Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Análisis tensorial y geometría de RiemannNelson Merino MoncadaAlfredo Pérez DonosoDecember 19, 2003AbstractEl objetivo que motiva a trabajar con el cálculo tensorial es conseguirque la física sea independiente del sistema coordenado usado para su descripción.En otras palabras, se requiere que bajo una transformación decoordenadas, las ecuaciones que expresan las leyes de la física permanezcaninvariantes. Él cálculo tensorial nos permitirá estudiar la geometríade algún espacio, en particular la geometría de Riemann.1 IntroducciónUn espacio euclidiano se caracteriza por el hecho que admite sistemas coordenadoscartesianos que lo cubren completamente. Sin embargo, existen espaciosde naturaleza más general, tal como una superficie curvada, la cual no permitela existencia de un único sistema coordenado que la cubra completamente.Iniciamos nuestro estudio generalizando el concepto primitivo de vector, debidoal siguiente hecho:Algunas cantidades físicas como la velocidad y la fuerza son representadasindistintamente como vectores. Sin embargo, bajo una transformación de coordenadas,sus componentes transforman de acuerdo a leyes distintas. Por lotanto, la velocidad y la fuerza son entes de distinto carácter. Esto nos llevará aintroducir el concepto de vector contravariante y de vector covariante.Luego, se presentan algunas cantidades que para su especificación requierenmás de un índice, como por ejemplo la multiplicación de las componentes dedos vectores (covariantes o contravariantes). Esto motiva a definir el conceptogeneral de tensor como un objeto cuyas componentes transforman según unadeterminada ley de transformación. Al introducir los conceptos de conexióny métrica, podremos hacer un estudio de las propiedades geométricas de unespacio dado. En particular, nos concentraremos en aquellos espacios que poseenuna geometría de Riemann, como por ejemplos las superficies inmersas en elespacio euclidiano tridimensional.2 Variedades diferenciablesDefinición: Una variedad diferenciable n-dimensional es un conjunto continuode puntos M, cubierto completamente por un conjunto contable de vecindades1

Figure 2:=⇒ ∂(x1 , ..., x n ) ∂(¯x 1 , ..., ¯x n )∂(¯x 1 , ..., ¯x n ) ∂(x 1 , ..., x n = 1. (3))Luego, el jacobiano de la transformación (1) no se anula sobre U 1 ∩ U 2 .3 Escalares, vectores y tensoresPresentaremos ahora ciertas entidades matemáticas que pueden ser asociadassobre una variedad. El caso más simple es una propiedad expresada por unnúmero asociado a un punto P de la variedad, el cual por definición no cambiabajo una transformación de coordenadas (T.C.). Podemos pensar, por ejemplo,en un campo de temperaturas en alguna región del espacio.Definición:Una función real φ(x i ), definida en una región de la variedadM, es llamada campo escalar si bajo una transformación de coordenadas severifica:¯φ(¯x j ) = φ(x i ). (4)Veamos cómo transforma la diferencial de un campo escalar φ.¯φ = ¯φ(¯x j ), luego la diferencial del campo es d ¯φ = ∂ ¯φ∂ ¯xd¯x j . jUsando la regla de la cadena y las ecuaciónes (1) y (4) tenemos:TenemosAsí tenemos:∂ ¯φ∂¯x j = ∂φ ∂x l∂x l ∂¯x j , (5)d¯x j = ∂¯xj∂x i dxi . (6)d ¯φ = ∂ ¯φ∂¯x j d¯xj = ∂φ ∂x l ∂¯x j∂x l ∂¯x j ∂x i dxi = ∂φ ( ∂xl∂¯x j )∂x l ∂¯x j ∂x i dx i = ∂φ ( ) ∂xl∂x l ∂x i dx i . (7)3

