07. Métodos de Runge-Kutta implícitos - Matemática Aplicada a la ...

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosE. de Ingenierías Industriales 2012-13Métodos Matemáticos IJesús Rojo07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplos07. Métodos de Runge-Kutta implícitos07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplos1 Los métodos implícitos2 Métodos implícitos y métodos de Gauss3 Ejemplos07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosLos métodos implícitosEn lugar del método de Runge-Kutta explícito de 3 etapask 1 = f (x n , y n )k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 )k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k 2 )y n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + b 3 k 3 ) ,cuyo tablero de Butcher era0c 2 a 21c 3 a 31 a 32b 1 b 2 b 3vamos a considerar ahora uno de igual número de etapas perode la forma07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosk 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k 2 + a 1,3 h k 3 )k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k 2 + a 2,3 h k 3 )k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k 2 + a 3,3 h k 3 )y n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + b 3 k 3 ) ,cuyo tablero de Butcher es ahorac 1 a 11 a 12 a 13c 2 a 21 a 22 a 23c 3 a 31 a 32 a 33b 1 b 2 b 3Es obvio que la programación de tal método no se puede hacemediante asignaciones directas, como en los métodos explícitos,sino resolviendo ’de alguna manera’ las ecuaciones de k 1 , k 2 y k 307. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosen las que las etapas k i aparecen no sólo a la izquierda del signo =,sino también a su derecha e incluidos en las variables de unafunción f que en nuestro estudio no es ni fácil ni complicada sinosólo una ’simple letra’.En otras palabras; los valores de las etapas k 1 , k 2 ... que antes seobtenían de forma (matemáticamente) exacta medianteasignaciones, ahora sólo se pueden obtener en principio de maneraaproximada y eso a base de muchas evaluaciones de f .Lo más usual es proceder con la llamada ’iteración de punto fijo’para el cálculo de aproximaciones de las etapas k 1 , k 2 ... Consisteen darse valores ’arbitrarios’ de k 1 , k 2 y k 3 (en el caso de tresetapas), valores que llamaremos k 1,0 , k 2,0 y k 3,0 , y proceder arefinar sucesivamente estos valores mediante la repetida iteración dek 1,i+1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1,i + a 1,2 h k 2,i + a 1,3 h k 3,i )k 2,i+1 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1,i + a 2,2 h k 2,i + a 2,3 h k 3,i )k 3,i+1 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1,i + a 3,2 h k 2,i + a 3,3 h k 3,i )07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosNaturalmente, elegir estos valores ’arbitrarios’ cercanos a losverdaderos, aunque desconocidos, k 1 , k 2 y k 3 , hace queobtengamos buenas aproximaciones con muy pocas iteraciones. Seprocura generalmente que la cercanía valores iniciales - valoresverdaderos sea grande para que una sola iteración sea suficiente(otra cosa aumentaría de manera desproporcionada el número deevaluaciones de f ).Cada uno de los métodos que veremos posee una o varias formasde encontrar valores iniciales convenientes de las etapas, lo quepermite entonces que se conviertan en métodos realmenteutilizables. Algunos ejemplos nos llevaran enseguida a tenerpráctica en esta organización.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosPero, ¿por qué acudir a estos métodos de puesta en práctica tancompleja cuando disponemos de métodos sencillos de implementar(explícitos) de orden tan alto como queramos? Algo más adelanteveremos que hay un cierto tipo de ecuaciones, que designaremoscon el calificativo de ’stiff’ o de rígidas, que son bastante usuales yque se integran muy mal con cualquier método explícito deRunge-Kutta. Lo que no ocurre con los métodos implícitosque, pese a su mayor inconveniente de programación, tienen uncomportamiento idóneo con este tipo de ecuaciones. El tema dela ’estabilidad lineal’ nos aclarará este comportamiento,justificando la molestia que ahora nos tomamos.Comenzamos por definir de forma más general estos métodosimplícitos, que hasta ahora hemos expuesto sólo para 3 etapas.