Ejercicios y controles MAS resueltos

Controles y ejercicios MAS resueltos:Ejercicio de clase: La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y superíodo vale 4s. Si en t 0 =0s se encuentra en el centro de la oscilación con velocidadpositiva, halla:a) La fase inicial b) la pulsación de este movimientoc) la ecuación de la elongación d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el movimientoResolución:Datos:T = 4s, x Max= 0, 05m, v > 0oa) y b)T = 4s ⇒ f1 1 = = HzT 42ππω = 2π f = = rad / sT 4A = xMax = 0, 05mPara hallar la fase inicial tenemos dos opciones, con la fórmula (de memoria) o trabajandocon las condiciones iniciales y las ecuaciones de x y v paso a pasoOpción 1 (siempre funciona pero es un poco “fea para” los casos fáciles)x⎛ ⎞⎧00x0tg( ϕ ) = ω ⇒ ϕ =⎜ω⎟0 0arctg = arctg( 0)= ⎨v0⎝ v0⎠⎩πv0 A = ⇒ v0= ω·A·cos( ϕ0)Como la v inicial es positiva tiene queω·cos( ϕ0)ser ϕ0 = 0radpara que el coseno sea +1Opción 2 (útil para los casos x 0 =0 ó v 0 =0)x(t = 0) = xv(t = 0) = v00= Asen( ϕ0) ⎫⎬ ⇒= ωAcos( ϕ0) ⎭x0⎧A= 0 !! no puede ser= Asen( ϕ0)= 0 ⇒ ⎨⎩ sen( ϕ0)⇒ ϕ0= 0 ó π0v 0π0⎧ ωAcos( 0)= ωA > 0> 0⎨⎩ωAcos() = −ωA< 0c) y d)Tiene que ser φ 0 =0x(t) = Asen(ω +0) = 0,05senx(tt ϕ4π( t) m22( 1· ) = 0,05· mπ= 1s) = 0,05sen=4Control 26de Nov (Opción A2):240Un oscilador armónico que tiene un MASse suelta con velocidad inicial nula desdeuna distancia de 25cm de su punto deequilibrio o centro de oscilación y tarda0,5s en pasar por primera vez por esepunto. Calculaa. Calcula el periodo, la frecuencia, lapulsaciónb. La fase inicial y la amplitud deloscilador.v r 0= 0x0x =a r 0

c. Escribe la ecuaciónes de su elongación, de su velocidad y su aceleración.d. Averigua el valor de x y v en los instantes de tiempo: 0s, 21 s .Resolución:Datos:T0,5s4 = , x 0, 25m0= , v o= 0m/ sa) y b)T = 4 ·0,5s= 2s⇒ f1 1 = = HzT 2Para hallar la fase inicial tenemos dos opciones, con la fórmula (de memoria) o trabajandocon las condiciones iniciales y las ecuaciones de x y v paso a pasoOpción 1 (siempre funciona pero es un poco “fea para” los casos fáciles)x⎛ ⎞0x0tg( ϕ = ⇒ ϕ = arctg⎜⎟0) ω0ω = arctg 0v0⎝ v0⎠⎛ x⎜ω⎝ v00x0= ω0⎞= ∞⎟⎠2πω = 2π f = = π rad / sT( )⎧ π⎪ rad= ⎨3 2 π⎪ rad⎩ 2x0A = ⇒ A =sen( ϕ )0± 0,25± 1En este caso, no se dice si esta a la izquierda o a laderecha así que podemos suponer lo que queramos.Si suponemos x 0 =+0,25m elegimos φ 0 = π rad 2xOpción 2 (útil para los casos x 0 =0 ó v 0 =0)x(t = 0) = x0= Asen( ϕ0) ⎫⎧ωA=0!!!!(no)⎪⎬ ⇒ v = ωAcos( ϕ0)= 0⇒⎨π 3πv(t = 0) = v 0 = ωAcos( ϕ0) ⎭0 cos( ϕ0)= ⇒ϕ0= ó rad⎪⎩0 2 2⎪⎧ x> , < 0⎨x ⎪⎩c) y d)= Asen( π ) = A > 02= Acos( 3 ) = −A< 0200π0x(t) = Asen(ωt+ ϕ ) = 0,25· sendxv(t) =dtdva(t) =dt= ωAcos(ωt + ϕ ) = 0,25·2d x=2dt00Si x 0 >0 φ 0 = π rad , si x0 >0 φ20 = 3π rad. Como en2este caso no se dice si x 0 es positiva o negativa podemoselegir la opción que queramos( πt+ π ) m2π·cos( πt+ π )m / s2222= −ω Asen(ωt+ ϕ ) = −ω ·x(t) = −0,25·π ·sen( π·0+ π )x(t = 0s) = 0,25· sen = 0,25m2⎛ 1 π ⎞x(t = 1/2s) = 0,25· sen⎜π· + ⎟ = 0m⎝ 2 2 ⎠( π·0+ π )v(t = 0s) = 0,25· π·cos= 0m/ s2⎛ 1 π ⎞v(t = 1/2s) = 0,25· π·cos⎜π· + ⎟= −0,25·π m/s⎝ 2 2 ⎠02( πt+ π ) m / s2