De este modo obtenemos:d ¯φ = ∂φ∂x i dxi = dφ. (8)Por lo tanto la diferencial de un campo escalar es nuevamente un campoescalar.El arreglo formado por las cantidades ∂φ/∂x i es un objeto matemático llamadogradiente de φ, y otorga el incremento de φ como la suma de los productos∂φ∂xdx i . Esta entidad, que está asociada a un punto y transforma según laiecuación (5), es el prototipo de lo que se conoce como vector covariante.Por otro lado, el arreglo formado por las diferenciales de las coordenadas esun ente cuya ley de transformación para sus componentes es distinta (ecuación6) y constituye el prototipo de lo que llamamos vector contravariante.Definición: Se dice que un conjunto de cantidades (A 1 , ..., A n ) son las componentesde un vector covariante en un punto P de coordenadas (x i ), si bajola T.C. ¯x j = ¯x j (x i ), dichas componentes obedecen la siguiente ley de transformación:Ā k = ∂xi∂¯x k A i. (9)Para hallar la ley de transformación inversa multiplicamos la ecuación (9)por ∂¯x k /∂x l :∂¯x k∂x l Ā k = ∂xi ∂¯x k∂¯x k ∂x l A i=⇒ ∂¯xk∂x l Ā k = δ i l A i =⇒ ∂¯xk∂x l Ā k = A l . (10)De este modo, la ley de transformación (9) posee inversa y está dada por:A k = ∂¯xi∂x k Āi. (11)Definición:Se dice que un conjunto de números (A 1 , ..., A n ), son las componentesde un vector contravariante en un punto P de coordenadas (x i ), sibajo la T.C. ¯x j = ¯x j (x i ), dichas componentes obedecen la siguiente ley de transformación:¯B k = ∂¯xk∂x i Bi . (12)Análogamente se muestra que la ley de transformación inversa está dadapor:B k = ∂xk∂¯x i ¯B i . (13)Se debe enfatizar que estos objetos están asociados a un punto de la variedadpero no son elementos de dicho espacio.Previamente probamos que la diferencial de un campo escalar es un invariante.Pero la diferencial de dicho campo es la suma del producto de las componentesde un vector covariante y uno contravariante. Por lo tanto, se infiereque en general el producto de las componentes de un vector covariante y uno4

contravariante, A k B k , (ambos definidos en el mismo punto) es un escalar y sele llama producto interno o producto escalar de los vectores A y B.Consideremos el producto de las componentes A i de un vector contravariantey las componentes B k de un vector covariante. Veamos cómo transforma esteproducto bajo una T. C.:Ā i ¯Bk = ∂¯xi ∂xmAl∂xl ∂¯x k B m = ∂¯xi ∂x m∂x l ∂¯x k Al B m . (14)Las cantidades A i B k son las componentes de un ente que para ser especificadocompletamente necesita más de un índice y que, bajo una transformaciónde coordenadas, sus componentes transforman en forma lineal y homogeneasegún la ecuación (14). Esto motiva la siguiente definición:Definición:Un conjunto de n 2 cantidades Tki son las componentes de untensor de rango 2, de tipo ( 1 1 ), en un punto P , si bajo una T.C. dichas componentestransforman según la ley:¯T i k = ∂¯xi∂x l ∂x m∂¯x k T l m . (15)De aquí podemos obtener una definición más general de objetos que para suespecificación requieren varios índices.:Definición:Un conjunto de n r+s cantidades T i1...irk 1...k sson las componentes deun tensor de rango r + s, de tipo ( r s ), en un punto P si bajo una T.C. dichascomponentes transforman según la ley:¯T i1...irk 1...k s∂x= ∂¯xi1 ...∂¯xirm1l1∂x ∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯xm 1...m s. (16)ksTl1...lrNotemos que T i1...irk 1...k ses un tensor de carácter mixto, contravariante de rangor y covariante de rango s. Además, la definición nuevamente hace referenciaexplícita al punto P donde está definido el tensor, debido a que las coordenadasx k del punto entran como argumento en cada una de las derivadas parciales.Usando la ecuación (2), se prueba que la ley de transformación (16) poseeinversa y está dada por:T i1...irk 1...k s∂¯x= ∂xi1m1...∂xir ...∂¯xmsl1∂¯x ∂¯x lr k1∂x ∂xm 1...m s. (17)ksTl1...lrClaramente los dos tipos de vectores definidos previamente son casos especialesde tensores. Un vector contravariante es un tensor del tipo ( 1 0) y un vectorcovariante es un tensor del tipo ( 0 1 ). Un escalar es llamado tensor de rango cero.En particular la relación ∂ ¯xj ∂x i∂x= δ j i ∂ ¯x l lpuede ser escrita en la forma:¯δ j l = ∂¯xj∂x i ∂x k∂¯x l δi k, (18)lo cual muestra que la delta de Kronecker es un tensor del tipo ( 1 1 ). Pero (18) sereduce a ¯δ j l = δj l, de modo que ésta es una de las muy pocas entidades tensorialesnuméricamente invariantes que es posible definir en una variedad cualquiera.5