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosPero de manera más general, un Un método de Runge-Kuttaimplícito o no necesariamente explícito de q etapas tiene etapasdadas pork 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k 2 + · · · + a 1,q−1 h k q−1 + a 1,q h k q )k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k 2 + · · · + a 2,q−1 h k q−1 + a 2,q h k q )k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k 2 + · · · + a 3,q−1 h k q−1 + a 3,q h k q ). . .k q = f (x n + c q h, y n + a q,1 h k 1 + a q,2 h k 2 + · · · + a q,q−1 h k q−1 + a q,q h k q )con los k 1 , k 2 ... dados por ecuaciones implícitas, y luego obtieneel valor de y n+1 comoy n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + · · · + b q k q ) .Por lo tanto se resume mediante el Tablero de Butcher07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosc 1 a 11 a 12 a 13 · · · a 1 q−1 a 1 qc 2 a 21 a 22 a 23 · · · a 2 q−1 a 2 qc 3 a 31 a 32 a 33 · · · a 3 q−1 a 3 q..... .. ..c q−1 a q−1 1 a q−1 2 a q−1 3 · · · a q−1 q−1 a q−1 qc q a q 1 a q 2 a q 3 · · · a q q−1 a q qb 1 b 2 b 3 · · · b q−1 b q07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosLa regularidad de la organización de estos métodos hace que seamucho más sencilla la caracterización del orden que se puedealcanzar con un número dado de etapas.Así el resultado quetenemos es ahora:Los métodos de Runge-Kutta implícitos de q etapas alcanzan,de una sola manera, el orden máximo 2 q. El único método de qetapas que alcanza este orden de 2 q recibe el nombre de métodode Gauss de q etapas.El nombre se debe a que las abscisas c 1 , c 2 , . . . que emplean estosmétodos son las mismas que se usan en la integración (óptima parael orden de exactitud) de Gauss.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosEn la búsqueda del orden de los métodos implícitos que, demomento, estudiamos en el caso escalar, sirven las técnicas que yahemos usado con los explícitos. Ahora sigue siendo igualmenteválido poner uno de estos métodos comoy describir Φ(h) comoy n+1 = y n + h Φ(x n , y n , h) ,Φ(h) = b 1 k 1 (h) + b 2 k 2 (h) + · · · + b q k q (h) ,haciendo notar que ahora k 1 (h) depende efectivamente de h.Las condiciones de orden se obtienen también sencillamente de lasigualdadesΦ p−1) (0) = 1 p f (p−1)donde Φ p) (0) se prepara mediante el cálculo de los valores k p)1 (0) ,k p)2 (0) ... 07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosEs fácil observar que, en el cálculo de k p)i(h) se encuentra el propiovalor de k p)i(h) en alguna parte a la derecha de k p)i(h) =. Noobstante, se encuentra multiplicado siempre por h, por lo que alcalcular k p)i(0), que el lo que finalmente interesa, dicho términodesaparece y el valor de k p)i(0) se asigna directamente sin resolverninguna ecuación.Otra advertencia especial es que ahora no es ninguno de los puntos(1) (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k 2 + · · · + a 1,q h k q ) ,(2) (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k 2 + · · · + a 2,q h k q ) ,(3) · · · · · ·el más repetido. Ahora lo es el punto (x n , y n ), que denotaremos por(0) (x n , y n )y que omitiremos en general en las expresiones para mayorbrevedad.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosMétodos implícitos de 1 etapaAhora los métodos (implícitos) de una etapa tienen tableroc 1 a 11y tres parámetros a determinar. Se escribeny se tieneb 1k 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 )y n+1 = y n + h b 1 k 1 ,Φ(h) = b 1 k 1 (h) .Usaremos las formas de acortar para los puntos(0) para (x n y n ) , y(1) para (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 ) .07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosk 1 (h) = f (1) ,y (1) se transforma en (0), que no escribimos, cuando h = 0, luegok 1 (0) = f y Φ(0) = b 1 f . Como f (0) = f , la única posibilidad(para f genérica) de que Φ(0) = f (0) es queb 1 = 1aunque ahora esto deja dos parámetros libres c 1 y a 1,1 , lo quepermite ir a buscar mayor orden.k ′ 1(h) = c 1 f x (1) + f y (1)[ a 1,1 k 1 + a 1,1 h k ′ 1 ] ;denotaremos por [ ] la cantidad [ ] = [ a 1,1 k 1 + a 1,1 h k ′ 1 ] parafuturas operaciones. Teniendo en cuenta queresultan[ ] h=0 = a 1,1 f ,k ′ 1(0) = c 1 f x + a 1,1 f f y y Φ ′ (0) = b 1 c 1 f x + b 1 a 1,1 f f y .07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosRecordando que12 f (1) = 1 2 f x + 1 2 f f y ,el orden 2 necesita la ecuación ya establecida y, además,Esto dejab 1 c 1 = 1/2b 1 a 1,1 = 1/2 .12como único método de 1 etapa y orden 2: el método de Gauss de1 etapa. Recordando la afirmación que hicimos sobre el ordenalcanzable, no es necesario buscar orden más alto para estemétodo.12107. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosLa puesta en práctica de este métodok 1 = f (x n + 1 2 h, y n + 1 2 h k 1)y n+1 = y n + h k 1 ,se apoya en las etapas explícitas del ’método del punto medio’ˆk 1 = f (x n , y n ) ,ˆk 2 = f (x n + 1 2 h, y n + 1 2 h ˆk 1 ) ,método de orden 2, porque es natural tomar ˆk 2 como buenaaproximación k 1,0 de k 1 (evaluación de f para la misma primeravariable y una segunda de estructura análoga). Cuando así se hace,se efectúa una sola iteración de punto fijo para mejorar k 1,0 . O sea,la secuencia de operaciones queda como07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosˆk 1 = f (x n , y n ) ,k 1,0 = f (x n + 1 2 h, y n + 1 2 h ˆk 1 ) ,k 1 = f (x n + 1 2 h, y n + 1 2 h k 1,0) ,y n+1 = y n + h k 1 ,realizando un conjunto de 3 evaluaciones de f por paso para elcálculo efectivo (y sólo aproximado) de la única etapa del método.Que la solución de este método (y de hecho de todos los implícitos)sea sólo aproximada puede tener consecuencias sobre sobre el ordenalcanzado y sobre el comportamiento cara a las ecuaciones ’stiff’ delas que hablaremos más adelante. Si por el momento nos referimosal orden, y teniendo en cuenta que el procedimiento de arranque(aproximación de alguna de las k i ) se hace con un método explícito,es importante que el orden del método empleado no sea inferior aldel método implícito.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosNo obstante, no es el orden la única cualidad que buscamos, ya quenos interesamos también por el comportamiento de cara a lasecuaciones rígidas. Se emplea mucho para 1 sola etapa el llamado’método de Euler implícito’, con tablero1 1y que sólo posee orden 1. Como esk 1 = f (x n + h, y n + h k 1 )1y n+1 = y n + h k 1 ,a veces se le escribe en la forma más simple y equivalentey n+1 = y n + h f (x n+1 , y n+1 ) ,donde ahora el carácter implícito se traslada al cálculo de y n+1 .07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosDe manera análoga a lo hecho antes, la puesta en práctica de estemétodo se apoya en las etapas explícitas del ’método modificado deEuler’ˆk 1 = f (x n , y n ) ,ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ) ,tomando ˆk 2 como buena aproximación k 1,0 de k 1 , y dejando elmétodo en forma práctica comoˆk 1 = f (x n , y n ) ,k 1,0 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ) ,k 1 = f (x n + h, y n + h k 1,0 ) ,y n+1 = y n + h k 1 ,con 3 evaluaciones de f por paso para el cálculo efectivo de laúnica etapa del método implícito de Euler.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosMétodos implícitos de 2 etapasEn primer lugar presentamos el método de Gauss de 2 etapas, conorden 4, dejando su deducción (algo pesada) para algúnejercicio. Sus coeficientes son menos sencillos e irracionales.Tiene por tablero3 − √ 363 + √ 36143 + 2 √ 312123 − 2 √ 31214y es el único de 2 etapas con ese orden. c 1 ∼ 0.21 y c 2 ∼ 0.79son las abscisas para la integración de Gauss en [0, 1] con 2abscisas.1207. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosPero, para 2 etapas, uno de los más usados es el llamado ’métodotrapezoidal’, que sólo alcanza orden 2. Se le denomina también’Lobatto IIIa’, como miembro de una familia de métodosemparentados con los de integración numérica de Lobatto.Sólo es implícito en la segunda etapa k 2 . Su tablero es0 0 01 1/2 1/2y se escribe1/2 1/2k 1 = f (x n y n )k 2 = f (x n + h, y n + 1 2 h k 1 + 1 2 h k 2)y n+1 = y n + h ( 1 2 k 1 + 1 2 k 2) .07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosDe nuevo el ’método modificado de Euler’ˆk 1 = f (x n , y n ) ,ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ) ,ŷ n+1 = y n + h ( 1 ˆk 2 1 + 1 ˆk 2 2 ) .tiene etapas que nos permiten lanzar el ’método trapezoidal’.Es posible tomar k 2,0 = f (x n+1 , ŷ n+1 ) como buena aproximaciónde k 2 , realizando entonces una sola mejora de k 2 y dejando elmétodo en forma práctica comok 1 = ˆk 1 = f (x n , y n ) ,ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ) ,ŷ n+1 = y n + h ( 1 ˆk 2 1 + 1 ˆk 2 2 ) ,k 2,0 = f (x n+1 , ŷ n+1 ) ,k 2 = f (x n + h, y n + 1 2 h k 1 + 1 2 h k 2,0 ) ,y n+1 = y n + h ( 1 2 k 1 + 1 2 k 2) .con 4 evaluaciones de f por paso para el cálculo efectivo de lasdos etapas implícitas.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos

Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosEstos procedimientos de arranque para los métodos implícitosempleando métodos explícitos marchan bien cuando se integra unproblema ’normal’ (no especialmente rígido). Sin embargo, su usocon problemas cuyo carácter ’stiff’ sea muy fuerte lleva acomportamientos similares a los de los métodos explícitos, que esjustamente lo que se pretendía evitar con los implícitos.En estos casos, la única solución consiste en iterar realmente (y nouna sola vez) con algún método de convergencia rápida, ya que elnúmero de evaluaciones es una dificultad importante. Así se usa,por ejemplo el ’método de Newton’ o el ’método modificado deNewton’ y, en ocasiones, aún estos métodos tardan en llegar auna convergencia adecuada.Y es que, finalmente, los problemas de integración difícil noadmiten recetas generales y requieren correcciones heurísticashasta dar con un tratamiento y un método adecuados.El capítulo siguiente comienza a ocuparse de estos problemascuyo tratamiento es más difícil.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos