La fenomenologia de la demostracion matematica.pdf - Cosmofisica

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escapable. No todas las demostraciones dan razones satisfactorias de por qué unaconjetura es verdadera. La verificación es demostración, pero la verificación puedeno dar la razón. En ese caso, ¿qué entendemos por la razón?Consideremos otro ejemplo de verificación. La clasificación de los grupos deLie simples dada hace unos cien años por Cartan y Killing está basada en la verificaciónde que tan solo pueden encontrarse un número finito de configuraciones devectores que satisfagan ciertas condiciones. Hasta nuestros días, su verificación noha sido mejorada significativamente, y tampoco se ha sentido la necesidad de otrademostración.Pero la clasificación de Cartan-Killing de los grupos de Lie simples falla en darla razón de algunos de los grupos de la lista. La lista de Cartan contiene los gruposde Lie que cualquiera espera encontrar, pero además contiene cinco grupos de Lieque en tiempos de su descubrimiento no parecían conformarse a ningún patrón.De nuevo, si los matemáticos quedaran satisfechos con una mera lista, entoncesningún trabajo adicional relacionado con la clasificación de los grupos de Lie hubierasido llevado a cabo.Pero una vez más, esto no es lo que sucedió. La existencia de cinco grupos deLie ’excepcionales’ se convirtió en una espina clavada en la carne de todo algebrista.Fue un duro recorderis de la arbitrariedad de los eventos en el mundo real, una arbitrariedadde la cual se suponía que la matemática procuraba salvación. Se convirtióen un asunto de honor matemático encontrar la razón de la existencia de loscinco grupos de Lie excepcionales. Y así, una larga serie de artículos matemáticoscomenzó a aparecer, en los cuales se estudiaban los grupos de Lie excepcionalesdesde todo punto de vista concebible. El objetivo tácito de estas investigaciones eraencontrar tal razón. Con el paso del tiempo, el matemático de MIT Bertram Kostantdesenmadejó el misterio de los grupos de Lie excepcionales atreviéndose a dar unsalto de fe. Sucedió que los grupos de Lie excepcionales no son el único fenómenoaparentemente arbitrario en la teoría de Lie. Existe en esta teoría otro fenómenoaparentemente arbitrario. El grupo especial ortogonal de dimensión 8, SO8, tieneuna propiedad muy inusual. Su grupo recubridor o de spin tiene un automorfismoexterno. Este fenómeno sucede tan solo en dimensión 8.Kostant conjeturó con éxito que los dos fenómenos arbitrarios deberían estarrelacionados, y encontró la razón de la existencia de los cinco grupos de Lie excepcionalesen el automorfismo externo del grupo ortogonal en dimensión 8, por untour de force que hasta nuestros días se mantiene como una joya de razonamientomatemático.Una vez más, llegamos a la conclusión de que los matemáticos no quedan satisfechoscon demostrar conjeturas. Quieren saber la razón.
4. ¿Teoremas o demostraciones?Filósofos de todas las épocas se han preocupado por problemas de prioridad ontológica.¿Qué viene primero? ¿Cuáles son los componentes primarios del mundo?Los matemáticos se preocupan por una versión en miniatura de este problema. ¿Dequé está hecha primariamente la matemática? Existen, grosso modo, dos escuelas.La primera escuela sostiene que la matemática consiste primariamente de hechos,hechos del estilo de ’existen solo cinco sólidos regulares en el espacio’. Loshechos de la matemática revelan rasgos útiles del mundo. No importa cómo se obtienenesos hechos, siempre y cuando sean verdaderos.Por otro lado, la segunda escuela sostiene que los teoremas matemáticos hande ser vistos como peldaños, como si fueran mojones más o menos arbitrarios quesirven para separar una demostración de la siguiente. Las demostraciones son lamateria prima de la matemática, y proveer dichas demostraciones es el trabajo delmatemático.¿En cuál de las escuelas nos enlistamos?Consideremos primero un ejemplo que apunta hacia la segunda elección, y otroque apoya la primera.Nadie mantendrá seriamente la noción según la cual el enunciado del último teoremade Fermat tiene algún interés. Si no fuera por el hecho de que la conjetura deFermat se mantuvo sin resolver en medio de una gran variedad de otras ecuacionesDiofantinas que podían ser resueltas usando técnicas estándar, nadie se habría tomadola molestia de recordar lo que alguna vez escribió Fermat en la margen de ciertolibro.Lo que es destacable en el último teorema de Fermat es su demostración. La demostraciónde Wiles hace uso de una variedad impresionante de piezas distintas dela matemática: de una conjetura sin relación alguna hecha hace cincuenta años en elcampo aparentemente distante de la geometría algebraica, de la teoría de funcioneselípticas, una teoría originada hace mucho tiempo en el estudio del movimientoplanetario, de una variedad de otras teorías trabajadas durante años con propósitosno relacionados. Las piezas del rompecabezas fueron puestas en su sitio por la magiade la demostración y dieron la clave del secreto de Fermat. La demostración delteorema de Fermat es un triunfo de la colaboración allende las fronteras y los siglos.Ningún dominio del quehacer intelectual distinto de la matemática puede reclamartales triunfos.Pero la magnitud del triunfo brilla en contraste fuerte con la insignificancia de laconjetura que se probó. En teoría de números, los enunciados insignificantes son deocurrencia común. En teoría de números, el valor de un teorema depende estricta-
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