Control 26de Nov (Opción B2):Un oscilador armónico que tiene un MAS se suelta con velocidad inicial nula desde unadistancia de 15cm de su punto de equilibrio o centro de oscilación y tarda 0,125s enpasar por primera vez por ese punto. Calculaa. Calcula el periodo, la frecuencia, la pulsaciónb. La fase inicial y la amplitud del oscilador.c. Escribe la ecuaciones de su elongación, de su velocidad y su aceleración.d. Averigua el valor de x y v en los instantes de tiempo: 0s y 81 s.Resolución: Este ejercicio es igual que el anterior sólo cambian los datos:Datos:a) y b)T0,125s4 = , x 0, 15m0= , v o= 0m/ s1T = 4 ·0,125s= 0, 5s⇒ f = = 2HzTc) y d)x(t) = Asen(ωt+ ϕ ) = 0,25· sen0( 4πt+ π )2( 4πt+ π )v(t) = ωAcos(ωt + ϕ0)= π·cosm / s2222a(t) = −ω Asen(ωt+ ϕ ) = −ω ·x(t) = −4·π ·senx(t = 0s) = 0,25· sen 4π·0 + π = 0,25m2⎛ 1 π ⎞x(t = 1/2s) = 0,25· sen⎜4π· + ⎟ = 0m⎝ 2 2 ⎠v(t = 0s) = π·cos( 4π·0 + π ) = 0m/s2⎛ 1 π ⎞v(t = 1/2s) = π·cos⎜4π· + ⎟= −0,25·π m/s⎝ 2 2 ⎠Control extra 1 de Diciembre (Opción B2):0( )A = 0, 15ωm= 2π f = 4πrad / smϕ 0⎧ π⎪ rad= ⎨3 2 π⎪ rad⎩ 22( 4πt+ π ) m / s2Un oscilador armónico (muelle-masa) seempuja con una velocidad de 100cm/s (hacia laizquierda en dirección de las x negativas)desde su punto de equilibrio o centro deoscilación y tarda 0,25s en llegar al extremode su movimiento. Calculaa. Calcula el periodo, la frecuencia, lapulsaciónb. La fase inicial y la amplitud del oscilador.c. Escribe la ecuaciones de su elongación,de su velocidad y su aceleración.x0= 0v r0

