribución espectral de energía o su distribución estadística deamplitudes. También provee los métodos para analizar la naturalezade las modificaciones impuestas a la señal mientras éstapasa por algún bloque del tipo eléctrico o electrónico.Una de las herramientas básicas y fundamentales de lateoría de la señal es la expansión en términos de funciones ortogonales,siendo la expansión de Fourier el caso más interesante,y cuya forma generalizada es conocida como la Transformada deFourier. Debido a su importancia dedicaremos un capítulo completoa revisar las bases de esta transformación y su aplicaciónal caso de las señales discretas.1.4.2. Teoría de la información y de la codificaciónLa información está muy ligada al concepto de comunicación,es decir, transferencia de mensajes desde una fuente a un

18 Capítulo 1. Introducción a señales(a)Formulación del mensajeCodificaciónAcciónes neuro -muscularesSistemaAcústico(tracto vocal)OndaacústicaComprensión del mensajeCodificaciónTransducciónNeuralMovimientomembranabasilarFuente del sonido(c uerdas vocales)Emisor o fuente Canal o medio Receptor o destino(b)Estación deradio AMOndas electromagnéticasAparato deradioFigura 1.10. Sistemas de comunicación: (a) Humano por medio delhabla, (b) Artificial por medio de un sistema de radio de amplitudmodulada (AM)

1.4. Teoría de la comunicación 19destinatario. La teoría de la información es una teoría probabilísticade los mensajes, que tiene en cuenta sus propiedadesestadísticas sin importar su significado. Provee un conjunto deconceptos que permiten la evaluación del desempeño de los sistemasde transferencia de información, especialmente cuando laseñal está afectada de ruido.Teoría de la Señal y la Información(o teoría de la Comunicación)Teoría de la SeñalTeoría de la InformaciónModulación yMuestreoTeoría de laCodificaciónAnálisis EspectralDetección y EstimaciónCodificación de la FuenteCorrección y Detecciónde ErroresReconocimiento de PatronesCriptografíaFigura 1.11. Esquema de la Teoría de la ComunicaciónTodo esto conduce al estudio de los métodos de codificaciónde la información. Las técnicas de codificación poseen tresobjetivos fundamentales: el primero es incrementar la densidadde la señal (compactar la señal lo más posible) eliminando laredundancia inútil, esto se denomina codificación de fuente. Elsegundo objetivo es incrementar la confiabilidad de la señal, te-

20 Capítulo 1. Introducción a señalesniendo en cuenta las características con respecto al ruido. Estose puede lograr incluyendo alguna redundancia, inteligentementeestructurada para permitir la posterior detección y correcciónde los verdaderos errores, esto se denomina codificación de canal.Finalmente, el último objetivo de la codificación de la informaciónes tratar de asegurar la secreticidad de la comunicación(criptografía).Aunque se ha hecho mención a la teoría de la información,el enfoque que interesa en este libro es el de la teoría de la señal.1.5. Procesamiento de señalesComo ya se ha visto, la descripción matemática (o modelización)de la señal es el cometido de la Teoría de la Señal, yel procesamiento de la señal es la disciplina técnica que, basadaen los métodos de la teoría de la información y la señal, se encargade la elaboración o interpretación de señales que acarreaninformación, con la ayuda de la electrónica, la computación yfísica aplicada.Podemos ver que las relaciones del hombre con su ambientenatural, o los sistemas que el mismo construye, están caracterizadospor grandes niveles de intercambio de información. Laobservación (medición) de los fenómenos físicos o el diálogo (comunicación)entre los hombres, entre los hombres y las máquinaso entre máquinas, es hecho mediante señales (funciones deltiempo) o percepciones visuales (imágenes), cuya naturaleza esrealmente compleja y puede ser enmascarada por disturbios indeseables(ruido de fondo, efectos atmosféricos, interferencias,etc.).Las personas realizan complicados análisis de señales através de los sistemas neurosensoriales y extraen informaciónútil acerca de su entorno en forma prácticamente “transparente”para ellos. El sistema auditivo humano logra descifrar elmensaje “escondido” en los patrones de variación sonora produ-

1.5. Procesamiento de señales 21cidos por el aparato fonador. Entendemos el mensaje codificadoen el habla de manera asombrosamente “sencilla”, en forma casiindependiente de factores como la identidad del hablante o elruido de fondo. Por el contrario, los dispositivos artificiales quehan tratado de emular estos aspectos distan mucho de poseeractualmente estas capacidades. A continuación revisaremos losprocesamientos básicos que debemos perfeccionar para acercarnosmás a estas capacidades “naturales”.AnálisisInterpretación de laseñalG e n e r a c i ó nd e la s e ñ a lM odulaciónS í n te s isC o dific a c iónSS E ÑA LMedidasF iltr adoE x tr a c c i ón deI n f o rmaciónRegeneraciónD e t e cciónIdentificaciónFigura 1.12. Tipos de procesamiento de la señalEl extraer la información útil que se encuentra en estasseñales (mediante análisis, filtrado, regeneración, medición, detección,e identificación) y mostrar los resultados correspondientesen la forma apropiada para el hombre o la máquina es unode los objetivos principales del procesamiento de señales. En laFigura 1.12 se muestran los distintos tipos de procesamiento deuna señal.La generación de señales debe ser también considerada,

22 Capítulo 1. Introducción a señalespermitiendo el estudio del comportamiento físico del sistema(p. ej., respuesta al impulso), o la transmisión y almacenamiento(síntesis, modulación y traducción a frecuencias, y codificaciónpara reducir el efecto del ruido o la redundancia de información).Para medir una señal, y especialmente una del tipo aleatorio,se trata de estimar el valor de una variable característica,que está vinculada a la misma con un determinado nivel de confianza.Un ejemplo es la medición de la señal de variación de latemperatura corporal a nivel cutáneo.El filtrado es una función bien conocida, que consiste en eliminaro disminuir algunas componentes no deseadas de la señal.Un ejemplo típico en el área biomédica es el de la eliminacióndel ruido de línea de 50 Hz previo a la adquisición del ECG.La regeneración es la operación mediante la cual tratamosde retornar la señal a su forma inicial, después que ésta hayasoportado algún tipo de distorsión. Por ejemplo la deconvoluciónde una imagen “desenfocada”.Con un método de detección, tratamos de extraer una señalútil de un ruido de fondo de grandes dimensiones. La obtenciónde la señal de los denominados Potenciales Evocados podría encuadrarsedentro de este tipo de procesamiento. Algunas vecesqueremos recuperar la señal, otras simplemente saber si está presenteo no en el registro considerado. Las técnicas de correlaciónpueden emplearse con este fín. Mediante los denominados filtrosde correlación es posible detectar eventos de forma óptima, comoser los complejos QRS en el ECG o la presencia de un ecoen la señal del radar o del sonar.Mediante el análisis, se trata de aislar los componentes delsistema que tienen una forma compleja para tratar de entendermejor su naturaleza u origen. Debido a la importancia del análisisde señales dedicaremos la siguiente sección para ampliar estetópico.La identificación es frecuentemente un proceso complementario,que permite clasificar la señal observada. Las técnicas de

1.5. Procesamiento de señales 23correlación son también frecuentemente usadas con este fin. Podemoscomparar el canto de un ruiseñor con el de otro ruiseñor,debido a que la correlación es alta. Sin embargo este se correlacionadébilmente con el de una paloma. Para establecer lascomparaciones se deben “construir” previamente una serie deplantillas adecuadas.La síntesis es la operación opuesta al análisis, consiste encrear una señal con una forma apropiada mediante la combinación,por ejemplo, de un número de señales elementales. Esteproceso es en general menos complejo que el de análisis, ya quepuede verse como el problema directo de “armar” la señal en basea un conjunto de “partes”. Desde este punto de vista el análisisde una señal constituye precisamente el problema inverso quesuele ser más difícil de resolver. Como ejemplo se podría mencionarla síntesis del habla partiendo de modelos paramétricoso no paramétricos.El codificar una señal (además de su función de traduciruna señal analógica a un lenguaje digital) es frecuentemente usadopara minimizar los efectos del ruido, o tratar de conservarel ancho de banda o el volumen de memoria de una computadora,mediante la reducción de redundancia en una señal. Unejemplo es la compresión del ECG para su almacenamiento enun dispositivo Holter.La modulación y traducción a frecuencias son las formasprincipales de adaptar una señal a las características de unalínea de transmisión, de un filtro analizador, o de un medio deregistro. Como ejemplo se pueden mencionar las técnicas clásicaspara transmisión de señales de radio por medio de amplitud ofrecuencia modulada (AM o FM).1.5.1. Análisis de SeñalesLa palabra análisis proviene de la base griega analyo quesignifica “desatar”. Podemos definirla como: “distinción y se-

24 Capítulo 1. Introducción a señalesparación de las partes de un todo hasta llegar a conocer losprincipios o elementos de éste” 3 . Como ya dijimos, el análisisde una señal consiste en aislar aquellas componentes que poseenuna forma compleja para tratar de comprender mejor su naturalezau origen. En este contexto llamamos ruido a cualquierfenómeno que perturba la percepción o interpretación de unaseñal. Es decir que analizar una señal consiste en encontrar yaislar aquellas partes características o componentes ocultas quemejor permitan describirlas, minimizando los efectos del ruido.El análisis de fenómenos físicos posee elementos análogos,debido a que como hemos visto las señales constituyen manifestacionesdel mundo físico. Su aparición es bastante anterior aeste siglo, casi con el comienzo de la ciencia, y de hecho sentó lasbases para el desarrollo de las teorías que sustentan el análisisde señales. En este sentido podemos citar como ejemplo cercanoel análisis de la luz visible mediante un prisma, que permitedescomponerla en sus componentes fundamentales. Estas componentesestan “ocultas” en la luz blanca y se manifiestan en suinteracción con los objetos del mundo físico. Este fenómeno fuedescubierto y estudiado por Newton como uno de sus primerosaportes a la óptica en 1670. Newton diseñó y construyó el primertelescopio reflector (ver Figura 1.13) y concluyó que la luzblanca no era una única entidad después de observar la aberracióncromática de su telescopio y de realizar el experimento delprisma en donde pudo observar el espectro (término que provienede spectrum, o fantasma) de los componentes individuales dela luz blanca y recomponerlo con un segundo prisma.Aunque Newton no reconoció el concepto de frecuencia elparecido de este espectro con el de Fourier no es casual. Fourierconocía los trabajos de Newton y desarrolló las bases de suanálisis cuando estudiaba la conducción del calor en los cuerpossólidos. En 1807 Fourier difundió el primer esbozo de su Teoríaanalítica del calor, en la cual demostró que la conducción del3 Diccionario General de la Lengua Española Vox

1.5. Procesamiento de señales 25Figura 1.13. Esquema del telescopio reflector de Newton (reproducidode su artículo original de 1672).calor en cuerpos sólidos se podía expresar como una suma infinitade términos trigonométricos cada vez más pequeños. Estostérminos constituían las “componentes ocultas” que habíapodido descubrir en este fenómeno. Claramente Fourier habíaencontrado el “prisma” adecuado para analizar a los fenómenosde conducción del calor y como resultado había desarrollado lateoría del análisis armónico para descomponer funciones periódicasarbitrarias en términos de funciones sinusoidales. A pesar delaporte tremendo que constituiría su teoría fue fuertemente criticadapor notables matemáticos de la época como por ejemploLaplace. Por su importancia nosotros dedicaremos un capítulocompleto al análisis de Fourier.Como ejemplo de aplicación de las ideas de análisis a señalespodemos retomar el caso de la señal de voz. Los primeros intentospara aplicar el análisis de Fourier a esta fueron realizadoscon dispositivos mecánicos como los basados en cuerdas, resonadoreso filtros. Estos dispositivos realizaban una descomposiciónde los sonidos análoga a la propuesta por Fourier peromediante principios mecánicos. De hecho pueden también establecerseanalogías con el funcionamiento de la cóclea dentronuestro oído, donde la membrana basilar constituye un complejo“analizador espectral”. También se utilizaron dispositivosde tipo estroboscópico. Con el advenimiento de los medios electrónicos“modernos” comenzaron a publicarse algunos trabajos

26 Capítulo 1. Introducción a señalesFigura 1.14. Descomposición de la /A/ como en “father” en oscilagramasobtenidos por medio de filtros dispuestos en octavas (reproducidodel artículo original de Trendelenburg de 1935).que intentaron evidenciar las características y componentes fundamentalesde esta señal. Por ejemplo en 1935, con dispositivososcilográficos bastante sencillos y un banco de filtros analógicosdispuestos en octavas, se logró obtener los resultados de la figura1.14 para una vocal del inglés. Por la naturaleza cuasiperiódicade las vocales pronunciadas en forma aislada, eran la que másfácilmente se ajustaban a un análisis de este tipo.La aparición de las computadoras y la tecnología digitalpermite volver a aplicar el análisis de Fourier a la señal delhabla. La digitalización de las señales de sonido permite “introducirlas”en la computadora para realizar cálculos con ellas. Un

1.6. Operaciones elementales con señales 27problema inicial era que los cálculos para obtener la transformadade Discreta de Fourier de una señal como esta demandabanmucho tiempo. En 1965 Cooley y Tukey publican un trabajoacerca de un algoritmo para el cálculo rápido de la TransformadaDiscreta de Fourier mediante una computadora. Esto dalugar al resurgimiento de los estudios basados en espectros paraaprovechar la flexibilidad y potencialidades de esta nueva herramienta.Como vemos el análisis de Fourier ocupa un papel importantísimodentro de las técnicas convencionales de análisis deseñales, especialmente para aquellas señales derivadas de sistemaslineales e invariantes en el tiempo, es por ello que dedicaremosel Capítulo 3 a su estudio. Recientemente han surgido unaserie de limitaciones de este tipo de análisis, por lo que se handedicado esfuerzos importantes para desarrollar técnicas alternativas.Sin embargo los fundamentos de estas nuevas técnicasquedan fuera del alcance de la presente obra.1.6. Operaciones elementales con señalesPara la realización de los procesamientos antes mencionadosse requieren diversas operaciones sobre las señales en cuestión.En esta sección discutiremos aquellas operaciones elementalesque permiten modificar a las señales. Estas operacionespueden clasificarse en unarias y binarias.1.6.1. Operaciones unariasUna operación unaria involucra a una única señal, mientrasque las binarias requieren dos señales. Algunas de las operacionesunarias son las transformaciones de rango, las transformacionesde dominio, muestreo e interpolación.

28 Capítulo 1. Introducción a señalesTransformaciones de rangoLas transformaciones de rango, las cuales modifican el rangode las señales, son definidas como:x nuevo (t) = ρ(x viejo (t)) = (ρ ◦ x viejo ) (t)Entre este tipo de transformaciones, se pueden nombrar lasoperaciones de amplificación, rectificación y cuantización. Unejemplo es la cuantificación uniforme, la cual se define como:⎧⎨ 0 x < 0ρ(x) = H int(x/H) 0 ≤ x < (N − 1)H⎩(N − 1)H x ≥ (N − 1)Hdonde int(·), denota la parte entera del argumento.Otro ejemplo es la rectificación de onda completa, la cualse define como:ρ(x) = |x|Transformaciones de dominoLas transformaciones de dominio, que modifican la variableindependiente, son definidas como:x nuevo (t) = x viejo (τ −1 (t))Entre este tipo de transformaciones, se pueden nombrar lasoperaciones de expansión, compresión, reversión, traslación, lascuales tienen la forma:si:τ −1 (t) = αtα > 1 ⇒ compresión,

1.6. Operaciones elementales con señales 290 < α < 1 ⇒ expansión,α = −1 ⇒ reversión.Otro ejemplo de las transformaciones de dominio es la traslación,la cual se define como:donde θ es una constante real.τ −1 (t) = t + θMuestreoEsta operación pasa la variable independiente de un dominiocontinuo a otro discreto. El muestreo puede ser uniforme(cuando el dominio es discretizado en forma uniforme) o no uniforme.La siguiente figura esquematiza dicha operación.x(t)x* (t)InterpolaciónLa interpolación consiste en pasar una señal cuya variableindependiente pertenece a un dominio discreto, a una señal cuyavariable independiente pertenece a un dominio continuo. Estapuede ser expresada como:x(t) = ∑ nx ∗ (nT )I( t − nTT)donde I es la función interpolante. Existen varias funciones interpolantesposibles, entre las cuales podemos nombrar:

30 Capítulo 1. Introducción a señalesFunción de interpolación escalón:{ 1 0 ≤ t < 1I escalon (t) =0 en otro casoFunción de interpolación lineal:{1 − |t| |t| < 1I lineal (t) =0 0 en otro casoFunción de interpolación sinc: I sinc (t) = sinc(π.t) donde:{ sin(t)sinc(t) =t ≠ 0t1 t = 01.6.2. Operaciones binariasLas operaciones binarias se realizan punto a punto entre dosseñales. Entre ellas se puede nombrar a la adición, sustracción,multiplicación y a la división.1.7. Preguntas1. ¿Cómo intervienen los criterios prácticos y los errores demedición y cómputo en la clasificación fenomenológica deseñales reales?2. Clasifique las siguientes señales según todos los criteriosque conoce:a) la velocidad del viento en Mabuji-Maye (Zaire),b) y(t) = sin(2π100t); t, y ∈ R,c) la intensidad de luz del pixel (34,178) cuando se proyectala película “El Nombre de la Rosa” (versióncinematográfica del famoso libro de Umberto Eco),

1.7. Preguntas 31d) la corriente que circula por el cable del teclado de sucomputadora,e) el delta de Dirac, definido como:f )δ[n] ={ 1 si n = 00 ∀ n ≠ 0}; n ∈ Z, −∞ < n < ∞.la variación anual de habitantes de origen asiático enBuenos Aires,g) la altura de las aguas en la costa del río Genil (España),h) el consumo de combustible por minuto que requiereun F1 durante el Gran Premio de Mónaco,i) la suma de todas las emisiones con contenido futbolísticoen Radio Mitre,j )las ganancias mensuales y la cantidad de fallas en losproductos de Microsoft en los últimos 10 años,k) el tango Adiós Nonino (Astor Piazzola), interpretadopor el autor y su Quinteto Tango Nuevo, en Viena(1983),l) la cantidad de veces que se abre la puerta del aulapor día a lo largo de un año,m) la cantidad de letras “a” por cada página de “ElAleph” (libro de J. L. Borges),n) el contenido temático de un canal de televisión porcable,ñ) la cantidad de moléculas 2 Fe(OH) 3 que se formanpor día,o) el monto en dólares de la deuda externa de Argentinaen los últimos 20 años.

32 Capítulo 1. Introducción a señales3. Realice un lista de las señales que pueden medirse enel cuerpo humano y clasifíquelas según los criterios morfológico,fenomenológico y dimensional.4. ¿Por que razón se necesitan muchas realizaciones de unaseñal aleatoria para poder comprobar experimentalmentesu estacionariedad?5. Describa el proceso de verificación de la ergodicidad de unaseñal aleatoria asumiendo que el promedio y la desviaciónestándar son medidas suficientes para su caracterizaciónestadística.6. Enuncie las hipótesis que se han hecho sobre la señal enel punto anterior y generalice la prueba de ergodicidadmediante el uso de medidas aptas para el caso más general.7. ¿Qué beneficio práctico brinda poder asumir que una determinadaseñal es ergódica?8. ¿Por qué decimos que el random de la computadora es“pseudo” aleatorio? ¿Puede una computadora digital generaruna señal realmente aleatoria?9. Analice el proceso de discretización en tiempo de un períodode la señal x(t) = cos(2π10t). Incremente el período demuestreo hasta no poder reconstruir la señal continua apartir de la señal de tiempo discreto.10. Si posee una señal con la forma x(t) = sin(2π100t) + r(t),donde r(t) es una señal aleatoria con distribución uniformeen [−0,1 . . . 0,1], ¿cómo procedería para calcular la relaciónseñal ruido?1.8. Trabajos prácticosEjercicio 1: Genere y grafique las siguientes señales:

1.8. Trabajos prácticos 331. senoidal2. sync3. onda cuadrada4. onda triangular5. delta de Dirac6. ruido aleatorioEjercicio 2: Realice las siguientes operaciones básicas sobreuna señal senoidal:1. expansión2. compresión3. inversión4. rectificación5. cuantización en 8 niveles6. traslaciónEjercicio 3: Discretice una señal senoidal con frecuencia5 Hz. y duración 1 seg. Utilice las siguientes frecuenciasde muestreo: 1000, 100, 25, 10, 4, 1 y 0.5 Hz.Grafique y analice el resultado en cada uno de loscasos.Ejercicio 4: Discretice una señal senoidal con frecuencia4000 Hz. y duración 2 seg., utilizando una frecuenciade muestreo de 129 Hz. Grafique el resultado y estimela frecuencia de la onda sinusoidal que se observaen la figura. Analice y obtenga conclusiones.Ejercicio 5: Discretice una señal arbitraria con frecuenciade muestreo de 10 Hz y sobremuestreela mediantedistintos tipos de interpoladores a 4 veces la frecuenciade muestreo.

34 Capítulo 1. Introducción a señalesEjercicio 6: Genere una señal compleja del tiempo y grafíquelaen 3 dimensiones.Ejercicio 7: (∗) Genere una señal aleatoria con distribucióngaussiana y verifique su ergodicidad.Ejercicio 8: Lea dos señales sonoras desde archivos (p.ej., en formato WAV) y luego súmelas 4 . Guarde elresultado en un archivo del mismo formato y oigalas tres señales.Ejercicio 9: Utilice una señal sonora conocida y súmeleun ruido aleatorio. Oiga el resultado y compare conla señal original.Ejercicio 10: Calcule la relación señal ruido de la mezcladel ejercicio anterior y vuelva a “ensuciar” la señalcon relación señal ruido de 0 dB y 100 dB. Grafique,oiga y compare los resultados.Ejercicio 11: Utilice una señal sonora conocida y multipliquecada uno de sus elementos por una constante.Oiga el resultado y compare con la señal original.Ejercicio 12: Utilice una señal sonora conocida y multipliquecada uno de sus elementos por una rectadecreciente que tenga valor 1 en el primer elementoy 0 en el último. Oiga el resultado y compare con laseñal original.4 Resultaría interesante que usted grabara la voz de dos personas pronunciandouna frase corta. Puede hacerlo con un micrófono y la Grabadorade Sonidos (en Windows) o el comando rec en Linux.

Bibliografía 35Bibliografía[1] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. H. Nawab, y G. MataHernández. Señales y sistemas. Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 2a. edición (español), 1998.[2] A.V. Oppenheim y R. Shaffer. Digital Signal Processing.Pearson Higher Education, 1986.[3] J.G. Proakis y D.G. Manolakis. Tratamiento digital deseñales. Prentice Hall, 1a. edición (español), 1998.[4] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.[5] A. Papoulis. Sistemas y Circuitos Digitales y Analógicos.Marcombo, 1978.[6] H. Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. Cia. Ed.Continental, México, 1987.[7] N.K. Sinha. Linear systems. John Wiley, New York, 1991.[8] L.E. Franks. Teoría de la señal. Reverté, Barcelona, 1975.[9] R.A. Gabel y R.A. Roberts. Señales y sistemas lineales.Ed. Limusa S.A., México, 1975.[10] E. Brigham. Fast Fourier Transform and Its Applications.Prentice Hall, 1a. edición, 1988.[11] I. Newton. New theory about light and colors. PhilosophicalTransactions of the Royal Society, 80(7):3075–3087, 1672.[12] F. Trendelenburg. On the physics of speech sounds. JASA,7(1):142–147, 1935.[13] J. W. Cooley and J. W. Tukey. An algorithm for machinecalculation of complex Fourier series. Mathematics ofComputation, 19(90):297–301, April 1965.

36 Capítulo 1. Introducción a señales

Capítulo 2Espacio de señalesDiego Milone, Leandro Di PersiaTemas a tratar• Señales y vectores.• La relación entre el álgebra lineal y las señales.• Espacios de señales y espacios vectoriales.• Bases y transformaciones lineales.Objetivos• Ver a las señales como elementos de un espacio vectorial.• Reinterpretar conceptos básicos del álgebra lineal en elcontexto del procesamiento de señales.• Valorar la importancia del producto interno en el procesamientode señales.• Presentar los fundamentos generales de las transformadaslineales más usadas.• Aplicar las herramientas en estudio en problemas sencillos.37

38 Capítulo 2. Espacio de señales2.1. IntroducciónLa mayoría de las personas están acostumbradas a extraerinformación con gran sensibilidad de señales representadas comouna colección complicada de puntos en un marco simple, comoes el espacio bidimensional de las imágenes. En esta unidad incorporaremosa las señales en un marco más estructurado: elespacio vectorial. Considerando a las señales como vectores deun espacio n-dimensional, podremos aprovechar todas las propiedadesde la estructura algebraica de los espacios vectorialese interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectivaconceptual muy sencilla.2.1.1. Desarrollo intuitivoSuponga que tomamos mediciones de temperatura a intervalosde 1 minuto, simplemente con un termómetro. Al cabo dedos minutos habremos obtenido dos valores de temperatura, porejemplo, 2 y 3 grados. Estamos acostumbrados a representar estosvalores en una gráfica en donde el eje de las abscisas indicael tiempo y el de las ordenadas la magnitud de la temperatura.TT 2= 3T 1= 212n

2.1. Introducción 39Sin embargo, podemos también representar estos valorescomo un vector en un espacio de dos dimensiones:T 223T 1Así, vemos que esta señal de dos muestras puede ser representadamediante un vector de dos componentes reales, es decir,un vector en R 2 .Un minuto después habremos obtenido una nueva medición,supongamos 1 grado, por lo que nuestra señal ya tendrátres muestras y podemos representarla con un vector entres dimensiones como el de la Figura 2.1.Siguiendo con esta idea, vemos que al cabo de una horatendremos una señal de 60 muestras, que podría ser interpretadacomo un vector en R 60 (pero no podremos representarlográficamente).¿Es posible aplicar estas ideas a señales continuas? ¿Cómorepresentaría la señal s(t) = sin(ωt)? ¿En qué dimensión estaríael vector?Al tratarse de una señal continua, en cualquier intervaloque consideremos habrá infinitos valores. Así podemos ver a lasseñales continuas como vectores en R ∞ , es decir, vectores coninfinitos elementos o muestras.

40 Capítulo 2. Espacio de señalesT 2231T 1T 3Figura 2.1. Una señal de 3 muestras en R 3

2.2. Señales, vectores y álgebra lineal 41Viendo a las señales como vectores podemos aprovecharmuchas herramientas del álgebra lineal para entender el procesamientode señales. A continuación haremos un repaso deciertos conceptos de álgebra lineal y estudiaremos su aplicacióna la Teoría de Señales.2.2. Señales, vectores y álgebra linealDurante los cursos de álgebra acostumbramos tratar convectores. Definíamos a estos objetos como colecciones o arreglosde datos que forman una entidad independiente. Solemos asociarlos vectores con la representación gráfica de puntos en el espaciobidimensional y tridimensional. Como vimos anteriormente,estas ideas pueden aplicarse a las señales y ésta interpretacióngeométrica nos brindará un enfoque simple para comprenderprocesos complicados en señales.En forma general, podemos decir que una señal en el espacioN-dimensional es un vector [x 1 , x 2 , . . . , x N ], definido comouna N-upla ordenada de números. Para estos vectores utilizamosla notación:x = [x n ] ; n ∈ N; x n ∈ R; x ∈ R N (2.1)De forma similar, para el caso de señales continuas utilizamosla notación:2.2.1. Normasx = [x(t)] ; t ∈ R; x(t) ∈ R; x ∈ R ∞ (2.2)Generalmente es útil tener alguna medida del tamaño delas señales. La norma provee este tipo de medida. La norma deun vector x es un número real positivo que toma el valor 0 sólocuando x = 0. Existen muchas normas y cada una define un

42 Capítulo 2. Espacio de señalestipo especial de medida para un vector. De acuerdo al tipo deproblemas que se estén tratando, algunas serán mas apropiadasque otras. Una norma muy utilizada es la norma-p, definidacomo:⎧⎪⎨‖x‖ p=⎪⎩( N∑) 1/p|x n | p , 1 ≤ p < ∞n=1sup |x n | , p = ∞n∈[1,N]Para el caso de señales continuas se define esta norma según:⎧⎪⎨‖x‖ p=⎪⎩(∞∫−∞supt∈R|x(t)| p dt) 1/p, 1 ≤ p < ∞|x(t)| ,p = ∞Si p = 1, tenemos la norma 1, también conocida comoacción de la señal:∑‖x‖ 1= N |x n | ó ‖x‖ 1=n=1Si p = 2, tenemos la norma 2:∞∫−∞|x(t)| dt‖x‖ 2=√ ( N∑)|x n | 2n=1()∞∫ó ‖x‖ 2= √ |x(t)| 2 dt−∞La norma 2 da una idea del tamaño del objeto en un sentidofísico, específicamente en el caso de vectores se trata de lalongitud de éstos. Esta norma está directamente relacionada conla energía de la señal, que se define como:E(x) = ‖x‖ 2 2

2.2. Señales, vectores y álgebra lineal 43Si p = ∞, tenemos la norma infinito:‖x‖ ∞=supn∈[1,N]|x n | ó ‖x‖ ∞= sup |x(t)|t∈Rque en el análisis de señales corresponde a la amplitud de laseñal:A(x) = ‖x‖ ∞En la Figura 2.2 se pueden observar la energía y la amplitudde una señal en R 2 .x 2E(x) 1/2A(x)x 1Figura 2.2. Representación gráfica de la energía y amplitud de unaseñal.En la Figura 2.3 se muestra una representación gráfica dela norma-p de señales en R 2 para diferentes valores de p.Existen otras medidas de interés para caracterizar las señalesy, en algunos casos, estas medidas están directamente relacionadascon la norma. Cuando la energía de una señal no es finita,es útil definir su potencia o valor cuadrático medio como:

44 Capítulo 2. Espacio de señalesnorma−10norma−3norma−2norma−1norma−0.5norma−0.1Figura 2.3. Varios ejemplos de la norma-p para señales en R 2 . En elcentro de cada gráfica las señales tienen ambas componentes nulas.

2.2. Señales, vectores y álgebra lineal 45P (x) = límN→∞12NN∑n=−N|x n | 2 ó P (x) = límT →∞12TT∫−T|x(t)| 2 dtOtra medida muy útil es la raiz del valor cuadrático medio(RMS, del inglés root mean square), definida como:RMS(x) = √ P (x)Por último, el valor medio de una señal se define como:m(x) = límN→∞12NN∑n=−N2.2.2. Producto internox n ó m(x) = límT →∞12TT∫−Tx(t)dtDados dos vectores x, y ∈ R N , se define su producto interno〈x, y〉 ∈ R como:〈x, y〉 = x 1 y ∗ 1 + x 2 y ∗ 2 + . . . + x N y ∗ N =N∑x i yi∗donde el ∗ representa el conjugado en caso de tratarse de valorescomplejos. En la bibliografía se pueden encontrar otrasnotaciones como x · y o también como un producto matricialxy T . Cuando tratamos con señales continuas el producto internoqueda definido como:〈x, y〉 =∫ ∞−∞x(t)y ∗ (t)dtDe esta ecuación podemos ver que el producto interno deun vector consigo mismo es igual al cuadrado de su norma 2 (esdecir la energía de la señal):‖a‖ 2 2= 〈a, a〉 = a · ai=1

46 Capítulo 2. Espacio de señalesEl producto interno de vectores tiene una clara interpretacióngeométrica relacionada con la proyección o componente deun vector sobre otro.Definimos la proyección de x sobre y como:proy y (x) = ‖x‖ 2cos(φ)donde φ es el ángulo que forman los vectores. Otra forma decalcular el producto interno es:〈x, y〉 = ‖x‖ 2‖y‖ 2cos(φ)y así obtenemos:proy y (x) =〈x, y〉‖y‖ 2Podemos ver que el producto interno nos da una idea delaporte de una señal en otra. Para independizarnos de la energíade la señal con la que estamos comparando, dividimos el productointerno por la norma 2 de ésta (en un espacio euclídeo).Esta interpretación del producto interno como proyección deuna señal en otra puede verse gráficamente en la Figura 2.4.En el caso particular de que la señal sobre la que estamosproyectando tenga norma 2 unitaria, el producto interno es directamenteuna medida del “parecido” entre ambas señales. Enla Figura 2.5 se muestran tres casos importantes para vectoresen dos dimensiones y su equivalente en señales continuas.Una vez aclarados estos conceptos básicos sobre vectoresy su interpretación en el ámbito de las señales, pasaremos aformalizar lo relacionado con espacios vectoriales.

2.3. Espacios vectoriales y señales 47xyproy yxFigura 2.4. Proyección de la señal x en la dirección de y.2.3. Espacios vectoriales y señales2.3.1. Conjunto de señalesConsideremos un conjunto de señales S. Para determinarsi una señal pertenece al conjunto S utilizamos una propiedad oprueba P . Un elemento x pertenecerá a S si cumple con esta propiedad,lo que podemos expresar como: S = {x/P }. La elecciónde P debe necesariamente adaptarse al problema en cuestión. Acontinuación se darán algunos ejemplos de conjuntos de señalesque se encuentran frecuentemente en los problemas de análisisde la señal.Señales sinusoidales:

48 Capítulo 2. Espacio de señalesIgualesVectores Señales Produto Productointerno > 0Ortogonales = 0Opuestas < 0Figura 2.5. El producto interno y su significado en teoría de señales.

