Descarregar extracte - e-BUC

384 Dispositius electrònics i fotònics1. Escriure l'equació diferencial de forma estàndard: els termes que contenen laincògnita i les seves derivades en el primer membre de la igualtat. La resta de termes en elsegon membre:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1 + ... + a1a y b(x)nn 1n+n=−−(A.5)∂x∂x∂x2. Trobar la solució general de l'equació homogènia. L'equació homogènia és laconstituïda pel primer membre de 5 igualat a zero:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1+ ... + a1+ = 02 −1−a ynnnn∂x∂x∂x(A.6)Per resoldre aquesta equació s'assaja una solució del tipus y = e λx , i es determina elparàmetre λ perquè sigui solució. Si substituïm aquesta expressió i les seves derivades a 6resulta:eλxn n−1[ λ + a λ + ... + a ] 01 n=(A.7)El polinomi de λ contingut dins el parèntesi s'anomena equació característica de l'equaciódiferencial. Perquè e λx sigui solució cal que es compleixi l'ultima equació. Aquesta equacióes compleix si e λx és nul·la o si el parèntesi és nul. La primera alternativa no és adequada,atès que només implica la solució trivial y = 0. Contrariament, anul·lar el parèntesi porta auna solució no nul·la per a y. Si λ o és una solució de l'equació característica, y = exp(λ o x) ésuna solució de l'equació diferencial.La solució general de l'equació diferencial ve donada per qualsevol combinació lineal de nsolucions linealment independents de l'equació homogènia. Es donen dues situacions:a) Les n arrels de l'equació característica són diferents.En aquest cas, si les arrels són λ 1 , λ 2 ,...λ n , la solució general de l'equació homogènia és:λ1 x λ xn1xyhc e c e2λ1+2+ ... + cne= (A.8)on c i són constants arbitràries. Aquesta afirmació és immediata de comprovar substituint 8en l'equació homogènia 6.b) Si les arrels de l'equació característica tenen graus de multiplicitat majors que la unitat.Si l'arrel λ i té un grau de multiplicitat m p , aquesta arrel proporciona les m p solucionslinealment independents següents:λ x x mi λip −1λixe , xe ,..., x e(A.9)La solució general de l'equació diferencial serà qualsevol combinació lineal de les nsolucions linealment independents, obtingudes amb les solucions de l'equació característica.© Els autors, 2006; © Edicions UPC, 2006