Circuitos de Corriente Alterna

17.2 Circuitos BásicosCircuito R (El más simple):En circuito está formado por una resistencia alimentada poruna fuente de tensión (generador) alterna sinusoidal.La fem suministrada por tendrá un valor instantáneo quevendrá dado en todo momento por la ecuación (2) aplicando laLey de Ohm: V ( t)= RI(t)V ( t)I = = IRsen(ω )0tε= (3)R0I0ε (t)V (t)La corriente I (t) será, al igual que la tensión V (t), de tipo alterna senoidal. Además, lacorriente I (t)y la tensión V (t)tienen la misma frecuencia y fase (están en fase):Circuito C:En circuito formado por un condensador alimentada por unafuente de tensión alterna sinuoidal.Un condensador no permite el “paso” de la corrientecontinua, en cambio, si la fem es alterna está cambiandocontinuamente su polaridad y las armaduras del condensadorse va cargando y descargando sucesivamente, por lo quepermite el paso de la corriente alterna 5 aunque no lo haceε (t)V (t)5 La corriente nunca atraviesa el dielectrico que separa las placas, el mecanismo “de paso” es otro, (enrealidad las cargas no atraviesan el condensador yendo de una placa a otra, preguntadmelo si no lo teneisclaro)2

de forma instantánea, presenta cierta resistencia (cierta inercia) al paso de ésta.Recordando la ecuación característica del condensador:Q( t)= CV ( t)= Cε( t)(4)dQ(t)d(Cε( t))dε( t)Derivando esta expresión: = = C = Cε0ωcos( ωt)dt dt dtdQ(t)πTeniendo en cuenta que = I ( t)y que cos( ω t ) = sen(ωt+ ) obtenemos:2dt( ω + )I = I sen t I = ω(5)π0·20Cε 0En este caso la corriente I (t) y la tensión V (t)tienen la misma frecuencia pero I (t)presenta un adelanto de fase de π frente a V (t).2En este circuito el condensador presentará una oposición al paso de la corrientealterna. Dicha oposición se llama reactancia capacitiva 6 , su unidad en el SI es el Ohmio(Ω) y se define como el cociente entre los valores máximos de I (t) y V (t):X ε ε 10 / 0= = =C (6)I C / ε ω Cω006 Ver Anexo al final (pag 14)3

Circuito L:En circuito está formado por una autoinducción alimentadapor una fuente de tensión alterna.La bobina presentará oposición al paso de la corrienteeléctrica y ésta será reactiva 7 , de manera similar al casocapacitivo. Recordando la ecuación característica de laautoinducción o bobina:dI ( t)ε ( t)= L(7)dtε (t)V (t)1 1ε0Integrando la expresión de I (t) : I( t)= ( t)dt0sen(t)dt cos( ωt)L∫ ε = ε ω = −L∫ωLπTeniendo en cuenta que: − cos( ωt ) = sen(ωt− ) nos queda:2t0t0I = I sen( ωt− π ) 20I = ε 00ωL(8)En este caso la corriente I (t) y la tensión V (t)tienen la misma frecuencia pero I(t)presenta un retraso de fase de π .2En este circuito la autoinducción presentará una oposición al paso de la corrientealterna. Dicha oposición se llama reactancia inductiva 8 , su unidad en el SI es el Ohmio(Ω) y se define como el cociente entre los valores máximos de I (t) y V (t):X Lε0 = ωL(9)I= 07 Idem.8 Ver Anexo al final (pag 14)4

Circuito RC serie:En circuito está formado por un condensadory una resistencia conectadas en seriealimentadas por una fuente de tensión alterna.Por todos los elemento del circuito circularála misma corriente I(t) . Dicha corriente, comoes común a todos los elementos del circuito, setomará como referencia de fases (faseinicial=0).ε =V = V + VABRCVRI = IR= IC=RLa resolución analítica de este problema usando las expresiones temporales de V I etc,implica trabajar con ecuaciones diferenciales. Por eso en lugar de ello usamos larepresentación fasorial:ε (t)BAV R(t)(t) V CI 0 I 0V R =RI 0VC =I 0 /ωCI y V Restán en fase en la resistenciaSus valores máximos (módulos de losfasores) se relacionan según:VR= RI RI tiene un adelanto de fase de π respecto V 9C2Sus valores máximos (módulos de los fasores)se relacionan según:ICVC=ωC9 El condensador sí introduce desfase entre la tensión en sus extremos y la corriente que circula por el circuitoen el que se intercala. Ese desfase ya sabemos que es de 90º de adelanto de la intensidad respecto a latensión, o lo que es lo mismo, de 90º de atraso de la tensión respecto de la intensidad. Por tanto, Vc estaráatrasada 90º respecto a I5