2.3. Espacios vectoriales y señales 49Ss = {x/x(t) = A sin(2πft + θ)}donde t, A, f, θ ∈ R, t representa al tiempo, A a la amplitud, fa la frecuencia y θ a la fase. De esta forma Ss contiene todaslas posibles sinusoides, contemplando todos los valores posiblesde amplitud, fase y frecuencia.Señales periódicas:Sp = {x/x(t) = x(t + T )}donde t, T ∈ R, t representa al tiempo, y T es el período de laseñal.Señales acotadas en amplitud:Sa = {x/ ‖x‖ ∞≤ K}donde K ∈ R + es una constante. Este es el conjunto de señalescuyos valores instantáneos están acotados en magnitud por K.Señales de energía limitada:}Se ={x/ ‖x‖ 2 2 ≤ Kdonde K ∈ R + es una constante. Este es el conjunto de señalescon energía menor o igual a K.2.3.2. Espacios de señalesHabiendo reunido en un conjunto todas las señales que presentanalguna propiedad común, estamos en condiciones de examinarlas características distintivas de los elementos dentro delconjunto. Una señal en particular sólo interesa en relación conlas demás señales del conjunto. Por ejemplo, podemos preguntaracerca de una señal respecto a las demás: ¿tiene más energía?,¿dura más?, ¿fluctúa más rápidamente?, ¿tiene más ceros?, ¿tieneun valor de pico mayor?, etc. Un método general para caracterizarla diferencia entre dos elementos de un conjunto consiste

50 Capítulo 2. Espacio de señalesen asignar a cada par de elementos un número real positivo. Estese interpreta como distancia entre los elementos y el propioconjunto comienza a tomar un carácter geométrico. Para definiruna distancia se necesita un funcional d : {x, y} → R que se apliquea todos los pares de elementos del conjunto. Dicho funcionalse denomina métrica si cumple las siguientes propiedades:i) d(x, y) ≥ 0 ∧ d(x, y) = 0 ⇔ x = y,ii) d(x, y) = d(y, x)(simetría),iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)(desigualdad del triángulo).A un conjunto S al que le hemos asociado una métricaparticular d le llamamos espacio métrico. En el caso de que elconjunto S contenga señales, denominamos al par (S, d) espaciode señales. Cabe destacar que estas definiciones no implicanexigirle ninguna propiedad extra a los elementos del conjunto,simplemente se define la manera de medir las distancias entrelos elementos. Por ejemplo, podemos definir el espacio métrico(R, d) a partir del conjunto R de números reales y una métricad(x, y) = |x − y| ; x, y ∈ R. Esta es la métrica usual sobre R.Debe notarse que dos métricas diferentes, definidas sobreel mismo conjunto de señales, forman dos espacios de señalesdiferentes. Si al conjunto Ss de señales sinusoidales, le asociamosla métrica definida por la norma 1:d a (x, y) = ‖x − y‖ 1obtenemos el espacio de señales (Ss, d a ). Si al mismo conjuntoSs le asociamos otra métrica definida por la norma 2:d b (x, y) = ‖x − y‖ 2obtenemos otro espacio de señales diferente (Ss, d b ).

2.3. Espacios vectoriales y señales 512.3.3. Espacios vectorialesUna vez que hemos definido un espacio de señales, es decir,un conjunto particular de señales con una métrica asociada, estamosinteresados en manipularlo, para lo cual necesitamos unaestructura algebraica simple. Dicha estructura la proporcionaun espacio vectorial, el cual se define a continuación.Un espacio vectorial S es un cuadruplete (S, K, +, ·) queposee un conjunto de elementos llamados vectores, un espacio deescalares, una operación de adición y una operación de productopor un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:i. La adición es cerrada:x + y ∈ S; ∀ x, y ∈ Sii.iii.La adición es conmutativa:x + y = y + x; ∀ x, y ∈ SLa adición es asociativa:x + (y + z) = (x + y) + z;∀ x, y, z ∈ Siv.Existe un único elemento 0 ∈ S que es neutro respecto ala adición:x + 0 = x; ∀ x ∈ Sv. El producto por un escalar es cerrado:αx ∈ S; ∀ x ∈ S ∧ ∀ α ∈ Kvi.vii.viii.El producto por un escalar es asociativo:α(βx) = (αβ)x; ∀ x ∈ S ∧ ∀ α, β ∈ KEl producto por un escalar es distributivo según:α(x + y) = αx + αy; ∀ x, y ∈ S ∧ ∀ α ∈ KEl producto por un escalar es distributivo según:(α + β)x = αx + βx; ∀ x ∈ S ∧ ∀ α, β ∈ K

52 Capítulo 2. Espacio de señalesix.Existe un único elemento 1 ∈ K que es neutro respecto alproducto por un escalar:1x = x; ∀ x ∈ SPara que un conjunto de vectores dado constituya un espaciovectorial, según esta definición deben cumplirse todas laspropiedades anteriores. Basta con que una sola no se cumplapara que el conjunto no constituya un espacio vectorial. Si bienen esta definición nos referimos a espacios vectoriales como conjuntosde vectores sin importar su naturaleza, en el contextoque nos interesa nos centraremos en los vectores como señalesdiscretas o continuas según se definieron en las ecuaciones (2.1)y (2.2). En este caso, el espacio de escalares es generalmenteK = C. Además, la operación de adición se define como:x + y = [x i + y i ] i∈[1,N]⊂Nó x + y = [x(t) + y(t)] t∈Ry el producto por un escalar α ∈ K queda definido según:αx = [αx i ] i∈[1,N]⊂Nó αx = [αx(t)] t∈RLa ventaja de demostrar que un conjunto de señales es unespacio vectorial radica en la existencia de toda una serie depropiedades que se cumplen para cualquier espacio vectorial,sin importar su naturaleza. Es decir, una vez que demostramosque un conjunto de señales es un espacio vectorial, podemos darpor sentadas muchas propiedades y aplicarlas sin necesidad dedemostrarlas.SubespaciosCuando sabemos que un conjunto de señales constituye unespacio vectorial V, podemos demostrar que un subconjunto novacío de éstas también constituye un espacio vectorial V 0 , simplementeverificando que este subconjunto sea cerrado ante la

2.3. Espacios vectoriales y señales 53adición y el producto por un escalar definidos en V. A este subconjuntode señales, que a su vez es un espacio vectorial, se lodenomina subespacio vectorial.Por ejemplo, sea el conjunto de las señales senoidales defrecuencia fija f = 5 Hz:Ss 5 = {x/x(t) = A sin(2π5t + θ)}donde t, A, θ ∈ R, t representa al tiempo, A a la amplitud y θ ala fase. Ss 5 junto con las operaciones de suma y multiplicaciónpor un escalar constituye un espacio vectorial Ss 5 . Ahora podemosdefinir el subconjunto de las señales sinusoidales de faseconstante θ = 2 radianes:Ss 52 = {x/x(t) = A sin(2π5t + 2)}el cual claramente es cerrado frente a la adición y a la multiplicaciónpor un escalar, lo que demuestra que es un subespaciovectorial de Ss 5 .Espacios normadosDados un espacio vectorial y una definición de norma, sedice que éste es un espacio normado si la norma es finita paratodos sus elementos. Basándonos en la definición de norma-p,podemos definir un espacio normado en base al conjunto:{x/‖x‖ p < +∞}cuando se trata de señales discretas se utiliza la notación l p (R)y cuando las señales son continuas L p (R).En el caso particular de que utilicemos la norma 1 quedadefinido el espacio de las señales absolutamente integrablesL 1 (R). Cuando se utiliza la norma 2 se define el espacio de lasseñales cuadrado integrables o de energía finita L 2 (R). De formasimilar, estos ejemplos son aplicables a las señales discretas enl 1 (R) y l 2 (R).

54 Capítulo 2. Espacio de señales2.4. Bases y transformaciones2.4.1. Dependencia lineal y conjuntos generadoresDado un conjunto de N vectores X 0 = {x i }, se llama combinaciónlineal de los vectores x i a una expresión de la forma:x =N∑α i x ii=1donde los α i son escalares.Se dice que un vector x es linealmente dependiente delconjunto de vectores X 0 si y solo si se puede escribir a x comouna combinación lineal de los vectores x i . En caso contrario sedice que el vector x es linealmente independiente del conjuntode vectores X 0 .Al variar los coeficientes α i , es decir, al generar todas lascombinaciones lineales posibles de los x i , el resultado es un conjuntoX de nuevos vectores x j que a su vez heredan las propiedadesde los x i que los generaron, es decir, el nuevo conjunto Xconstituye a su vez un espacio vectorial que denominaremos X .Se dice que el conjunto X 0 es un conjunto generador del espacioX , si para todo vector x ∈ X existe el conjunto de escalaresA = {α i } tales que x se pueda expresar como una combinaciónlineal de los elementos de X 0 .Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independientesi la relaciónN∑α i x i = 0i=1sólo puede satisfacerse siendo nulos todos los escalares α i . Dichode otro modo, un conjunto es linealmente independiente si nin-

2.4. Bases y transformaciones 55guno de sus vectores puede expresarse como combinación linealde los demás vectores del mismo conjunto.2.4.2. BasesDado un espacio vectorial X , se dice que el conjunto devectores X 0 constituyen una base de X si X 0 es linealmenteindependiente y genera a X . Es decir, para que X 0 sea una basedel espacio vectorial, cualquier vector perteneciente a X debepoder escribirse como una combinación lineal de los vectoresde X 0 y además, ninguno de los vectores de X 0 debe poderescribirse como una combinación lineal de los demás.Se llama dimensión D de un espacio vectorial X al númerode vectores que tiene una base de dicho espacio. Se puede demostrarque cualquier subconjunto de N > D vectores de X ,será linealmente dependiente. Cuando hablamos de señales nosinteresa especialmente el espacio R N y un resultado útil en estecaso es que todo conjunto de N vectores linealmente independientesen R N es una base para R N . Dado que todas las basesde un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores, todaslas bases para generar señales arbitrarias de N elementosdeberán tener N señales de N elementos cada una.2.4.3. Ortogonalidad y ortonormalidadSe dice que un conjunto X 0 es ortogonal si se verifica quepara todos sus elementos:〈x i , x j 〉 = 0 ∀i ≠ j y〈x i , x j 〉 = k ∀i = jdonde k es una constante escalar distinta de cero. En particular,si la constante k = 1, se dice que el conjunto es ortonormal.Si X 0 es además una base para espacio vectorial X , estabase posee la ventaja de que cuando se quiere expresar un vec-

56 Capítulo 2. Espacio de señalestor como una combinación lineal de los elementos de la base,los coeficientes α i se puede obtener simplemente mediante elproducto interno entre el vector y cada uno de los elementosde la base. Por ejemplo, si queremos expresar x como una decombinación lineal de la base ortonormal en R 3 formada porX 0 = {x 1 , x 2 , x 3 }:x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3Si quisiéramos obtener α 1 , se puede hacer el producto internoa ambos lados por x 1 :〈x, x 1 〉 = α 1 〈x 1 , x 1 〉 + α 2 〈x 2 , x 1 〉 + α 3 〈x 3 , x 1 〉Pero por ser una base ortogonal 〈x 2 , x 1 〉 = 〈x 3 , x 1 〉 = 0 ypor ser ortonormal 〈x 1 , x 1 〉 = 1. De esta forma se puede obtenerα 1 simplemente mediante la proyección α 1 = 〈x, x 1 〉. Es decir,para cualquier i tenemos:α i = 〈x, x i 〉 = ∑ nx n x in (2.3)Es decir, cada coeficiente es una medida del parecido entreel vector y el elemento correspondiente de la base. Como vimosantes, conceptualmente α i = 〈x, x i 〉 es la componente de la señalx en x i .Para hacer una extensión a señales continuas, suponga quese quiere representar la señal x(t) con una combinación lineal delconjunto ortogonal de señales X 0 = {x 1 (t), x 2 (t), . . . , x N (t)}:x(t) ≈ α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) + · · · + α N x N (t)De forma similar al ejemplo anterior, haciendo el productointerno a ambos lados con una de las señales del conjunto:

2.4. Bases y transformaciones 57∫∫∫x(t)x i (t)dt = α 1 x 1 (t)x i (t)dt + α 2 x 2 (t)x i (t)dt + · · · +∫∫+α i x i (t)x i (t)dt + · · · + α N x N (t)x i (t)dtPor ser X 0 un conjunto ortogonal se cumple ∫ x i (t)x j (t)dt =0 ∀i ≠ j y así se puede obtener:α i =∫x(t)xi (t)dt∫xi (t)x i (t)dt = 〈x, x i〉〈x i , x i 〉Si además el conjunto es ortonormal:∫α i = 〈x, x i 〉 = x(t)x i (t)dt (2.4)2.4.4. Aproximación de señalesQueremos aproximar una señal y ∈ R M mediante una combinaciónlineal de los elementos del conjunto ortogonal X 0 ={x 1 , . . . , x k , . . . , x N }. En esta aproximación se desea encontrarlos α k de forma que el error entre la combinación lineal y laseñal sea mínimo. Para realizar esta minimización es necesariodefinir un criterio para medir el error. Una forma intuitiva demedir ese error es el cuadrado de la longitud del vector diferenciaentre la señal y su aproximación. Esta medida del errortambién se conoce como error cuadrático total:∥ ∥ ∥∥∥∥ N∑ ∥∥∥∥2 () 2M∑ N∑ɛ = ‖e‖ 2 2 = ‖y − ỹ‖2 2 = y − α i x i = y j − α i x iji=12j=1i=1Para encontrar el mínimo es necesario hacer ∇ α ɛ = 0:

58 Capítulo 2. Espacio de señalesM∑j=1 i=10 = ∂ɛ∂α k0 =∂ M ∑j=1j=1(y j − N ∑i=1∂α k(M∑ N∑0 = 2 y j −j=1i=1α i x ij) 2()∑ ∂ y j − N i=1α i x ij()M∑ N∑0 = −2 y j − α i x ij x kj0 =0 =N∑α i x ij x kj =j=1i=1()M∑N∑y j x kj − α i x ij x kjj=1i=1M∑M∑ N∑y j x kj − α i x ij x kjM∑y j x kjj=1N∑ ∑Mα i x ij x kj = 〈y, x k 〉i=1N∑i=1j=1α i 〈x i , x k 〉 = 〈y, x k 〉} {{ }=0 ∀i≠kα k 〈x k , x k 〉 = 〈y, x k 〉α k = 〈y, x k〉〈x k , x k 〉j=1 i=1α i x ij)∂α k} {{ }=0 ∀i≠k

2.4. Bases y transformaciones 59Además, si el conjunto X 0 es ortonormal obtenemos α k = 〈y, x k 〉.Con este resultado se generalizan las ecuaciones (2.3) y (2.4) demostrandoque el conjunto de coeficientes obtenidos medianteproyecciones ortogonales minimiza el criterio del error en unespacio euclídeo.Por ejemplo, suponga que queremos aproximar v 1 con v 2en R 2 , es decir, ṽ 1 = αv 2 . A partir de las ecuaciones anteriorespodemos calcular α como:α = 〈v 1, v 2 〉〈v 2 , v 2 〉 = 〈v 1, v 2 〉‖v 2 ‖ 2‖v 2 ‖ 2= ‖v 1‖ 2cos(θ)‖v 2 ‖ 2Es decir, el valor de α es la proyección ortogonal de v 1 sobrev 2 normalizada por la longitud de v 2 . Esto se puede apreciar enel diagrama de vectores de la Figura 2.6, donde se pueden verv 1 , v 2 y ṽ 1 , la aproximación de v 1 en la dirección de v 2 . Tambiénse aprecia el error de la aproximación ortogonal ɛ = ‖ṽ 1 − v 1 ‖y otros errores proyecciones no ortogonales que —como las quese indican en líneas punteadas— siempre son mayores.Error de la aproximación medianteproyección ortogonalv 2v 1~v 1Errores de aproximaciones conproyecciones no ortogonalesFigura 2.6. Aproximación de vectores utilizando proyecciones ortogonales.Se puede observar que la proyección es la que minimiza elerror en el sentido de la norma euclídeaNote que que no estamos diciendo que el vector v 2 sea elmejor para aproximar v 1 , sino que la mejor manera de calcularα es a través de una proyección ortogonal.

60 Capítulo 2. Espacio de señalesEsto mismo que hemos demostrado para señales discretas,se verifica para señales continuas. Por ejemplo, suponga quequeremos representar una señal continua, definida en el intervalo[−1, 1] según:y(t) ={ −1 ∀t < 01 ∀t ≥ 0Para representar esta señal podemos usar un conjunto defunciones de Legendre, que son ortonormales en el intervalo[−1, 1]. Estas funciones se pueden calcular a partir de las siguientesecuaciones:φ 0 (t) = 1 √2φ 1 (t) =φ 2 (t) =φ 3 (t) =..φ n (t) =√32 t√ ( 5 32 2 t2 − 1 2)√ ( 7 52 2 t3 − 3 )2 t√2n + 1212 n n!d ndt n (t2 − 1) nUtilizando las cuatro primeras funciones y el producto internose puede encontrar una representación aproximada de laseñal propuesta:

2.4. Bases y transformaciones 61y(t)α 0 =α 1 =α 2 =α 3 =∫ 1−1∫ 1√12 y(t)dt = 0√ √3 3−1 2 t y(t)dt = 2√ ( 5 3−1 2 2 t2 − 1 )y(t)dt = 02√ ( 7 5−1 2 2 t3 − 3 ) √72 t y(t)dt = −32∫ 1∫ 1La aproximación utilizando estos α k queda de la forma:≈√ (√ ) ( √ (√ ( 3 3 7 7 52 2 t + −32)2 2 t3 − 3 ) )2 t)= 4516 t − 3516 t3Se puede demostrar que si aumentamos el número de funcionesaproximantes, el error se irá reduciendo. Las señales continuasconstituyen un espacio vectorial de dimensión infinita, porlo que utilizando infinitas funciones aproximantes linealmenteindependientes el error se hace cero. En el caso de señales muestreadas,tendremos vectores de R M y la aproximación será exactasi se usan M vectores linealmente independientes en R M . Comoya se mencionó, M vectores linealmente independientes dedimensión M generan el espacio R M , y por lo tanto constituyenuna base.2.4.5. Cambio de basePara un espacio vectorial dado existen infinitas bases. Detodas estas bases, cuando representamos una señal simplemente

62 Capítulo 2. Espacio de señalesmediante x = [4, 8, 9], estamos utilizando implícitamente la basecanónica:⎧⎡⎨X e = {e 1 , e 2 , e 3 } = ⎣⎩100⎤ ⎡⎦ ⎣ya que la señal x puede escribirse como:010⎤ ⎡⎦ ⎣001⎤⎫⎬⎦⎭x = e 1 α 1 + e 2 α 2 + e 3 α 3 = e 1 4 + e 2 8 + e 3 9Para hacer una referencia explícita a la base en que se representala señal usaremos la notación x Xe = [α 1 , α 2 , α 3 ]. Sinembargo, también podríamos representar esta misma señal enotra base de R 3 . Por ejemplo, si utilizáramos la base ortonormal:⎧⎡⎨X 1 = {x 1 , x 2 , x 3 } = ⎣⎩1/ √ 21/ √ 20⎤ ⎡⎦ ⎣−1/ √ 61/ √ 62/ √ 6⎤ ⎡⎦ ⎣1/ √ 3−1/ √ 31/ √ 3⎤⎫⎬⎦⎭podemos expresar la señal x como x = x 1 β 1 + x 2 β 2 + x 3 β 3donde simplemente β i = 〈x, x i 〉 (por ser una base ortonormal).Utilizando este producto interno encontramos la representaciónde la señal x en la base X 1 como:x X1 = [β 1 , β 2 , β 3 ] = [6 √ 2, 11 √ 5√ 6, 3]3 3Hay que tener en cuenta que tanto x X1 como x Xe son lamisma señal x vista desde diferentes perspectivas. Ambas representacionescontienen la misma información pero se ha efectuadoun cambio de base. Podemos expresar x Xe a partir de x X1 como:x Xe = x 1 β 1 +x 2 β 2 +x 3 β 3 = x 1 6 √ 2+x 2113√ 5√ 6+x3 3 = [4, 8, 9]3

2.4. Bases y transformaciones 63que en forma la matricial nos queda:⎡⎣α 1α 2α 3⎤⎡⎡⎦ = ⎣⎣1/ √ 21/ √ 20⎤ ⎡⎦ ⎣−1/ √ 61/ √ 62/ √ 6⎤ ⎡⎦ ⎣1/ √ 3−1/ √ 31/ √ 3⎤⎤⎡⎦⎦⎣β 1β 2β 3⎤⎦o simplemente x Xe = Mx X1 , donde la matriz M contiene comocolumnas los vectores de la base X 1 . Ahora observe que en elcálculo de los coeficientes β i = 〈x, x i 〉 también podemos expresarlos productos internos como un producto matricial:⎡⎣β 1β 2β 3⎤⎡⎦ = ⎣[ 1/ √ 2 1/ √ 2 0 ][ −1/ √ 6 1/ √ 6 2/ √ 6 ][ 1/ √ 3 −1/ √ 3 1/ √ 3 ]⎤ ⎡⎦ ⎣α 1α 2α 3⎤⎦o simplemente x X1 = M T x Xe .Podemos generalizar este ejemplo mediante la definición decambio de base. Sean X 0 = {x 1 , . . . , x N } y Y = {y 1 , . . . , y N }dos bases ordenadas para el mismo espacio vectorial V de dimensiónN, para cualquier vector v en V las coordenadas de ven la base X 0 , v X0 , y las coordenadas de v en la base Y 0 , v Y0 ,se relacionan por:v X0 = Mv Y0v Y0 = M −1 v X0donde M es la matriz no singular de N × N cuyos elementosestán dados por:y i = m 1i x 1 + . . . + m Ni x Nes decir, los elementos m ki son los coeficientes que permitenexpresar el vector y i de la base Y 0 , como combinación lineal delos vectores x k de la base X 0 .

64 Capítulo 2. Espacio de señalesLa matriz M se denomina matriz de transición o matriz decambio de base X 0 a Y 0 . Su inversa será la matriz de transiciónde la base Y 0 a la base X 0 . En el ejemplo anterior debe notarseque en lugar de M −1 hemos usado M T . Esto fue posible porquela base era ortonormal, y en este caso puede demostrarse que lainversa de la matriz de transición es igual a su transpuesta. Enla Figura 2.7 se resume el proceso del cambio de base desde unaperspectiva más cercana al procesamiento de señales mediantetransformaciones lineales.+8 1/2φ [1,n]- 8 1/2+8 1/2φ [2,n]- 8 1/2+8 1/2φ [3,n]- 8 1/2+8 1/2φ [4,n]+8 1/2- 8 1/2x [n]n +8 1/2- 8 1/2φ [5,n]φ [6,n]φ [7,n]φ [8,n]- 8 1/2+8 1/2- 8 1/2+8 1/2- 8 1/2+8 1/2- 8 1/2nnnnnnnn< x,φ [1] >< x,φ [3] >< x,φ [3] >< x,φ [4] >x [k]< x,φ [5] >< x,φ [6] >< x,φ [7] >< x,φ [8] >Figura 2.7. El cambio de base visto desde la perspectiva del procesamientode señalesPara extender conceptualmente esta definición a señales+2 1/2- 2 1/2k

2.4. Bases y transformaciones 65continuas hay que tener en cuenta que:1. cada elemento de la base es ahora una señal en R ∞ , quepuede representarse como x i = [x i (t)],2. la base debe contar con infinitos elementos para podergenerar el espacio R ∞ , ahora resultará más adecuado representarlos elementos de esta base como [φ(f, t)], queequivaldría a pensar en una matriz de ∞ × ∞ elementosque se acceden con los “índices continuos” f y t,3. en el cambio de base deberemos hacer infinitos productosinternos, cada uno de los cuales se calcula mediante:y(f) =∫ ∞−∞x(t)φ(f, t)dt.Como ya mencionamos, la señal en cualquier base es lamisma, un cambio de base no debería modificar su información,ya que sólo se trata de una proyección de ésta sobre otra base.En particular podemos verificar qué sucede con la energía de laseñal en ambas bases:E(x Xe ) = ‖[4, 8, 9]‖ 2 2= 161E(x X1 ) = ∥ ∥[6 √ √ √ ∥2, 11 3 6,53 3] 2= 1612Generalizando estas ideas se llega a la relación de Parseval,según la cual la energía se conserva ante un cambio entre basesortonormales:E(x) =n∑αi 2 =i=1Si alguna de las bases es solamente ortogonal, entonces nosiempre se cumple que el producto interno entre dos de sus elementoses 1. Si 〈x i , x i 〉 = k i entonces tendríamos:n∑i=1β 2 i

66 Capítulo 2. Espacio de señalese 3x 1x 2x 3xe 1e 2Figura 2.8. Un cambio de base no modifica al vector. Aquí se puedenobservar la base canónica y la base ortonormal del ejemplo desarrolladoen el texto. En este caso el cambio de base implica simplementeuna rotación de los ejes coordenados.

2.4. Bases y transformaciones 67E(x) =n∑αi 2 =i=1n∑βi 2 k iEn el caso de que se quieran aprovechar todas las ventajasde la ortonormalidad, existen diferentes métodos que permitenobtener una base ortonormal; entre estos se encuentra el procesode ortonormalización de Gram-Schmidt.i=12.4.6. Transformaciones linealesUna transformación lineal entre dos espacios vectoriales Xy Y es una correspondencia que asigna a cada vector x de X unvector T (x) en Y de manera tal que:T (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 T (x 1 ) + a 2 T (x 2 )para todos los vectores x 1 y x 2 de X y los escalares a 1 y a 2 .Nótese que una transformación lineal mapea señales en unespacio X dentro de otro espacio Y. Nótese también que X yY pueden ser cualquier espacio vectorial, incluso puede ser queX =Y.Hay dos resultados que son especialmente interesantes. Enprimer lugar, para que una transformación lineal sea uno a uno(es decir, a cada vector en X le corresponda un solo vector en Y,y por lo tanto la transformación sea invertible) basta con verificarque al transformar el vector 0 del espacio X , se obtiene unsolo vector, el vector 0 en Y. El otro resultado que nos será deutilidad es el hecho de que para conocer el efecto de una transformaciónlineal sobre cualquier vector en X basta con conocerel efecto de la transformación en los vectores de una base de X .Esto se puede deducir dado que cualquier vector x en X se puedeescribir como combinación lineal de los vectores de su basey, por la propiedad de linealidad de la transformación lineal, el

68 Capítulo 2. Espacio de señalesvector transformado será una combinación lineal de los vectoresde la base transformados. Esto es:x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α N x NT (x) = T (α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α N x N )y = α 1 T (x 1 ) + α 2 T (x 2 ) + · · · + α N T (x N )y = α 1 y 1 + α 2 y 2 + · · · + α N y NEste último resultado nos permite asegurar que dada unatransformación lineal T : R N → R M existe una sola matriz Ade M × N tal que:T (v) = Av,En la sección anterior, estudiamos los cambios de bases.Nótese ahora, que los cambios de base son un tipo especial detransformaciones lineales con características muy interesantespara el procesamiento de señales: son uno a uno, son invertiblesy el espacio vectorial X es igual al espacio vectorial Y.Además, al trabajar con señales discretas, encontramos que lastransformaciones siempre tendrán una representación matricialy la matriz de transformación o de cambio de base será cuadrada(N × N para un espacio R N ). La transformación inversa seobtendrá simplemente a partir de la inversa de dicha matriz.2.5. Preguntas1. ¿Cómo se puede interpretar que las señales digitales de Nmuestras son puntos en un espacio R N ?2. ¿Porqué decimos que las señales continuas son puntos enel espacio R ∞ ?

2.5. Preguntas 693. ¿Cúales son las ventajas de poder ver a las señales comopuntos en un espacio R N ?4. ¿Para qué sirven las normas? ¿Por qué hay distintas normas?5. ¿Cómo se puede definir una norma-p para P = 0? ¿Qué utilidadtendría una norma como ésta?6. ¿Cómo puede interpretarse gráficamente la norma p = ∞?7. ¿Cuál es la relación que existe entre las normas p y lasmedidas físicas de acción, energía, potencia, raíz del valorcuadrático medio y amplitud?8. ¿Cómo se relacionan las definiciones de normas y productointerno en el caso de las señales discretas y las continuas?¿Cuál es el equivalente discreto del dt que aparece en elcaso de señales continuas?9. ¿En que casos es necesario utilizar el conjugado en la definicióndel producto interno?10. ¿Por qué decimos que el producto interno mide el parecidoentre dos señales? Analícelo primero para señales en R 2 yluego extienda el análisis a señales continuas.11. ¿Cual es la relación entre producto interno y proyección?12. ¿Qué diferencia hay entre conjunto y espacio de señales?13. Un mismo conjunto de señales con dos métricas diferentes¿conforma dos espacios de señales diferentes?14. ¿Qué utilidad tiene definir un espacio vectorial en el análisisde señales?15. ¿Cómo se verifican las propiedades de cerradura en unespacio vectorial?

70 Capítulo 2. Espacio de señales16. ¿Qué ventajas tiene el hecho de que una base sea ortonormal?17. ¿Puede una base estar formada por señales linealmentedependientes? ¿y por señales no ortogonales?18. Demostrar que las proyecciones ortogonales minimizan elcriterio del error cuadrático en la aproximación de señales.19. ¿Por que decimos que un cambio de base es un caso particularde transformación lineal?20. ¿Bajo que condiciones se puede asegurar que un cambiode base es simplemente una rotación de las señales de labase canónica?21. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente el teoremaParseval a partir de considerar a una transformación conbase ortonormal como un simple cambio de base? ¿Qué sucedesi la base es simplemente ortogonal?22. Exprese la transformación lineal de una señal discreta ysu correspondiente transformación inversa mediante productosmatriciales.23. Indique como se aplica en esta transformación la idea deparecido entre señales y su medida a través del productointerno.24. Escriba las ecuaciones y dé ejemplos de una base paratransformaciones lineales en las que:a) La señal en el domino original y la señal transformadason discretasb) La señal en el domino original es continua y la señaltransformada discreta

2.6. Trabajos prácticos 71c) La señal en el domino original es discreta y la señaltransformada continuad) La señal en el domino original y la señal transformadason continuas25. En cada uno de los casos anteriores indique en que espacio(R ? ) están las señales de la base y en que espacio (R ?×? )está la matriz de la transformación.26. Muestre con un ejemplo sencillo que para las transformacioneslineales en las que los vectores de la base son ortonormales,la matriz de inversión es la transpuesta de lamatriz de transformación.2.6. Trabajos prácticosEjercicio 1: Obtener los siguientes valores de una señalsenoidal, una rampa, una onda cuadrada y una señalaleatoria:1. valor medio,2. máximo,3. mínimo,4. amplitud,5. energía,6. acción,7. potencia media y8. raiz del valor cuadrático medio.Ejercicio 2: Defina matemáticamente el espacio de lasseñales senoidales y compruebe numéricamente si setrata de un espacio vectorial.

72 Capítulo 2. Espacio de señalesEjercicio 3: Compruebe en el espacio del ejercicio anteriorque el producto interno mide el grado de parecidoentre dos señales (genere senoidales de distintafrecuencia y realice el producto interno entre ellas).Ejercicio 4: Defina un espacio vectorial de señales complejas(formado por señales no necesariamente periódicas)y verifique que se trata de un espacio vectorial.Utilice el producto interno para medir el gradode parecido en este espacio.Ejercicio 5: (∗) Calcule el error cuadrático total de aproximaciónen el ejemplo con funciones de Legendre(página 60) bajo las siguientes condiciones:1. con los coeficientes calculados en el ejemplo,2. con pequeñas variaciones en torno a estos coeficentesα, construyendo una gráfica en 3D conla variación en los coeficientes en x, y y el errorcuadrático total en z,3. con más coeficientes α, para comprobar comose reduce el error cuadrático total al aumentarlos coeficientes.Ejercicio 6: (∗) Genere una señal como combinación linealdel conjunto de señales senoidales con frecuenciasde 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 Hz y luego:1. mida el grado de parecido con dichas senoidalesrepresentando el resultado en un gráfico debarras,2. vuelva a medir el grado de parecido pero conuna combinación lineal en la que se varía lafase de las senoidales y

Bibliografía 733. realice el gráfico de barras para el caso de unaseñal cuadrada de 5.5 Hz.Ejercicio 7: (∗∗) En el archivo te.txt se encuentra laseñal registrada al discar un número telefónico enuna línea ruidosa y se requiere determinar el númeroque se ha discado. La señal se digitalizó con unafrecuencia de muestreo de 11025 Hz y se sabe que cadanúmero del teléfono está codificado mediante lasuma de dos señales senoidales cuya frecuencia indicala posición en el teclado. De arriba hacia abajo lasfrecuencias son 697, 770, 852 y 941 Hz; de izquierdaa derecha son 1209, 1336 y 1477 Hz. Por ejemplo: elnúmero 2 se codifica con la suma de dos senos confrecuencias 697 y 1336 Hz; el número 7 se codificacon 852 y 1209 Hz. Se necesita determinar el númeroque se ha discado. (Sugerencia: utilice el productointerno).Bibliografía[1] L.E. Franks. Teoría de la señal. Reverté, Barcelona, 1975.[2] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.[3] B. Lathi. Modern Digital and Analog Communication Systems.Holt, Rinehart & Winston, 1983.[4] R.A. Gabel y R.A. Roberts. Señales y sistemas lineales. Ed.Limusa S.A., México, 1975.[5]B.Ñoble y J. Daniel. Álgebra lineal aplicada. Prentice-Hall,1989.

