Descarregar extracte - e-BUC

386 Dispositius electrònics i fotònicsn constants c i incloses en la solució 13, de forma que es compleixin les condicions decontorn. Aquestes condicions són els valors que pren la funció i/o les seves derivades al'inici i/o al final de la regió en la qual resolem l'equació diferencial i que coneixem perconsideracions físiques, alienes a l'equació diferencial. Amb n condicions de contorns'originen n equacions que ens permeten determinar les n constants c i .A.3 ExempleAplicarem el procediment descrit a l'apartat anterior per resoldre l'equació 2 en una regió delsemiconductor en la qual E el i g són nul·les i p o és constant. Aquesta equació s'anomenaequació de difusió. Per raonaments de la física del dispositiu se sap que p(0) = p o +p a i quep(d) = p o . Seguint els passos detallats a l'apartat anterior tenim:1.- L'equació a resoldre és:2.- L'equació homogènia serà:L'equació característica de l'homogènia:tindrà les arrels:DpD2∂ p p po− = −2∂xτ τpD pp2∂ p p−2∂xτp= 0p(A.14)(A.15)2 1λ − = 0(A.16)τ11λ = λ = − amb L =pD τ1 2p p p(A.17)LpLpPer tant, la solució general de l'equació homogènia serà:phx / Lp − x / L+ c ep2= c1e(A.18)Per compactar la formulació de la solució final, l'expressió 18 s'acostuma a escriure-la d'unaforma equivalent en termes de les funcions hiperbòliques sinh i cosh (cal recordar quesinh(z) = (e z -e -z )/2 i que cosh(z)z = (e z +e -z )/2):⎡ ⎤ ⎡ ⎤* xxph= c cosh *1 ⎢ ⎥ + c2sinh⎢⎥(A.19)⎢⎣Lp ⎥⎦⎢⎣Lp ⎥⎦3.- Una solució particular de l'equació diferencial completa s'obtindrà assajant un polinomide grau zero, és a dir, y p = A o . Substituint aquesta solució a l'equació 14:Ao−τppo= −τp⇒Ao= po(A.20)© Els autors, 2006; © Edicions UPC, 2006