1d. Averigua el valor de x y v en los instantes de tiempo: 0s y s. 2TResolución: Datos: 0,25s4 = , x 0m0= , v o= −100cm/s = −1m/ s(el signo en v menos es porque se mueve hacia las x negativas hacia la izquierda)a) y b)T = 4 ·0,25s= 1s⇒ f1 = = 1HzTω = 2π f = 2πrad / sPara hallar la fase inicial tenemos dos opciones, con la fórmula (de memoria) o trabajandocon las condiciones iniciales y las ecuaciones de x y v paso a pasoOpción 1 (siempre funciona pero es un poco “fea para” los casos fáciles)x⎛ ⎞⎧00x0tg( ϕ ) = ω ⇒ ϕ =⎜ω⎟0 0arctg = arctg( 0)= ⎨v0⎝ v0⎠⎩πv0 A = ⇒ v0= ω·A·cos( ϕ0)Como la v inicial es negativa tiene queω·cos( ϕ0)ser ϕ0= π rad para que el coseno sea -1Opción 2 (útil para los casos x 0 =0 ó v 0 =0)x(t = 0) = xv(t = 0) = v00= Asen( ϕ0) ⎫⎬ ⇒= ωAcos( ϕ0) ⎭x0⎧A= 0 !! no puede ser= Asen( ϕ0)= 0 ⇒ ⎨⎩ sen( ϕ0)⇒ ϕ0= 0 ó π0v 0⎧ ωAcos( 0)= ωA > 0= −1m / s < 0⎨Tiene que ser ϕ = π rad⎩ωAcos(π ) = −ωA< 00c) y d)vx(t) = Asen(ωt+ ϕv(t) = ωAcos(ωt + ϕ2a(t) = −ωAsen(ω0v0− 1 1= ωAcos( π ) = −ωA⇒ A = = = m- ω − 2π2π0) = · sen( 2πt+ π ) mx(t = 0s) = · sen( 2π·0 + π )2π2π0) = cos( 2πt+ π ) m / s1 ⎛ 12t + ϕ ) = −2·π·sen( 2πt+ π ) m / s x(t = 1/2s) = sen⎜2π+Examen 3 de Diciembre (Opción B2):1012πv(t = 0s) = cos( 2π·0 + π )= 0m⎞π ⎟ = 0m2 ⎠= −1m/ s⎛ 1 ⎞v(t = 1/2s) = cos⎜2π+ π ⎟= 1 m/s⎝ 2 ⎠⎝Una masa de 400gr esta unida a un muelle deconstante elástica k=1,6π 2 N/m. Si desde laposición de equilibrio se golpea dándole unavelocidad inicial de 0,4m/s en la dirección de lasy negativas (el muelle primero se extirará).Responde:a) (0,5 ptos) Calcula el periodo, la frecuencia, lapulsación.b) (2 ptos) Calcula la fase inicial y la amplitud deloscilador. Escribe la ecuación de su elongación,de su velocidad y su aceleración.x0= 0v r0

c) (1pto) Averigua el valor de x y v en los instantes de tiempo:Resolución:Datos: k=1,6 2 π N/m, m=0,4Kg,a) y b)ω =x0 = 0m, v o= −0,4m/ s1 s, 1 s .2 4(el signo en v menos es porque se mueve hacia las x negativas hacia la izquierda)km=21,6π = 2πrad / s0,4Para hallar la fase inicial tenemos dos opciones, con la fórmula (de memoria) o trabajandocon las condiciones iniciales y las ecuaciones de x y v paso a pasoOpción 1 (siempre funciona pero es un poco “fea para” los casos fáciles)x⎛ ⎞⎧00x0tg( ϕ⎜⎟0)= ω ⇒ ϕ0= arctg ω = arctg( 0)= ⎨v0⎝ v0⎠⎩πv0 A = ⇒ v0= ω·A·cos( ϕ0)Como la v inicial es negativa tiene queω·cos( ϕ0)ser ϕ0= π rad para que el coseno sea -1Opción 2 (útil para los casos x 0 =0 ó v 0 =0)ωω = 2 π f ⇒ f = = 1Hz2πT = 1sx(t = 0) = xv(t = 0) = v00= Asen( ϕ0) ⎫⎬ ⇒= ωAcos( ϕ0) ⎭x0=Asen( ϕ0)=0⎧ A = 0 !! no puede ser⇒ ⎨⎩sen(ϕ0) ⇒ ϕ0= 0 ó π0v 0⎧ ωAcos( 0)= ωA > 0= −0,4m / s < 0⎨v 0 es negativa luego tiene que ser ϕ0= π rad⎩ωAcos(π ) = −ωA< 0c) y d)v0v0− 0,4 1= ωAcos( π ) = −ωA⇒ A = = = m- ω − 2π5· π1x(t) = Asen(ωt+ ϕ0) = · sen( 2πt+ π ) m5· π2v(t) = ωAcos(ωt + ϕ0) = cos( 2πt+ π ) m / s524πa(t) = −ωAsen(ωt+ ϕ0) = − ·sen51 ⎛ 1 ⎞x(t = 1/2s) = sen⎜2π+ π ⎟ = 0m5π⎝ 2 ⎠1 ⎛ 1 ⎞ 1x(t = 1/4s) = sen⎜2π+ π ⎟ = − m5π⎝ 4 ⎠ 5π2 ⎛ 1 ⎞ 2v(t = 1/2s) = cos⎜2π+ π ⎟= m/s5 ⎝ 2 ⎠ 52 ⎛ 1 ⎞v(t = 1/4s) = cos⎜2π+ π ⎟= 0 m / s5 ⎝ 4 ⎠2( 2πt+ π ) m / s