74 Capítulo 2. Espacio de señales[6] S. Grossman. Álgebra lineal. Grupo Ed. Iberoamericana,1988.

Capítulo 3Transformada discreta deFourierLeandro Di Persia, Diego MiloneTemas a tratar• Series y transformadas de Fourier• Teorema del muestreo y fenómeno de alias• Ventanas temporales y resolución en tiempo–frecuencia• Transformada rápida de FourierObjetivos• Aplicar los conceptos de producto interno y transformacioneslineales al caso de la transformada discreta de Fourier(TDF).• Reinterpretar el fenómeno de alias desde la perspectiva delanálisis frecuencial.• Aplicar la TDF a ejemplos sencillos y aplicaciones conseñales reales.75

76 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier3.1. IntroducciónLa serie y la transformada de Fourier desempeñan un rolimportante en la representación de señales y en el análisis desistemas lineales en el mundo analógico. Con el advenimientode la computadora digital y las facilidades que esta proporcionapara el diseño de algoritmos, fue deseable y necesario extender eluso de este tipo de herramientas matemáticas al mundo discreto.Como resultado de esto se desarrolló lo que se conoce como laTransformada Discreta de Fourier (TDF). A continuación vamosa analizar como surge esta transformación a partir de conceptospreviamente estudiados.Supongamos que se desea analizar una señal de N muestrasx[n], pero no podemos extraer la información que nos interesaen la base que está representada. Entonces nos planteamos laposibilidad de realizar un cambio de base de manera tal que lainformación se represente de otra forma. Como se estableció enel capítulo anterior, un cambio de base es un caso particular detransformación lineal uno a uno, invertible. También se pudoapreciar que, desde un punto de vista conceptual, este tipo detransformaciones funciona esencialmente como una rotación delos ejes de coordenadas (vectores de la base). Vimos que un conjuntode vectores, para constituir una base, debe ser linealmenteindependiente (es decir, que ninguno de ellos debe poder escribirsecomo combinación lineal de los restantes). También vimosque debe ser un conjunto generador (o sea que cualquier vectordel espacio vectorial pueda escribirse como combinación linealde ellos).La señal x[n] está en R N , y ya sabemos que en dicho espaciopuede ser generado por N vectores linealmente independientes.Entonces, lo que nos está faltando para poder formar una basepara el cambio de base es hallar N señales linealmente independientesen R N . Una propiedad interesante de la independencialineal es que si un conjunto de señales es ortogonal, entonces

3.2. Familia de bases de Fourier 77puede demostrarse que también es linealmente independiente.El interés que tenemos al hacer esta transformación es lograrrepresentar la información que contiene la señal x[n], de talmanera que resulte más sencillo analizarla, extraer datos de ella,o incluso procesarla de manera de eliminar información que nonos interesa (por ejemplo, ruido). O sea que las señales que constituyannuestra base no pueden ser cualquiera, sino que debenpermitirnos representar nuestra señal en una forma más útil.3.2. Familia de bases de FourierEl análisis de Fourier abarca diversas formas de transformacionesque son aplicables a señales de diferente tipo, tantocontinuas como discretas, ya sea en dominio temporal o frecuencial,y para señales periódicas y no periódicas. Todas ellasconsisten en la representación de la señal original en función deuna base sinusoidal compleja completa. Vamos a hacer un breverepaso de las diversas transformaciones existentes.3.2.1. Series senoMediante las series seno es posible descomponer (transformar)señales continuas, reales, periódicas y con simetría impar.La base para la expansión está dada por:φ[k](t) = sin (2πkf 0 t)y las ecuaciones de transformación y reconstrucción son:

78 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierX[k] = 2 T∫0/2T 0x(t) sin (2πkf 0 t) dtx(t) =−T 0/2∞∑x[k] sin (2πkf 0 t)k=0donde T 0 es el período de la señal y f 0 = 1/T 0 es su frecuencia.De las ecuaciones se ve que en el dominio frecuencial setrata de una representación discreta ya que sólo tienen definidossus valores a intervalos múltiplos enteros de la frecuenciafundamental f 0 (ver Figura 3.1).3.2.2. Series cosenoMediante esta serie se pueden descomponer señales continuas,reales, periódicas y con simetría par. La base para laexpansión está dada por:φ[k](t) = cos (2πkf 0 t)y las ecuaciones de transformación y reconstrucción son:X[k] = 2 T∫0/2T 0x(t) cos (2πkf 0 t) dtx(t) =−T 0/2∞∑x[k] cos (2πkf 0 t)k=0donde T 0 es el período de la señal y f 0 = 1/T 0 es su frecuencia.Al igual que la serie seno, se trata de una representacióndiscreta en el dominio frecuencial (ver Figura 3.2).

3.2. Familia de bases de Fourier 79k=1...7, f 0=10Hz10−1−0.1 0 0.1tiempoFigura 3.1. Algunos elementos de la base para la serie seno.3.2.3. Serie exponencial de FourierLa serie exponencial de Fourier permite descomponer señalescontinuas y periódicas en general, sin importar su paridad. Labase para la expansión está dada por:φ[k](t) = e j2πkf0ty las ecuaciones de transformación y reconstrucción son:

80 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierk=1...7, f 0=10Hz10−1−0.1 0 0.1tiempoFigura 3.2. Algunos elementos de la base para la serie coseno.X[k] = 1 T∫0/2T 0x(t)e −j2πkf0t dtx(t) =−T 0/2∞∑k=−∞x[k]e j2πkf0tdonde T 0 es el período de la señal y f 0 = 1/T 0 es su frecuenciafundamental.

3.2. Familia de bases de Fourier 81Al igual que las series seno y coseno, se trata de una representacióndiscreta en el dominio frecuencial (ver Figura 3.3).k=1, f0=5 Hzk=2, f0=5 Hz0.30.30.20.20.10.11 00−1−1011 00−1−101k=3, f0=5 Hzk=4, f0=5 Hz0.30.20.10.30.20.11 00−1−101Figura 3.3. Cuatro elementos de la base para la serie exponencialFourier.1 00−1−1013.2.4. Transformada de Fourier de tiempo discretoLa transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD) seaplica a señales muestreadas en el tiempo, no periódicas y deduración infinita.La base para la TFTD es:φ[n](f) = e j2πfn

82 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierSuponiendo que la señal x[n] ha sido muestreada a intervalosregulares de tiempo T , las ecuaciones de transformación yreconstrucción son, respectivamente:X(f) =x[n] =∞∑n=−∞1∫2Tx[n]e −j2πfnX(f)e j2πfn df− 12TVemos claramente que en el dominio temporal la señal esdiscreta. Por otro lado, en el dominio frecuencial X(f) es continuay periódica (nótese que la integral se hace sobre un período).3.2.5. Transformada continua de FourierLa transformada continua de Fourier (TCF) se aplica aseñales continuas no periódicas, aunque puede extenderse a señalesperiódicas utilizando funciones generalizadas como el δ(t). Labase para esta transformación es:φ(f, t) = e j2πftLas ecuaciones de transformación y reconstrucción son, respectivamente:X(f) =x(t) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞x(t)e −j2πft dtX(f)e j2πft df

3.3. Exponenciales complejas discretas 83En este caso, se ve claramente que las señales, tanto en eldominio temporal como en dominio frecuencial, son continuas.3.3. Exponenciales complejas discretasEn vista de las transformaciones presentadas en la secciónanterior, sería deseable contar con una base generada a partirde exponenciales complejas que permita trabajar con señales digitales.Para esto, es necesario que dicha base sea discreta tantoen el dominio temporal como en el frecuencial. Como estamostrabajando con señales en R N nuestra base debe consistir enN vectores de N muestras cada uno. Una exponencial complejacontinua está dada por:φ(ω, t) = e jωtdonde ω es la frecuencia angular. En este caso, para cada valorde ω la exponencial generada es diferente de las demás.Para una exponencial compleja discreta tenemos la siguienteecuación:φ[k, n] = e jΩ kndonde Ω k es la frecuencia angular discreta. A diferencia de lasexponenciales continuas, no siempre una exponencial discreta deN muestras resulta periódica. Esto es debido a que, para unafrecuencia de muestreo dada, no necesariamente habrá coincidenciacon la frecuencia de la exponencial y el muestreo no retomarádesde la misma parte de la exponencial antes de las Nmuestras. Si analizamos la condición de periodicidad para laexponencial discreta obtenemos:lo que implica que:e jΩ k(n+N) = e jΩ kn e jΩ kN = e jΩ kn

84 Capítulo 3. Transformada discreta de Fouriere jΩ kN = 1Para que esta ultima ecuación sea correcta, debe verificarse queΩ k N sea un múltiplo entero de 2π, es decir Ω k N = 2πk, o bien:Ω k = 2πkNcon k ∈ ZPara ejemplificar esto, analicemos lo que sucede con la partereal de la exponencial. A partir de la relación de Euler podemosescribir:real(e jΩ kn ) = cos (Ω k n)Veamos qué pasa para valores específicos de Ω k . En la Figura3.4 se puede ver claramente que si Ω k = 2π se obetine unaseñal periódica, pero si se tiene Ω k = 2,15π la señal no resultaperiódica. Dado que la parte real de la exponencial de esteejemplo no resulta periódica, tampoco lo será la exponencial.Hemos obtenido así exponenciales complejas con períodoN, cuyas frecuencias sólo pueden tomar valores determinadospor el entero k. La forma general es entonces:φ[k, n] = e j 2πkN nPero ¿cuántos exponenciales diferentes pueden encontrarseal variar k? Si hacemos:φ[0, n] = e j 2π0N n = 1φ[1, n] = e j 2π1N n = e j 2π N n.φ[N − 1, n] = e j 2π(N−1)N nφ[N, n] = e j 2πNN n = e j2πn = 1φ[N + 1, n] = e j 2π(N+1)N n = e j 2πNN n e j 2π N n = e j 2π N n

3.3. Exponenciales complejas discretas 851cos(2 π t)0.50−0.5−1110 20 30 40 50 60 70 80 90 100muestrascos(2.15 π t)0.50−0.510 20 30 40 50 60 70 80 90 100muestrasFigura 3.4. Funciones coseno para una base en R 100 con: (arriba)Ω k = 2π (arriba), lo que resulta en una señal periódica y (abajo)Ω k = 2,15π, dando como resultado una señal no periódica.

86 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierpodemos ver que:φ[N, n] = φ[0, n]φ[N + 1, n] = φ[1, n].φ[k, n] = φ[(k mod N), n]es decir, que sólo existen N exponenciales periódicas diferentes,por lo que tomamos 0 ≤ k ≤ N − 1.Ahora bien, encontramos N exponenciales complejas en R Ny, si pretendemos usarlas como base, sería conveniente que fueranortogonales. Si hacemos el producto interno de dos de ellas,〈φ[k 1 ], φ[k 2 ]〉, acotadas a N muestras, tenemos:〈φ[k 1 ], φ[k 2 ]〉 ===N−1∑n=0N−1∑n=0e j 2πk 1N n e −j 2πk 2N ne j 2π(k 1 −k 2 )N n{ 0 ∀ k1 ≠ k 2N ∀ k 1 = k 2Esta última ecuación resulta así porque, si k 1 = k 2 , laexponencial vale 1 y se suma N veces este 1. Por otro lado, sik 1 ≠ k 2 entonces k 1 − k 2 resulta en un número entero m, yhaciendo un cambio de variables:〈φ[k 1 ], φ[k 2 ]〉 =N−1∑n=0e j 2πmN n = 0la cual es una sumatoria sobre una cantidad entera de períodos,de una exponencial compleja.

3.4. Transformada discreta de Fourier 87Resumiendo, hemos encontrado un conjunto de N señalesen R N que son ortogonales y por tanto linealmente independientes.Estas propiedades hacen que también estas exponencialescomplejas periódicas constituyan un conjunto generador paraR N . Esta base para el espacio vectorial de las señales en R Npuede expresarse de la siguiente forma:F ={φ / φ[k, n] = e j 2πknN , 0 ≤ k ≤ N − 1, 0 ≤ n ≤ N − 1}En la Figura 3.5 se han representado cuatro exponencialescomplejas que forman parte de una base para señales en R 20 . Eneste ejemplo se han tomado las exponenciales correspondientesa k = 1, k = 2, k = 3 y k = 4.3.4. Transformada discreta de FourierHabiendo determinado una base para nuestra transformación,nos queda ahora establecer cómo realizarla. Esto es sencilloutilizando la perspectiva de las transformaciones lineales. Unaseñal se puede representar en otra base ortogonal mediante:dondex =N−1∑k=0X[k]φ[k]X[k] =〈x, φ[k]〉〈φ[k], φ[k]〉(3.1)Utilizando esta ecuaciones y la expresión para la base deexponenciales complejas discretas se llega a la definición de laTDF de la siguiente manera:

88 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierk=1k=2202010101 00−1−1011 00−1−101k=3k=4202010101 00−1−101Figura 3.5. Cuatro elementos de la base para la transformada discretade Fourier en R 20 . Los valores discretos se representan con círculos, ysi bien se han unido con líneas punteadas, recuérdese que las muestrasde las señales de la base son solamente los valores de los círculosmarcados.1 00−1−101

3.4. Transformada discreta de Fourier 89X[k] = 〈x, φ[k]〉=N−1∑n=0x[n]φ ∗ [k, n]X[k] = N−1 ∑n=02πkn −jx[n]e N(3.2)Esta es la definición más utilizada para la TDF y en ellasólo se considera el numerador de (3.1), sin normalizar por elproducto interno de las funciones de la base. Sin embargo, estono es un problema dado que esos productos internos son todosiguales a N y este factor puede incluirse directamente en lafórmula de reconstrucción:x[n] ==N−1∑k=0N−1∑k=0X[k]〈φ[k], φ[k]〉 φ[k]X[k]Nφ[k]x[n] = 1 NN−1 ∑k=0X[k]e j 2πknN(3.3)

90 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierDebe tenerse mucho cuidado en no confundir la TDF conla TFTD. La diferencia más importante radica en el hecho deque la TDF se aplica a señales discretas periódicas de duracióninfinita o a extensiones periódicas de señales de duración finita.Además, tanto el dominio como la imagen de la TDF son discretosmientras que en el caso de la TFTD la imagen es continua.Es interesante analizar qué es lo que realmente está sucediendoal aplicar esta transformación. Ya que el producto internoconceptualmente mide el grado de parecido de una señalcon respecto a la otra, lo que estamos haciendo entonces al implementarla TDF es comparar la señal de interés con las Nexponenciales complejas que forman la base de R N . Intentamosdeterminar qué tanto de dicha exponencial debe usarse en unacombinación lineal para sintetizar la señal original o qué tanto dedicha exponencial hay en la señal original. Dicho de otra forma,descomponemos la señal en una serie de N componentes con diferentesfrecuencias, lo que nos permite estudiar característicasfrecuenciales de la señal o el sistema que la generó.Nótese que, si bien sólo hemos considerado N muestras delas exponenciales complejas, estos valores se repiten en las Nmuestras siguientes, lo que implica que al hacer una combinaciónlineal de ellas el resultante será una función de períodoN. Cuando trabajamos con señales discretas de longitud finitausualmente no es este el caso, sino que se trata de una secuenciade valores muestreados a partir de una señal continua. Fuera delintervalo de muestreo, dicha señal continua habrá tenido valoresque en realidad desconocemos y estamos suponiendo que soniguales a los N elementos que conocemos. Es por esto que nuncahay que olvidar que cuando vemos el espectro obtenido por laTDF, en realidad vemos el espectro de la extensión periódica delas N muestras.

3.5. Propiedades de la TDF 913.5. Propiedades de la TDFLa TDF presenta varias propiedades muy útiles e interesantes,similares a las propiedades de su análoga continua. Paraanalizar dichas propiedades vamos a utilizar la siguiente notación:x[n]F⇐⇒ X[k]donde F representa el operador de transformación, para indicarel par formado por una señal x[n] y su TDF X[k]. Tambiénexpresamos:X[k] = F {x[n]}para indicar que X[k] es la TDF de x[n], yx[n] = F −1 {X[k]}para indicar que x[n] es la TDFI de X[k].FFPara los siguientes pares: x[n] ⇐⇒ X[k] y y[n] ⇐⇒ Y [k]se verifican las siguientes propiedades (el símbolo ⊛ representael operador de Convolución periódica (o circular) que se aplicacuando ambas señales son periódicas de período N):1. Linealidad:x[n] + y[n]F⇐⇒ X[k] + Y [k]2. Simetría:1FF {x[n]} [k] ⇐⇒ F −1 {X[k]} [−n]N3. Desplazamiento temporal (retardo):x[n − i]F⇐⇒ X[k]e −j2πkiN

92 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier4. Desplazamiento frecuencial (modulación):x[n]e j2πinNF⇐⇒ X[k − i]5. Convolución en el tiempo:x[n] ⊛ y[n]6. Convolución en frecuencia:x[n]y[n]7. Teorema de correlación cruzada:F⇐⇒ X[k]Y [k]F⇐⇒ X[k] ⊛ Y [k]N∑x[i]y[n + i] = X[k]Y [k] ∗i=08. Teorema de Parseval (conservación de la energía):N−1∑n=0x[n] 2 = 1 NN−1∑k=0|X[k]| 2En la Tabla 3.1 se muestran algunas propiedades relacionadascon la simetría de los pares transformados en ambos dominios.Muchas veces es posible aprovechar esas simetrías paraaumentar la eficiencia computacional en los algoritmos para elcálculo de las transformadas, así como para interpretar la informaciónque se obtiene.3.6. Relación entre la TCF y la TDFEn esta sección desarrollaremos un procedimiento gráficopara interpretar la obtención de la TDF a partir de una señal

3.6. Relación entre la TCF y la TDF 93Tiempox[n] realx[n] imaginariax[n] parx[n] imparx[n] real y parx[n] real e imparx[n] imag. y parx[n] imag. e imparFrecuenciaX[−k] = X[k] ∗ (sim. conjugada)X[−k] = −X[k] ∗X[−k] = X[k] (sim. par)X[−k] = −X[k] (sim. impar)X[k] real y parX[k] imag. e imparX[k] imag. y parX[k] real e imparTabla 3.1. Correspondencias entre las simetrías en el dominio temporaly frecuencial.muestreada, su relación con la TCF y los artefactos como el aliasy el rizado que pueden presentar por este proceso.Supongamos que tenemos una señal x(t) continua de duracióninfinita y cuya TCF está limitada en banda, es decir,que por encima de cierta frecuencia f max no contiene energía.Queremos muestrear dicha señal continua, para lo cual la multiplicamospor un tren de impulsos ∆(t) espaciados por un valorT . En el dominio frecuencial, el efecto de multiplicar en el tiempoes equivalente a una convolución entre la TCF de x(t) y ladel tren de impulsos. Pero la TCF de un tren de impulsos espaciadospor T es otro tren de impulsos espaciados por 1/T (verFigura 3.6).Al convolucionar x(f) con la TCF del tren de impulsos,∆(f), el resultado es una función periódica con período 1/T yla forma de x(f).Obsérvese que si la frecuencia de muestreo 1/T no es superioral doble de la frecuencia máxima de la señal f max , entonceshabrá un solapamiento entre las versiones desplazadas de x(f).En estas zonas se suman los aportes de ambas imágenes de x(f).Esto se conoce como fenómenos de alias o aliasing y puede evitarserespetando el teorema de muestreo de Nyquist que puede

94 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierx(t)|x(f)|tfmultiplicación∆(t)convolución∆(f). . . . . .t -1/TTFigura 3.6. Muestreo de una señal continua1/Tfresumirse en (Figura 3.7):Si la frecuencia de muestreo es mayor al doble de lafrecuencia máxima de la señal, entonces la señal continuapuede reconstruirse exactamente a partir de suversión discreta utilizando el interpolador sincrónico.|x(f)|*∆(f)f-1/(2T) 1/(2T)Figura 3.7. Fenómeno de aliasNótese que en el dominio temporal tenemos una señal continuamuestreada y de duración infinita, mientras que en el dominiofrecuencial se trata de una señal continua y periódica. Lo

3.6. Relación entre la TCF y la TDF 95que tenemos en frecuencias es la TFTD que se mencionó en lasección anterior (ver Figura 3.8).El siguiente paso es multiplicar x(t)∆(t) por una ventanacuadrada s(t) para acotarla en el tiempo. En el dominio frecuencialesto se corresponde a una convolución la TCF de laventana, s(f), que es una función sinc. El efecto de dicha convoluciónserá generar un rizado o ripple en el dominio frecuencial.x(t)∆(t)|x(f)*∆(f)|Tt-1/(2T) 1/(2T)fmultiplicaciónconvolucións(t)s(f)t-T 1/2 T 1/2-1/T 11/T 1Figura 3.8. Multiplicación por una ventana cuadrada.fAhora necesitamos muestrear en el dominio frecuencial, demanera de obtener un espectro discreto. Para ello multiplicamospor un tren de impulsos ∆ 2 (f) separados por 1/T 2 lo que en eldominio temporal se traduce como una convolución con un trende impulsos espaciados en T 2 . El resultado es una señal periódicade período T 1 (ver Figura 3.9). Nótese que se eligió el valor T 2igual al ancho T 1 de la ventana temporal aplicada en el pasoanterior, de manera que al hacer la convolución no se solapenlas imágenes de la señal en el tiempo (“alias temporal”).Finalmente, sólo nos resta tomar N muestras en el dominiotemporal y N en el dominio frecuencial. Así, hemos obtenido la

96 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierx(t)∆(t)s(t)|x(f)*∆(f)*s(f)|-Tt1/2 T 1/2 -1/(2T) 1/(2T)fconvolución∆ 2(t)multiplicación∆ 2(f). . . . . .-T t2T 2 1/T2fFigura 3.9. Muestreo en el dominio de la frecuenciaTDF de una señal discreta muestreada. Nótese que se asumeque ambas señales son periódicas y se trabaja con un períodocompleto de ambas (ver Figura 3.10).3.7. Utilización de ventanasEn la sección anterior analizamos la TDF como una consecuenciadel proceso de muestreo y limitación en la duraciónde la señal. Uno de los pasos críticos en dicho desarrollo se daal utilizar una ventana cuadrada en el dominio temporal paralimitar la duración de la señal. Como se vio, esto en frecuenciaes equivalente a la convolución con una función sinc, lo que generala aparición de cierto “rizado” en el espectro. Para evitareste efecto no deseado, existe la alternativa de utilizar ventanasdiferentes de la cuadrada, de manera que su espectro frecuencialpresente lóbulos laterales de menor amplitud. Se han desarrolladodiversas ventanas que cumplen con este requisito y analizaremosalgunas de ellas (ver Figura 3.11). Las más utilizadas

3.7. Utilización de ventanas 97x[n]|x[k]|NnNkSeñal discretaTransformadadiscreta de FourierFigura 3.10. Par de la transformada discreta de Fourier.se definen para 0 < n ≤ N según:i) Ventana rectangular:ω R [n] = 1ii) Ventana de Hanning:ω h [n] = 1 2 − 1 2 cos(2πn/N)iii) Ventana de Hamming:iv) Ventana de Bartlett:ω B [n] =ω H [n] = 2750 − 2350 cos(2πn/N){ 2n/N si 0 < n ≤ N/22 − 2n/N si N/2 < n ≤ N

98 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierv) Ventana de Blackman:ω K [n] = 2150 − 1 2 cos(2πn/N) + 225 cos(4πn/N)10.5Ventana cuadrada0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40−20−40−60−80−0.2 Ventana de Bartlett 0.2Ventana de Hamming0.80.60.40.20−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40−20−40−60−80−0.2 Ventana de Blackman 0.20.80.60.40.20−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40−20−40−60−80−0.2 0 0.20.80.60.40.20−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40−20−40−60−80−0.2 0 0.2Figura 3.11. Las ventanas temporales más utilizadas y sus respectivosespectros en frecuencia.Estas ventanas pueden ser caracterizadas por el tamañode los lóbulos de la magnitud de su espectro de frecuencias. Laventana rectangular posee el lóbulo central con menor anchode banda pero la magnitud de los lóbulos laterales decae muylentamente. La ventana de Blackman posee la mínima amplituden sus lóbulos laterales pero su lóbulo principal tiene un anchode banda tres veces mayor al de la rectangular.

3.8. Resolución temporal y frecuencial 993.8. Resolución temporal y frecuencialNos referimos a resolución cuando tratamos de especificarcon qué tanta precisión podemos determinar un valor. Resoluciónes sinónimo de separación, es decir, la máxima resolución esla separación que nos permitirá reconocer dos eventos o sucesoscomo diferentes, e identificar individualmente las informacionesque transportan. Esta definición es general y las unidades enlas que medimos dicha separación dependerán de los fenómenosparticulares que originan los sucesos. Por ejemplo, en ópticase denomina resolución a la menor separación entre dos puntosque, a cierta distancia, permite distinguirlos como puntos independientes.En el caso de señales que varían en el tiempo, setratará del mínimo tiempo entre dos eventos de los que podemosconocer con exactitud sus características. Cuando se muestreauna señal con una frecuencia de muestreo f m , automáticamentequeda limitada la resolución temporal, ya que no podemos darinformación de lo que sucede entre dos muestras. Por lo tanto,la resolución temporal resulta ser:∆t = T = 1f mPor otra parte, al muestrear además nos limitamos a unnúmero finito N de muestras, que abarcarán un tiempo NT .Al usar la TDF, en ambos dominios la señal resulta discreta yperiódica, con período N muestras. Además, del análisis anteriorsabemos que el período en el dominio frecuencial será igual a lafrecuencia de muestreo f m . Por lo tanto, podemos establecerque la resolución frecuencial estará dada por el período en eldominio frecuencial dividido por N:∆f = f mN = 1NT = 1 T 0donde T 0 es la duración total en tiempo de la señal muestreadafinita (o lo que es lo mismo, el período de su extensión periódica).

100 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierUn concepto fundamental en el análisis es el principio deincertidumbre de Heisenberg, que podemos expresar en este contextocomo sigue:∆f∆t = 1 T 0T = 1NT T∆f∆t = 1 NEsta ecuación establece que, dado un número N de muestrasa procesar (por ejemplo, nuestro algoritmo procesa bloquesde 128 muestras), no podemos aumentar independientementela resolución temporal y la frecuencial, ya que si aumentamosuna la otra tiene que disminuir necesariamente para mantenerla igualdad.Podemos analizar lo que sucede al jugar con estos tresparámetros:Para una f m fija:• Si ↑ N entonces ↑ T 0 y ↓ ∆f es decir, aumenta laresolución frecuencial• Si ↓ N entonces ↓ T 0 y ↑ ∆f es decir, disminuye laresolución frecuencialPara una N fija:• Si ↑ f m entonces ↓ T 0 y ↑ ∆f es decir, disminuye laresolución frecuencial• Si ↓ f m entonces ↑ T 0 y ↓ ∆f es decir, aumenta laresolución frecuencial

3.8. Resolución temporal y frecuencial 101Muchas veces nos encontramos con la necesidad de mejorarla resolución frecuencial de la TDF. Es común pensar que bastaaumentar f m para lograr una mayor resolución frecuencial. Sinembargo, si se aumenta f m , para un mismo T 0 aumentará proporcionalmenteN y la resolución frecuencial ∆f no cambiará.¿Qué podemos hacer para disminuir ∆f?Disminuir la frecuencia de muestreo f m para un N constante.Aumentar el número de puntos N si tenemos fijada f m .Estas dos opciones involucran remuestrear la señal, lo cualno siempre es posible. Se podría pensar en “aumentar” la duraciónde la señal, agregando ceros al final, como si realmentehubiéramos medido esos valores:x ′ = [x[0], x[1], . . . , x[N − 1], 0, 0, . . . , 0]De esta forma, para una misma frecuencia de muestreo setienen más muestras y así se reduce ∆f. Por ejemplo, si a unaseñal de N muestras la completamos con ceros hasta lograr 2Nmuestras y nos queda:∆f ′ = 1 T 0′ = 12NT = 1 12 NT = ∆f2Hay que recalcar que esto aumenta la resolución por elaumento de N, pero no agrega más información de la señal encuestión, es decir que en realidad implementa una interpolaciónen el dominio de la frecuencia. Si la señal original de la que fuetomada la secuencia de N muestras en verdad hubiera tomadovalores iguales a ceros desde la muestra N a la 2N − 1, la TDFsería la correcta, y efectivamente se habría realizado un aumentode resolución. Pero recuérdese que al tratar con señales muestreadasa partir de una señal continua, realmente desconocemos

102 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierlos valores de las muestras posteriores a las N consideradas.Por lo tanto, el aumento de resolución es aparente dado que lasnuevas muestras del espectro son aproximaciones a las que seobtendrían si en vez de cero se tuvieran los 2N valores de laseñal temporal.Ejemplo: seax[n] = sin(2π0,5n/f m ) + sin(2π1n/f m ) + sin(2π1,5n/f m )donde N = 50 y f m = 4. También se define:y[n] ={ x[n] para 0 n 500 para 50 < n 100En la Figura 3.12 se pueden observar los efectos de rellenarcon ceros.3.9. Representación matricial de la TDFComo ya se mencionó, la TDF constituye una transformaciónlineal que genera un cambio de base sobre los vectores deR N . Sabemos que tal transformación siempre admite una representaciónmatricial de la forma y = Ax. Estamos interesados,entonces, en determinar qué forma tiene la matriz de transformaciónpara el caso de la TDF:X = W xSabemos que la transformación mapea señales en R N enseñales en R N , por lo tanto la matriz W debe ser cuadrada.La ecuación (3.2) se puede reescribir como el producto internoentre un vector fila con las exponenciales y el vector columna x:

3.9. Representación matricial de la TDF 103Amplitud de x3210−1−2−30 10 20 30 40 50n|X|25201510500 0.5 1 1.5 2f(Hz)323025Amplitud de y10−1−2|Y|2015105−30 20 40 60 80 100n00 0.5 1 1.5 2f(Hz)Figura 3.12. Efecto del agregado de ceros en el dominio temporal.

104 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierX[k] =[e − j2π(k)(0)N]e − j2π(k)(1)N · · · e − j2π(k)(N−1)N⎡⎢⎣x[0]x[1].x[N − 1]⎤⎥⎦Si disponemos los vectores de la exponencial como filas deuna matriz, obtenemos la W deseada:⎡ ⎤X[0]X[1]⎢ ⎥⎣ . ⎦ =X[N − 1]⎡⎢⎣e −j2π(0)(0)Ne −j2π(1)(0)N.e −j2π(N−1)(0)N⎤e −j2π(0)(1)N · · · e −j2π(0)(N−1)Ne −j2π(1)(1)N · · · e −j2π(1)(N−1)N.. .. ⎥ . ⎦e −j2π(N−1)(1)N · · · e −j2π(N−1)(N−1)N⎡⎢⎣x[0]x[1].x[N − 1]⎤⎥⎦Si utilizamos la notación E = e −j2π/N podemos escribir elproducto de forma más compacta:⎡E (0)(0) E (0)(1) · · · E (0)(N−1) ⎤E (1)(0) E (1)(1) · · · E (1)(N−1)W = ⎢⎣.. . ..⎥. ⎦E (N−1)(0) E (N−1)(1) · · · E (N−1)(N−1)Ahora podemos hallar la matriz que invierte la transformación.A partir de (3.3) tenemos:

3.10. Transformada rápida de Fourier 105⎡⎢⎣x[0]x[1].x[N − 1]1N⎤⎥⎦ =⎡E −(0)0 E −(0)1 · · · E −0(N−1) ⎤ ⎡E −(1)0 E −(1)1 · · · E −1(N−1)⎢⎣.. . ..⎥ ⎢. ⎦ ⎣E −(N−1)0 E −(N−1)1 · · · E −(N−1)(N−1)X[0]X[1].X[N − 1]⎤⎥⎦3.10. Transformada rápida de FourierSupongamos que la señal x[n] posee N = 4 muestras. SuTDF se puede escribir utilizando la notación matricial como:⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤X[0] E 0 E 0 E 0 E 0 x[0]⎢X[1]⎥⎣X[2]⎦ = ⎢E 0 E 1 E 2 E 3⎥ ⎢x[1]⎥⎣E 0 E 2 E 4 E 6 ⎦ ⎣x[2]⎦X[3] E 0 E 3 E 6 E 9 x[3]Para implementar esta ecuación, se requieren N 2 multiplicacionescomplejas y N(N − 1) sumas complejas. Pero teniendoen cuenta que E 0 = 1 se puede reescribir la ecuación como:⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤X[0] 1 1 1 1 x[0]⎢X[1]⎥⎣X[2]⎦ = ⎢1 E 1 E 2 E 3⎥ ⎢x[1]⎥⎣1 E 2 E 4 E 6 ⎦ ⎣x[2]⎦X[3] 1 E 3 E 6 E 9 x[3]Como segunda simplificación, observemos que E nk = E ((nk) mód N) ,donde (nk) mód N es el resto de la división de nk por N. Porejemplo, si n = 2 y k = 3, tenemos:

106 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierE nk = E 6= e −j 2π 4 6 = e −jπ3 = e −jπ = e −j 2π 4 2= E 2 = E 6 mód 4(nk) mód N= EUtilizando este hecho, la ecuación queda:⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤X[0] 1 1 1 1 x[0]⎢X[1]⎥⎣X[2]⎦ = ⎢1 E 1 E 2 E 3⎥ ⎢x[1]⎥⎣1 E 2 E 0 E 2 ⎦ ⎣x[2]⎦X[3] 1 E 3 E 2 E 1 x[3]El elemento E 0 no se ha reemplazado por 1 para generalizar elalgoritmo en pasos posteriores.Realizando un reordenamiento de las filas de las matricesy reescribiendo la matriz como un producto de dos matrices,tenemos:⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤X[0] 1 E 0 0 0 1 0 E 0 0 x[0]⎢X[2]⎥⎣X[1]⎦ = ⎢1 E 2 0 0⎥ ⎢0 1 0 E 0⎥ ⎢x[1]⎥⎣0 0 1 E 1 ⎦ ⎣1 0 E 2 0 ⎦ ⎣x[2]⎦X[3] 0 0 1 E 3 0 1 0 E 2 x[3]Esta factorización es la base del algoritmo de transformadarápida de Fourier (TRF, que en inglés se conoce como Fast FourierTransform, FFT). Nótese que se han intercambiado las filas1 y 2 de X[k]. Podemos separar esta operación en dos etapas,realizando primero el producto de x y la matriz de la derecha,obteniéndose un resultado intermedio x 1 :⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤x 1 [0] 1 0 E 0 0 x[0]⎢x 1 [1]⎥⎣x 1 [2] ⎦ = ⎢0 1 0 E 0⎥ ⎢x[1]⎥⎣1 0 E 2 0 ⎦ ⎣x[2]⎦x 1 [3] 0 1 0 E 2 x[3]

3.10. Transformada rápida de Fourier 107Desarrollando esta ecuación, tenemos:x 1 [0] = x[0] + E 0 x[2]x 1 [1] = x[1] + E 0 x[3]x 1 [2] = x[0] + E 2 x[2]x 1 [3] = x[1] + E 2 x[3]Ahora bien, como una simplificación más E 2 = −E 0 , loque es fácil de verificar reemplazando por la exponencial y calculando.Por lo tanto, las ecuaciones quedan:x 1 [0] = x[0] + E 0 x[2]x 1 [1] = x[1] + E 0 x[3]x 1 [2] = x[0] − E 0 x[2]x 1 [3] = x[1] − E 0 x[3]Aquí podemos ver que los segundos términos en la primera ytercera ecuación son iguales (excepto por el signo negativo) y lomismo para los segundos términos en la segunda y cuarta ecuación.Por lo tanto, para el cálculo del resultado intermedio x 1sólo se necesitan 4 sumas y dos multiplicaciones entre númeroscomplejos.Analicemos ahora el segundo producto matricial:⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤x 2 [0] 1 E 0 0 0 x 1 [0]⎢x 2 [1]⎥⎣x 2 [2] ⎦ = ⎢1 E 2 0 0⎥ ⎢x 1 [1]⎥⎣0 0 1 E 1 ⎦ ⎣x 1 [2] ⎦x 2 [3] 0 0 1 E 3 x 1 [3]que desarrollado queda:

108 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourierx 2 [0] = x 1 [0] + E 0 x 1 [1]x 2 [1] = x 1 [0] + E 2 x 1 [1]x 2 [2] = x 1 [2] + E 1 x 1 [3]x 2 [3] = x 1 [2] + E 3 x 1 [3]Con el mismo razonamiento de antes, E 2 = −E 0 y E 3 =−E 1 y por lo tanto para el cálculo de esta ecuación tambiénse han usado cuatro sumas y dos multiplicaciones entre númeroscomplejos. En total se requirieron 8 sumas y 4 productoscomplejos ya que:⎡ ⎤ ⎡ ⎤X[0] x 2 [0]⎢X[2]⎥⎣X[1]⎦ = ⎢x 2 [1]⎥⎣x 2 [2] ⎦X[3] x 2 [3]Para obtener el X[k] solo tenemos que intercambiar la segunday la tercera filas.En este ejemplo con N = 4 y r = 2 ha quedado claro que seha reducido la cantidad de operaciones, de 16 multiplicacionescomplejas y 12 sumas complejas, a sólo 4 productos complejosy 8 sumas complejas. El algoritmo que se ha ejemplificado esconocido como TRF de base 2, es decir con N = 2 r , que consisteen factorizar la matriz de transformación en r matrices mássencillas con la propiedad de minimizar el número de productosy sumas necesarios. Para este algoritmo, se consigue una reducciónimportante del número de operaciones: en el caso generalse requieren rN/2 multiplicaciones complejas y rN sumas complejas.El costo computacional es prácticamente proporcional ala cantidad de multiplicaciones. En este caso se puede estimarun factor reducción relativa del costo computacional como:

3.10. Transformada rápida de Fourier 109N 2rN/2 = 2N rPor ejemplo si N = 1024 = 2 10 , el tiempo de cálculoserá 2 × 1024/10 = 204,8 veces menor si se usa el algoritmode la TRF en lugar de el cálculo directo de la TDF a partir desu definición. Esta relación se ilustra en la Figura 3.13.1 MDFT512 KFFTN=0N=512N=1024Figura 3.13. Comparación del costo computacional de la TDF y elalgoritmo de la TRF.Existen otras variaciones del algoritmo en las que en vez deusar N = 2 r se toma N = b r , dando origen a los denominadosalgoritmos de base 4, 8, 16, etc. La Tabla 3.2 muestra la cantidadde operaciones requeridas por varios de estos algoritmospara N = 4096. Las bases diferentes de las de 2 no son muy utilizadasen la práctica ya que limitan cada vez más la cantidadde muestras de la señal a transformar.

110 Capítulo 3. Transformada discreta de FourierAlgoritmo N o de productos N o de sumasTDF directa 16.777.216 16.773.120TRF base 2 81.924 139.266TRF base 4 57.348 126.978TRF base 8 49.156 126.978TRF base 16 48.132 125.442Tabla 3.2. Operaciones requeridas para la el cálculo de la TDF directamentea partir de su definición y utilizando el algoritmo de la TRFcon diferentes bases.3.11. Preguntas1. ¿Qué unidades tiene la transformada Fourier?2. ¿Es siempre útil realizar el análisis de una señal mediantela transformada de Fourier?3. ¿Se puede utilizar una base que no sea ortogonal pararealizar el análisis de una señal?¿Cuál es la ventaja de laortogonalidad?4. ¿Existe la transformada de Fourier de una señal senoidal?5. ¿Por qué no se puede analizar cualquier señal con una baseconstituída sólo por funciones sinusoidales?6. ¿Qué relación tiene la propiedad de desplazamiento frecuencialde la TF con la modulación de señales?7. ¿Qué inconvenientes aparecen cuando pasamos de las señalesanalógicas a las digitales?8. ¿Cómo se manifiesta el aliasing en una señal del tiempodesde el punto de vista temporal y frecuencial? ¿Y en unaimagen?

3.11. Preguntas 1119. ¿Cómo se pueden disminuir los efectos del aliasing?10. ¿Cuál es el resultado más evidente de muestrear una señal(desde el punto de vista frecuencial)?11. ¿Por qué se dice que la función sincrónica constituye elinterpolador ideal?12. ¿Cuál es la diferencia entre la transformada de Fourier deuna señal muestreada y la TDF?13. ¿Qué distorsiones incorpora el uso de ventanas rectangularesen el espectro de la señales resultantes? ¿Cómo puedeminimizarse este efecto?14. ¿Qué ventajas puede tener plantear a la TDF como unproducto de vectores y matrices? ¿Qué significa que unatransformación sea unitaria y como se logra?15. ¿Qué diferencia existe entre la TDF y la TRF?16. ¿En qué ideas se basa la TRF para lograr su objetivo?17. ¿Qué es la resolución frecuencial y como puedo aumentarla?18. ¿Qué significa relleno de ceros (zero-padding)?19. Cuando se utiliza la TRF, ¿dónde se “guardan” las “frecuenciasnegativas”?20. ¿Qué es la autocorrelación y la correlación cruzada? ¿Paraqué sirven?21. ¿Cómo se puede utilizar la TRF para acelerar el cálculode la convolución y de la correlación?22. ¿Cómo se estima el espectro de una señal aleatoria?

112 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier23. ¿Qué es el ruido blanco?24. ¿Qué diferencias existen entre el espectro de un delta Diracy un ruido blanco?25. ¿Cómo construiría un analizador de respuesta en frecuenciamediante un osciloscopio y oscilador controlado portensión?26. ¿Y con un banco de filtros?27. ¿Por qué decimos que la cóclea realiza un “análisis espectral”?28. ¿Qué ventajas posee realizar un filtrado directamente enel dominio frecuencial?29. Suponga que tenemos una señal de banda angosta pero defrecuencia central desconocida y que la energía del ruido sedistribuye uniformemente en todas las frecuencias. ¿Cómoimplementaría un filtro para “limpiar” esta señal?30. Suponga que tiene que implementar un sistema digital quetraduzca la señal analógica generada por el “discado” telefónico.¿Como lo haría usando la TDR?31. ¿De qué manera podría implementar un sistema de encriptacióndigital mediante la TDF?32. ¿Por qué la transformada de Fourier no es adecuada parael análisis de señales no estacionarias? ¿Cómo se puedeadecuar esta herramienta a este caso particular?33. Describa como sería la base de la TDF bidimensional empleadapara el análisis de las imágenes.

3.12. Trabajos prácticos 1133.12. Trabajos prácticosEjercicio 1: Genere una señal s(t) = sin(2πf 1 t)+4sin(2πf 2 t),con f 1 = 10 y f 2 = 20 Hz, y obtenga su versión discretas[n] con período de muestreo T m = 0,001 seg.en el intervalo de tiempo t = [0 . . . 1] seg. A continuación:1. Calcule la TDF S[k] de la señal s[n] y grafiqueel espectro de magnitud de S[k].2. Verifique la relación de Parseval para la TDF:E s =N∑s[n] 2 = 1 Nn=1N∑|S[k]| 2k=1donde N es la cantidad de muestras de s[n].Realice los siguiente cambios y analice los resultadosobtenidos:1. Modifique s[n] de forma tal que:s(t) = sin(2πf 1 t) + 4sin(2πf 2 t) + 4y observe los cambios en el espectro de magnitudde S[k].2. Modifique las frecuencias de las señales seno deforma tal que f 1 = 10 Hz y f 2 = 11 Hz y observelos cambios en el espectro de magnitud deS[k].3. Modifique nuevamente las frecuencias de las señalesseno de forma tal que f 1 = 10 Hz y f 2 = 10,5Hz. ¿Qué ocurre en el espectro de magnitud deS[k]?.

114 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier4. Modifique el intervalo de tiempo de análisis dela siguiente manera t = [0 . . . 0,72] seg. y observelos cambios en la TDF.Ejercicio 2: Utilizando el programa didáctico SigTeachrealice los siguientes ejercicios:Genere las siguientes señales:1. Seno real de período T .2. Cuadrada real de período T .3. Armónica compleja de período T .4. Seno de período 3 o 4 veces menor que T .5. Armónica compleja de período 3 o 4vecesmenor que T .6. Suma de la primera (1) y la cuarta (4).Determine si son ortogonales los pares de señales1 y 4, 1 y 2, 3 y 5, 1 y 6.Obtenga las TDF de todas las señales y repitael punto anterior para las transformadas de lasseñales 1 y 4, 3 y 5, 1 y 6. Discuta los resultadosobtenidos.Utilice las animaciones didácticas de la TDFpara varias señales sencillas con 128 muestras.Ejercicio 3: En los archivos de datos ecg.txt, eeg.txt,emg.txt, presion.txt y respiracion.txt se encuentranalmacenados registros homónimos. Carguelos archivos mencionados y calcule las respectivasTDF. Luego grafique en una ventana los registrosy en otra los espectros de magnitud de cada TDFordenados de forma tal que el ancho de banda vayaaumentando.

3.12. Trabajos prácticos 115Ejercicio 4: (∗) En la Figura 1 se observa el espectro demagnitud obtenido aplicando la TDF a una señalgenerada mediante la función g(t) = sin(2πf 1 t) +4 sin(2πf 2 t) y luego digitalizada.2566401 29 51 79 101 128MuestrasFigura 3.14. Espectro de magnitud obtenido mediante la TDF.Siendo T la duración total de la señal adquirida yf m la frecuencia de muestreo, indique cuáles de lossiguientes conjuntos de parámetros puede ser correcto:1. T = 249 ms, f m = 512, f 1 = 112, f 2 = 200 Hz.2. T = 498 ms, f m = 128, f 1 = 56, f 2 = 200 Hz.3. T = 993 ms, f m = 128, f 1 = 100, f 2 = 50 Hz.4. T = 498 ms, f m = 256, f 1 = 56, f 2 = 868 Hz.5. T = 993 ms, f m = 128, f 1 = 100, f 2 = 78 Hz.

116 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier6. T = 124,5 ms, f m = 1024, f 1 = 3872, f 2 =5520 Hz.Ejercicio 5: (∗) Un método simple de interpolación consisteen agregar ceros en la TDF de la señal en cuestióny luego utilizar la TDF inversa. Investigue losdetalles de implementación de este método para elcaso de la señal merval1.txt, correspondientes alIndice MERVAL del último día de cada mes. El primervalor corresponde al índice del 30 de enero de2001, el segundo al 28 de febrero de 2001 y así sucesivamente.Suponiendo que los valores se encuentranseparados uniformemente a un mes, obtenga una estimaciónpara los valores a mediados de cada mes.En el archivo merval2.txt se encuentran los valorestomados tanto a fin como a mediados de mes parapoder comparar y obtener conclusiones.Ejercicio 6: (∗) La señal que se encuentra en el archivonecg.txt corresponde al registro de la actividadeléctrica del corazón de un paciente. Esta señal seha digitalizado a razón de 360 muestras por segundo.Se sabe que el registro ha sido contaminado conun ruido en la banda de 40 a 180 Hz y se necesitaeliminarlo para poder realizar un diagnóstico adecuado.Utilice la TDF para filtrar la señal (*).Ejercicio 7: (∗) Se desea detectar en qué intervalos detiempo el instrumento grabado en el archivo nshima.txtha ejecutado la nota LA. La frecuencia de muestreocon que se tomó el registro es de 11025 Hz.

Bibliografía 117Bibliografía[1] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. H. Nawab, y G. MataHernández. Señales y sistemas. Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 2a. edición (español) , 1998.[2] A.V. Oppenheim and R. Shaffer. Digital Signal Processing.Pearson Higher Education, 1986.[3] E. Brigham. Fast Fourier Transform and Its Applications.Prentice Hall, 1st. edition, 1988.[4] J.G. Proakis y D.G. Manolakis. Tratamiento digital deseñales. Prentice Hall, 1a. edición (español), 1998.[5] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.[6] A. Papoulis. Sistemas y Circuitos Digitales y Analógicos.Marcombo, 1978.[7] H. Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. Cia. Ed.Continental, México, 1987.[8] N.K. Sinha. Linear systems. John Wiley, New York, 1991.[9] L.E. Franks. Teoría de la señal. Reverté, Barcelona, 1975.[10] R.A. Gabel y R.A. Roberts. Señales y sistemas lineales.Ed. Limusa S.A., México, 1975.[11] T. Aljama, M. Cadena, S. Charleston, y O. Yáñez. Procesamientodigital de señales. Universidad Autónoma Metropolitana.Unidad Iztapalapa, México, 1992.[12] J. Deller, J. Proakis, and J. Hansen. Discrete Time Processingof Speech Signals. Macmillan Publishing, New York,1993.

118 Capítulo 3. Transformada discreta de Fourier[13] S.G. Mallat. A Wavelet Tour of signal Processing. AcademicPress, second edition, 1999.[14] J. W. Cooley and J. W. Tukey. An algorithm for machinecalculation of complex Fourier series. Mathematics ofComputation, 19(90):297–301, April 1965.

Capítulo 4Introducción a sistemasRubén AcevedoTemas a tratar• Definición de sistema.• Propiedades de sistemas.• Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI).• Ecuaciones en diferencias.• Diagramas de bloques.Objetivos• Comprender el concepto de sistema.• Interpretar correctamente las propiedades de un sistema.• Comprender la importancia de los sistemas LTI.• Manejar el concepto de ecuaciones en diferencias.119

120 Capítulo 4. Introducción a sistemas4.1. IntroducciónUn sistema se puede ver como cualquier proceso que produceuna transformación de señales, por lo tanto tiene una señalde entrada (entrada de ahora en adelante) y una señal de salida(salida de ahora en adelante) que están relacionadas entre sí através de la función del transferencia del sistema.Los sistemas se pueden dividir en sistemas de tiempo continuoy sistemas de tiempo discreto. Un sistema de tiempo continuoes aquél en que las entradas de tiempo continuo son transformadasen salidas de tiempo continuo. La relación de entraday salida se representa con la siguiente notación: x(t) → y(t),donde x(t) es la entrada y y(t) la salida.Un sistema de tiempo discreto es aquél que transforma lasentradas de tiempo discreto en salidas de tiempo discreto, larepresentación de éstos es de la siguiente forma: x[n] → y[n].x(t)Sistema de tiempocontinuoy(t)x[n]Sistema de tiempodiscretoy[n]Figura 4.1. Representación de sistemas de tiempo continuo y discreto.4.2. Interconexión de sistemasUna idea muy importante es la de interconectar sistemas,ya sea en serie (también llamada en cascada) o en paralelo. Enla Figura 4.2 se representan los dos tipos de interconexiones, aeste tipo de diagramas se los denomina diagramas de bloques.

4.2. Interconexión de sistemas 121EntradaSistema 1 Sistema 2(a)SalidaEntradaSistema 1SalidaSistema 2(b)EntradaSistema 1 Sistema 2SalidaSistema 3(c)Figura 4.2. Interconexión de sistemas: (a) en serie, (b) en paralelo,(c) en serie/paralelo.

122 Capítulo 4. Introducción a sistemasLas interconexiones se utilizan para construir sistemas apartir de otros ya existentes; por ejemplo se pueden diseñar sistemaspara resolver expresiones matemáticas complicadas comoel caso de y[n] = (2.x[n] − x[n] 2 ) 2 . El diagrama mostrado enla Figura 4.3 corresponde a dicho sistema, aquí los signos “+”y “-” indican que la señal x[n] 2 será restada de la señal 2x[n];en caso que estos signos no estén presentes se asumirá que lascorrespondientes señales serán sumadas.Multiplicar x 2x[n]+Cuadradoy[n]Cuadrado-Figura 4.3. Sistema para el cálculo de y[n] = (2.x[n] − x[n] 2 ) 2Otro tipo importante de interconexión de sistemas es lainterconexión de realimentación que se muestra en la Figura 4.4.La salida del sistema 1 es la entrada al sistema 2, mientras quela salida de éste se realimenta y se suma a la entrada externadel sistema 1 para producir la señal de entrada al mismo.4.3. Propiedades de los sistemasLos sistemas presentan propiedades que pueden ser tomadascomo criterio para realizar una clasificación. Estas son válidastanto para sistemas de tiempo continuo como de tiempodiscreto, sin embargo se enfatizará el caso de estos últimos.

4.3. Propiedades de los sistemas 123EntradaSistema 1SalidaSistema 2Figura 4.4. Interconexión de realimentación.Sistemas con y sin memoria: un sistema es sin memoria sisu salida en cada instante de tiempo depende sólo de la entradaen ese mismo instante. En el caso que la salida dependa delvalor actual y de valores anteriores de la entrada el sistema escon memoria.Un ejemplo de sistema sin memoria es el definido por lasiguiente ecuación y(t) = Rx(t) (o su equivalente discreto y[n] =Rx[n] ), donde y(t) representa la diferencia de potencial en losextremos de una resistencia R y x(t) la corriente a través deesta. El sistema y[n] = ∑ 3k=0x[n − k] + y[n − 2] en cambio esun ejemplo de sistema con memoria.Sistemas invertibles: un sistema es invertible si distintasentradas producen distintas salidas, es decir, dada la salida delsistema es posible determinar la entrada.Ejemplos:y[n] = 2x[n] sistema invertibley[n] = 2x[n] 2 sistema no invertibleSistemas causales: un sistema es causal si su salida en cualquierinstante de tiempo depende sólo de los valores de la entradaen el instante actual y en instantes anteriores. A menudo este

124 Capítulo 4. Introducción a sistemastipo de sistemas es llamado no anticipativos, ya que la salida noanticipa valores futuros de la entrada.El sistema y[n] = ∑ 3k=0x[n − k] es un ejemplo de sistemacausal, a diferencia del sistema y[n] = x[n] − x[n + 1].Sistemas estables: un sistema estable es aquel en el que entradaspequeñas o perturbaciones conducen a respuestas que nodivergen.x(t)y(t)x(t)y(t)Figura 4.5. Ejemplos de sistema estable e inestable.La definición precedente es intuitiva, estrictamente un sistemaes estable si para una entrada limitada (su magnitud está acotada)su salida también lo es, y por lo tanto no puede divergir.Los sistemas de la Figura 4.5 representan ambos tipos desistemas, donde x(t) es una aceleración horizontal aplicada a lapelota y y(t) es la posición vertical de la misma.Sistemas invariantes en el tiempo: un sistema es invarianteen el tiempo si un desplazamiento en la entrada produce elmismo desplazamiento en la salida. Esto es equivalente a decirque si los coeficientes (parámetros del sistema) de la ecuaciónque define la dinámica del sistema son constantes. En caso contrarioel sistema es variante en el tiempo.Ejemplos:y[n] = 5x[n] + 2.y[n − 1] sistema invariante en el tiempo.y[n] = sin(ωn)x[n − 1] sistema variante en el tiempo.

4.3. Propiedades de los sistemas 125Sistemas lineales: un sistema es lineal si posee la propiedadde superposición. Es decir, si una entrada consiste en la sumaponderada de varias señales entonces la salida del sistema es lasuperposición (la suma ponderada) de las respuestas del sistemapara cada una de estas señales.Matemáticamente, un sistema lineal se define a través delas siguientes propiedades: sean y 1 (t) y y 2 (t) las salidas del sistemaa las entradas x 1 (t) y x 2 (t) respectivamente, entonces:la respuesta a x 1 (t) + x 2 (t) es y 1 (t) + y 2 (t) (aditividad)la respuesta a ax 1 (t) es ay 1 (t), donde a es un escalar cualquiera(escalamiento u homogeneidad)Estas propiedades que definen un sistema lineal se puedencombinar en un solo enunciado, el cual se describe a continuación:ax 1 (t) + bx 2 (t) → ay 1 (t) + by 2 (t)donde a y b son escalares complejos cualquiera.Generalizando se puede demostrar que si:x[n] = ∑ ka k x k [n] = a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] + . . .es la entrada del sistema entonces:y[n] = ∑ ka k y k [n] = a 1 y 1 [n] + a 2 y 2 [n] + . . .es la salida del sistema. Este hecho se conoce como el principiode superposición, el cual se cumple en sistemas lineales de tiempocontinuo y discretos.

126 Capítulo 4. Introducción a sistemas4.4. Ecuaciones en diferenciasLa dinámica de los sistemas de tiempo continuo se representamediante una ecuación diferencial, en el caso que éstasea lineal y de coeficientes constantes el sistema se denomina lineale invariante en el tiempo (LTI). Estos sistemas representanuna amplia variedad de sistemas y fenómenos físicos; ejemplo deestos son los circuitos pasivos RLC, sistemas mecánicos masaresortey cinética de reacciones químicas entre otros.La representación de los sistemas LTI en tiempo discretose realiza a través de ecuaciones en diferencias lineales decoeficientes constantes; estas ecuaciones describen procesos secuencialescomo por ejemplo la obtención de la respuesta queproduce el tracto vocal (señal de voz) a la excitación de lascuerdas vocales.Una ecuación diferencial de orden N y coeficientes constantesestá dada por:N∑k=0α kd k y(t)dt k =M∑k=0β kd k x(t)dt kla contraparte discreta es la ecuación en diferencias lineal decoeficientes constantes:Esta última ecuación puede acomodarse de la siguiente forma:N∑M∑a k y[n − k] = b k x[n − k].k=0k=0[y[n] = 1 M]∑N∑b k x[n − k] − a k y[n − k]a 0k=0k=1y expresar la salida en el instante n en función de los valores previosde la entrada y la salida; esta ecuación es llamada ecuación

4.4. Ecuaciones en diferencias 127recursiva, ya que implica un procedimiento de esta naturalezapara determinar la salida. La ecuación no recursiva está dadapor la expresión:y[n] =M∑k=0b ka 0x[n − k]donde la salida es función de los valores previos de la entrada.Los sistemas representados por esta última ecuación se denominande respuesta finita al impulso (FIR, finite impulse response)debido a que esta respuesta tiene una duración finita, en el casode los sistemas representados por ecuaciones recursivas se denominanderespuesta infinita al impulso (IIR, infinite impulseresponse).Los sistemas FIR son llamados de promedios móviles o movingaverage (MA), ya que realizan un promedio de la entradaen sucesivos instantes de tiempo. Los sistemas IIR se dividen en2 tipos:los sistemas autoregresivos (AR) son aquellos en que la salidaen el instante n depende solo de los valores anterioresde esta y del valor actual de la entrada, y la ecuación querige sus dinámicas tiene la siguiente forma:y[n] = −N∑k=1a ka 0y[n − k] + x[n],los sistemas ARMA son aquellos donde la salida dependede valores anteriores de la salida y de la entrada, laecuación que rige su dinámica se presentó anteriormente 1 .1 Existen casos especiales en que un sistema ARMA puede comportarsecomo FIR ¿puede encontrar un ejemplo de este tipo?

128 Capítulo 4. Introducción a sistemas4.5. Representación de sistemas LTIdiscretosUna forma de representar sistemas LTI discretos es mediantediagramas de bloques; para esto es necesario definir 3operaciones básicas: suma, multiplicación por un escalar y retardo.La representación de cada una de estas operaciones semuestra en la Figura 4.6.x1[n]x1[n]x1[n] + x2[n]x[n]aa.x[n]x[n]Rx[n-1]Figura 4.6. Representación de operaciones de un sistema LTI discreto.De arriba hacia abajo: sumador, multiplicación por un escalar, retrasounitario.Considere el sistema dado por la siguiente ecuación en diferenciasy[n] = 3x[n] − 2y[n − 1], la representación utilizandodiagrama de bloques se muestra en la Figura 4.7.En el diagrama de la Figura 4.7 se observa una realimentaciónde la salida, esto es consecuencia directa de la naturaleza

4.5. Representación de sistemas LTI discretos 129x[n] 3 3x[n] y[n]-2y[n-1]R-2y[n-1]Figura 4.7. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] − 2y[n − 1]recursiva de la ecuación. Esta situación no se observa en el diagramadel sistema y[n] = 3x[n] + 2x[n − 1] que se muestra en laFigura 4.8. Aquí los valores previos de la salida no se utilizan.x[n] 3 3x[n] y[n]2x[n-1]R2Figura 4.8. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 2x[n − 1]Considere ahora el sistema y[n] = 3x[n]+2x[n−1]−2y[n−1], este se puede representar como la conexión en cascada de los2 sistemas anteriores. En la Figura 4.9 se muestra el diagramade bloques de dicho sistema, donde w[n] = 3x[n] + 2x[n − 1].

130 Capítulo 4. Introducción a sistemasx[n]3 3x[n]w[n]y[n]2x[n-1] -2y[n-1]RR2-2Figura 4.9. Diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 2x[n −1] − 2y[n − 1]4.6. Preguntas1. ¿Qué formas pueden tomar las reglas de comportamientode un sistema? Ejemplifique.2. ¿Qué relación conceptual existe entre las ecuaciones diferencialesy las ecuaciones en diferencias?3. ¿Todos los sistemas MA son FIR? Justifique.4. ¿Todos los sistemas AR son IIR? Justifique.5. ¿Todos los sistemas ARMA son IIR? Justifique.4.7. Trabajos prácticosEjercicio 1: Para cada uno de los siguientes sistemas determinesi son causales, lineales, invariantes en eltiempo y si poseen memoria. En cada caso grafiquela salida del sistema y[n] para una entrada dada.

4.7. Trabajos prácticos 1311. y[n] = g[n]x[n] donde g[n] = A sin(ωnT ) siendoA constante, ω = 2πf y T el período demuestreo.∑2. y[n] = n x[k]k=no3. y[n] = n+no ∑k=n−no4. y[n] = x[n − no]5. y[n] = e x[n]6. y[n] = x[n] + 27. y[n] = nx[n]x[k]Ejercicio 2: Los sistemas con la forma y[n] = ax[n] + bson una caso particular de sistemas NO lineales queha sido denominados sistemas incrementalmente lineales.Estos sistemas poseen la propiedad de responderen forma lineal a cambios en la entrada, esdecir, la diferencia entre las respuestas de un sistemaincremental lineal a dos entradas cualquiera es unafunción lineal de la diferencia de las dos entradas.Verifique matemáticamente la propiedad mencionadapara el sistema y[n] = 2x[n] + 3.Ejercicio 3: Considere un sistema representado por laecuación en diferencias y[n] − ay[n − 1] = x[n] y concondición inicial y[0] = 1. Responda y justifique:¿Es el sistema invariante en el tiempo?¿Es el sistema lineal?Suponga que la condición inicial cambia a y[0] =0, ¿modifica esto las respuestas de los puntosanteriores?

132 Capítulo 4. Introducción a sistemasEjercicio 4: Los sistemas LTI poseen 2 interesantes propiedades:la salida es cero cuando la entrada es cero (y elsistema está inicialmente en reposo)no agregan componentes armónicas al espectrode frecuencias de la señal de entrada.Proponga 2 sistemas, uno lineal y otro no lineal, yverifique estas propiedades.Ejercicio 5: Considere el diagrama en bloques de la Figura4.10 y encuentre la expresión explícita de laseñal de salida y[n] en función de la señal de entradax[n].D^2x[n]-2y[n]^2Figura 4.10. Diagrama en bloques para el Ejercicio 5.Ejercicio 6: Considere el sistema LTI y[n]−0,5y[n−1]+0, 25y[n − 2] = x[n] inicialmente en reposo. Encuentreel diagrama en bloques que lo representa y encuentrela salida del mismo para la entrada mostradaen la Figura 4.11.Ejercicio 7: (∗) Encuentre la respuesta al impulso de lossistemas LTI causales descriptos por las siguientes

Bibliografía 133x[n]32221 1. . . . -2 -10 1 2 3 . . .nFigura 4.11. Entrada para Ejercicio 6.ecuaciones en diferencias y clasifíquelos en funciónde ésta 2 .1. y[n] − y[n − 2] = x[n]2. y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1]3. y[n] − y[n − 1] = x[n] + 2x[n − 1]4. y[n] − 0,5y[n − 1] + 0,25y[n − 2] = x[n]5. y[n] = x[n] + x[n − 1] − y[n − 1]Ejercicio 8: (∗) Represente a los sistemas del ejercicio anteriormediante diagramas en bloque y encuentre susrespuestas al escalón unitario.Bibliografía[1] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. H. Nawab, y G. MataHernández. Señales y sistemas. Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 2a. edición (español), 1998.2 Utilice condiciones iniciales nulas.

134 Capítulo 4. Introducción a sistemas[2] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.[3] H. Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. Cia. Ed. Continental,México, 1987.[4] A. Papoulis. Sistemas y Circuitos Digitales y Analógicos.Marcombo, 1978.[5] N.K. Sinha. Linear systems. John Wiley, New York, 1991.[6] L.E. Franks. Teoría de la señal. Reverté, Barcelona, 1975.[7] R.A. Gabel y R.A. Roberts. Señales y sistemas lineales. Ed.Limusa S.A., México, 1975.

Capítulo 5Convolución discretaRubén AcevedoTemas a tratar• Convolución lineal: sumatoria de convolución.• Propiedades de la sumatoria de convolución.• Convolución circular.• Deconvolución.Objetivos• Entender el concepto de la convolución lineal en tiempodiscreto.• Relación entre la convolución circular y la TransformadaDiscreta de Fourier.135

136 Capítulo 5. Convolución discreta5.1. IntroducciónLa superposición es una de las propiedades más importantesde los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI).Esto significa que se puede representar la señal de entrada a unsistema LTI en términos de un conjunto de señales básicas yutilizar este principio para determinar la salida del sistema entérminos de sus respuestas a estas señales básicas.El impulso unitario, tanto en tiempo continuo como discreto,se puede utilizar como bloque elemental para construirmuchas señales de tipo general. Este hecho, junto con las propiedadesde invarianza temporal y superposición permiten desarrollaruna caracterización completa de sistemas LTI en términosde su respuesta al impulso. Esta representación conocida comola integral de convolución en tiempo continuo, y la sumatoriade convolución en tiempo discreto, proporciona una considerableventaja en el análisis de sistemas LTI. Las propiedades dela esta última son de interés debido a su aplicación en procesamientodigital de señales.La convolución es uno de los procesos más importantes yeficaces en el análisis de sistemas LTI, ya que permite estableceruna relación entre la entrada y la salida en el dominio del tiempoy el de la frecuencia. Una multiplicación en el dominio deltiempo implica una convolución en la frecuencia o a la inversa,una multiplicación en el dominio de la frecuencia implica unaconvolución en el tiempo.Para el caso bidimensional, que es una extensión directadel unidimensional, existen numerosas aplicaciones relacionadascon el procesamiento y filtrado de imágenes donde la variableindependiente pasa a ser el espacio y no el tiempo.

5.2. Convolución lineal 1375.2. Convolución linealPara entender el concepto de la convolución lineal es apropiadocomenzar con la representación de una señal de tiempodiscreto en términos de funciones impulso unitarios δ[n], equivalentesa las tipo Delta de Dirac para el caso continuo. Enla Figura 5.1 se representan cinco secuencias, cada una con unimpulso escalado y desplazado en tiempo. El escalamiento decada impulso es igual al valor de x[n] en el instante de tiempoen el que se encuentra dicha muestra unitaria. Por ejemplo,x[−1]δ[n + 1] = x[−1] para n = −1 y 0 (cero) para n ≠ −1; deigual manera x[0]δ[n] = x[0] para n = 0 y 0 (cero) para n ≠ 0 yasí sucesivamente.De acuerdo a esto, la suma de las cinco secuencias es iguala x[n] para −2 ≤ n ≤ 2 y tiene la siguiente expresión:x[−2]δ[n+2]+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[2]δ[n−2]Es decir, al incluir impulsos adicionales escalados y desplazados,se puede escribirx[n] = . . . +x[−3]δ[n + 3] + x[−2]δ[n + 2] ++x[−1]δ[n + 1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n − 1] ++x[2]δ[n − 2] + x[3]δ[n − 3] + . . .Es importante notar que para un valor dado de n sólo unode los términos del lado derecho de la ecuación anterior es diferentede cero, y el escalamiento de ese término es x[n].En forma compacta se puede escribir la ecuación anteriorde la siguiente manera:x[n] =+∞∑k=−∞x[k]δ[n − k]

138 Capítulo 5. Convolución discretaEsta corresponde a la representación de una secuencia arbitrariacomo una combinación lineal de secuencias de impulsosunitarios desplazados δ[n − k], donde los pesos de esta combinaciónson x[k].Considere un sistema LTI, con una entrada arbitraria dadapor:x[n] =+∞∑i=−∞x[i]δ[n − i]y h[n] como la respuesta al impulso del sistema. Debido a lacaracterística de invarianza temporal del sistema, si h[n] es larespuesta a δ[n] entonces h[n − m] es la respuesta a δ[n − m].Además considerando que el sistema es lineal se puede aplicarel principio de superposición, de forma tal de obtener la saliday[n] como una combinación lineal de las respuestas del sistemaa impulsos desplazados. Entonces la respuesta del sistema a unaentrada arbitraria x[n] se puede expresar como:y[n] =+∞∑k=−∞x[k]h[n − k]Este resultado se conoce como sumatoria de convolución, y laoperación del lado derecho de la ecuación se conoce como laconvolución lineal de las secuencias x[n] y h[n] y se representaen forma simbólica como y[n] = x[n] ∗ h[n].En la Figura 5.2 se muestra el proceso de obtención de lasalida y[n], de un sistema LTI, a la entrada representada porla secuencia x[n] = [1, 2, 2] y respuesta impulsional dada por lasecuencia h[n] = [2, 1, 0,5]. La entrada puede expresarse comouna sumatoria de secuencias impulsos desplazados y escalados,de forma tal que x[n] = x 0 [n]+x 1 [n]+x 2 [n]. En la Figura 5.2 (b)se muestra la respuesta del sistema a cada una de las x i [n], lascuales consisten en respuestas al impulso desplazadas y escala-

5.2. Convolución lineal 139x[n]-4 -3 -2 0 1 3 4nx[-2].δ[n+2]nx[-1].δ[n+1]nnx[1].δ[n-1]Figura 5.1. Descomposición de una señal de tiempo discreto en unasuma de secuencia de impulsos ponderados y desplazados.n

140 Capítulo 5. Convolución discretadas adecuadamente; finalmente la salida del sistema se expresacomo y[n] = ∑ 2i=0x[i]h[n − i].Este procedimiento se puede implementar como una multiplicacióntérmino a término similar a la que se utiliza paraoperar con polinomios. Considere las secuencias x[n] y h[n] definidasen el párrafo anterior, la multiplicación término a términoresulta:h[n] 2 1 0,5x[n] 1 2 2y 0 [n] 2 1 0,5 → x[0].h[n]y 1 [n] 4 2 1 → x[1].h[n − 1]y 2 [n] 4 2 1 → x[2].h[n − 2]y[n] 2 5 6,5 3 1 → y 0 [n] + y 1 [n] + y 2 [n]Desarrollando la sumatoria de convolución se observa quela salida para cada instante de tiempo tiene la forma:y[0] = h[0]x[0]y[1] = h[1]x[0] + h[0]x[1]y[2] = h[2]x[0] + h[1]x[1] + h[0]x[2].y[N] = h[N]x[0] +N−1∑i=0h[i]x[N − i]Este proceso se muestra en la Figura 5.3, y será utilizadopara describir más adelante el procedimiento para calcular laconvolución circular entre dos secuencias.Finalmente la operación de convolución se puede representarde forma matricial y = Hx, donde x e y son vectores deN muestras y H una matriz de N × N. A modo de ejemplosuponga N = 4, entonces:

5.2. Convolución lineal 141x[n]h[n]y[n]2x[n]2h[n]110.5-1 0 1 2 3 4n-1 0 1 2 3n2h0[n] = h[n].x[0]1x [0].δ[n]10.5-1 0 1 2 3 4 n-1 0 1 2 3n2x [1].δ[n-1]42h1[n] = h[n-1].x[1]1-1 0 1 2 3 4 n0 1 2 3 44nh2[n] = h[n-2].x[2]2x[2].δ[n-2]21-1 0 1 2 3 4n0 1 2 3 4 56.5523ny[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]1-1 0 1 2 3 4 55nFigura 5.2. Obtención de la salida de un sistema LTI mediante laconvolución lineal.

