Gu´ıa 0: Repaso de números complejos

Ministry of Training, Colleges and UniversitiesColleges of Applied Arts and TechnologyPolicy Framework3.0 Programs Framework for Minister’s Binding PolicyPrograms of InstructionDirectiveFramework for Programs of InstructionIssued: April 1, 2003 Revised: 31/07/09

Bioingeniería - UNER Funciones de Variable Compleja 1 o Cuatrimestre 20122. Representación en el plano complejo1. Ubicar en el plano complejo los siguientes puntos:a) 3ib) −3 + 2ic) 3 − 4i2. Probar que:a) z + 3i = z − 3ib) (2 + i) 2 = 3 − 4ic) ∣ (√ )∣ √ (2z + 5) 2 − i ∣ = 3 |2z + 5|3. Sean z y w números complejos donde: zw ≠ 1 o tales que z o w tienen magnitud 1. Probar que:z − w∣1 − zw ∣ = 14. Probar que:a) z es real o imaginario puro si y sólo si z 2 = (z) 2b) z es real si y solo si z = z5. Probar que cuando |z 3 | ≠ |z 4 | ∣ ∣∣∣ z 1 + z 2z 3 + z 4∣ ∣∣∣≤ |z 1| + |z 2 |||z 3 | − |z 4 ||Sugerencia: Utilice desigualdad triangular.6. Determinar el conjunto de todos los números complejos z que satisfacen la ecuación o desigualdad dada:a) |z − 1 + i| = 1b) |z − 8 + 4i| = 9c) |z| = |z − i|d) |z| 2 + Im(z) = 16e) |z + i| ≤ 3f ) Re (z − i) = 2g) |2z − i| = 4h) |z + 2 + i| > |z − 1|7. Usando el hecho de que |z 1 − z 2 | es la distancia entre los puntos: z 1 y z 2 dar un argumento geométricopara explicar las siguientes afirmaciones:a) La ecuación |z − 1| = |z + i| representa la recta de pendiente −1 que pasa por el origen.b) La ecuación|z − 4i| + |z + 4i| = 10 representa una elipse con focos en (0, ±4).3. Forma polar y exponencial1. Escribir el número complejo en su forma polar y ubique en el plano complejo:a) −2 + 2ib) −√32+ 1 2 ic) − 1 2 − √32id) 8 − 8ie) (1 + i)(− √ 3 + i)f ) (−1 − i)(− √ 3 + i) 32. En cada ejercicio expresar los números complejos en su forma exponencial y probar que:a) (−1 + i) 7 = −8(1 + i)b) 5i2 + 2i = 5 4(1 + i)Guía 0: Repaso de números complejos Página 2 de 3

Bioingeniería - UNER Funciones de Variable Compleja 1 o Cuatrimestre 20124. Raíces complejas1. Hallar en cada caso todas las raíces y dibujarlas en el plano. Indicar cual es la raíz principal.a) (2i) 1/2b) (−1) 1/3c) (−16) 1/4d) (8) 1/65. Regiones en el plano complejo1. Determinar si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ni abierto ni cerrado:a) |z − 2 + i| ≤ 1b) |2z + 3| > 4c) Im(z) > 1d) Im(z) = 1Guía 0: Repaso de números complejos Página 3 de 3