V C =I 0 /ωCI 0φV R =RI 0V AB =ε 06La tensión entre los puntos A y B del circuito tiene un valor máximo de ε 0 pero paraobtener ese valor en funcion de la intensidad hemos de sumar los dos fasores de yV C. Asi:V AB= ε =020( RI ) + ⎜ ⎟ = I ( R)0⎛ − I⎝ ω CY el desfase de V AB respecto I vendrá dado por 10 :Y finalmente la impedancia del circuito será:)00⎞⎠202⎛ − 1 ⎞+ ⎜ ⎟⎠⎝ ω CVABmaxε ⎛ −1⎞ZRC= = = ⎜ ⎟ +I I ⎝ ωC⎠2V R⎛ − I0⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞= arctg ωC1ϕ ⎜ ⎟ = arctg⎜− ⎟ RI0⎝ ωCR⎠⎝ ⎠22( R) + = ( R) 2( X ) 2CLa gráfica roja es la de la tensión de alimentación del circuito. La gráfica azulcorresponde con la tensión Vc. Por último, la gráfica verde es la corriente I que circula porel circuito.10 -90º < φ< 0º

Circuito RL serie:Este circuito es muy parecido alanterior y se puede analizar de formatotalmente análoga con la únicadiferencia de que el inductor produce ε (t)un adelanto de fase de la tensión ensus extremos V ( Lt) respecto a laintensidad que lo atraviesa.Mostramos a continuación losdiagramas fasoriales sin comentarios(os dejo a vosotras pensarlo)BAV R(t)(t) V LV L =ωLI 0I 0 I 0V R =RI 0I y V están en fase en la resistenciaRSus valores máximos (módulos de losfasores) se relacionan según:VR= RI RI tiene un retraso de fase de π respecto VL2Sus valores máximos (módulos de los fasores)se relacionan según:V L= ωLI 0V AB =ε 0V L =ωLI 0φV R =RI 0 7I 0

La tensión entre los puntos A y B del circuito tiene un valor máximo de ε 0 , pero paraobtener ese valor en funcion de la intensidad hemos de sumar los dos fasores de yV C. Asi:V RV AB22( RI ) + ( ωLI) = I ( R) 2( ω ) 2= ε +0=00 0LY el desfase de V AB respecto I vendrá dado por 11 :⎛ ωLIϕ = arctg⎜⎝ RI00⎞ ⎛ ωL⎞⎟ = arctg⎜⎟⎠ ⎝ R ⎠Y finalmente la impedancia del circuito será:V)ε( R) 2+ ( L) 2= ( R) 2( X ) 2AB maxZRL= = = ω+I0I0LCircuito RLC serie:Este circuito es una mezcla de los 2anteriores y se puede analizar de formatotalmente análoga con la única diferenciade que el inductor produce un adelanto defase de la tensión en sus extremos VL(t)respecto a la intensidad que lo atraviesamientras que el condensador hace justo locontrario.Mostramos a continuación losdiagramas fasoriales sin comentariosAV R(t) (t)V Cε (t)(t) V LB(os dejo a vosotras pensarlo)V L =ωLI 0I 0 I 0V R =RI 0VC =I 0 /ωCIRy VRestán en fase en la resistenciaSus valores máximos (módulos de losfasores) se relacionan según:ILtiene un retraso de fase deπ respecto VL2mientras que tiene un adelanto de fase delmismo valor respecto V .CLos valores máximos (módulos de los fasores)11 0º < φ

VR= RI Rse relacionan según:ICVC= y V L= ωLI0ωCV L =ωLI 0V AB =ε 0I 0φV C =I 0 /ωC V R =RI 09La tensión entre los puntos A y B del circuito tiene un valor máximo de ε 0 , pero paraobtener ese valor en funcionde la intensidad hemos de sumar los dos fasores de V , VyV C. Asi:RLV AB= ε =020( RI ) + ωLI− = I ( R)0⎛⎜⎝0I ⎞⎟ωC⎠202⎛ 1 ⎞+ ⎜ωL− ⎟⎠⎝ ω C2Y el desfase de V AB respecto I vendrá dado por 12 :⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎜ ⎜ωL− ⎟ ⎟⎜ ⎝ ωCϕ = arctg⎠ ⎟⎜ R ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Y finalmente la impedancia del circuito será:ZRLV=)AB max ε ⎛ 1I0=I0=⎞⎟ωC⎠22( R) + ωL− = ( R) 2+ ( X − X ) 2⎜⎝LCA la “suma” (con signo) de las reactancias del circuito se le denomina reactancia total:X1= X L− X C= ωL − ωC12 -90º < φ< 90º

17.3 Resonancia en circuitos serie RLC:Existe un caso especial en un circuito serie RLC. Éste se produce cuandoXL= X yCpor lo tanto X = 0 . En un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se podrá dar yello ocurre a una frecuencia muy determinada (recordemos la dependencia de lasreactancias ( X y ) respecto de la frecuencia ω de la tensión de alimentación).LXCCuando tal ocurre:• La impedancia toma un valor mínimo y por tanto I toma el valor máximo.• Z=R• La intensidad y la tensión del circuito están en fase.Decimos que el circuito está en resonancia, y la frecuencia para la que ello ocurre sellamará frecuencia de resonancia. Igualando X y podremos conocer el valor de estaLXCfrecuencia:XL= XC⇒111= ωRL ⇒ ωR= ⇒ fR=ω CLC2πLCRA la frecuencia de resonancia el circuito se comportará como resistivo puro, ya que losefectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente. Una representación gráfica delfenómeno de la resonancia es la siguiente:Lo aquí representado es el valor del módulo de la corriente que recorre el circuito segúnsea la frecuencia de la tensión de alimentación. Si se calcula la frecuencia de resonanciase verá que para los valores de la gráfica ésta es de 5033Hz, lo que corresponde con elmáximo de la curva de la gráfica. Para frecuencia inferiores y superiores a la deresonancia el valor de la corriente será menor, lo cual es lógico ya que sólo para lafrecuencia de resonancia la resta de reactancias será cero. Para frecuencias inferiores ala de resonancia predomina la reactancia capacitiva, siendo la inductiva la que predominapara frecuencias superiores a la de resonancia.10

17.4 Potencia:Al circular una corriente alterna por una impedancia sedesarrolla una potencia instantánea en la misma que es elproducto de la tensión y la corriente instantáneas:I(t)= I0sen(ωt+ ϕ)⎫⎬ P(t)= V ( t)I(t)= I0VV ( t)= V0sen(ωt)⎭0sen(ωt)sen(ωt+ ϕ)Transformando el producto de senos en diferencia decosenos 13 :I V0P ( t)= V ( t)I(t)=t2[ cos( ϕ ) − cos(2ω+ )]0 ϕEl resultado es la suma de un valorconstante( )I V 0 0P t = cosϕ --potencia activa2más un valor senoidal de frecuenciadoble a la de la tensión y laintensidadω ’ = 2ω --- potencia reactivaϕ =desfase entre I y Vϕ = ϕ V - ϕ IEl valor constante es el valor medio de la potencia e indica la realmente transformada oconsumida en el circuito, mientras que la componente senoidal se está absorbiendo ydevolviendo a la red alternativamente.Potencia disipada en un R:22Potencia instantánea: P(t)= V ( t)I(t)= RI ( t)= RI sen(ω t + ϕ)Potencia media:TT∫ ( ∫20m==PValores eficaces:2P t)dt RI ( t)dt0 0RI=T T 2El valor eficaz de una magnitud alterna se definen como el valor de esamagnitud que disiparía una cantidad equivalente de potencia en condiciones de013senAsenB = 1 [ cos( A − B) − cos(A + B ) ]211

corriente continua. Observando la potencia disipada en la resistencia (ecuaciónanterior):Pm=RI2202V0=2R⇒Pm⎛= R⎜⎝I022⎞⎟⎠=21 ⎛ V0⎞⎜ ⎟R ⎝ 2 ⎠Por lo tanto los valores eficaces de una tensión o una intensidad sinusoidal deamplitudes y I son:V00II0V 0ef=ef=Potencia disipada en condensadores y bobinas:2Repitiendo el proceso realizado en el caso de la resistencia se puede demostrar que lapotencia medía consumida en condensadores y bobinas es nula 14 :PT∫P(t)dt V ( t)I(t)dt0P ) =0 ==m0L oCT TPotencia media suministrada por el generador:TTTI0V0∫ P(t)dt ∫V( t)I(t)dt ∫ [ cos( ϕ)− cos(2ωt+ ϕ)] dt0 002I0V0==cos( ϕ)T TT2m==La potencia puede descomponerse en el llamado triángulo de potencias:TRIÁNGULO DE POTENCIAST∫V2POTENCIAAPARENTEPOTENCIA ACTIVAPOTENCIAREACTIVA(VA) Voltioamperios(W) Vatios(VAr) VoltioamperiosreactivosPOTENCIAAPARENTEPOTENCIAACTIVAPOTENCIAREACTIVAEs la potencia total desarrollada en la impedancia, combinación de lasotras dos, y para ella debe de estar dimensionada la instalación.Representa la potencia realmente aprovechada en la impedancia.Es absorbida durante ¼ de periodo y devuelta a la red en el ¼ deperiodo siguiente por el receptor.Las potencias en una impedancia también se pueden calcular:14 Basicamente este hecho se debe al desfase de π/2 entre V e I en condensadores e intensidades.12

Aparente: --- Activa: --- Reactiva:Factor de potencia:En corriente alterna la potenciarealmente desarrollada en el receptor(potencia activa), responde a la fórmula:Esta potencia puede ser menor que V·I ya que se ve afectada por un factor que puedevariar entre cero y uno. Este factor recibe el nombre de factor de potencia:FACTOR DE POTENCIA: Coseno del ángulo que forman la intensidad y la tensión.0 ≤ F.d.p. ≤ 1La instalación ideal será aquella que tiene factor de potencia unidad:ϕ = 0º ⇒ cos ϕ = 1En este caso la tensión y la intensidad están en fase y la potencia activa coincide con lapotencia aparente, siendo nula la potencia reactiva. De este modo la potencia realmentetransformada coincide con la total y la instalación no necesita ser sobredimensionada, nies preciso suministrar en ningún momento una potencia mayor de la que realmente se vaa transformar.Se admiten como buenos F.d.p. = 0,8 e incluso menores, pero por debajo de 0,7, lascompañías eléctricas pueden penalizar el consumo y por debajo de 0,5 pueden llegar acortar el suministro.13

APÉNDICE 0:¿Cuál es la naturaleza de la reactancia capacitiva? Este tipo de oposición al paso de lacorriente eléctrica es de carácter reactivo, entendiendo tal cosa como una "reacción" queintroduce el condensador cuando la tensión que se le aplica tiende a variar lentamente onada. Cuando el condensador está totalmente descargado se comporta como uncortocircuito. Cuando está totalmente cargado como una resistencia de valor infinito. Paravalores intermedios de carga se comportará como una resistencia de valor intermedio,limitando la corriente a un determinado valor. Como en corriente alterna el condensadorestá continuamente cargandose y descargandose, mientras más lentamente varíe latensión (frecuencia baja) más tiempo estará el condensador en estado de casi carga queen estado de casi descarga, con lo que presentará de media una oposición alta al paso dela corriente. Para variaciones rápidas de la tensión (frecuencias altas) el efecto será elcontrario y por tanto presentará una oposición baja al paso de la corriente. Podemosdecir, por tanto, que la naturaleza de este tipo de oposición es de carácter electrostático:la carga almacenada en el condensador se opone a que éste siga cargándose y estaoposición será mayor cuanto más carga acumule el condensador.¿Cuál es la naturaleza de la reactancia inductiva?Una bobina presentará oposición al paso de la corriente eléctrica y ésta será reactiva,de manera similar al caso capacitivo. Sin embargo, la naturaleza de la reactanciainductiva no es de carácter electrostático, sino de carácter electromagnético. Una bobinainducirá en sus extremos (debido a su autoinducción) una tensión que se opondrá a latensión que se le aplique, al menos durante unos instantes. Ello provoca que no puedacircular corriente libremente. Cuanto mayor sea la velocidad de variación de la tensiónaplicada mayor valor tendrá la tensión inducida en la bobina y, consecuentemente, menorcorriente podrá circular por ella. Así, a mayor frecuencia de la tensión aplicada mayor serála reactancia de la bobina y, a la inversa, a menor frecuencia de la tensión aplicada menorserá la reactancia de la bobina.14

Corriente alternaTipos de señales eléctricasCONTINUA:Mantiene constante su valor a lo largo deltiempo.VARIABLE:Su valor cambia a lo largo del tiempo.PERIODICA:Es un tipo de señal variable que repitecíclicamente una determinada señal.PULSANTE:Son señales periódicas que siempre mantienensus valores por encima de cero.ALTERNA:Es una señal periódica simétrica respecto al ejede tiempo. Alterna tramos positivos y negativos.ALTERNA SENOIDAL: Es una señal periódicaalterna que sigue la forma de la función seno.15

Producción de corriente alterna (senoidal)Si hacemos girar una espira en el interior de uncampo magnético, se inducirá en ella una fuerzaelectromotriz de valor:ε = BSsenαSiendo α el ángulo entre la inducciónmagnética y la dirección normal que, como se veen la figura, varía de 0º a 360º a cada vuelta delconductor.Si la bobina tiene N espiras:ε = NBSsenαSi mantenemos constante la inducción delcampo y la velocidad de giro, siéndolo también elnúmero de espiras y el área de las mismas,tendremos:n r B rα 16εmax= NBS = cteε = εmaxsenαComo puede verse en la fórmula la f.e.m.resultante tendrá forma senoidal. Si ademásexpresamos el ángulo girado en función de lavelocidad angular:α = ωt⇒ε = εmaxsenωtDonde ω ·t representa el ángulo girado enradianes, siendo ω la velocidad angular en rad/s.

Magnitudes y parámetros característicosDefinición matemáticaUna magnitud alterna senoidal tiene unaexpresión matemática:V(t) = V MAX · sen ω ·ty su representación gráfica corresponde a la proyección sobre el eje vertical de unvector V MAX que gira con velocidad angular ω.Magnitudes y parámetros característicosVALOR INSTANTANEO:VELOCIDAD ANGULAR:ANGULO GIRADO:PERIODO:FRECUENCIA:En rad/s.(También llamada pulsación).En radianes(la calculadora en RAD).En segundos(tiempo que dura un ciclo).(Número de ciclos en un segundo).17

En hercios (Hz) o ciclos/segundo.VALOR MAXIMO:VALOR PICO A PICO:VALOR MEDIO:VALOR EFICAZ 15 :Valor máximo, de pico o de cresta.Valor doble del valor máximo.Media algebraica de un semiperiodo.(La media de un periodo es cero).Media cuadrática de un periodo.Normalmente, las letras mayúsculas representarán los valores eficaces de las señalessenoidales y las minúsculas los valores instantáneos.Al dar valores al tiempo, el ángulo girado ω ·t quedará expresado en radianes, por loque las funciones trigonométricas deberán calcularse con la calculadora en modo RAD.Diagramas de Fresnel y cartesianos. FasoresComo hemos visto en el punto anterior, cualquier magnitud alterna sinusoidal delcircuito (I,V) se corresponde con la proyección vertical de un vector adecuado. Paraanalizar estos circuitos necesitaríamos estar continuamente manejando expresionestrigonométricas. Como esto es engorroso se recurre habitualmente a una representaciónalternativa de estas magnitudes que hace uso del concepto de fasor. Existen dosformulaciones matemáticas alternativas:• Representación compleja (numeros complejos) y la otra• Usando vectores -> Diagramas de Fresnel. Nosotros solo vemos esta segunda.DIAGRAMA DE FRESNEL (DIAGRAMA FASORIAL)Aunque ni el voltaje ni la intensidad son vectores podemos representarlos por unosvectores bidimensionales llamados fasores. Cuando hacemos girar dos vectores a lamisma velocidad angular, la posición relativa de sus “ondas” depende de la posición inicialde los vectores (desfase). Esta descripción ignora la variación temporal (es decir eltermino ω t ) puesto que es conocida y solo se ocupa de la amplitud de las variables y desus fases iniciales, puesto que es lo único que puede cambiar.Así, cada magnitud alterna es representada por un fasor: un vector de modulo laamplitud de la variable el cual forma un angulo con el eje x igual a la fase inicial de dichamagnitudEn la tabla siguiente se pueden ver varios ejemplos de los fasores de I y V endiferentes casos de desfase entre ellos.15 Representa el valor que aplicado de forma continua sobre una resistencia disipa en ella la misma potencia.18

DIAGRAMA DE FRESNELDIAGRAMA CARTESIANOLa tensiónestá enfase con laintensidad.La tensiónestáadelantada90º a laintensidad.La tensiónestáretrasada90º a laintensidad.La tensiónestáretrasadaun ángulode 30º a laintensidad.*** CUANDO EL DIAGRAMA VECTORIAL SE USA DE FORMA AISLADA SE UTILIZAN LOS VALORES EFICACES ***19

El circuito resistivo R en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una resistencia da lugar a una tensión alternaen sus extremos.LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE QUE CIRCULA POR UNA RESISTENCIA ESTÁN EN FASEVALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0º Z = RV V |0º Z |0º = RImpedancia de una resistenciaSe llama IMPEDANCIA (Z) de un elemento cualquiera a laoposición que ofrece al paso de una corriente alterna. En el casode un resistor la impedancia se llama resistencia:Z = R En forma compleja: Z |0º = RLey de Ohm generalizada a corriente alternaV = Z · I ⇒ en el caso de una resistencia ⇒ V = R · IEn forma compleja: V |0º = Z |0º · I |0ºEjemplo:Calcula e indica en forma compleja latensión, la impedancia y la intensidad delsiguiente circuito.El valor complejo de la tensión será:20

El valor de la impedancia será: R = 10 | 0ºPor la Ley de Ohm la intensidad será:El circuito inductivo L en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una bobina da lugar a una tensión alterna ensus extremos.LA TENSIÓN EN EXTREMOS DE UNA BOBINA ESTÁ ADELANTADA 90º RESPECTO A LAINTENSIDAD QUE CIRCULA POR ELLAVALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0º Z = x L = ω · LV V |90º Z |90º = (ω ·L)·iImpedancia de una bobinaSe llama IMPEDANCIA (Z) de un elemento cualquiera a laoposición que ofrece al paso de una corriente alterna. En el casode una bobina la impedancia se llama reactancia inductiva oinductancia:Z = x L = ω · L En forma compleja: Z |90º = ω ·L·iLey de Ohm generalizada a corriente alterna21

V = Z · I ⇒ en el caso de una bobina ⇒ V = X L · IEn forma compleja: V|90º = Z |90º · I |0ºEl circuito capacitivo C en corriente alternaAl circular una corriente alterna por un condensador da lugar a una tensión alternaen sus extremos.LA TENSIÓN EN EXTREMOS DE UN CONDENSADOR ESTÁ RETRASADA 90º RESPECTO ALA INTENSIDAD QUE CIRCULA POR ELVALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0º Z = x C = 1/ω ·CV V |-90º Z|-90º = -(1/ω ·C)·iImpedancia de un condensadorSe llama IMPEDANCIA (Z) de un elemento cualquiera a laoposición que ofrece al paso de una corriente alterna. En elcaso de un condensador la impedancia se llama reactanciacapacitiva o capacitancia:Z = x C = 1/ω ·C En forma compleja: Z |-90º = -(1/ω ·C)·iLey de Ohm generalizada a corriente alternaV = Z · I ⇒ en el caso de un condensador ⇒ V = (1/ω ·C)· IEn forma compleja: V|-90º = Z |-90º · I |0º22

El circuito RL en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una resistencia y una bobina en serie da lugara una tensión alterna en extremos del circuito, suma vectorial de la tensión encada elemento.LA TENSIÓN EN EXTREMOS DE UN CIRCUITO RL ESTÁADELANTADA ϕ º RESPECTO A LA INTENSIDAD QUE CIRCULAPOR ÉL, SIENDO 0º < ϕ < 90ºVALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0ºV V |ϕ º Z |ϕ º = R + ω ·L·iImpedancia de un circuito RLSe llama IMPEDANCIA (Z) de un circuito a la oposición queofrece al paso de una corriente alterna. En el caso de un circuitoRL la impedancia total tiene un valor que responde a lahipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos laresistencia y la inductancia:Ley de Ohm generalizada a corriente alternaEn formacompleja:Z |ϕ º = R+ω ·L·iV = Z · I ⇒ en el caso de un circuito RL ⇒En forma compleja: V|ϕ º = Z |ϕ º · I |0º23

El circuito RC en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una resistencia y un condensador en serie dalugar a una tensión alterna en extremos del circuito, suma vectorial de la tensiónen cada elemento.LA TENSIÓN EN EXTREMOS DE UN CIRCUITO RC ESTÁRETRASADA -ϕ º RESPECTO A LA INTENSIDAD QUE CIRCULAPOR ÉL, SIENDO -90º < -ϕ < 0ºVALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0ºV V |-ϕ º Z |-ϕ º = R – (1/ω ·C)·i24

Impedancia de un circuito RCSe llama IMPEDANCIA (Z) de un circuito a la oposición queofrece al paso de una corriente alterna. En el caso de un circuitoRC la impedancia total tiene un valor que responde a lahipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos laresistencia y la capacitancia:En formacompleja:Z |-ϕ º = R–(1/ω·C)·iLey de Ohm generalizada a corriente alternaV = Z · I ⇒ en el caso de un circuito RC ⇒En forma compleja: V|-ϕ º = Z |-ϕ º · I |0ºEl circuito RLC en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una resistencia, una bobina y un condensadoren serie da lugar a una tensión alterna en extremos del circuito, suma vectorial dela tensión en cada elemento.LA TENSIÓN EN EXTREMOS DE UN CIRCUITO RLCESTÁ DEFASADA ϕ º RESPECTO A LA INTENSIDADQUE CIRCULA POR ÉL, SIENDO -90º < ϕ < 90º25

VALOR EFICAZ VALOR COMPLEJO VALOR INSTANTANEO IMPEDANCIAI I |0ºV V |ϕ º Z |ϕ º = R +[ω ·L– (1/ω ·C)]·iImpedancia de un circuito RLCSe llama IMPEDANCIA (Z) de un circuito a la oposición queofrece al paso de una corriente alterna. En el caso de un circuitoRLC la impedancia total tiene un valor que responde a lahipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos laresistencia y la reactancia (inductancia menos capacitancia):En forma compleja:Z |ϕ º = R +[ω ·L– (1/ω ·C)]·iEl ángulo será positivo si predomina la inductancia sobre lacapacitancia y negativo si sucede al contrario.Ley de Ohm generalizada a corriente alternaV = Z · I ⇒ en un circuito RLC ⇒En forma compleja: V|ϕ º = Z |ϕ º · I |0º26

Impedancia compleja en corriente alternaLa impedancia como cualquier número complejo puede darse por su módulo yángulo o bien por su resistencia (parte real) y reactancia (parte imaginaria):TRIÁNGULO DE IMPEDANCIASMÓDULOÁNGULORESISTENCIAREACTANCIAForma polar: Z |ϕ Forma binómica: R + X·iA su vez, la reactancia será la combinación de la inductancia y la capacitancia:Al circular una corriente alterna por una impedancia produce una tensión alternaen sus extremos:De módulo:Desfasada de I:Las impedancias se pueden asociar en serie y en paralelo de igual forma que lasresistencias, siendo válidas las fórmulas aplicadas a aquellas, a condición deoperar en forma compleja:SERIEPARALELOIgualmente válidas son la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff y los otros teoremasde resolución de circuitos siempre que se opere de forma compleja:Ley de Ohm:V = Z · I27

1ª ley de Kirchhoff: ∑ I = 0 (en un nudo)2ª ley de Kirchhoff: ∑ V = 0 (en una malla cerrada)Tensión entre dos puntos: V AB = ∑ V (entre A y B por cualquier camino)Teorema de Thevenin: V Th y R Th (entre A y B)Potencia en alternaPotencia en corriente alternaAl circular una corriente alterna por una impedancia se desarrolla una potencia enla misma que es el producto de la tensión y la corriente instantáneas:Transformando el producto de senos en diferencia decosenos:El resultado es la suma de un valorconstanteP=V·I·cosϕ --- potencia activamás un valor senoidal de frecuenciadoble a la de la tensión y la intensidadω ’ = 2ω --- potencia reactivaϕ =ángulo de I a V ϕ = ϕ V - ϕ I28

El valor constante es el valor medio de la potencia e indica la realmentetransformada, mientras que la componente senoidal se está absorbiendo ydevolviendo a la red alternativamente.La potencia puede descomponerse en el llamado triángulo de potencias:TRIÁNGULO DE POTENCIASPOTENCIAAPARENTE(VA) VoltioamperiosPOTENCIA ACTIVA(W) VatiosPOTENCIAREACTIVA(VAr) VoltioamperiosreactivosPOTENCIAAPARENTEPOTENCIAACTIVAPOTENCIAREACTIVAEs la potencia total desarrollada en la impedancia, combinaciónde las otras dos, y para ella debe de estar dimensionada lainstalación.Representa la potencia realmente aprovechada en laimpedancia.Es absorbida durante ¼ de periodo y devuelta a la red en el ¼de periodo siguiente por el receptor.Las potencias en una impedancia también se pueden calcular:Potencia complejaAparente: --- Activa: --- Reactiva:En forma compleja la potencia se puede calcular como producto complejo de latensión por la conjugada de la intensidad.La conjugada tiene el mismo módulo que la intensidad y el ángulo cambiado designo, para que el producto de la diferencia de ángulos y no la suma (ϕ = ϕ V - ϕ I ).29

En corriente alterna la potenciarealmente desarrollada en el receptor(potencia activa), responde a la fórmula:Factor de potenciaEsta potencia puede ser menor que V·I ya que se ve afectada por un factor quepuede variar entre cero y uno. Este factor recibe el nombre de factor de potencia:FACTOR DE POTENCIA: Coseno del ángulo que forman la intensidad y latensión.0 ≤ F.d.p. ≤ 1La instalación ideal será aquella que tiene factor de potencia unidad:ϕ = 0º ⇒ cos ϕ = 1En este caso la tensión y la intensidad están en fase y la potencia activa coincidecon la potencia aparente, siendo nula la potencia reactiva. De este modo lapotencia realmente transformada coincide con la total y la instalación no necesitaser sobredimensionada, ni es preciso suministrar en ningún momento unapotencia mayor de la que realmente se va a transformar.Se admiten como buenos F.d.p. = 0,8 e incluso menores, pero por debajo de 0,7,las compañías eléctricas pueden penalizar el consumo y por debajo de 0,5 puedenllegar a cortar el suministro.Corrección del factor de potenciaComo la mayoría de las instalaciones son inductivas, se puede mejorar el F.d.p.de un circuito o instalación colocando un condensador o batería de condensadoresen paralelo con ella.cos ϕ ⇒ cos ϕ ’El condensador debe reducir la potencia reactiva de Q a Q’ entregando unapotencia capacitiva (negativa) Q C .30

Transferencia de máxima potenciaSi tenemos una red activa que alimenta a una red pasiva, podemos sustituir laprimera por su circuito equivalente de Thévenin y la segunda por su impedanciaequivalente.La potencia activa disipada en la red pasiva será el producto de la resistencia porel cuadrado de la intensidad que circula por ella:Como puede observarse la potencia disipada es función de R y de X.31

Al tratarse de una función de dos variables, la condición para que la potencia seamáxima es que sus derivadas parciales sean igual a cero. Resolviendo el sitemase puede demostrar que la potencia en la carga es máxima cuando:Z = R T - X T·j = Z T*Es decir, se consigue máxima potencia activa en la carga haciendo la impedanciade carga igual a la conjugada de la impedancia de Thevenin.Igualmente, se puede demostrar que si se desea conectar una resistencia óhmicapura el valor a darle para que la transferencia de potencia sea máxima es un valorigual al módulo de la impedancia de Thevenin.Cargas alimentadas en paraleloCuando varias cargas funcionan en paralelo en una instalación las potenciasdeben sumarse en forma compleja o vectorial. La potencia aparente debecalcularse como combinación de la suma de potencias activas, por un lado, y depotencias reactivas por otro, y no de forma directa:Para calcular las potencias reactivas:32

Resonancia del circuito serieDado que la inductancia depende directamente de la frecuenciamientras la capacitancia lo hace inversamente, al aumentar lafrecuencia, crecerá la primera y se reducirá la segunda:INDUCTANCIA: Aumenta al aumentar f.CAPACITANCIA: Disminuye al aumentar f.Para una frecuencia cero (corriente continua) la inductancia vale cero(cortocircuito) y la capacitancia infinito (circuito abierto).En un circuito serie RLC, existirá una ciertafrecuencia a la que se igualen y anulen (por seropuestas) la inductancia y la capacitancia. A esafrecuencia la impedancia del circuito será mínima yde un valor igual a la resistencia del mismo:A esta frecuencia se le llama frecuencia de resonancia:Cuando un circuito serie entra en resonancia, la intensidad sólo está limitada porla resistencia y puede tomar un valor muy alto.Aún cuando las tensiones en la bobina y el condensador se igualan y se anulan,siguen existiendo y pueden tener valores muy altos y peligrosos.33

Ejemplo:Calcula la intensidad y la tensión en cada elemento en un circuito serie formadopor una resistencia de 1Ω , una bobina de 1 H y un condensador de 100 µ F,cuando está alimentado a 220V y entra en resonancia.Aunque la alimentación es de 220V en la bobina y en el condensador aparecen22.000V.Resonancia del circuito paraleloDado que la inductancia depende directamentede la frecuencia y la capacitancia inversamente:INDUCTANCIA:Aumenta con f.CAPACITANCIA:Disminuye con f.En un circuito paralelo RLC, existirá una cierta frecuencia a la que se igualen lainductancia y la capacitancia.A esa frecuencia la intensidad quecircula por el condensador es igual a laque circula por la bobina, pero opuesta(defasada 180º), por lo que ambas seanulan dando la impresión de que laúnica intensidad que circula es la quepasa a través de la resistencia.34

• La tensión es la misma en los tres elementos.• La intensidad está en fase con la tensión en la resistencia, atrasada 90º enla bobina y adelantada 90º en el condensador.A esta frecuencia se le llama frecuencia de resonancia:Cuando al variar la frecuencia un circuito paralelo entra en resonancia, suimpedancia se hace máxima, y la intensidad que sale al exterior es la que pasapor la resistencia. Sin embargo, a pesar de que la intensidad que circula por elcondensador se anula con la que pasa por la bobina, estas intensidades existen ypueden ser muy altas y peligrosas.Ejemplo:Calcula la intensidad total y la intensidad en cada elemento en un circuito paraleloformado por una resistencia de 100Ω , una bobina de 1 mH y un condensador de1000 µ F, cuando está alimentado a 220V y entra en resonancia.35