142 Capítulo 5. Convolución discretax[-n]h[n]-4 -3 -2 -1 0 1n-1 0 1 2 3nx[1-n]-3 -2 -1 0 1 2ny[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0x[2-n]y[0] = x[-n] . h[n] = 2-2 -1 0 1 2 3ny[1] = x[1-n] . h[n] = 5y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5x[3-n]y[3] = x[3-n] . h[n] = 3y[4] = x[4-n] . h[n] = 1-1 0 1 2 3 4y[5] = x[5-n] . h[n] = 0x[4-n]y[6] = x[6-n] . h[n] = 00 1 2 3 4 5 nFigura 5.3. Convolución lineal de dos secuencias por el método deespejado.

5.3. Convolución circular 143⎡⎢⎣y[0]y[1]y[2]y[3]⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣h[0] 0 0 0h[1] h[0] 0 0h[2] h[1] h[0] 0h[3] h[2] h[1] h[0]⎤⎥⎦ ·⎡⎢⎣x[0]x[1]x[2]x[3]Como se observa de la expresión, sólo se obtienen las primerasN muestras correspondientes a la operación y = x ∗ h.De todas maneras esta forma de cálculo es útil debido a que sepuede operar fácilmente para realizar la deconvolución, como severá más delante, y obtener la entrada x[n] o la respuesta alimpulso h[n].5.3. Convolución circularConsidere 2 secuencias x 1 [n] y x 2 [n], con una longitud deN muestras cada una, y X 1 [k] y X 2 [k] sus respectivas TransformadasDiscretas de Fourier (TDF), multiplicando estas últimasentre si se obtiene una secuencia de N muestras.En tiempo continuo se cumple que x(t)∗y(t) ←→ T FX(f)Y (f),donde TF significa Transformada de Fourier. Sin embargo entiempo discreto la relación equivalente x[n] ∗ y[n] T ←→ DFX[k]Y [k]no se cumple. Del análisis de esta relación se desprende que nocoincide la cantidad de muestras de un lado y otro, debido a quepor un lado x 1 [n] ∗ x 2 [n] posee 2N − 1 muestras mientras queX 1 [k]X 2 [k] tiene N muestras.Las ecuaciones correctas para el caso de tiempo discretoson:⎤⎥⎦yx 1 [n] ⊛ x 2 [n] T DF←→ X 1 [k]X 2 [k]x 1 [n]x 2 [n] T DF←→ X 1 [k] ⊛ X 2 [k]

144 Capítulo 5. Convolución discretaxp[-n]h[n]-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 n -1 0 1 2 3 nxp[1-n]y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ny[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3y[0] = xp[-n] . h[n] = 3xp[2-n]y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ny[3] = xp[3-n] . h[n] = 3y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3xp[3-n]y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 nFigura 5.4. Convolución circular (o periódica) de dos secuencias.

5.4. Relación entre convolución lineal y circular 145El nombre de convolución circular surge del hecho que esposible interpretar la operación como una convolución de dossecuencias en la cual, en vez de desplazar una secuencia en formalineal sobre la otra, ambas se disponen en círculos concéntricosy los desplazamientos relativos se convierten en rotaciones.5.4. Relación entre convolución linealy circularEs posible obtener la convolución lineal de dos secuenciasutilizando la convolución circular. A continuación se resume lasecuencia de pasos necesarios para llevar a cabo esta operación:x 1[n] → x 1m[n] →x 2[n] → x 2m[n] →X 1m[k]↓X 1m[k]X 2m[k] → x 1m[n] ⊛ x 2m[n] → x 1[n] ∗ x 2[n]↗X 2m[k]Se asume que tanto x 1 [n] como x 2 [n] poseen N muestras,entonces el primer paso consiste en modificar cada una de lassecuencias agregándoles N − 1 ceros, de forma tal de formarlas secuencias x 1m [n] y x 2m [n] de 2N − 1 muestras de longitud.Luego se calcula la TDF de cada secuencia, se las multiplicaentre sí y se calcula la TDFI. El resultado es la convolucióncircular x 1m [n] y x 2m [n] que a su vez es la convolución linealentre x 1 [n] y x 2 [n].5.5. DeconvoluciónLa deconvolución es la operación inversa de la convolución,esto es si un sistema LTI produjo una salida correspondiente auna señal de entrada o excitación a la cual no tenemos acceso,

146 Capítulo 5. Convolución discretapodremos recuperarla mediante la deconvolución y de ahí suimportancia.Una de las formas para obtener la deconvolución de dossecuencias es la división término a término, que es la operaciónrecíproca de la multiplicación término a término. Considere lasecuencias de la Figura 5.2 y suponga que se quiere determinarla secuencia h[n] a partir de la deconvolución de y[n] y x[n]. Laforma de operar es análoga a la división entre polinomios. Porejemplo, la división término a término de izquierda a derechaes:y[n] → 2 5 6,5 3 1 ) 1 2 2 ← x[n]2 4 4 2 1 0,5 ← h[n]0 1 2,5 31 2 20 0,5 1 10,5 1 10 0 0y de derecha a izquierda:y[n] → 2 5 6,5 3 1 ) 1 2 2 ← x[n]0,5 1 1 2 1 0,5 ← h[n]5 6 2 01 2 22 4 4 02 4 40 0 0En caso de que la convolución se hubiera hecho de la formay = H.x, entonces se puede hacer la deconvolución de la siguientemanera: H −1 .y = x, donde H −1 es la matriz inversa deH, lo que suele llamarse el caso de “control”. De forma análogasi planteamos ahora y = X.h entonces X −1 .y = h , lo que suelellamarse el caso de “identificación”.

5.5. Deconvolución 147Como la deconvolución corresponde a lo que suele denominarsecomo un problema inverso presenta algunas particularidadescomunes a este tipo de problemas. Un aspecto a consideraral momento de realizar la deconvolución es la presencia de unaseñal de ruido r[n]. Esta puede aparecer en la entrada del sistema(Figura 5.5) o en la salida del mismo (Figura 5.6), dependiendode en donde aparezca afectará más o menos a la deconvolución.r[n]x[n]hy[n]h -1x d[n]Figura 5.5. Deconvolución con ruido aditivo en la entrada.r[n]x[n]hy[n]h -1x d[n]Figura 5.6. Deconvolución con ruido aditivo en la salida.En la Figura 5.7 (a) se muestra la respuesta al impulsoh[n] de un sistema, la entrada x[n] y la salida y[n] obtenida dela forma y = x ∗ h; en la Figura 5.7 (b) se muestra el espectrode frecuencia de la entrada X[k], la respuesta en frecuencia delsistema H[k] y la del sistema inverso H −1 [k].En la Figura 5.8 se muestra como influye el ruido en lasalida del sistema al realizar la deconvolución de esta con larespuesta al impulso del mismo. En la Figura 5.8 (a) se muestrala señal resultante de la deconvolución cuando en la salida delsistema se adiciona ruido de 2, 5 y 10 Hz. En la Figura 5.8 (b) se

148 Capítulo 5. Convolución discreta0.1h[n]0-0.10 50 100 150 200 250 3001x[n]0y[n]=x[n]*h[n]-10 50 100 150 200 250 3000.50-0.50 100 200 300 400 500 600(a)100X[k]50H[k]Hinv[k]00 2 4 6 8 10 12 141.5[Hz]10.500 2 4 6 8 10 12 14150[Hz]1005000 2 4 6 8 10 12 14[Hz](b)Figura 5.7. Señales de entrada, respuesta al impulso y salida de unsistema LTI.

5.6. Preguntas 149muestran los espectros de frecuencia de las señales resultantes.5.6. Preguntas1. Demuestre las siguientes propiedades de la convolución linealde dos señales continuas:Si y(t) = x(t) ∗ h(T ) entonces Y (w) = X(w)H(w).Si y(t) = x(t)h(t) entonces Y (w) = X(w) ∗ H(w).donde Y (w), X(t) y H(w) son las trasformadas de Fourierde y(t), x(t) y h(t) respectivamente.2. Suponga que un sistema posee una respuesta impulsionalh[n] que varía en el tiempo de acuerdo a una ley conocida.Considerando esto, ¿es posible encontrar la salida del sistemamediante la convolución lineal de la entrada x[n] conh[n]?. Proponga un ejemplo para responder la pregunta.5.7. Trabajos prácticosEjercicio 1: Realice las tres operaciones siguientes y comentelos resultados.1. multiplique 121 por 311.2. multiplique los polinomios 1+2x+x 2 y 3+x+x 23. calcule la convolución de las señales [1, 2, 1] y[3, 1, 1].Ejercicio 2: Dado el sistema 6y[n]−4y[n−1]+5y[n−2] =x[n] − 2x[n − 1] + x[n − 2], inicialmente en reposo,obtenga la respuesta al escalón unitario mediante laecuación en diferencias y luego compárela con la calculadamediante la sumatoria de convolución, para

150 Capítulo 5. Convolución discreta2xd1[n]0-20 50 100 150 200 250 3002xd5[n]0-20 50 100 150 200 250 3005xd10[n]0-50 50 100 150 200 250 300(a)100Xd1[k]50Xd5[k]00 2 4 6 8 10 12 14150[Hz]1005000 2 4 6 8 10 12 14300[Hz]Xd10[k]20010000 2 4 6 8 10 12 14[Hz](b)Figura 5.8. Influencia del espectro de frecuencias del ruido en la deconvolución.

5.7. Trabajos prácticos 151lo que deberá encontrar previamente su respuesta alimpulso.Ejercicio 3: Considere un sistema LTI con respuesta alimpulso h[n] y muestre que cuando la entrada x[n]es una secuencia periódica con período N, la saliday[n] también es periódica con el mismo período.Ejercicio 4: (∗) Defina tres señales cualquiera y muestrenuméricamente las siguientes propiedades de la convolución:1. conmutativa: y ∗ x = x ∗ y2. asociativa: x ∗ (y ∗ w) = (x ∗ y) ∗ w3. distributiva con respecto a la suma: x ∗ (y +w) = x ∗ y + x ∗ wEjercicio 5: Verifique las condiciones de aplicabilidad parala propiedad:x ∗ y = F −1 {F{x}F{y}}utilizando señales de N muestras y comparando losresultados de la convolución calculada mediante:1. la sumatoria de convolución con ciclos for,2. la función conv,3. la función filter,4. las funciones fft y ifft utilizadas directamentecomo lo indica la propiedad,5. las funciones fft e ifft pero agregando N − 1ceros tanto a x como a y.

152 Capítulo 5. Convolución discretaEjercicio 6: Considere dos sistemas LTI conectados encascada (Figura 5.9), con respuestas al impulso dadaspor h A [n] = sin(8n) y h B [n] = a n u[n], dondea ∈ R, |a| < 1 y u[n] es la función escalónunitario. Determine la salida y[n] para una entradax[n] = δ[n] − aδ[n − 1].x[n] w[n] y[n]h Ah BFigura 5.9. Sistemas en cascada.Ejercicio 7: (∗) La relación entrada–salida de dos sistemasLTI conectados en cascada no depende del ordenen el que están conectados. Este hecho, conocidocomo propiedad conmutativa, depende tanto dela linealidad como de la invariancia en el tiempode ambos sistemas. Considere dos sistemas A y Bconectados como muestra la Figura 5.9. El sistemaA es LTI con una respuesta impulsional dada porh A [n] = ( 1 n2)u[n]. El sistema B es lineal pero varianteen el tiempo y da como salida y[n] = nw[n]para una entrada w[n].1. Muestre que la propiedad conmutativa no secumple si los dos sistemas no son LTI (supongauna entrada sencilla).2. Muestre que la propiedad conmutativa se cumpleredefiniendo el sistema B como LTI.3. Redefina el sistema B según y[n] = w[n] + 2 yvuelva a verificar la propiedad.Ejercicio 8: (∗) En el archivo pb100.txt se encuentra larespuesta al impulso h[n] de un sistema con frecuen-

5.7. Trabajos prácticos 153cia de muestreo 1000 Hz. Este sistema se comportacomo un filtro pasa bajos con frecuencia de corte 100Hz.1. Utilice la convolución para filtrar la señal x[n]consistente en la suma de 5 señales senoidalescon frecuencias entre 50 y 150 Hz.2. Utilice la deconvolución para obtener nuevamentela entrada x[n] a partir de la salida y[n]y la respuesta al impulso h[n].3. Evalúe el efecto del ruido en el proceso de deconvoluciónpara las dos situaciones que se muestranen la Figura 5.10. En ambos casos analicelo que ocurre cuando:el ancho de banda de r[n] es inferior a 100Hz.r[n] tiene componentes frecuenciales entre100 y 300 Hz.r[n]a)x[n]hy[n]r[n]b)x[n]hy[n]Figura 5.10. Sistema con ruido aditivo a) en la entrada y b) en lasalida.

154 Capítulo 5. Convolución discretaBibliografía[1] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. H. Nawab, y G. MataHernández. Señales y sistemas. Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 2a. edición (español), 1998.[2] N.K. Sinha. Linear systems. John Wiley, New York, 1991.[3] A.V. Oppenheim and R. Shaffer. Digital Signal Processing.Pearson Higher Education, 1986.[4] J.G. Proakis y D.G. Manolakis. Tratamiento digital deseñales. Prentice Hall, 1a. edición (español) , 1998.[5] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.

Capítulo 6Transformada ZHumberto Torres, Rubén AcevedoTemas a tratar• Representación de sistemas de tiempo discreto.• Mapeos s − z.• Función de transferencia en z.• Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto.Objetivos• Utilizar la transformada Z como herramienta para obtenerla expresión de tiempo discreto de un sistema a partir dela ecuación diferencial que rige su dinámica.• Obtener la respuesta en frecuencia de sistemas de tiempodiscreto.• Analizar las limitaciones de las transformaciones conformesutilizadas.155

156 Capítulo 6. Transformada Z6.1. IntroducciónEn muchos casos se desea transformar un sistema de tiempocontinuo en un sistema de tiempo discreto, en esta situaciónexiste el problema de la conversión adecuada del sistemade tiempo continuo deseado en un sistema de tiempo discretoapropiado.Este tipo de transformaciones se ha visto favorecida porel advenimiento de la tecnología digital de alta densidad y altavelocidad, especialmente en sistemas de filtrado y procesamientode señales que antes eran esencialmente de tiempo continuo.La flexibilidad que proveen estos dispositivos es una ventaja importantecon respecto a la implementación tradicional. Este esel caso de los sistemas basados en los Procesadores de SeñalesDigitales o DSP. Sin embargo, en aplicaciones de muy alta frecuencialos sistemas analógicos son todavía irreemplazables.Mediante el empleo de transformaciones conformes, comolas que serán mencionadas en este texto, los diseños de sistemasde tiempo continuo pueden ser transformados en sistemas detiempo discreto con las especificaciones correspondientes.6.2. Definición de transformada ZLa transformada Z de una secuencia de tiempo discretox[n] se define como:X(z) =+∞∑n=−∞x[n]z −ndonde z es una variable compleja de la forma z = re jΩ , r esla magnitud de z y Ω es el ángulo. La relación entre x[n] y sutransformada Z se indica como:x[n]Z←→ X(z).

6.2. Definición de transformada Z 157La transformada X(z) es en realidad la transformada deLaplace de x[n], y por consiguiente la generalización correspondientede la transformada de Fourier. Si x[n] es el resultado demuestrear la señal continua x(t), es decir, la modulación de x(t)con un tren de pulsos tipo delta de Dirac:x[n] = x(t)+∞∑n=−∞δ (t − nT ) =+∞∑n=−∞x (nT ) δ (t − nT )entonces la transformada de Laplace de x[n] está dada por:X(s) =∫+∞−∞[ +∞∑n=−∞x (nT ) δ (t − nT )]e −st dtIntercambiando el orden de la sumatoria y la integral:X(s) =+∞∑n=−∞integrando se obtiene:X(s) =⎡∫x (nT ) ⎣+∞∑n=−∞+∞−∞⎤δ (t − nT ) e −st dt⎦x (nT ) e −snTSi comparamos esta ecuación con la definición de la transformadaZ encontramos que:z = e sT

158 Capítulo 6. Transformada Zque es una igualdad clave para encontrar la relación entre latransformada Z muchos otras transformaciones lineales de interés.Utilizando la notación x δ [n] = x(nT ) obtenemos finalmente:X(z) =+∞∑n=−∞x δ [n]z −nSi ahora sustituimos z por su expresión en forma polar se puedeinterpretar X(z) en términos de la transformada de Fourier:X(z)| z=re jw =+∞∑n=−∞cuando r = 1 se obtieneX (z)| z=re jw =x δ [n] ( re jw) −n=+∞∑n=−∞+∞∑n=−∞x [n] e −jwnx δ [n]r −n e −jwnDe esta última ecuación se observa que la Transformada deFourier de una secuencia discreta es en realidad la transformadaZ de la secuencia evaluada sobre el círculo unitario. Si esta evaluaciónse realiza sobre una única vuelta del círculo unitario ya intervalos discretos determinados, entonces estamos en el casode la transformada discreta de Fourier.6.2.1. Convergencia de la transformada ZLa transformada Z no converge para todas las secuencias,ni para todos los valores de z. Para una determinada secuencia,el conjunto de valores de z para los cuales la TransformadaZ converge, se denomina región de convergencia. Para que latransformada Z de una secuencia sea convergente es necesarioque la serie sea absolutamente sumable, es decir:

6.2. Definición de transformada Z 159+∞∑n=−∞+∞∑n=−∞+∞∑n=−∞|x [n] z −n | < M∣ x [n] r −n e −jθn∣ ∣ < M|x [n]| r −n < MLuego, la convergencia o no de la transformada Z viene determinadapor los coeficientes x[n]. Por ejemplo, sea la secuenciax[n] = a n u[n]; entonces:X(z) =+∞∑a n u (n) z −n =+∞∑n=−∞n=0a n z −ny entonces:+∞∑n=0∣ a n z −n∣ ∣ ===+∞∑n=0+∞∑n=0+∞∑n=0∣ a n r −n e −jθn∣ ∣∣ ar −1 e −jθ∣ ∣ n∣ a ∣ n < MrLa transformada Z es convergente solo si r > a entonces|z| > a y converge a:

160 Capítulo 6. Transformada ZX(z) ===+∞∑n=−∞+∞∑n=0+∞∑n=0a n u(n)z −na n z −n(az−1 ) n= 1 + az −1 + a 2 z −2 + ....1=1 − az −1z=z − aYa que la transformada Z es función de una variable compleja,es conveniente describirla e interpretarla usando el planocomplejo, tal como se indica en la Figura 6.1.Un grupo importante de transformadas Z está constituidopor aquellas funciones X(z) que son racionales, es decir uncociente de polinomios en z. En ellas, las raíces del numerador(valores de z tales que X(z) = 0), se denominan ceros de X(z).Análogamente, a las raíces del denominador (valores de z quehacen que X(z) → ∞) se les denomina polos de X(z). No puedehaber polos en la región de convergencia, estos se encuentran enel límite de la región de convergencia, como se ve en el ejemplode la Figura 6.1.6.2.2. La transformada Z inversaUna de las aplicaciones más importantes de la transformadaZ es el análisis de sistemas discretos lineales e invariantes

6.2. Definición de transformada Z 161Im(z)Plano zCeroConvergentePoloRe(z)Figura 6.1. Representación de X(z) en el plano complejo

162 Capítulo 6. Transformada Zen el tiempo (LTI). Este análisis suele requerir calcular la transformadaZ inversa.La transformada Z inversa esta formalmente definida como:x[n] = 1 ∮X(z)z n−1 dz2πjCdonde la integral es una integral de contorno sobre el caminocerrado C que encierra al origen y se encuentra en la región deconvergencia de X(z) en el plano z.Existen tres métodos, frecuentemente utilizados en la práctica,para recuperar la secuencia original a partir de su transformadaZ:Cálculo directo de la integral.Expansión en serie de términos z y z −1Expansión en fracciones simples y búsqueda en tabla.El método del cálculo de la integral rara vez se utiliza, eimplica la utilización del teorema del residuo de Cauchy.Si la transformada Z es una función racional, la expresiónen forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediantedivisión de polinomios. Podremos observar como precisamentelos coeficientes asociados a cada uno de los términos z −nde la serie son los valores de la secuencia , ya que por definiciónla transformada Z es:X(z) =+∞∑n=−∞x[n]z −nUn procedimiento más general consiste en realizar una Descomposiciónen Fracciones Simples e identificar las transformadassimples de los términos así obtenidos.

6.3. Propiedades de la transformada Z 163SeaX(z) = P (z)Q (z)siendo M el orden de P (z) y N el orden de Q(z).Si M < N y solo existen polos de primer ordenX(z) = P (z)Q (z)N∑ A k=z − z kk=1siendo A k = (z − p k) X (z)z∣∣z=pkSi M ≥ N:X(z) = B M−n z M−n + B M−n−1 z M−n−1 + · · ·N∑ A k· · · + B 1 z + B 0 +z − z kk=1siendo los B i los coeficientes obtenidos mediante división hastaque el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1.Con este resto se procede a descomponer en fracciones simplesy el resultado se añade al de la división.6.3. Propiedades de la transformada ZAl igual que otras transformadas, la transformada Z poseepropiedades que la hacen una herramienta muy útil para elestudio de señales y sistemas de tiempo discreto.1. Linealidad

164 Capítulo 6. Transformada ZSi x 1 [n]ZZ←→ X 1 (z) y x 2 [n] ←→ X 2 (z) entoncesax 1 [n] + bx 2 [n]2. Desplazamiento en el tiempoSi x[n]Z←→ aX 1 (z) + bX 2 (z).ZZ←→ X(z) entonces x[n − n o ] ←→ X(z)z −no .3. Desplazamiento en la frecuenciaSi x[n]Z←→ X(z) entonces e jΩon Zx[n] ←→ X(e −jΩo z).4. Inversión en el tiempoSi x[n]ZZ←→ X(z) entonces x[−n] ←→ X( 1 z ).5. Propiedad de convoluciónSi x 1 [n]ZZ←→ X 1 (z) y x 2 [n] ←→ X 2 (z) entoncesx 1 [n] ∗ x 2 [n]6. Diferenciación en el dominio ZSi x[n]Z←→ X 1 (z)X 2 (z).ZZ←→ X(z) entonces nx[n] ←→ −z dX(z)dz6.4. Representación de sistemas discretosmediante transformada ZEn el caso de los sistemas LTI definidos por ecuacionesen diferencias, las propiedades de la transformada Z proveenun procedimiento muy conveniente para obtener la función detransferencia, la respuesta en frecuencia o la respuesta temporaldel sistema.Si se considera el sistema definido por la ecuación

6.4. Representación de sistemas discretos mediantetransformada Z 165y[n] − 1 2 y[n − 1] = x[n] + 1 x[n − 1]3aplicando la definición de transformada Z a ambos lados de laecuación y utilizando las propiedades de linealidad y desplazamientose obtieneY (z) − 1 2 Y (z)z−1 = X(z) + 1 3 X(z)z−1 .Realizando algunos pasos algebraicos se obtiene la funciónde transferencia del sistema de la formaH(z) = Y (z)X(z) = 1 + 1 3 z−11 − 1 2 z−1este proceso se puede generalizar para cualquier ecuación endiferencias lineal y con coeficientes constantes.En el caso expuesto se dispone de la ecuación en diferenciasy a partir de ésta se obtiene la función de transferencia delsistema; pero el caso de mayor interés es obtener la ecuaciónen diferencias a partir de la ecuación diferencial que define ladinámica del sistema en tiempo continuo.Un método para obtener la ecuación en diferencias del sistemade tiempo discreto es utilizando transformaciones conformesque mapean el plano S en el plano Z como lo resume laFigura 6.2.Los pasos involucrados en el proceso son los siguientes :Obtención de la función de transferencia del sistema encuestión.Aplicación de una transformación conforme para mapearel plano s en el plano z y obtener de esta manera la expresiónde la función de transferencia del sistema en eldominio de Z.

166 Capítulo 6. Transformada ZEcuacionesdiferencialesTransformada de Laplacey (m) (t) = f(y(t),y'(t),...,y (m-1) (t),x(t),x'(t),...,x (m) (t))y[n] = g(y[n-1],...,y[n-m],...,x[n],x[n-1],...,x[n-m])Ecuacionesen diferenciasTransformada ZTransformaciónconformeRazón depolinomios en sY(s)Y(z)Razón depolinomios en zFigura 6.2. Proceso de obtención de la ecuación en diferencias mediantetransformación conforme.Finalmente aplicación de la propiedad de desplazamientopara obtener la ecuación en diferencias del sistema. Estaúltima propiedad se puede representar de la siguientemanera : Z(x[n − m]) ⇔ X(z)z −m .Las transformaciones conformes deben cumplir ciertas condicionesimpuestas por la relación z = e sT , éstas se mencionana continuación y se representan en la Figura 6.3:Condición 1 : el eje imaginario del plano s debe ser mapeadoen el círculo unitario del plano z, esta condición es necesariapara preservar las características de respuesta en frecuencia delsistema continuo.Condición 2 : el semiplano izquierdo del plano s (Re[s] < 0) debeser mapeado en el interior del círculo unitario del plano z.Las condiciones son impuestas a toda transformación queintente mapear sistemas de tiempo continuo estables (polos y cerosen el semiplano izquierdo del plano s) en sistemas de tiempodiscreto estables (polos en el interior del circulo unitario concentro en el origen del plano z).

6.4. Representación de sistemas discretos mediantetransformada Z 167¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Plano z Plano sImg[s]Re[s]Img [z]Re [z]Figura 6.3. Condiciones de mapeo mediante transformación conforme.

168 Capítulo 6. Transformada ZHay varias transformaciones conformes que permiten realizarel mapeo mencionado anteriormente, dos de ellas son lastransformación de Euler y la transformación bilineal, las cualesse describen a continuación.6.4.1. Transformación de EulerLa transformación de Euler aproxima el cociente diferencialque define la derivada por un cociente incremental de la formadydt ≈ ∆y∆tLa derivada dydten el tiempo t = nT , la substituimos por ladiferencia hacia atrás (Figura 6.4)dy (t)dtdy (t)dt∣ = t=nT ∣ =t=nTy (nT ) − y (nT − T )Ty (n) − y (n − 1)TDonde T representa el período de muestreo, e y(n) = y(nT ).El diferenciador analógico con salida dydttiene la función detransferencia H(s) = s, mientras el sistema digital que producela salida tiene la función de transferenciay(nT )−y(nT −T )TH(z) = 1−z−1T. Consecuentemente, el equivalente en el dominiode la frecuencia es:s = 1 − z−1TLa segunda derivada d2 ydtse reemplaza por la segunda diferencia,que se deriva como 2sigue:

6.4. Representación de sistemas discretos mediantetransformada Z 169y(t)H(s)=sdy(t) / dty(n)H(z)=(1-z -1 )/T( y(n) - y(n-1) ) / TFigura 6.4. La sustitución de la diferencia hacia atrás por la derivada.d 2 y (t)dt 2 ∣∣∣∣t=nT= d dtd 2 y (t)dt 2 ∣∣∣∣t=nT=d 2 y (t)dt 2 ∣∣∣∣t=nT=[ ] dy (t)dtt=nTy(nT )−y(nT −T )T−Ty(nT −7)−y(nT −2T )Ty (n) − 2.y (n − 1) + y (n − 2)T 2En el dominio de la frecuencia se tiene:s 2 = 1 − 2z−1 + z −2T 2 =( 1 − z−1De este razonamiento se induce fácilmente que la k-ésimaderivada de y(t) resulta en la relación equivalente en el dominiode la frecuencia:( 1 − zs k −1=TConsecuentemente, la función de transferencia obtenida comoel resultado de la aproximación de las derivadas mediantediferencias finitas es:) kT) 2H(z) = Ha(s)| s=(1−z −1 )/T

170 Capítulo 6. Transformada Zdonde Ha(s) es la función de transferencia analógica.A continuación se analizan las implicaciones de la correspondenciadel plano s al plano z. Haciendo s = jΩ se tieneque:z =z =z =11 − sT11 − jΩT11 + Ω 2 T 2 + j ΩT1 + Ω 2 T 2Como −∞ < Ω < +∞, el correspondiente lugar de puntosen el plano z es un circulo de radio z = 1/2 y con centro enz = 1/2, como se muestra en la 6.5.Esta transformación puede ser utilizada sin problemas únicamenteen el mapeo de sistemas del tipo pasa bajos y pasabanda(cuya frecuencia de corte sea menor a f m /12), ya que nocumple perfectamente con las dos condiciones de mapeo mencionadas.En la Figura 6.6 se muestra que la condición de queel eje imaginario del plano s se mapee en el circulo unitario, seaproxima aceptablemente hasta θ < π/6 radianes.Supongamos que se dispone de una secuencia x[n], con unperíodo de muestreo T = 1/f m . Por el teorema del muestreo,se tiene que f m > 2f M , con f M frecuencia máxima presente enx[n]. Además, como θ = 2πf, y teniendo en cuenta la restricciónθ < π/6 rad., se tendrá que f M < f m /12 para así cumplir conla condición de que el eje imaginario del plano s se mapee sobrela circunferencia unidad en el plano z.6.4.2. Transformación bilinealLa transformación bilineal transforma el eje jΩ en la circunferenciaunidad en el plano z solo una vez, evitando el so-

6.4. Representación de sistemas discretos mediantetransformada Z 171¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Plano z1/2Plano sjΩσFigura 6.5. Transformación de Euler.

172 Capítulo 6. Transformada ZPlano z1/2π/6Figura 6.6. Restricción en θ para que el plano s se mapee en el círculounitario.lapamiento de componentes de frecuencia. Además, todos lospuntos del semiplano izquierdo de s se corresponden con el interiorde la circunferencia unidad en el plano z y todos los puntosdel semi plano derecho de s se corresponden con puntos fuerade la circunferencia unidad del plano z.La transformación bilineal se puede ligar a la forma trapezoidalpara integración numérica. Por ejemplo consideremos lafunciónH(s) =ba + sEste sistema también esta caracterizado por la ecuación diferencialdy(t)dtQue evaluada en t = nT nos da:+ a.y(t) = b.x(t)

6.4. Representación de sistemas discretos mediantetransformada Z 173y ′ [nT ] = −a.y[nT ] + b.x[nT ]En lugar de sustituir una diferencia finita por la derivada,supongamos que integramos la derivada y aproximamos laintegral mediante la formula trapezoidal. Asíy(t) =∫ tt 0y ′ (τ)dτ + y(t 0 )donde y ′ denota la derivada de y. Para t = nT y t 0 = nT − Tproduce:y[nT ] = T 2 (y′ [nT ] + y ′ [nT − T ]) + y [nT − T ]sustituyendo la derivaday[nT ] = T ((−ay[nT ] + bx[nT ) +2+(−ay[nT − T ] + bx[nT − T ])) + y[nT − T ]haciendo n = nT , y agrupando términos(1 + aT 2) (y [n] − 1 − aT 2)y [n − 1] = bT 2(x [n] + x [n − 1])la transformada z de esta ecuación en diferencias es(1 + aT 2) (Y (z) − 1 − aT 2)z −1 Y (z) = bT 2[1 + z−1 ] X(z)y la función de transferencias queda

174 Capítulo 6. Transformada ZH(z) =2Tb[ ]1−z −11+z+ a−1claramente, la correspondencia del plano s al plano z es:s = 2 [ ] 1 − z−1T 1 + z −1y es la ecuación que define la transformación bilineal.Aunque la anterior derivación fue para una ecuación diferencialde primer orden, se mantiene en general para una ecuacióndiferencial de N-esimo orden.De la misma manera que para la transformación de Euler sepueden analizar las características de la transformación bilineal.Seanz = re jws = σ + jΩentonces[ ] 1 − zs = 2 Tz + 1[ re jw ]− 1s = 2 T re jw + 1s = 2 [Tr 2 − 11 + r 2 + 2r cos (w) + j 2r sin (w)1 + r 2 + 2r cos (w)σ = 2 r 2 − 1T 1 + r 2 + 2r cos (w)Ω = 2 2r sin (w)T 1 + r 2 + 2r cos (w)]

6.5. Trabajos prácticos 175Primero, hay que notar que si r < 1, entonces σ < 0, ysi r > 1, entonces σ > 0. De aquí que el semiplano izquierdoen s se corresponda con el interior de la circunferencia unidaden el plano z y el semiplano derecho de s se corresponde conel exterior de la circunferencia unidad. Cuando r = 1, entoncesσ = 0 yΩ = 2 2 sin (w)T 1 + 2 cos (w)Ω = 2 ( w)T tan 2De aquí que el rango completo en Ω se corresponde unívocamentecon el rango −π ≤ w ≤ π. Sin embargo, la correspondenciaes altamente no lineal (Ver Figura 6.7).6.5. Trabajos prácticosEjercicio 1: Determine la función de transferencia de lossiguientes sistemas LTI causales :1. y[n] − 1 2 y[n − 1] + 1 4y[n − 2] = x[n]2. y[n] = y[n − 1] + y[n − 2] + x[n − 1]3. y[n] = 7x[n] + 2y[n − 1] − 6y[n − 2]4. y[n] = ∑ 7k=0 2−k x[n − k]Ejercicio 2: Encuentre la repuesta en frecuencia de lossistemas anteriores suponiendo una frecuencia de muestreode 10KHz.Ejercicio 3: Considere el sistema H(z) =1−2z −1 +2z −2 −z −3(1−z −1 )(1−0,5z −1 )(1−0,2z −1 )

176 Capítulo 6. Transformada Zωπω=2 atan(ΩT/2)|H (ω)|Ω|H(Ω)|Figura 6.7. Mapeo de w en Ω por medio de la transformación bilinealpara la respuesta en frecuencia de un filtro rechaza–bandaΩ

6.5. Trabajos prácticos 1771. Dibuje el diagrama de polos y ceros. ¿Es estableel sistema?2. Determine la respuesta al impulso del sistema.Ejercicio 4: (∗) El circuito de la Figura 6.8 representa elmodelo físico de un sistema en observación.1. Encuentre la ecuación de predicción de la tensiónen la resistencia E o [n] en función de la tensiónde entrada E i [n] utilizando las transformacionesde Euler y bilineal.2. Utilice distintas señales que representen la entradaE i [n] y obtenga la salida E o [n] para cadauna de ellas.3. Analice la respuesta en frecuencia de los sistemasdiscretos obtenidos con las dos transformacionesconformes y compárelas con la del sistemacontinuo 1 .1.1K 2.2K 2µE i(t)1µ 1K E o(t)Figura 6.8. Circuito RC.1 Uitilice para ambas transformaciones conformes una frecuencia demuestreo 4 veces superior a la frecuencia de corte del sistema continuo.

178 Capítulo 6. Transformada ZBibliografía[1] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. H. Nawab, y G. MataHernández. Señales y sistemas. Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 2a. edición (español), 1998.[2] H. Kwakernaak, R. Sivan, and R.C.W. Strijbos. ModernSignals and Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1991.[3] H. Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. Cia. Ed.Continental, México, 1987.[4] A. Papoulis. Sistemas y Circuitos Digitales y Analógicos.Marcombo, 1978.[5] N.K. Sinha. Linear systems. John Wiley, New York, 1991.[6] A.V. Oppenheim and R. Shaffer. Digital Signal Processing.Pearson Higher Education, 1986.[7] J.G. Proakis y D.G. Manolakis. Tratamiento digital deseñales. Prentice Hall, 1a. edición (español), 1998.[8] L.E. Franks. Teoría de la señal. Reverté, Barcelona, 1975.[9] R.A. Gabel y R.A. Roberts. Señales y sistemas lineales.Ed. Limusa S.A., México, 1975.[10] T. Aljama, M. Cadena, S. Charleston, y O. Yáñez. Procesamientodigital de señales. Universidad Autónoma Metropolitana.Unidad Iztapalapa, México, 1992.

Capítulo 7Identificación de sistemasDiego MiloneTemas a tratar• Identificación de sistemas mediante predicción lineal.• Identificación de sistemas por métodos estáticos y adaptativos.• Determinación del número óptimo de parámetros.Objetivos• Aprender los conceptos teóricos relacionados con la identificaciónde sistemas.• Conocer las técnicas más utilizadas de predicción lineal.• Obtener una visión general sobre los problemas relacionadoscon la identificación de sistemas.• Implementar algunas técnicas sencillas para identificaciónde sistemas.• Reconocer las ventajas, desventajas y posibilidades de aplicaciónde los distintos métodos.179

180 Capítulo 7. Identificación de sistemas7.1. IntroducciónMuchas veces nos encontramos frente a un sistema del quepodemos obtener datos en forma de señales analógicas comomovimientos, ondas de presión, ondas eléctricas o magnéticas,concentraciones, etc. En realidad desconocemos los mecanismosque dentro del sistema generan estas señales. Podemos ver alsistema como una caja negra, cuyas características intrínsecasdesconocemos y queremos averiguar.Identificar un sistema consiste encontrar un conjunto de reglasy parámetros asociados que describan un modelo aceptablepara el proceso que en él se está llevando a cabo.Los datos obtenibles del sistema son su señal de salida y, enalgunos casos, su señal de entrada. Por ejemplo, en el aparato fonadorsabemos que las ondas de presión que entran a la tráqueatienen forma de pulsos similares a deltas de Dirac en el caso delas vocales. La salida del sistema son las ondas de presión delsonido que sale por la boca. Estas ondas están caracterizadaspor ser periódicas y con ancho de banda limitado.Los resultados de la identificación son la estructura y elconjunto de parámetros característicos del modelo. En algunoscasos la estructura del sistema puede ser conocida o supuestaa priori y la identificación se reduce a la búsqueda de losparámetros. En el caso más general, tanto la estructura comolos parámetros deben ser encontrados minimizando algún criteriode error. Para el ejemplo del aparato fonador podemossuponer que el sistema es lineal y que la salida del sistema sólodepende de la entrada actual y de un número p de valores anterioresde la salida. De esta forma hemos fijado la estructuradel sistema 1 . Sólo resta encontrar los coeficientes de la ecuaciónque describe este tipo de sistemas.La identificación de sistemas se basa fundamentalmente enla teoría de sistemas, técnicas de procesamiento de señales y1 Sistema tipo AR de orden p.

7.1. Introducción 181algoritmos de búsqueda y optimización. Estas técnicas son aplicadasen una gran variedad de campos como en el procesamientode señales biomédicas, sismografía, comunicaciones, inteligenciaartificial, etc. Estos procedimientos son atractivos, por ejemplo,para la compresión de datos. En vez de manipular todos los valoresdel vector de muestras, se usa solamente un reducido númerode parámetros con lo que se simplifica el almacenamiento otransmisión de la señal. La compresión de la señal mediante unmodelo paramétrico es también atractiva desde el punto de vistade la clasificación. Hay disponibles algoritmos efectivos parala clasificación automática de señales de electrocardiografía, querepresentan varios estados patológicos y son muy útiles para eldiagnóstico. También existen algoritmos para el reconocimientode patrones de voz y características del aparato fonador.Podemos hacer una clasificación de las técnicas para laidentificación de sistemas para ayudarnos en el aprendizaje. Estaclasificación separa dos grandes grupos: las técnicas convencionalesy las no convencionales. Veamos las características generalesde cada uno.7.1.1. Técnicas convencionalesLlamaremos técnicas convencionales a las que se basan enla teoría de sistemas lineales y señales estacionarias o cuasi estacionarias2 . Mediante la extracción de información de un conjuntode señales estacionarias obtendremos un modelo del sistema.En este caso el proceso de modelado se realiza en base aun modelo paramétrico, lineal y causal, descripto por una ecuacióngeneralmente en el dominio de la frecuencia compleja (s oz). Esta ecuación es la denominada función de transferencia delsistema y el modelo más general es el de tipo ARMA.2 En el caso de señales cuasi estacionarias podemos dividir la señal entrozos localmente estacionarios y aplicar las técnicas a cada uno por separado.

182 Capítulo 7. Identificación de sistemasDadas estas hipótesis, hemos fijado una parte importantede la estructura del sistema y la identificación consistirá entoncesen encontrar el orden y los parámetros de la función detransferencia.Existen muchas formas de encarar la identificación bajoéstas hipótesis. Analizaremos en esta revisión teórica tres métodospara la determinación de parámetros: el análisis de la respuesta;el método de predicción lineal y el método adaptativo deWidrow. Estudiaremos también dos métodos para la estimaciónde orden: predicción del error final (FPE) y criterio de Akaike.7.1.2. Técnicas no convencionalesEstas técnicas no se encuentran enmarcadas en la teoríade sistemas lineales y así eliminan una de las más importantesrestricciones de aplicabilidad que poseen las anteriores. Su aplicabilidadse ve restringida sólo por los costos computacionalesde sus implementaciones.En general estas técnicas pertenecen al campo de la búsqueday optimización de soluciones. Como la identificación de sistemases realmente un problema de búsqueda y optimización desoluciones, podemos aplicarlas con mucho éxito y pocas restriccionessobre las características de los sistemas y señales intervinientes.Entre las técnicas no convencionales podemos citar a los algoritmosgenéticos, las redes neuronales, la programación dinámica,las búsquedas aleatorias y muchas otras.7.2. Análisis de la respuesta para sistemacontinuosComo introducción a la identificación de sistemas revisaremosalgunos métodos utilizados en sistemas continuos, princi-

7.2. Análisis de la respuesta para sistema continuos 183palmente en el ámbito del control de sistemas.Podemos distinguir entre métodos de análisis de la respuestatransitoria del sistema y métodos de análisis de la respuestaen frecuencia. Todos se basan en la hipótesis de que trabajamoscon sistemas continuos, lineales e invariantes en el tiempo, y queson conocidos y elementales los estímulos con que se los prueba.Los métodos de análisis de la respuesta transitoria consistenen estimular al sistema con alguna forma de onda conociday estudiar su respuesta temporal. Las funciones de estimulaciónmás empleadas son el delta de Dirac y el escalón 3 .Mediante la transformada de Laplace podemos escribir:Y (s) = H(s)X(s)siendo Y la respuesta, X la excitación o entrada y H la transferencia.Sabemos que la transformada de Laplace de un delta deDirac es 1. Si estimulamos al sistema con un delta de Diractendremos X(s) = 1 y así:Y (s) = H(s)donde haciendo la transformada inversa de la salida obtenemospor simple inspección la transferencia del sistema.Para sistemas de primer o segundo orden es simple obtenersus parámetros estimulándolos con un escalón y analizandográficamente ciertos patrones identificables en su respuesta.Consideremos las respuestas al escalón de la Figura 7.1.En el caso de un sistema de primer orden sabemos que suconstante de tiempo T es igual al tiempo que tarda la salida delsistema en alcanzar el 63 % de su valor final. De manera similar,3 Debemos conocer de antemano la velocidad de respuesta del sistemapara determinar que tan agudo debe ser el impulso de excitación o la pendientedel escalón en la experimentación práctica.

184 Capítulo 7. Identificación de sistemas10.8Amplitud0.60.40.200 2 4 6 8TiempoFigura 7.1. Respuesta al escalón de dos sistemas lineales. En línea detrazos para un sistema de primer orden y en línea continua para unsistema de segundo orden.para el sistema de segundo orden podemos encontrar la frecuencianatural no amortiguada ω n y la relación de amortiguamientoζ. En ambos casos resta determinar la constante de amplificacióna partir de la relación entre el valor final que alcanza lasalida del sistema y la amplitud del escalón. Así, los sistemashan sido identificados.En caso de no conocer el orden del sistema podemos utilizarmétodos más completos para determinarlo junto a los parámetroscaracterísticos. Entre éstos encontramos los métodos deStrejc y Sten.El análisis gráfico de la respuesta en frecuencia del sistematambién permite estimar fácilmente los parámetros característicosde sistemas lineales de orden 3 ó menor. Consiste en estimularal sistema con señales senoidales de frecuencias variables en

7.3. Métodos de predicción lineal 185el rango de interés y registrar la atenuación que esté produce encada caso. De esta manera se puede aproximar una gráfica derespuesta en frecuencia para el sistema y de su análisis obtenerlos parámetros característicos.De todas formas, aunque existe una batería de métodos deanálisis de la espuesta para sistema continuos, resulta muy dificultosala aplicación de los métodos antes descriptos a sistemasde orden 20, 50 o mayor.En las siguientes secciones detalleremos la identificación desistemas discretos de orden superior.7.3. Métodos de predicción linealLa denominación predicción lineal proviene del modelo quese utiliza en la aproximación del sistema real a identificar. Decimosque la salida es predecible a partir de una combinaciónlineal de las entradas y salidas pasadas.7.3.1. El modelo ARMAConsideremos la salida s n de un sistema puede ser determinadaa partir de su entrada u n mediante la ecuación de recurrencia:p∑q∑s n = − a k s n−k + G b l u n−l (7.1)k=1l=0donde 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q con b 0 = 1 y G una constante real.Mediante la utilización de la transformada Z podemos describirel sistema de la ecuación (7.1) en el dominio de la frecuenciacompleja:

186 Capítulo 7. Identificación de sistemas∑1 + q b l z −ll=1H(z) = G∑1 + p (7.2)a k z −kk=17.3.2. El modelo AREste modelo de sistemas digitales es muy usado debido asu simplicidad. Debemos notar que cualquier sistema ARMApuede ser aproximado mediante de un modelo AR. Si el sistemaARMA esta dado por la función de transferencia (7.2) entoncesmediante división larga podemos obtener la siguiente igualdad:H(z) = G B(z)A(z) ≈ GC(z)Sin embargo, el polinomio C(z) será de orden infinito. Podemosaproximar con bastante exactitud el sistema ARMA (7.2)haciendo que C(z) sea del mismo orden que el polinomio A(z).Utilizamos las siguiente expresión para la transferencia del modeloAR:GH(z) =∑1 + p (7.3)a k z −kk=1que podemos expresar mediante ecuaciones de recurrencia como:p∑s n = − a k s n−k + Gu n (7.4)k=1

7.3. Métodos de predicción lineal 187Supondremos por ahora que conocemos el orden p óptimopara nuestra aproximación y utilizaremos la siguiente expresión:ŝ n = −p∑a k s n−k (7.5)k=1donde estamos eliminando intencionadamente la entrada del sistema.Este modelo es el más utilizado debido a que en la mayoríade las aplicaciones la entrada del sistema es totalmente desconocida.De esta manera, decimos que la salida puede ser predecidasolamente como una combinación lineal de las salidas anteriores.Más adelante resolveremos tanto el problema del orden p comoel de la ganancia G. Ahora nos encargaremos de los coeficientesdel modelo.7.3.3. Cuadrados mínimosSupongamos ahora que utilizamos el sistema ARMA delas ecuaciones (7.1) y (7.2) para modelar 4 a otro sistema desconocidocon salida s n y entrada u n . El error cometido en laaproximación del valor de la n-ésima muestra de la salida será:e n = s n − ŝ nUna mejor estimación del error es utilizar la medida delerror cuadrático:e 2 n = (s n − ŝ n ) 2 = ( s n + s T n a − Gu T n b ) 2(7.6)donde:4 Notación: el circunflejoˆsobre una variable indica que se trata de unavariable estimada.

188 Capítulo 7. Identificación de sistemas⎡a =⎢⎣⎡a 1a 2.a k.a pb 0⎤⎥⎦⎤b 1 b.b l⎢ ⎥⎣ . ⎦b q⎡s n =⎢⎣⎡u n =⎢⎣s n−1s n−2.s n−k.s n−pu nu n−1.u n−l⎤⎥⎦.u n−q+1con b 0 = 1 y 1 ≤ k ≤ p y 0 ≤ l ≤ q.El objetivo del método es minimizar el error cuadrático apartir de la optimización de los vectores a y b. Para un problemaen particular tanto la entrada como la salida de sistema estarándadas y tendremos que considerar que debemos minimizar lafunción:e 2 n (a, b)Para cada instante de tiempo n nos encontramos buscandoel mínimo en una superficie de error en el hiperespacio de solucionescon dimensión p + q. Otra forma de resolver el problemade minimización del error es considerar el error cuadrático total(ECT) sobre el proceso y optimizar los vectores a y b para todoel proceso. En cualquier caso el mínimo constituye la soluciónde nuestro problema.La particular utilización de esta medida del error da origena un amplio grupo de técnicas para encontrar el mínimo globalde esta función cuadrática. De aquí que se ha denominado a éstecomo el método de cuadrados mínimos.⎤⎥⎦

7.3. Métodos de predicción lineal 189Supongamos que ε 2 (a, b) es una expresión válida para lamedida del error. Deberemos encontrar:∇ a,b ε 2 = 0 (7.7)Esta condición puede cumplirse en cualquier mínimo localde la superficie de error. Por lo tanto agregaremos que losvectores óptimos a ∗ y b ∗ son los que dan el valor menor paraε 2 (a ∗ , b ∗ ) entre todos los que satisfacen (7.7). Los vectores a ∗y b ∗ son el mínimo global de la superficie de error.La ecuación (7.7) aplicada a un modelo en particular y conlas hipótesis necesarias sobre las señales que se tratan, nos llevaa sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de cuya resoluciónse obtiene el conjunto de parámetros para el modelo lineal. Estesistema de ecuaciones es conocido como sistema de Wiener-Hopfy a continuación vamos a ver como llegar hasta él y algunas delas formas posibles de encontrar sus soluciones7.3.4. Sistema de Wiener-Hopf para señalesdeterminísticasEn el caso de las señales determinísticas podemos trabajarcon la siguiente definición para el error cuadrático total (ECT):ξ 2 = ∑ ne 2 n (7.8)Supongamos que se utiliza un modelo AR 5 . De la combinaciónde las ecuaciones (7.6), (7.7) y (7.8) obtenemos:5 Existe una considerable simplificación de las expresiones para modelosAR. Dado el alcance previsto para esta guía de estudio en adelanteutilizaremos solo este tipo de modelos.

190 Capítulo 7. Identificación de sistemas( ∑ns n s T n)a = − ∑ ns n s n (7.9)Debemos aún especificar el rango de sumación para la variablen. Esto da origen a dos métodos: autocorrelación y covariancia.AutocorrelaciónUna visión general del proceso nos llevaría a considerar(−∞, ∞) como intervalo para la sumación de n en (7.9). Eneste caso tenemos en el miembro derecho la autocorrelación rpara la señal s n . Ahora la ecuación (7.9) se convierte en:Ra = −r (7.10)donde la matriz R i,j = r i−j , con 1 ≤ i, j ≤ p, es la matrizde autocorrelación para s n . La matriz R es simétrica y poseetodas sus diagonales con elementos iguales. Estas matrices sedenominan matrices de Toeplitz.Este sistema de ecuaciones al que hemos arribado se denominasistema de Wiener-Hopf y su solución constituye la soluciónde nuestro problema de identificación.En las aplicaciones prácticas nunca podemos realizar laautocorrelación en el intervalo (-∞, ∞). Por esta razón deberemoslimitar mediante ventanas el soporte de la señal. El anchode las ventanas es muy dependiente de la aplicación. En el casode señales de voz se pueden utilizar ventanas de 10 a 30 ms.Las ventanas deben tener variaciones suaves para no malcondicionarel sistema de ecuaciones. Se recomienda la utilización deventanas como las de Hamming, Hanning o Blackman.

7.3. Métodos de predicción lineal 191CovarianciaComo veíamos en el caso anterior, no es posible prácticamenteutilizar un rango infinito para la sumatoria en el ECT.Podemos recurrir a la covariancia para acotar el intervalo a unnúmero finito de muestras N. En este caso la ecuación (7.9) seconvierte en:Φa = −ϕdonde ϕ i = Φ 0,i , con 0 ≤ i ≤ N − 1 y Φ es la matriz de covarianciapara s n en el intervalo finito 0 ≤ n ≤ N −1. En este casotambién obtenemos una matriz simétrica pero los elementos enla diagonal ya no son necesariamente iguales. A pesar de quela matriz configura un sistema bien condicionado el error quese obtiene para distintas selecciones de N es dependiente de laseñal de entrada. Nuevamente, en el ejemplo del aparato fonador,lo ideal sería que N coincidiera con el período de ocurrenciapara el impulso glótico. Sin embargo, incluir un N variable nosólo implicaría un cálculo constante de la frecuencia glótica sinouna adaptación en el algoritmo de resolución del sistema deecuaciones.7.3.5. Sistema de Wiener-Hopf para señalesaleatoriasEn el caso de señales aleatorias sólo podemos hablar devalores esperados para las medidas de error. De esta forma escribimospara un sistema AR:ξ 2 = E [ e 2 n]= E[s2n]+ a T 2E [s n s n ] + a T E [ s n s T n]a (7.11)De igual forma que en la ecuación (7.7) estamos buscando:

192 Capítulo 7. Identificación de sistemas∇ξ 2 = 0en el mínimo global en la superficie de error. Este gradiente es:⎧⎪⎨∇ξ 2 =⎪⎩∂E[e 2 n]∂a 1∂E[e 2 n]∂a 2.∂E[e 2 n]∂a p⎫⎪ ⎬= 2E [s n s n ] + E [ s n s T ]n a⎪ ⎭Así, obtenemos nuevamente el sistema de ecuaciones deWiener-Hopf :E [ s n s T n]a = −E [sn s n ] (7.12)Sin embargo aún no hemos definido qué sucede con el operadoresperanza que debemos resolver en función de las característicasde la señal aleatoria. Vamos a diferenciar entre señalesestacionarias y señales no estacionarias.Señales estacionariasPara señales estacionarias se cumple que:E [ s n s T n]= RDe esta forma el sistema de la ecuación (7.12) se reduce alde la ecuación (7.10).Para el caso en que nos encontremos ante un proceso de estanaturaleza, podemos observar que la ecuación (7.11) se convierteen:

7.3. Métodos de predicción lineal 193Figura 7.2. Superficie de error cuadrático para un sistema AR deorden 2.ξ 2 = E [ s 2 n]+ 2ra + a T Ra (7.13)Si suponemos que estamos ante un sistema de orden 2,donde las variables independientes del modelo AR son a 1 y a 2 ,podemos ver al problema de identificación como la búsquedadel mínimo en de la superficie ξ 2 (a 1 , a 2 ). En esta ecuación elerror cuadrático (7.13) es un polinomio de segundo orden en lavariable a. Por lo tanto la superficie de búsqueda se verá comola siguiente Figura 7.2.Sin embargo, en las aplicaciones prácticas las hipótesis hechassobre las señales no se cumplen y el problema no es tansencillo como deslizarse sobre una superficie tan suave comoésta y con un solo mínimo, que por lo tanto es global.

194 Capítulo 7. Identificación de sistemasSeñales no estacionariasEn el caso de procesos no estacionarios debemos contarcon la autocorrelación no estacionaria para la señal. Sin embargo,existen algunos procesos no estacionarios conocidos comoprocesos localmente estacionarios que pueden ser segmentadosen procesos estacionarios. Ejemplos de este tipo de procesos sonlas señales de voz y electrocardiografía.7.3.6. Resolución del sistema de Wiener-HopfEncontrar los coeficientes del modelo AR para la identificaciónde nuestro sistema incógnita requiere que resolvamos elsistema de ecuaciones simultáneas de Wiener-Hopf en cualquierade sus versiones. Para esto vamos a describir dos grandesgrupos de métodos: los métodos estáticos y métodos adaptativos.En el primer caso la función objetivo es una estimación delECT y en el segundo se optimiza instante a instante según elerror cuadrático instantaneo (ECI) o una estimación de éste.Métodos estáticosLos métodos estáticos atacan directamente la resolución deun sistema de ecuaciones lineales mediante métodos numéricos.En primer lugar debemos tener en cuenta los métodos tradicionalesde resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Entreellos podemos mencionar: inversión de matrices, método de eliminaciónde Gauss, descomposición LU, pivoteo, métodos deJacobi y Gauss-Seidel, etc.Sin embargo, en algunos casos es posible aprovechar mejorlas propiedades de la matriz R. Dijimos que en el caso de señalesdeterminísticas con el método de autocorrelación y para señalesaleatorias estacionarias la matriz R era una matriz de Toeplitz.Para estos casos existe un método iterativo que soluciona eficientementeel problema. Éste es el método de Levinson-Durbin, que

7.3. Métodos de predicción lineal 195a partir de E 0 = r 0 sigue la recurrencia:⎧⎪⎨Para1 ≤ i ≤ p →⎪⎩[k i = − 1E i−1r i + i−1 ∑j=1a j,i−1 r i−j]a i,i = k ia j,i = a j,i−1 + k i a i−j,i−1 , 1 ≤ j ≤ i − 1E i = E i−1 (1 − k 2 i )donde E p es el ECT para la estimación de orden p y la soluciónfinal son los a j,p con 1 ≤ j ≤ p.Este método posee la ventaja de que arroja resultados parcialesque, como veremos más adelante, pueden ser utilizadospara estimar el orden apropiado del modelo mientras se lleva acabo la iteración.Otra característica particular es que cuando el método esutilizado para calcular el modelo AR del ejemplo del aparatofonador, se encuentra una vinculación directa entre las constantesk i y la relación de diámetros en el tubo resonante. Se puededemostrar que si modelamos el tracto vocal mediante un tubocon p secciones S i diferentes, se cumple la relación:Métodos adaptativosk i + 11 − k i= S iS i+1En los métodos adaptativos se busca minimizar el error cuadráticoinstantáneo mediante una adaptación permanente de losvectores que en este caso podemos denominar a n y b n .Estos métodos se basan en la fórmula de Newton para labúsqueda de raíces en ecuaciones no lineales. Básicamente, consistenen realizar sucesivas aproximaciones a la raíz en el sentidodel gradiente negativo de la función. Para nuestro caso, la funciónes el error cuadrático o la esperanza de éste para un tiempo

196 Capítulo 7. Identificación de sistemasn dado. Volviendo a la ecuación de error para sistemas AR, sepropone la adaptación de los coeficientes mediante:a n+1 = a n + µ(−∇ξ 2 ) (7.14)donde µ es una constante positiva que más adelante acotaremos.Este denominado método de Newton da origen a varios otrosmétodos que utilizan una diferente estimación para el gradientedel error cuadrático esperado. Veremos de entre ellos al métodode Widrow.Método adaptativo de Widrow: en este método se utilizael error cuadrático instantaneo como una aproximación válidapara el error cuadrático esperado. Por lo tanto tendremos:ˆ∇ξ 2 n = ∂ e2 n∂ a n=⎧⎪⎨⎪⎩∂e 2 n∂a 1,n∂e 2 n∂a 2,n⎫⎪ ⎬∂ ( )s n + a T n s n= 2e n (7.15).∂a n∂e 2 ⎪n ⎭∂a p,nAhora la ecuación para la adaptación de los coeficientes laobtenemos reemplazando en (7.14) la aproximación de Widrow(7.15):a n+1 = a n − 2µe n s ndonde el vector de coeficientes a n es inicializado con valoresaleatorios en el rango [-0.5, 0.5]. El parámetro µ determina lavelocidad y estabilidad de la convergencia del método. Cuandomenor es µ mayor es el número de iteraciones pero nos asegura

7.3. Métodos de predicción lineal 197la estabilidad. En cambio un µ más grande hace que el métodoconverja más rápidamente pero pueden existir problemas de inestabilidady divergencia. Puede demostrarse que en este casoaseguramos la convergencia en la media a la solución óptima delsistema de Wiener-Hopf con:0 < µ < 1T (R)siendo T (R) la traza de la matriz de autocorrelación R.7.3.7. Determinación de la constante de gananciaGConsideremos nuevamente las ecuaciones (7.4) y (7.5) ysupongamos que el error entre la salida real del sistema y nuestraestimación AR está dado por:e n = s n − ŝ n = Gu ny de esta forma tenemos un método sencillo para determinar laganancia G en la entrada. Lo que debemos asegurar es que laenergía total de la señal de entrada sea igual a la energía totalde la señal de error.Hay dos tipos particulares de entradas que nos interesanen nuestro análisis: la entrada impulsiva y la de ruido blanco.Para el caso de la entrada impulsiva:h n = −p∑a k h n−k + G δ nk=1A partir de (7.10) podemos escribir:de lo que concluimos:r T a = −r 0 + G 2

198 Capítulo 7. Identificación de sistemasG 2 = r T a + r 0 = E pPuede demostrarse que para una entrada de ruido blancola expresión es la misma.7.4. Estimación del ordenEn las secciones anteriores hemos asumido como conocidauna de las características más importantes de los modelos queutilizamos para la identificación: su orden.La estimación del orden usualmente se realiza mediantetécnicas de optimización. Es decir, se busca el orden óptimosegún algún criterio. En este criterio deberán incorporarse todaslas variables que puedan influenciar la decisión acerca del ordendel sistema. En primer lugar está la correcta representación delproceso que estamos identificando. Es decir, alguna medida delerror total ocurrido en la optimización. Sin embargo, en la mayorparte de las aplicaciones el modelo siempre mejora cuando seincrementa el orden. Así, el problema que se plantea es cuándodetener el aumento del orden, ya que es claro que cuanto menorsea el orden que satisfaga los requerimientos de la aplicación encuanto a error, mejor será el modelo resultante. Con menoresórdenes es posible reducir la cantidad de cálculos, volumen deinformación a almacenar y otros problemas relacionados con laimplementación.Actualmente existen muchos métodos aplicables para elegirel orden de los modelos AR. Sin embargo, en algunas aplicaciones,ninguno de ellos es lo suficientemente preciso por lo quesiempre debe hacerse hincapié en el ingenio del modelizador ylos conocimientos previos del sistema. Vamos a ver a continuacióndos de los métodos más utilizados para la determinacióndel orden apropiado para nuestro modelo: el error de predicciónfinal (FPE) y el criterio de Akaike.

7.4. Estimación del orden 1997.4.1. Error de predicción finalEste método utiliza la medición de los errores residuales enla resolución de las ecuaciones de Wiener-Hopf. Como vimos,estos errores son una estimación de la secuencia de entrada queasumimos no correlacionada y con espectro plano. Consideremosel modelo AR de orden p y repasemos la forma que toma esteerror. A partir de la ecuación (7.10) podemos obtener el mínimoerror promedio para el sistema de orden p según:E p = r 0 + r T aA partir de esta expresión definimos el error normalizadocomo:V p = E pr 0En base a las técnicas de estimación de parámetros que vimoses posible demostrar que V p es monotónicamente decrecientecon p y está acotado. En el caso que la señal esté generada porun sistema AR de orden p 0 también se demuestra que V p = V p0cuando p ≥ p 0 . Sin embargo, debido a que no utilizamos secuenciasinfinitas en las aplicaciones prácticas, la pendiente de V p enfunción del orden no se hace exáctamente cero. Consideremos lautilización de un umbral para estimar el orden óptimo:1 − V p+1V p< γ (7.16)Así detendremos el proceso de incremento del orden cuandose cumpla la inecuación (7.16).

200 Capítulo 7. Identificación de sistemas7.4.2. Criterio de AkaikeAkaike criticó el método anterior y propuso un nuevo criteriobasado en la teoría de la información. Para el problema detodos polos y asumiendo una distribución gaussiana en la señalmedimos el error según:I p = log E p + 2pN edonde N e es el número efectivo de muestras en la señal. Conefectivo nos referimos a los posibles efectos del ventaneo en laseñal. El ancho efectivo de una ventana puede ser calculadomediante la relación entre la energía de la ventana utilizada yla energía de un ventana cuadrada. Para el caso de una ventanade Hamming N e = 0.4 N, siendo N el ancho real de la ventanaen muestras.Si graficamos V p e I p en función del orden p, podemos encontrarnoscon una curva como la que se muestra en la Figura7.3. Se puede observar que, para este sistema de orden p 0 =10 el V p se mantiene constante a partir de este orden. En contrastevemos que I p muestra un mínimo en p = 10. Este mínimopermite detectar más fácilmente el orden óptimo.7.5. Preguntas1. Enumere las simplificaciones más importantes que se realizanpara llegar a la ecuación de Wiener-Hopf.2. Detalle todos los pasos algebraicos necesarios para obtenerla ecuación 7.9 a partir de (7.6), (7.7) y (7.8).3. Muestre que se cumple R i,j = r i−j en (7.10) para un p = 2y n = 1 . . . 3.4. ¿Por qué ciertos sistemas requieren la aplicación de métodosadaptativos de identificación?

7.5. Preguntas 201Amplitud relativaV pI p0 5 10 15 20OrdenFigura 7.3. Comportamiento típico de los criterios de estimación deorden.5. Explique la diferencia conceptual entre la utilización delerror cuadrático medio y la del error cuadrático instantáneo.6. Demuestre que en el caso de señales aleatorias estacionariasexiste un único mínimo en la superficie del errorcuadrático esperado.7. ¿Cómo puede aplicarse el método de Levinson-Durbin aseñales no estacionarias?8. Detalle todos los pasos algebraicos necesarios para obtenerla ecuación de la ganancia G, para una entrada de ruidoblanco y para un tren de pulsos.9. Explique conceptualmente porque el método de Akaike generalmenteofrece un mínimo en el orden correcto.

202 Capítulo 7. Identificación de sistemas7.6. Trabajos prácticosEjercicio 1: Considere el sistema y[n] = 0,3y[n − 1] −0,4y[n−2]+0,2y[n−3]+x[n] y genere una secuenciade salida a una entrada de tipo aleatoria con distribuciónuniforme y valor medio cero. Utilizando estaseñal de salida implemente el método de predicciónlineal y verifique el comportamiento de los criteriospara estimación del orden.Ejercicio 2: (∗) La señal de electroencefalograma se puedemodelar mediante un sistema AR de orden 4 a8. Identifique el sistema que generó la señal almacenadaen el archivo eeg.txt y compare la respuestaen frecuencia de este sistema con el espectro de laseñal.Ejercicio 3: (∗∗) En la Figura 7.4 se puede apreciar un esquemasimplificado del aparato fonador humano. Lazona comprendida entre la laringe (glotis) y los labiosconstituye el tracto vocal. Los sonidos del hablason el resultado de la excitación acústica del tractovocal por la acción de una o más fuentes. En esteproceso los órganos fonatorios desarrollan distintostipos de actividades, tales como: movimiento depistón que inician una corriente de aire; movimientoo posiciones de válvula que regulan el flujo deaire, y al hacerlo generan sonidos o en algunos casossimplemente modulan las ondas generadas por otrosmovimientos. El sistema respiratorio constituye laprincipal fuente de energía para producir sonidos enel aparato fonador humano. La energía es proporcionadaen forma de flujo o corriente de aire y presionesque, a partir de las distintas perturbaciones, generanlos diferentes sonidos.

7.6. Trabajos prácticos 203Velo delpaladarCavidadFaríngeaCavidadNasalCavidadBucalSalida(nariz)Salida(boca)CuerdasvocalesTubolaríngeoTráquea ybronquiosVolumenpulmonarFuerzamuscularFigura 7.4. Esquema del aparato fonador.

204 Capítulo 7. Identificación de sistemasEl tracto vocal se puede modelar con relativa exactitudmediante un sistema AR. En la Figura 7.5 seaprecia el diagrama del modelo correspondiente. Estemodelo permite la construcción de sintetizadoresdigitales de voz.EntonaciónGeneradordepulsosEmisiónsonora o sordaGeneradorderuido blancou nG +PredictorLinealŝ nParámetros a nFigura 7.5. Diagrama para el modelo AR del aparato fonador.Para el presente ejercicio se quiere sintetizar unaemisión de voz y se cuenta con las muestras digitalizadasde la palabra inglesa “hello” que se encuentramuestreada a 16 KHz en el archivo hello.txt. Seprovee también una lista de etiquetas hello.phn quepermiten la separación de la emisión en fonemas (verFigura 7.6).Acerca de la implementación: para encontrarlos parámetros de cada fonema se sugiere utilizar elmétodo de autocorrelación con ventaneo. Encuentrela solución al sistema de Wiener-Hopf mediante el algoritmoiterativo de Levinson-Durbin. Suponga queel sistema es siempre de orden 14, con condiciones

Bibliografía 2055000Amplitud0-5000/ hh / / eh / / l / / ow /0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4TiempoFigura 7.6. Palabra “hello” separada en fonemas.iniciales nulas y una frecuencia de entonación constantede 100 Hz. Calcule el valor de G para que seigualen las energías de los fonemas sonoros y en elcaso de los sordos considere la energía como 1/10 dela de los sonoros.Bibliografía[1] J. Makhoul. Linear prediction: A tuturial review. In Proceedingsof the IEEE, volume 63, pages 561–580, April 1975.[2] J. Deller, J. Proakis, and J. Hansen. Discrete Time Processingof Speech Signals. Macmillan Publishing, New York,1993.[3] H. Morikawa. Adaptative estimation of time-varying modelorder in the arma speech analisis. IEEE Trans. on Acoust.Speech, Signal Processing, 38:1073–1083, July 1990.[4] A. Cohen. Biomedical Signal Procesing. CRC Press, 1986.[5] S. M. Kay and S. L. Marple. Spectrum analisis. In Proceedingsof the IEEE, volume 69, pages 1380–1419, November1981.

206 Capítulo 7. Identificación de sistemas[6] A. Papoulis. Maximun entropy and spectral estimation: Areview. IEEE Trans. on Acoust. Speech, Signal Processing,29:1176–1186, December 1981.[7] L. R. Rabiner and B. Gold. Theory and Application ofDigital Signal Processing. Prentice Hall, 1975.[8] V. U. Reddy, B. Egardt B., and T. Kailath. Least squaresalgorithm for adaptative implementation of pisarenko´sharmonic retrieval method. IEEE Trans. on Acoust. Speech,Signal Processing, 30:399–405, June 1982.[9] L. F. Rocha. Predicción lineal aplicada a señales de voz.Revista Telegráfica Electrónica, Septiembre 1979.[10] M. R. Schroeder. Linear prediction, entropy and signalanalysis. IEEE Trans. on Acoust. Speech, Signal Processing,July 1984.[11] B. Widrow and M. A. Lehr. 30 years of adaptative neuralnetworks: Perceptron madaline and backpropagation. Proceedingsof the IEEE, 78(9):1415–1440, 1990.[12] Ogata K. Ingeniería de control moderna. Prentice-Hall,México, 3a. edición, 1998.[13] R. A. Pepe y G. G. Pantaleo. Método de determinación deparámetros de sistemas lineales. Revista Telegráfica Electrónica,Dic. 1983.

Capítulo 8Algoritmos GenéticosDiego MiloneTemas a tratar• Generalidades de los algoritmos de computación evolutiva.• Diseño de la solución de un problema mediante algoritmosgenéticos.• Aplicación de la técnica de algoritmos genéticos para laidentificación de sistemas.Objetivos• Aprender los fundamentos de la técnica.• Aplicar los algoritmos genéticos a la búsqueda de soluciones.• Comprender la potencialidad de la técnica y sus limitacionesmás importantes.• Implementar algunas técnicas sencillas para identificaciónde sistemas.207

208 Capítulo 8. Algoritmos Genéticos8.1. IntroducciónLos algoritmos genéticos (AGs) junto con las estrategiasevolutivas y la programación evolutiva constituyen un nuevo enfoquea la solución de numerosos problemas de optimización ybúsqueda. Esta técnica está en el contexto de una nueva cienciadenominada computación evolutiva. El campo de las aplicacionesde la computación evolutiva no reconoce fronteras. Es posibleresolver problemas de las características más diversas y entreéstos vamos a ver la aplicación muy particular de la identificaciónde sistemas mediante algoritmos genéticos. Es importantedejar en claro que los AGs no son una técnica de identificaciónde sistemas sino más bien la identificación de sistemas es unaposible aplicación de los AGs.La analogía en que se basan los AGs estriba en reconocerel mecanismo esencial del proceso evolutivo en la naturaleza.Los componentes fundamentales de éste mecanismo son los cromosomas,el material genético de un individuo biológico, quedeterminan sus características únicas. Los cambios en el materialgenético de las especies permiten el proceso de adaptación.Las fuerzas que subyacen al proceso evolutivo son: la selecciónnatural, la recombinación de material genético y la mutación,fenómenos que se presentan durante la reproducción delas especies. La competencia entre los individuos por los recursosnaturales limitados y por la posibilidad de procreación oreproducción permite que sólo los más fuertes o más adaptadossobrevivan. Esto significa que el material genético de los mejoresindividuos sobrevive y se reproduce, mientras que los genesde los individuos más débiles o menos adaptados, mueren o seextinguen. Y de esta forma la naturaleza optimiza la solución alproblema de la vida.Se propone a los AGs como una técnica computacional queintenta imitar el proceso evolutivo de la naturaleza, para el diseñode sistemas artificiales adaptativos.

8.2. Estructura de un AG 2098.2. Estructura de un AGLos AGs clásicos, manipulan una población de solucionespotenciales codificadas en cadenas binarias que las representan.Este conjunto de cadenas representan el material genético deuna población de individuos. Los operadores artificiales de selección,cruza y mutación son aplicados para buscar los mejoresindividuos –mejores soluciones– a través de la simulacióndel proceso evolutivo natural. Cada solución potencial se asociacon un valor de fitness 1 , que mide qué tan buena es comparadacon las otras soluciones de la población. Este valor de fitness esla simulación del papel que juega el ambiente en la evoluciónnatural darwiniana.El paradigma de los algoritmos genéticos puede esquematizarsecomo sigue:Inicializar(Población)MejorFitness=Evaluar(Población)Mientras (MejorFitness

210 Capítulo 8. Algoritmos GenéticosLuego entramos en el bucle de optimización o búsqueda.Este ciclo termina cuando nuestro AG ha encontrado una soluciónadecuada para el problema. Es decir, deberemos valernosdel fitness para el mejor individuo y de un umbral para evaluaresta condición de finalización.Durante el proceso evolutivo artificial, se aplican variosoperadores. Mediante un proceso fuertemente estocástico se generauna nueva población de individuos tomando en cuenta sufitness. Básicamente durante la selección se decide cuales individuosserán padres de la nueva generación. La nueva poblaciónpuede remplazar completamente a la población anterior o solamentea los peores individuos, las peores soluciones.Con los cromosomas candidatos a ser padres de la nuevapoblación se efectúan cruzas y mutaciones. Las cruzas son intercambiosde genes: el proceso consiste en intercambiar segmentosde los cromosomas de las parejas seleccionadas en forma aleatoria.Cuando un cromosoma sufre una mutación, el alelo de unode sus genes cambia en forma aleatoria. Las mutaciones ocurrensegún una probabilidad de mutación, esta probabilidad es unosde los parámetros que gobierna la evolución.Finalmente la población nace y se decodifica el genotipo enfenotipo para evaluar su fitness. Al volver al principio del cicloevolutivo verificamos nuevamente si nuestro mejor individuo superalos requisitos de la búsqueda, en caso contrario volvemos arepetir todo el proceso para obtener una nueva generación.8.3. Diseño de la solución de un problemamediante AGsCuando queremos resolver un problema mediante AGs debemosdeterminar un conjunto de especificaciones clave:

8.4. Representación de los individuos 211Representación de los individuos: ¿cómo representamosuna solución de nuestro problema mediante cromosomas?, ¿apartir de un conjunto de cromosomas dado, cómo obtenemosuna solución? Deberemos determinar en que forma se traduceel fenotipo en genotipo y viceversa.Función de fitness: ¿cómo medimos la capacidad de supervivenciade un individuo, sus posibilidades de procrear y transferirla información de sus genes a la próxima generación? En el dominiode las soluciones debemos poder medir que tan buena escada solución en relación a las demás.Mecanismo de selección: tenemos toda una población evaluadasegún el fitness y debemos elegir a los individuos que seránpadres de la próxima generación. No es tan sencillo como elegirlos M mejores. Veremos algunas formas de realizar una selecciónque, si bien premia a los mejores, no deja de dar la posibilidadazarosa de que uno de los peores individuos sea padre, comosucede en la naturaleza.Operadores de variación y reproducción: los operadoresbásicos son las cruzas y mutaciones. Sin embargo, a pesar deque limitemos el estudio sólo a estos operadores, veremos variasformas de aplicarlos. A partir de los operadores podemos reproduciry obtener la nueva población. Durante la reproduccióntambién tenemos que considerar algunas opciones.8.4. Representación de los individuosEl primer aspecto a resolver es la codificación del problemaen un alfabeto finito. Tradicionalmente se han empleado cadenasbinarias, pero recientemente se están empleando esquemas más

212 Capítulo 8. Algoritmos Genéticosflexibles. Deberemos encontrar la forma de pasar desde el espaciodel genotipo al espacio del fenotipo como muestra la Figura 8.1.Codificación00111101Espacio delgenotipo010134564.56Espacio delfenotipo1.251001556DecodificaciónFigura 8.1. Representación de los individuos. Buscamos la forma decodificar soluciones en cromosomas y viceversa.Para los AGs utilizamos la base canónica {0, 1} en cadenasde longitud fija y finita para representar soluciones de nuestroproblema. Lo que representamos en estas cadenas depende dela aplicación. Podemos representar las conexiones, componentesy valores de éstos para un circuito electrónico; las líneas delcódigo de un programa; los pesos y conexiones estructurales deuna red neuronal y una infinidad de ejemplos más. Entre estostambién encontramos a los coeficientes de un filtro ARMA o deun sistema no lineal.Vamos a utilizar el caso más sencillo que consiste en representaruna serie de coeficientes que describen algún sistema.Podemos utilizar un cromosoma para cada coeficiente. El cromosomacodificará en forma binaria el valor del coeficiente. Existenmuchos métodos para codificar en forma binaria un valor real oentero, solo veremos el caso más sencillo.Deberemos decidir con que resolución queremos representara cada coeficiente. Cuando más bits tenga nuestra cadenamás amplio será el espacio de búsqueda. Es decir, deberemos

8.5. Función de fitness 213establecer un compromiso entre la resolución de la codificacióny la cantidad de dimensiones del espacio de búsqueda.Suponga que necesitamos codificar un coeficiente x en elrango [a, b] mediante un cromosoma de n bits (genes). Debemosseguir dos pasos:1. Aplicar un factor de escala y truncamiento para convertiral real x en un entero X perteneciente al rango [0, 2 n − 1]2. Convertir el entero X en un número binario.Para decodificar y transformar el genotipo en fenotipo aplicamoslos pasos inversos:1. Convertimos el número binario de la cadena del cromosomaen entero X.2. Aplicar un factor de escala para convertir el entero X pertenecienteal rango [0, 2 n − 1] en el real x en [a, b].8.5. Función de fitnessDebemos obtener ahora una medida de qué tan buena es lasolución de cada individuo. Esta función trabaja en el dominiodel problema, sobre el fenotipo de cada individuo. Por lo tantopara obtener el valor de fitness para un individuo deberemospreviamente hacerlo nacer, y en algunos casos crecer, a partirde su genotipo para luego evaluar objetivamente qué tan buenoes en relación a los otros.Hay un aspecto fundamental a resolver, el valor de fitnessdebe ser monotónicamente creciente con la bondad de la soluciónque un individuo representa. Si ésta dependiera de variosfactores, de la forma en que éstos sean pesados en la función defitness dependerá la optimización que realice el AG.

214 Capítulo 8. Algoritmos GenéticosEl “cómo” nace y crece un individuo es completamentedependiente de la aplicación. En el caso de que estemos optimizandola trayectoria de un móvil robot deberemos tener unrobot real para cada fenotipo necesario o, como generalmente seresuelve, utilizar una buena simulación de su comportamiento.En el otro extremo, la sencillez está representada por la simpleevaluación de una ecuación que es directamente una mediada delfitness. En el caso de la identificación de un sistema deberemosutilizar las ecuaciones en recurrencia que lo caracterizan paraobtener su respuesta y compararla con la deseada. En este casoel error cuadrático medio puede considerarse como una medidainversa del fitness del individuo.8.6. SelecciónExisten varias formas de realizar la selección de los progenitores.Recordemos que, al igual que en la naturaleza, no seselecciona simplemente los mejores. La selección no está relacionadadirectamente con el fitness de un individuo sino a través deoperadores probabilísticos. Veamos algunos métodos sencillos.8.6.1. Rueda de ruletaTambién denominado selección basada en rangos, consisteen asignar a cada individuo una porción de la ruleta que esproporcional a su fitness. Luego, hacemos rodar la ruleta y elfavorecido es seleccionado para ser padre en la próxima generación.A continuación mostramos el algoritmo del método derueda de ruleta y en la Figura 8.2 un ejemplo gráfico.

8.6. Selección 215sumF = suma de todos los fitnesssumR = rand(0, 1)sumFsumP = 0, j = 0Repetirj = j + 1sumP = sumP + fitness jHasta (sumP ≥ sumR)Seleccionado= j675142 3Figura 8.2. En este ejemplo de la rueda de ruleta el individuo número4 es el que más probabilidades tiene de ser seleccionado. Sin embargocualquiera puede ser padre.En poblaciones grandes es común que unos pocos individuosextraordinarios se encuentren sumergidos en un mar decolegas mediocres. Es por esta razón que la selección de la ruedade ruleta suele generar una convergencia lenta para el AG.Las áreas asignadas para los individuos buenos son proporcionalmentemayores pero hay tantos individuos mediocres que suárea total es muy significativa. La selección no favorece suficientementea los buenos individuos. Existe una técnica denominadaescalamiento de fitness que ataca este problema justamente

216 Capítulo 8. Algoritmos Genéticosredefiniendo las distancias en fitness entre los mejores y los mediocresy peores. Sin embargo vamos a ver otras técnicas deselección en la que este problema no es tan marcado y aseguranuna convergencia más rápida para el algoritmo.8.6.2. VentanasEn este método es necesario que primero ordenemos porfitness descendiente a los individuos. Hacemos N ventanas orangos de selección [0, q i ]. El límite superior q i va creciendo hastallegar al total de la población. De cada ventana se elige al azarun individuo que queda seleccionado para ser padre.En este método la mayor probabilidad de ser padre se asignaa los primeros individuos en la ordenación ya que están entodas las ventanas de selección. Los últimos individuos (menorfitness) sólo se encontrarán en condiciones de ser elegidos cuandose seleccione en la ventana [0, q N ].8.6.3. CompetenciasEn este caso se eligen, completamente al azar, k > 1 individuos;se los hace competir por fitness y queda seleccionadoel ganador. Generalmente se utilizan valores de k entre 2 y 5dependiendo del tamaño de la población. Este método es unode los más utilizados debido a lo simple de su implementación.8.7. Reproducción y operadores de variaciónLa reproducción es el proceso mediante el cual se obtienela nueva población a partir de los individuos seleccionados y losoperadores de variación. Existen varias alternativas para realizarla reproducción, en el caso más sencillo se obtienen todos los

8.7. Reproducción y operadores de variación 217individuos de la nueva población a partir de variaciones (cruzasy mutaciones) de los progenitores.Es posible también transferir directamente a la poblaciónnueva los padres seleccionados en la población anterior y completarlos individuos faltantes mediante variaciones. En este casointerviene un parámetro denominado brecha generacional quedetermina cuantos padres son copiados directamente desde lapoblación anterior a la nueva. Este parámetro es un número Greal que está entre 0 y 1. Multiplicándolo por la cantidad totalde individuos de la población permite encontrar la cantidad depadres que serán copiados.Otra alternativa algo menos biológica pero que es utilizadacon muy buenos resultados es el elitismo. En esta estrategia sebusca el mejor individuo de la población anterior e independientementede la selección y variación se lo copia exactamente enla nueva población. De esta manera nos aseguramos de no perderla mejor solución generación tras generación. Como veremosesta estrategia permite elevar el índice de mutaciones y aumentarasí la dispersión de las soluciones en el espacio de búsqueda.Vamos a ver a continuación los dos operadores de variación másutilizados.8.7.1. MutacionesLa mutación trabaja invirtiendo alelos de genes con unaprobabilidad p m muy baja, por ejemplo p m = 0,001 (ver Figura8.3). Las mutaciones son típicamente realizadas con unaprobabilidad uniforme en toda la población y el número de mutacionespor individuo puede ser fijado de acuerdo a esta probabilidady la cantidad de individuos. En los casos más simplesse da la posibilidad de mutar solo un alelo por individuo o sedistribuye uniformemente sobre todo el cromosoma.El papel fundamental de las mutaciones es no dejar quetodos los individuos de la población se conviertan en mediocres

218 Capítulo 8. Algoritmos Genéticos(caigan en mínimos locales) permitiendo que constantemente seredistribuya la población sobre el espacio de búsqueda. Sin embargouna probabilidad de mutaciones demasiado elevada podríahacer que perdamos buenas soluciones impidiendo o retardandola convergencia. Cuando utilizamos elitismo nos aseguramos deno perder la mejor solución en probabilidades altas de mutación.8.7.2. CruzasLa cruza es un operador que, en el caso más sencillo, actúasobre dos cromosomas para obtener otros dos. Existen dos tiposde cruzas: cruzas simples y cruzas múltiples. En las cruzassimples se elige un punto de cruza al azar y se intercambia elmaterial genético correspondiente (ver Figura 8.4). En la cruzamúltiple puede cortarse el cromosoma en más de dos partes pararealizar el intercambio. En ambos casos el o los puntos de cruzason elegidos al azar. Veamos a continuación el algoritmo para lacruza simple.cruza = rand(1, LongCromo − 1)Para j de 1 a cruzaHijo1 j = Mutar(P adre1 j )Hijo2 j = Mutar(P adre2 j )FinParaPara j de cruza a LongCromoHijo1 j = Mutar(P adre2 j )Hijo2 j = Mutar(P adre1 j )FinPara8.8. Características principalesConcebidos como una arquitectura genérica, como una técnicade búsqueda fuerte; cuando se aplican a problemas particulareslos algoritmos genéticos deben sufrir modificaciones, para

8.8. Características principales 219Cromosoma originalCromosoma mutado1 0 1 1 1 1 0 11 0 1 1 0 1 0 1Punto de mutaciónFigura 8.3. Mutación en un cromosoma de 8 genes.Cromosomas padres1 0 1 1 1 1 0 1Cromosomas hijos1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 1 0 1Punto de cruzaFigura 8.4. Cruza simple a partir de dos cromosomas de 8 genes.

220 Capítulo 8. Algoritmos Genéticosque presenten un buen desempeño y eficiencia. Así, a pesar deque tradicionalmente han empleado cromosomas binarios paracodificar las soluciones, recientemente se está generalizando elempleo de estructuras más complejas de representación, comovectores de números reales, árboles, etc. Los operadores genéticostambién sufren adecuaciones cuando se modifica la representaciónde las soluciones, en general, los nuevos operadores estánen función del problema particular. Sin embargo, a diferencia deotras técnicas de computación evolutiva, el aspecto central delos algoritmos genéticos es la importancia que cumple el operadorde cruzamiento y su relación con el operador de mutación.Mientras el operador cruza tiene una tasa o probabilidad elevadaen todo algoritmo genético, el parámetro probabilidad demutación tiene generalmente valores menos significativos.Consideremos algunos ejemplos prácticos para hacer unacomparación entre los algoritmos genéticos y los métodos debúsqueda por gradientes que vimos anteriormente.Tomemos el ejemplo de la optimización para el sistemaAR de segundo orden cuya superficie de error (fitness invertido)está dada por la suma de cuatro funciones gaussianas invertidascomo muestra la Figura 8.5. Agregue además la particularidadde que uno de los valles del error está solo 10 −5 veces más cercadel cero que los otros tres. Encontrar el mínimo global implicaencontrar el mínimo del valle que llega más abajo. Mientras unAG distribuye la población uniformemente sobre la superficiey analiza en paralelo todo el espacio de soluciones, el métodode gradientes se encuentra limitado a la baja probabilidad deque dadas las condiciones iniciales el vector de coeficientes seencuentre en el valle apropiado. El AG busca simultáneamentees todo el espacio de soluciones, analiza toda la superficie antesde tomar una decisión. En contraste el método de gradienteanaliza solo un punto de la superficie y un entorno pequeño deéste.Otro caso donde el AG se ve favorecido es cuando la curva

8.8. Características principales 221Figura 8.5. Curva de error o fitness invertido para un espacio desoluciones de dimensión 2. Uno de los picos llega 10 −5 veces másabajo que los otros tres.Figura 8.6. Curva de error o fitness invertido para un espacio de solucionesde dimensión 2. Los métodos basados en el gradiente puedenquedarse fijos en cualquiera de los escalones de la superficie.

222 Capítulo 8. Algoritmos Genéticosde error posee mesetas o escalones como se muestra en la Figura8.6. ¿Qué pasa ahora con el método del gradiente del erroren los escalones? Como el gradiente da cero si estamos en unescalón, el método no puede determinar la dirección que hayque seguir para caer en la superficie. Nuevamente el AG se vefavorecido por analizar simultáneamente mucho puntos uniformementedistribuidos en la superficie.A pesar de estas grandes ventajas del método no podemosdejar de mencionar que generalmente los algoritmos genéticosrequieren un tiempo de cálculo y capacidad de almacenamientomucho mayor que otros métodos más convencionales. Este es elcosto de la versatilidad y amplio espectro de aplicaciones queofrecen los algoritmos genéticos.Resumiremos en la siguiente lista las principales diferenciasentre los algoritmos genéticos y otros métodos más tradicionalesen la optimización y búsqueda:1. Los AGs trabajan con una codificación del conjunto deparámetros de nuestro problema y no con los parámetrosen si mismos.2. Los AGs buscan en una población de puntos en el espaciode soluciones, no en un punto en particular.3. Los AGs utilizan la información de la función objetivosolamente y no sus derivadas o conocimiento auxiliar.4. Los AGs utilizan reglas probabilísticas para las transiciones,no reglas determinísticas.8.9. Introducción a los fundamentos matemáticosLas características descriptas de un algoritmo genético, respondena un cuerpo teórico sólido que los soporta. Este se puede

8.9. Introducción a los fundamentos matemáticos 223sintetizar en la teoría de esquemas. Un esquema es una cadenade caracteres definida sobre un alfabeto finito.La teoría de esquemas predice el comportamiento de un esquemadescribiendo un subconjunto de cadenas con similaridadesen ciertas posiciones. De acuerdo a esto, la solución óptimade un problema, se encuentra, debido a que el teorema fundamentalde los algoritmos genéticos garantiza que el crecimientode una instancia de un esquema determinado es aproximadamenteproporcional al fitnesss relativo observado de tal esquema,dado que los esquemas con longitud definida pequeña, bajoorden y fitness superior al promedio de la población, son incrementadosexponencialmente en la población, a través de lasgeneraciones, mientras que los esquemas con valores de fitnessinferiores al promedio, longitud definida grande y alto orden,desaparecen.La hipótesis de los bloques constructores plantea que losesquemas con alto valor de fitness (mayor que el promedio dela población), y longitud definida pequeña, donde longitud es ladistancia entre la primera y la última posición fija en toda lacadena, constituyen los bloques constructores, los cuales permitenlocalizar las cadenas de mayor valor de fitness (las mejoressoluciones o soluciones óptimas), mediante muestras de estosbloques con valor de fitness alto (selección) y también por combinaciónde bloques constructores (cruzamiento). La búsquedaaltamente eficiente de los algoritmos genéticos, es explicada porlo que se a denominado paralelismo implícito, un aspecto fundamentalde los mismos. Esto significa que a pesar de que unalgoritmo genético procesa solamente N cromosomas o solucionesen forma directa, se ha demostrado, que implícitamente seevalúan o exploran N 3 esquemas, dado que en el caso de unarepresentación binaria un cromosoma representa 2 d esquemasdiferentes, donde d es la longitud del cromosoma.

224 Capítulo 8. Algoritmos Genéticos8.10. Trabajos prácticosEjercicio 1: Implemente las estructuras de datos y algoritmosbásicos para la solución de un problema mediante algoritmosgenéticos. Pruebe estas rutinas buscando el mínimo global delas siguientes funciones:f(x) = x 2con x ∈ [−5,12 . . . 5,12],f(x) = −x sin( √ |x|)con x ∈ [−512 . . . 512],f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 0,25 [ sin 2 ( 50(x 2 + y 2 ) 0,1) + 1 ]con x, y ∈ [−100 . . . 100].Ejercicio 2: (∗∗) Población de escarabajos TriboliumSe ha utilizado un modelo demográfico para predecir ladinámica de una población de escarabajos de harina Triboliumbajo condiciones de laboratorio. Este modelo consiste de tresecuaciones diferenciales acopladas, no lineales y estocásticas quebajo ciertas condiciones muestran un comportamiento caótico.El modelo no ha sido completamente ajustado a los resultadosobtenidos en experiencias de laboratorio y, si bien seconocen los rangos en los que pueden estar sus parámetros, nose conoce una buena aproximación de sus valores.El objetivo principal de este trabajo es encontrar el conjuntode parámetros para los que el modelo se comporta de acuerdoa las mediciones experimentales realizadas en el laboratorio.Para lograr esto contamos con las mediciones experimentales,las ecuaciones en diferencia del modelo y los rangos biológicamenteválidos en los que pueden encontrarse los valores de susparámetros. Deberemos minimizar el error entre las medicionesde laboratorio y la salida del modelo mediante alguna técnicade identificación de sistemas.

8.10. Trabajos prácticos 225Las características no lineales, el caos y las variables aleatoriaspresentes en el modelo dificultan la utilización de técnicasconvencionales para la identificación de parámetros, y se proponeen este ejercicio aplicar la técnica de algoritmos genéticos alproblema de identificación de parámetros.El modelo. El modelo describe la relación entre las poblacionesde escarabajos Tribolium de tres distintos estados de madurez.Las ecuaciones en diferencias de este modelo estocásticosson las siguientes:L n+1 = bA n e −c elL n−c eaA n+E 1nP n+1 = (1 − µ l )L n e E2nA n+1 = [ P n e −cpaAn + (1 − µ a )A n]eE 3ndonde notamos como:n: tiempo discreto cuya unidad en el modelo es de 2 semanas.L n : cantidad de larvas que sirven de alimento, para el tiempon.P n : cantidad de larvas que no sirven de alimento, pupas yadultos jóvenes, para el tiempo n.A n : cantidad de adultos sexualmente maduros, para eltiempo n.b: número de larvas reclutadas por adulto y por unidad detiempo en ausencia de canibalismo.µ l : tasa de mortalidad de larvas en una unidad de tiempo.

226 Capítulo 8. Algoritmos Genéticosµ a : tasa de mortalidad de adultos en una unidad de tiempo.e −c elL n: probabilidad de que un huevo no sea comido enla presencia de L n larvas, por unidad de tiempo (canibalismo).e −ceaAn probabilidad de que un huevo no sea comido enla presencia de A n adultos, por unidad de tiempo (canibalismo).e −cpaAn probabilidad de supervivencia de pupas en presenciade A n adultos, por unidad de tiempo.E Nn variables de ruido aleatorio de una distribución normalmultivariable acoplada con un vector de valor medionulo y una matriz de varianza-covarianza Σ.Las nolinealidades exponenciales presentes en el modelo representanel canibalismo sobre los huevos que realizan larvas yadultos y sobre las larvas que realizan pupas y adultos. Lasvariables aleatorias representan desviaciones impredecibles delas observaciones realizadas sobre la estructura determinística(Σ = 0) del modelo, provocadas por cambios ambientales entreotras causas.Datos experimentales. A partir de una población inicial de250 larvas pequeñas, 5 pupas y 100 adultos, se realizaron losrecuentos de la cantidad de escarabajos en cada etapa durante80 semanas con una periodicidad de 2 semanas. Los resultadosse guardaron en un archivo de texto que contiene tres columnasy 40 filas. En cada fila se encuentran los recuentos correspondientesa un período de 2 semanas que según las columnascorresponden a L n , P n y A n .De acuerdo a las condiciones de laboratorio en la que evolucionóla población podemos estimar cierto rango par los valores

8.10. Trabajos prácticos 227de los parámetros. Además en relación al papel que desempeñanen el modelo sabemos que todos deben ser mayores que cero.Todas estas consideraciones nos permitirán reducir el espaciode búsqueda:b < 10 1µ l < 10 0µ a < 10 0c el < 10 −1c ea < 10 −1c pa < 10 0A continuación vemos tres gráficas que muestran la evoluciónde la población bajo condiciones de laboratorio en unperíodo de 80 semanas.Acerca de la implementación. Se recomienda utilizar lassiguientes pautas para la implementación:Codificación binaria de 16 bits de resolución ajustada arango de variación de cada parámetro.Cruzas simples.Bajas probabilidades de mutación (< 0,1 no elitista, < 0,4elitista).Una estructura determinística del modelo para simplificareste trabajo práctico.No menos de 100 individuos por generación.

228 Capítulo 8. Algoritmos Genéticos300Larvas20010000 10 20 30 40 50 60 70 80200Pupas10000 10 20 30 40 50 60 70 80100Adultos5000 10 20 30 40 50 60 70 80SemanasFigura 8.7. Evolución temporal de la población en sus tres estadios.

Bibliografía 229Bibliografía[1] D. E. Goldberg. Genetic Algorithms in Search, Optimizationand Machine Learning. Addison-Wesley, 1997.[2] Z. Michalewicz. Genetic Algorithms + Data Structures =Evolution Programs. Springer-Verlag, 1992.[3] T. Bäck, U. Hammel, and H-F. Schewfel. Evolutionary computation:Comments on history and current state. IEEETrans. on Evolutionary Computation, 1(1):3–17, 1997.[4] D. J. Montana. Neural networks weight selection using geneticalgorithms. In Itelligent Hybrid Systems, chapter 5. J.Wiley Sons, 1995.[5] V. Maniezzo. Genetic evolution of the topology and weightdistribution of neural networks. IEEE Trans. on Neural Networks,5(1), January 1994.[6] H. Morikawa. Adaptative estimation of time-varying modelorder in the arma speech analisis. IEEE Trans. on Acoust.Speech, Signal Processing, 38:1073–1083, July 1990.[7] Constantino R. F., Desharnais R. A., Cushing J. M., andDennis B. Chaotic dynamics in an insect population. Science,275:389–391, Jan. 1997.[8] Park L. J., Park C. H., Park C., and Lee T. Application ofgenetic algorithms to parameter estimation of bioprocesses.Medical & Biological Engineering & Computing, Jan. 1997.

230 Capítulo 8. Algoritmos Genéticos

Apéndice AOctave (v2.1.36)231

232 Apéndice A. Octave (v2.1.36)A.1.A.2.Generalesoctave - Inicia una sesión deoctave.octave --traditional - Iniciauna sesión de octave enformato compatible con MatLab.quit o exit - Termina la sesiónde Octave.INTERRUPT (o sea C-c) Terminael comando actual y devuelveel prompt.help - Lista todos los comandosy variables integradas.help comando - Describe brevementeel comando.help -i - Usa Info para navegarel manual de ayuda deOctave.help -i comando - Busca comandoen el manual de Octaveusando la interface de Info.Comandos delsistemacd dir - Cambia el directoriode trabajo a dir.pwd - Muestra el directorio detrabajo actual.ls [opciones] - Muestra un listadode archivos y directoriosdel directorio actual.getenv cadena - Devuelve elvalor de una variable de entorno.system cmd- Ejecuta un comandodel sistema operativo.A.3.Matrices y rangosLas matrices se delimitan concorchetes. Los elementos de una filase separan con comas. Las filas seseparan con punto y coma (;). Lascomas se pueden reemplazar por espaciosy los punto y coma por unoo mas enter. Los elementos de unamatriz pueden ser expresiones arbitrarias,siempre que las dimensionesconcuerden.[ x, y, ... ] - Ingresar unvector fila[ x; y; ... ] - Ingresar unvector columnar[ w, x; y, z ] - Ingresar unamatrix de 2×2.base : limitebase : incremento : limiteEspecifican un rango de valores empezandodesde base con elementosno mayores de limite. Si no se poneun incremento, el valor por defectoes 1. Se pueden usar incrementos negativos.A.4.Algunas variablespredefinidasEDITOR - Especifica el editora usar con el comando edit.Inf, NaN - Infinito, indeterminación(Not-a-Number).

A.6. Operadores booleanos y de comparación 233LOADPATH - Define el caminode búsqueda para los archivosde funciones.ans - Devuelve el último resultadoque no haya sido explícitamenteasignado.eps - Presición de la maquina.pi - πrealmax -Valor máximo representable.realmin - Valor mínimo representable.A.5. Operaciones a- A.6.ritméticas yoperadores deincrementox + y - Suma de matrices.x - y - Resta de matrices.x * y - Multiplicación Matricial.x .* y - Multiplicación elementoa elemento.x / y - División matricial porla derecha, equivalente conceptualmentea (inv(y’)*x’)’.x ./ y - División por la derechaelemento a elemento.x \ y - División matricialpor la derecha, equivalente conceptualmentea inv(x)*yx .\ y - División elementoa elemento por la izquierda.x ^ y - Operador de potenciasmatricial.x .^ y - Operador de potenciaselemento a elemento.- x - Negación.x ’ - Transpuesta complejaconjugada.x .’- Transpuesta.++ x (-- x) - Incrementa(decrementa) x, devuelveel nuevo valor.x ++ ( x --) - Incrementa(decrementa) x, devuelveel valor anterior.Operadores booleanosy de comparaciónx < y - Verdadero si x es menorque y.x y - Verdadero si x es mayorque y.x >= y - Verdadero si x esmayor o igual que y.x == y - Verdadero si x esigual a y.x != y - Verdadero si x no esigual a y.x & y - Verdadero si ambos,xy y son verdaderos.x | y - Verdadero si al menosuno de x o y es verdadero.! bool - Verdadero si bool esfalso.

234 Apéndice A. Octave (v2.1.36)A.7.Sentenciasfor identificador = exprlistaendforEjecutar la lista de comandoslista una vez por cada columnade expr. La variable identificadorse setea al valor dela columna actual para cadaiteración.while (condición)listaendwhileEjecuta la lista de comandoslista mientras la condición seaverdadera.breakinterno.- Sale del bucle máscontinue - Vuelve al iniciodel bucle mas interno.return - Sale de una funcióny devuelve el control alproceso que la había llamado.if (condición)lista-if[elselista-else]endifEjecutar la lista de comandoslista-if si la condición es verdadera,de otra forma ejecutala lista lista-else.if (condición)lista-if[elseif (condición2)lista-elseif][elselista-else]endifEjecutar la lista de comandosA.8.lista-if si la condición es verdadera,de otra forma ejecutarla lista lista-elseif correspondientea la primer condiciónelseif que sea verdadera,de otra forma ejecutar listaelse.Cualquier número de clausulaselseif puede aparecer enuna sentencia if.Manipulacionesbásicas de matricesrows(a) - Devuelve el númerode filas de acolumns(a) - Devuelve el númerode columnas de aall(a) - chequea si todos loselementos de a son distintosde cero.any(a) - chequea si cualquierelemento de a es distinto de.find(a) - Devuelve los índicesde los elementos distintosde cero.sort(a) - Ordena los elementosde cada columna de a.sum(a) - Suma los elementosen cada columna de a.prod(a) - Producto de los elementosen cada columna de a.min(args) - Encuentra el mínimo.max(args) - Encuentra el máximo.

A.10. Algebra Lineal 235A.9.rem(x, y) - Calcula el restode x/y.reshape(a, m, n) - Reformateala matriz a para que seade m por n.diag(v, k) - Crea una matrizdiagonal.linspace(b, l, n) - Crea unvector de elementos espaciadoslinealmente.logspace(b, l, n) - Crea unvector con espaciamiento logarítmico.eye(n, m) - Crea una matrizidentidad de n por m.ones(n, m) - Crea una matrizde unos de n por m.zeros(n, m) - Crea una matrizde ceros de n por m.rand(n, m) - Crea una matrizde n por m con valoresaleatorios con distribución uniformeentre 0 y 1.randn(n, m) - Crea una matrizde n por m con valoresaleatorios con distribución normalde varianza 1 y media 0.Funciones trigonométricassin(a) cos(a) tan(a) - Funcionestrigonométricas.asin(a) acos(a) atan(a) - Funcionestrigonométricas inversas.A.10.A.11.sinh(a) cosh(a) tanh(a) - Funcionestrigonométricas hiperbólicas.asinh(a) acosh(a) atanh(a)- Funciones trigonométricas hiperbólicasinversas.Algebra Linealdet(a) - Calcula el determinantede una matriz.eig(a) - Autovalores y autovectoresde una matriz.expm(a) - Calcula la exponencialde una matriz.inverse(a) - Inversa de unamatriz cuadrada.norm(a, p) - Calcula la normap de una matriz.pinv(a) - Calcula la pseusoinversade la matriz a.rank(a) - Rango de una matriz.Procesamientode Señalesfft(a) - Transformada Rápidade Fourier.ifft(a) - Transformada rápidade Fourier Inversa.freqz(args) - Respuesta enfrecuencia de filtros digitales.sinc(x) - Función Sinc (sin(π x)/(π x))

236 Apéndice A. Octave (v2.1.36)A.12.A.13.Procesamientode Imágenescolormap(map) - Fija el mapade colores actual.image(img, zoom) - Muestrauna matriz de imagen de Octave.imagesc(img, zoom) - Muestrauna matriz escalada comouna imagen.Funciones deentrada/salidafopen(nombre, modo) - Abreel archivo name en modo modo.fclose(arch) - Cierra el archivoarchfprintf(arch, fmt, ...) - Salidaformateada a arch.sprintf(fmt, ...) - Salida formateadaa una cadena.fscanf(arch, fmt) - Entradaformateada desde archsscanf(str, fmt) - Entradaformateada desde la cadenastrfgets(arch, len) - Lee lencaracteres del archivo archftell(arch) - Fija la posicióndel puntero de lectura en unarchivo binario.frewind(arch) - Mueve el punterode un archivo al principio.A.14.fread(arch, size, prec) - Leedatos binarios de un archivo.fwrite(arch, size, prec) -Escribe datos binarios en unarchivo.feof(arch) - Determina si elpuntero de un archivo está alfinal del archivo.save arch var ... - Grabarvariables en archload arch - Cargar variablesdesde archdisp(var) - Mostrar el valorde var en la pantalla.Miscelaneaseval(str) - Evaluar la cadenastr como un comando.feval(str, ...) - Evaluar lafunción de nombre str, pasandolos demás argumentos a lafunción.error(message) - Imprimir unmensaje y retornar al nivel deejecución superior.clear pattern - Borrar las variablesconcordantes con el patrónpattern.exist(str) - Chequea la existenciade una variable o función.who - Muestra las variables actuales(formato corto).whos - Muestra las variablesactuales (formato largo).

A.18. Otras funciones de graficación 237A.15.A.16.A.17.Polinomiosconv(a, b) - Convolución yproducto de polinomios.deconv(a, b) - Deconvolucióny división de polinomios.poly(a) - Crear un polinomioa partir de una matriz.polyval(p, x) - Valor de unpolinomio p en xroots(p) - Encontrar las raícesde un polinomio.Estadisticacorrcoef(x, y) - Coeficientede correlación.cov(x, y) - Covarianza.mean(a) - Valor medio.median(a) - Mediana.std(a) - Desvío estándar.var(a) - Varianza.Gráficos básicosA.18.gplot [ranges] expr [using][title][style] - Gráficos en 2D.gsplot [ranges] expr [using][title][style] - Gráficos en 3D.ranges - Especifican elrango de los datos.expr - Expresión a graficar.using - Especifica las columnasa graficar.title - Especifica un títulopara la gráfica.style - Especifica el estilode línea para la gráficaSi los rangos ranges se especifican,deben star antes de laexpresión a graficar. Las opcionesusing, title, y style puedenaparecer en cualquier ordendespués de la expresiónexpr. Se pueden graficar múltiplesexpresiones en un sólo gráfico,separándolas por comas.setoptions - Fijar las opcionesde graficación.showoptions - Mostrar las opcionesde graficación.replot - Redibujar el gráficoactual.closeplot - Cerrar la corrientea los procesos de gnuplot.purge tmp files - Borrar losarchivos de dibujo temporales.Otras funcionesde graficaciónplot(args) - Gráfico en 2Dcon ejes lineales.semilogx(args) - Gráfico en2D con eje x logarítmico.

238 Apéndice A. Octave (v2.1.36)semilogy(args) - Gráfico en2D con eje y logarítmico.loglog(args) - Gráfico en 2Dlogarítmico en ambos ejes.bar(args) - Gráfico de barras.stairs(x, y) - Gráfico de escaleras.hist(y, x) - Histograma.title(string) - Fija el títulode un gráfico.axis(limits) - Fija los rangosde un gráfico.xlabel(string) - Fija una etiquetapara el eje x.ylabel(string) - Fija una etiquetapara el eje y.grid [on|off] - Setea el estadode la grilla.hold [on|off] - Setea el estadode retención de un gráfico.mesh(x, y, z) - Gráfico de unasuperficie en 3D.meshgrid(x, y) - Crea matricesde coordenadas para el mesh.

Apéndice BComandos de SciLab(v2.6)239

240 Apéndice B. Comandos de SciLab (v2.6)B.1.SeñalesSignal - Descripción manualde una señal.analpf - Crear un filtro analógicopasabajos.buttmag - Respuesta de un filtroButterworth.casc - Realización de filtrosen cascada a partir de los coeficientes.cepstrum - Cálculo del Cepstro.cheb1mag - Respuesta de unfiltro de Chebyshev tipo 1.cheb2mag - Respuesta de unfiltro de Chebyshev tipo 2.chepol - Polinomio de Chebyshev.convol - Convolución.corr - Correlación, Covarianza.cspect - Estimación espectralpor el método de correlación.dft - Transformada Discretade Fourier.ell1mag - Magnitud de un filtroElíptico.eqfir - Aproximación minimaxpara un filtro FIR.eqiir - Diseño de filtros IIR.ffilt - Coeficientes de un filtroFIR pasabajos.fft - Transformada Rápida deFourier.filter - Aplicación de un filtro.frmag - Magnitud de FiltrosFIR e IIR.fsfirlin - Diseño de filtrosFIR de fase lineal por la técnicade muestreo en frecuencias.group - Retardo de grupo deun filtro digital.hilb - Transformada de Hilbert.iir - Filtro Digital IIR.iirgroup - Optimización delretardo de grupo de filtros pasabajosIIR.iirlp - Optimización de filtrosIIR pasabajos.intdec - Interpolación/decimaciónde una señal (cambio de frecuenciade muestreo).lev - Equaciones de Yule-Walker(algoritmo de Levinson)levin - Resolución de sistemasde Toeplitz por el algoritmode Levinson (multidimensional)mese - Estimación espectral pormaximización de entropía.mfft - Transformada rápidade Fourier Multidimensionalpspect - Estimación espectralcruzada entre dos series.remez - Algoritmo de Remez.remezb - Aproximación Minimaxde la respuesta de magnitud.sinc - Función Sinc (Sen(x)/x).trans - Transformación de filtrospasabajos a otros.

B.3. Control 241B.2.wfir - Filtros FIR de fase lineal.wigner - Distribución de Wigner-Ville.window - Ventana simétrica.yulewalk - Diseño de Filtrospor mínimos cuadrados.zpbutt - Prototipo analógicode filtro Butterworth.zpch1 - Prototipo analógicode filtro Chebyshev tipo 1.zpch2 - Prototipo analógicode filtro Chebyshev tipo 2.zpell - Prototipo analógicode filtro Elíptico.Sonidoanalyze - Gráfico de frecuenciasde una señal sonora.auread - Cargar un archivo desonido .au.auwrite - Escribir un archivode sonido .au.lin2mu - Codificación mu-lawde una señal lineal.loadwave - Cargar un archivode sonido .wav.mapsound - Graficar un mapade sonido.mu2lin - Codificación lineal deun sonido en mu-law.playsnd - Reproducir un sonido.savewave - Grabar datos enun archivo .wav.B.3.B.4.sound - Reproducir un sonido.wavread - Leer un archivo .wav.wavwrite - Grabar un archivo.wav.Controlbilin - Transformación bilinealgeneral.calfrq - Discretización de larespuesta en frecuencia.cls2dls - Transformación bilineal.dbphi - Transformación de larespuesta en frecuencia a larepresentación de magnitud yfase.dscr - Discretización de sistemaslineales.flts - Respuesta temporal desistemas discretos.frep2tf - Transformación dela respuesta en frecuencia aFunción de Transferencia.freq - Respuesta en frecuencia.Funciones elementalesabs - Valor absoluto, magnitud.acos - Arco Coseno.acosh - Arco Coseno Hiperbólico.

242 Apéndice B. Comandos de SciLab (v2.6)and (&) - And (Y) lógico.asin - Arco Seno.asinh - Arco Seno Hiperbólico.atan - Arco Tangente.atanh - Arco Tangente Hiperbólica.ceil - Redondear hacia +∞.conj - Complejo Conjugado.cos - Función Cosenocosh - Coseno Hiperbólico.cotg - Cotangentecoth - Cotangente Hiperbólica.diag - Extracción de matrizdiagonal.erf - Función de Error.eye - Matriz Identidad.fix - Redondear hacia cero.floor - Redondear hacia −∞.imag - Parte Imaginaria.int - Parte Entera.interp - Interpolacióninterpln - Interpolación Lineal.isdef - Verdadero si la variableexiste.isinf - Verdadero para los valoresinfinitos.isnan - Verdadero para las indeterminaciones(Not-a-Number).isreal - Verdadero para variablesreales.kron - Producto de Kronecker(externo).linspace - Vector espaciadolinealmente.log - Logaritmo Natural.log10 - Logaritmo base 10.log2 - Logaritmo base 2.logspace - Vector espaciadologarítmicamente.max - Máximo.mean - Valor medio de un vectoro matriz.median - Mediana de un vectoro matriz.min - Mínimo.modulo - Resto de la divisiónentera.not (~) - Not (NO) Lógico.ones - Matriz de unos.or — - Or (O) lógico.prod - Productoria.rand - Generador de númerosaleatorios.real - Parte Real.round - Redondeo al enteromás cercano.sign - Función Signo.sin - Función Seno.sinh - Seno Hiperbólico.size - Tamaño de una matriz.smooth - Suavizado (interpolado)por splines.sort - Ordenar en orden decreciente.

B.5. E/S a archivos 243B.5.sqrt - Raíz Cuadrada.squarewave - Forma de ondaCuadrada de período 2 ∗ πst_deviation - Desvío Estándar.sum - Sumatoria.tan - Tangente.tanh - Tangente Hiperbólica.trfmod - Gráfico de ceros ypolos.tril - Submatriz triangularinferior.triu - Submatriz TriangularSuperior.zeros - Matriz de Ceros.E/S a archivosdiary - Grabar la sesión deScilab en un archivo.disp - Mostrar variables o mensajes.dispfile - Mostrar las propiedadesde los archivos abiertos.file - Manejo de archivos.fileinfo - Información sobreun archivo.fprintf - Emulación de la funciónde C fprintf (escritura enarchivos de datos con formato).fprintfMat - Grabar una matrizen un archivo.fscanf - Lectura de datos conformato desde un archivo.fscanfMat - Lee una matrizdesde un archivo de texto.input - Espera una entradapor teclado del usuario.lines - Define las filas y columnasusadas para el display.load - Cargar variables grabadas.mclose - Cerrar un archivo abierto.meof - Chequea el fin de unarchivo.mfprintf - Convierte, formateay escribe datos a un archivo.mget - Lee un byte o word enun formato binario dado y loconvierte a double.mgeti - Lee un byte o worden un formato binario dado ylo convierte a entero.mgetl - Lee líneas de un archivode texto.mgetstr - Lee una cadena decaracteres de un archivo.mopen - Abre un archivo.mprintf - Convierte, formateae imprime datos en la pantallade SciLab.mput - Escribe un byte o worden un formato binario dado.mputl - Escribe cadenas en unarchivo ASCII.mseek - Fija la posición actualen un archivo binario.

244 Apéndice B. Comandos de SciLab (v2.6)B.6.msprintf - Convierte, formateay escribe datos a una cadena.read - Lee matrices.save - Graba variables en archivosbinarios.Creación de funcionesargn - Número de argumentosde una función.comp - Precompilación de unafunción.edit - Edición de funciones.endfunction - Cierra la definiciónde una función.function - Abre la definiciónde una función.genlib - Compila una libreríaa partir de todas las funcionesde un directorio.getd - Carga todas las funcionesdefinidas en un directorio.getf - Carga una función definidaen un archivo.newfun - Agrega un nombreen la tabla de funciones.varargin - Número variablede argumentos en una lista deargumentos de entrada.varargout - Número variablede argumentos en una lista deargumentos de salida.B.7.GráficosMatplot - Gráfico en 2D deuna matriz usando colores.Matplot1 - Gráfico en 2D deuna matriz usando colores.bode - Gráfico de Bode.champ - Campo vectorial 2D.champ1 - Campo vectorial 2Dcon flechas de colores.colormap - Selecciona un mapade colores.contour - Curvas de nivel deuna superficie en 3D.contour2d - Curvas de nivelde una superficie en un gráficode 2D.contourf - Curvas de nivel rellenasde una superficie en ungráfico de 2D.drawaxis - Dibujar un eje.errbar - Agregar barras deerror verticales a un gráfico2D.eval3d - Valores de una funciónsobre una grilla.evans - Lugar de raíces de Evans.gainplot - Gráfico de magnitud.getlinestyle - Diálogo paraseleccionar el estilo de línea.getmark - Diálogo para seleccionarlas marcas del gráfico.getsymbol - Diálogo para seleccionarlos símbolos y sustamaños para gráficos.

B.8. Operaciones lineales de matrices 245graduate - Graduación de losejes.graycolormap - Mapa de coloresgris lineal.hist3d - Histograma 3D.histplot - Histograma.hotcolormap - Mapa de coloresrojo a amarillo.legends - Leyendas del gráfico.nyquist - Gráfico de Nyquist.param3d - Gráfico 3D de unacurva (paramétrica).plot - Gráfico simple.plot2d - Gráfico 2D.plot2d1 - Gráfico 2D (con ejeslogarítmicos)plot2d2 - Gráfico 2D (de escalera)plot2d3 - Gráfico 2D (con barrasverticales)plot2d4 - Gráfico 2D (Con flechasverticales)plot3d - Gráfico 3D de unasuperficie.plzr - Gráfico de polos y ceros.polarplot - Gráfico en coordenadaspolares.replot - Redibuja la ventanade dibujo actual con nuevoslímites.sgrid - Grilla de líneas en elplano s.subplot - Divide una ventanagráfica en una matriz de subventanas.B.8.titlepage - Agrega un títuloa la ventana de dibujo.winsid - Devuelve una listade las ventanas de dibujo.xaxis - Dibuja un eje.xbasc - Limpia una ventanagráfica y borra los gráficos asociados.xbasimp - Envía gráficos a unaimpresora Postscript o a unarchivo.xbasr - Redibuja una ventanagráficaxclear - Borra una ventanagráfica.xgrid - Agrega una grilla aun gráfico 2D.xload - Carga un gráfico grabado.xsave - Graba gráficos a unarchivo.detOperaciones linealesde matrices- Determinante.exp - Exponencial elemento aelemento.expm - Exponencial de una matrizcuadrada.inv - Inversa de una matriz.linsolve - Resolución de ecuacioneslineales.orth - Base ortogonal.

246 Apéndice B. Comandos de SciLab (v2.6)B.9.B.10.pinv - Pseudoinversa.rank - Rango de una matriz.svd - Descomposición en valoressingulares.No linealderivative - Derivada aproximada.intc - Integral de Cauchy.intg - Integral definida.linpro - Resolución de problemasde programación lineal.ode - Resolución de ecuacionesdiferenciales ordinarias.ode_discrete - Resolución deecuaciones diferenciales ordinarias,simulación discreta.ode_root - Resolución de ecuacionesdiferenciales ordinariascon detección de raíces.optim - Rutina de optimizaciónno lineal.quapro - Resolución de problemasde programación linealcuadrática.Polinomiosclean - Limpiar matrices (redondeaa cero los valores pequeños).coeff - Coeficientes del polinomiocaracterístico de unamatriz.denom - Denominador.B.11.determ - Determinante de unamatriz polinómica.numer - Numerador.pdiv - División de polinomios.roots - Raíces de un polinomio.Programaciónabort - Interrumpir la ejecución.ans - Última respuesta.apropos - Busca palabras claveen la ayuda de SCiLab.backslash (\\) - División porla izquierda de matrices (premultiplicaciónpor inversa).break - Comando para interrumpirbucles.call - Llamada a subrutinas.case - Comando para seleccionarentre varias opciones.clear - Elimina variables.clearglobal - Elimina variablesglobales.colon (:) - Operador de Rango.comments - Comentarios.else - Palabra clave de lassentencia if-then-else.elseif - Palabra clave de lasentencia if-then-else.end - Palabra clave de fin.exec - Ejecución de un archivode script.

B.13. Utilidades 247exit - Termina la sesión deSciLab.for - Palabra clave para bucles.global - Definir una variableglobal.hat (^) - Exponenciaciónif then else - Ejecución condicional.mtlb_mode - Cambia a operacionescompatibles con Mat-Lab.pause - Detiene la ejecuciónhasta apretar una tecla.percent (%) - Comentarios.pwd - Muestra el directorio actualde trabajo.quote (’) - Transpuesta o delimitadorde cadenas.select - Comando select (similara switch).then - Palabra clave de la sentenciaif-then-elsewhile - Bucles condicionales.who - Listado de variables.whos - Listado de variables enformato largo.B.13.length - Tamaño de un objeto.part - Extracción de subcadenas.strcat - Concatenar cadenasd caracteres.strindex - Buscar la posiciónde una cadena dentro de otra.stripblanks - Eliminar los espaciosen blanco al inicio y alfinal de una cadena.strsubst - Sustituir una cadenade caracteres por otradentro de una cadena.Utilidadeschdir - Cambiar el directorioactual.dec2hex - Conversión de decimala hexadecimal.help - Ayuda en línea.hex2dec - Conversión de hexadecimala decimal.man - Ayuda en línea en formatomanpages.timer - Tiempo del CPU.B.12.Cadenas decaracteresconvstr - Conversión de mayúsculas/minúsculas.emptystr - Cadena de longitudcero.

248 Apéndice B. Comandos de SciLab (v2.6)

Apéndice CComandos de MatLab(v4.2)249

250 Apéndice C. Comandos de MatLab (v4.2)C.1.Comandos deusogeneralComandos básicoshelp - Documentación On-line.doc - Carga la documentaciónHipertextual.what - Listado de directoriosde los archivos .M, .MAT y.MEX.type - Mostrar un archivo .M.lookfor - Búsqueda por palabraclave en la base de datosde ayuda.which - Localiza funciones yarchivos.demo - Ejecuta demos.path - Control del árbol de directoriosde búsqueda de MatLab.Manejo de variables ydel espacio de trabajowho - Listado de variables enuso.whos - Listado de variables enuso, formato largo.load - Recuperar variables desdedisco.save - Guardar variables delespacio de trabajo a disco.clear - Eliminar variables yfunciones de la memoria.pack - Compactar la memoriadel espacio de trabajo.size - Tamaño de una matriz.length - Longitud de un vector.disp - Mostrar un texto porpantalla.Trabajo con archivos ycon el sistema operativocd - Cambiar el directorio detrabajo actual.dir - Listado de directorios.delete - Borrar un archivo.getenv - Obtener el valor deuna variable de entorno.! - Ejecutar un comando delsistema operativo.unix - Ejecutar comando delsistema operativo y devolverel resultado.diary - Guardar el texto deuna sesión de MatLab.Control de la ventanade comandoscedit - Cambiar la configuraciónde la edición/historial dela linea de comandos.clc - Borrar la ventana de comandos.home - Enviar el cursor al inicio.

C.3. Análisis de señales 251format - Setear el formato numéricode salida.echo - Activar/desactivar eleco de comandos dentro de Scripts.more - Control de salida porpáginas en la ventana de comandos.Iniciando y terminandoMatLabC.2.quit - Terminar la sesión deMATLAB.startup - Archivo .M que seejecuta al inicio de MatLab.matlabrc - Archivo .M maestrode configuración inicial delMatLab.Gráficos bidimensionalesGráficos X-Y elementalesplot - Gráfico Lineal.loglog - Gráfico logarítmicoen ambos ejes.semilogx - Gráfico semilogarítmicoen el eje X.semilogy - Gráfico semilogarítmicoen el eje Y.Gráficos X-Y especializadospolar - Gráfico en CoordenadasPolares.bar - Gráfico de Barras.stem - Gráfico de secuenciasdiscretas.stairs - Gráfico de Escalera.errorbar - Gráfico con barrasde error.hist - Histograma.fplot - Graficación de Funcionesimplícitas.Referenciación de gráficosC.3.title - Título del gráfico.xlabel - Etiqueta de eje X.ylabel - Etiqueta del eje Y.text - Anotación de Texto dentrodel gráfico.gtext - Anotación de textoen posición seleccionada porel mouse.grid - Rejilla.Análisis de señalesOperaciones básicasmax - Mayor componente.min - Menor componente.mean - Valor medio o promedio.median - Mediana.std - Desvío Estándar.sort - Ordenar en orden ascendente.sum - Suma de elementos.prod - Producto de elementos.

252 Apéndice C. Comandos de MatLab (v4.2)Operaciones con vectorescross - Producto cruz de vectores.dot - Producto punto de vectores.Correlacióncorrcoef - Coeficientes de Correlación.cov - Matriz de Covarianza.subspace - Ángulo entre subespacios.Filtrado y convoluciónfilter - Filtrado digital unidimensional.filter2 - Filtrado digital bidimensional.conv - Convolución y multiplicaciónde polinomios.conv2 - Convolución bidimensional.deconv - Deconvolución y divisiónde polinomios.Transformadas de Fourierfft - Transformada discretade Fourier unidimensional.fft2 - Transformada discretade Fourier bidimensional.ifft - Transformada discretade Fourier Inversa unidimensional.C.4.ifft2 - Transformada discretade Fourier Inversa bidimensional.abs - Magnitud (módulo).angle - Ángulo de Fase.unwrap - Remover los saltosde ángulo de fase a través delos límites de 360 grados.fftshift - Mover la frecuenciacero al centro del espectro.Funciones mat.elementalesTrigonométricassin - Seno.sinh - Seno Hiperbólico.asin - Arco Seno.asinh - Arco Seno Hiperbólico.cos - Coseno.cosh - Coseno Hiperbólico.acos - Arco Coseno.acosh - Arco Coseno Hiperbólico.tan - Tangente.tanh - Tangente Hiperbólica.atan - Arco Tangente.atan2 - Arco tangente corregidapara los 4 cuadrantes.atanh - Arco Tangente Hiperbólica.

C.5. Matrices elementales y manipulación de matrices 253sec - Secante.sech - Secante Hiperbólica.asec - Arco Secante.asech - Arco Secante Hiperbólica.csc - Cosecante.csch - Cosecante Hiperbólica.acsc - Cosecante Inversa.acsch - Cosecante HiperbólicaInversa.cot - Cotangente.coth - Cotangente Hiperbólica.acot - Cotangente Inversa.acoth - Cotangente Inversa Hiperbólica.Exponencialesexp - Exponencial.log - Logaritmo Natural.log10 - Logaritmo base 10.sqrt - Raíz Cuadrada.Complejosabs - Módulo (valor absolutopara reales).angle - Ángulo de Fase.conj - Complejo conjugado.imag - Parte Imaginaria.real - Parte Real.NuméricasC.5.fix - Redondear hacia cero.floor - Redondear hacia −∞.ceil - Redondear hacia +∞.round - Redondear hacia el enteromás cercano.rem - Residuo luego de la divisiónentera.sign - Función signo.Matrices elementalesy manipulacióndematricesMatrices elementaleszeros - Matriz de ceros.ones - Matriz de unos.eye - Matriz Identidad.rand - Matriz de números aleatoriosuniformemente distribuidos.randn - Matriz de números aleatorioscon distribución Normal.linspace - Vector linealmenteespaciado.logspace - Vector espaciadologaritmicamente.meshgrid - Genera matricesX e Y para gráficos 3-D.: - Vector con espaciado regular.

254 Apéndice C. Comandos de MatLab (v4.2)Constantes y variablesespecialesans - Última respuesta.eps - Precisión de punto flotante.realmax - Mayor número depunto flotante.realmin - Menor número positivode punto flotante.pi - 3.1415926535897....i, j - Unidad imaginaria.inf - Infinito.NaN - Constante utilizada cuandode encuentra una indeterminación(Not-a-Number).flops - Número de operacionesde punto flotante.nargin - Número de argumentosde entrada de una función.nargout - Número de argumentosde salida de una función.version - Número de Versiónde MatLab.Horas y fechasclock - Hora.cputime - Tiempo de CPU pasado.date - Fecha.etime - Tiempo pasado desdeel inicio.tic, toc - Iniciar o parar lasfunciones de timer.Manipulación de matricesC.6.diag - Crear o extraer diagonales.fliplr - Invertir el orden delos elementos de una matrizde izquierda a derecha.flipud - Invertir el orden delos elementos de una matrizde arriba hacia abajo.reshape - Cambiar el tamañode una matriz.rot90 - Rotar una matriz 90grados.tril - Submatriz triangularinferior.triu - Submatriz triangularsuperior.: - Índice genérico de rangode matrices.Toolbox de procesamientodeseñalesGeneración de formasde ondadiric - Función de Dirichlet(Sinc Periódico).sawtooth - Función diente desierra.sinc - Función Sinc ( sin(pi*x)/(pi*x)).square - Función rectangularperiódica.

C.6. Toolbox de procesamiento de señales 255Análisis e implementaciónde filtrosabs - Magnitud.angle - Ángulo de Fase.conv - Convolución.fftfilt - Filtrado en dominiofrecuencial.filter - Filtrado unidimensional.filtfilt - Filtrado con un filtrode fase cero.filtic - Determinar CondicionesIniciales de un filtro.freqs - Respuesta en frecuenciaa partir de la transformadade Laplace.freqspace - Espaciado en frecuenciaspara la respuesta enfrecuencias.freqz - Respuesta en frecuenciaa partir de la transformadaZ.grpdelay - Retardo de Grupo.impz - Respuesta al impulsodiscreta.zplane - Gráfico de polos yceros discreto.Diseño de filtros digitalesIIRbesself - Diseño de filtro analógicode Bessel.butter - Diseño de filtro deButterworth.cheby1 - Diseño de filtro deChebyshev tipo I.cheby2 - Diseño de filtro deChebyshev tipo II.ellip - Diseño de filtro Elíptico.yulewalk - Diseño de filtro porel método de Yule-Walker.Selección del orden defiltros IIRbuttord - Selección del ordende filtros de Butterworth.cheb1ord - Selección del ordende filtros de Chebyshevtipo I.cheb2ord - Selección del ordende filtros de Chebyshevtipo II.ellipord - Selección del ordende filtros Elipticos.Diseño de filtros FIRfir1 - Diseño de filtros FIRpor ventanas — - pasabajos,pasaaltos, pasabanda, rechazabanda.fir2 - Diseño de filtros FIRpor ventanas — - RespuestaArbitraria.firls - Diseño de filtros FIR— - Respuesta arbitraria conbandas de transición.intfilt - Diseño de filtros interpoladores.

256 Apéndice C. Comandos de MatLab (v4.2)remez - Diseño de filtros FIRóptimos por método de Parks-McClellan.remezord - Selección del ordende filtros FIR de Parks-McClellan.Transformadasdct - Transformada Coseno Discreta.dftmtx - Matriz de la TransformadaDiscreta de Fourier.fft - Transformada rápida deFourier.fftshift - Centrar la frecuenciacero.hilbert - Transformada de Hilbert.idct - Transformada CosenoDiscreta Inversa.ifft - Transformada Rápidade Fourier Inversa.Procesamiento estadísticode señalescorrcoef - Coeficientes de Correlación.cov - Matriz de Covarianza.csd - Densidad Espectral Cruzada.psd - Densidad Espectral dePotencia.xcorr - Función de CorrelaciónCruzada.xcov - Función Covarianza.Ventanasbartlett - Ventana de Bartlett.blackman - Ventana de Blackman.boxcar - Ventana Rectangular.chebwin - Ventana de Chebyshev.hamming - Ventana de Hamming.hanning - Ventana de Hanning.kaiser - Ventana de Kaiser.triang - Ventana Triangular.Modelado paramétricolevinson - Método recursivode Levinson-Durbin.lpc - Coeficientes de PredicciónLineal usando el métodode autocorrelación.Operaciones especializadascceps - Cepstro Complejo.decimate - Remuestreo a unafrecuencia menor.deconv - Deconvolución.demod - Demodulación para simulaciónde comunicaciones.interp - Remuestreo a unafrecuencia mayor.interp1 - Interpolación generalunidimensional.

C.6. Toolbox de procesamiento de señales 257medfilt1 - Filtro de Mediana.modulate - Modulación parasimulación de comunicaciones.rceps - Cepstro Real y reconstrucciónde fase mínima.resample - Remuestreo con unanueva frecuencia de muestreo.specgram - Espectrograma.spline - Interpolación cúbicacon Splines.Prototipos de filtros analógicospasabajobesselap - Prototipo de filtrode Bessel.buttap - Prototipo de filtrode Butterworth.cheb1ap - Prototipo de filtrode Chebyshev tipo I.cheb2ap - Prototipo de filtrode Chebyshev tipo II.ellipap - Prototipo de filtroElíptico.Traslaciones en frecuencialp2bp - Pasabajos a Pasabanda.lp2bs - Pasabajos a Rechaza-Banda.lp2hp - Pasabajos a Pasaaltos.lp2lp - Pasabajos a Pasabajos.Discretización de filtrosbilinear - Transformación linealcon compensación de faseopcional.impinvar - Transformación invarianteal impulso.

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