Verifiquemos la validez de la propiedad transitiva para los tensores. Consideremos,por ejemplo, el caso de un vector covariante A i , pues el razonamiento esgeneral. Por la T.C. ¯x i = ¯x i (x j ) se tiene (9) y por el nuevo cambio ˜x i = ˜x i (¯x j ),aplicando la misma regla, resulta:à k = ∂¯xi∂˜x k Āi = ∂¯xi∂˜x k ∂x j∂¯x i A j = ∂xj∂˜x k A j (19)Es decir, verificando sucesivamente las transformaciones ¯x i = ¯x i (x j ) y ˜x i =˜x i (¯x j ), se obtiene la misma ley que debe aplicarse para la transformación ˜x i =˜x i (x j ).Finalmente, de la ecuación (16), se desprende que si todas las componentesde un tensor son nulas en un sistema coordenado (S.C.) entonces ellas se anulanen cualquier sistema coordenado. Esto se verifica directamente observando elcarácter lineal y homogéneo de la ley de transformación de las componentes deun tensor.4 Algebra tensorial sobre variedadesConsideremos ahora un tratamiento formal de los procesos algebraicos quepueden ser aplicados a tensores en un punto P fijo de la variedad M.4.1 AdiciónSea S i1...irk 1...k sun tensor del tipo ( r s ) definido en el punto P . Su ley de transformación,de acuerdo con (16), es:¯S i1...irk 1...k s= ∂¯xi1 ...∂¯xirl1∂x∂x m1∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯xm 1...m s, (20)ksSl1...lry sea el tensor T i1...irk 1...k scuya ley de transformación está dada por (16). Lasuma de los tensores T i1...irk 1...k sy S i1...irk 1...k ses dada por:12¯T i1...irk 1...k s+¯Si1...irk 1...k s= ∂¯xi1 ...∂¯xirl1∂x∂x m1∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯x ks(Tl 1...l rm 1...m s+ S l1...lrm 1...m s), (21)lo cual muestra que la suma T i1...irk 1...k s+S i1...irk 1...k sson las componentes de un tensor detipo ( r s ) en P . De (16) vemos también que las multiplicación de las componentesde un tensor de tipo ( r s) por un escalar conduce a un tensor del mismo tipo. Estoimplica que el conjunto de todos los tensores de tipo ( r s ) en el punto P de Mconstituye un espacio vectorial de dimensión n r+s . En particular, el conjuntode todos los vectores contravariantes en P definen un espacio n-dimensionalllamado espacio tangente T n (P ), mientras que el conjunto de todos los vectorescovariantes en P constituye el espacio tangente dual Tn(P ∗ ) n-dimensional.Es importante notar que la suma de tensores de distinto tipo no suministraun nuevo tensor..6

4.2 MultiplicaciónLa multiplicación de las componentes de dos tensores de tipo ( r1s 1) y ( r2s 2), definidosen P , conduce a un tensor de tipo ( r1+r2s 1+s 2) en P . Este proceso es llamado productoexterno o directo.Para ilustrar esto consideramos, por ejemplo, un tensor de tipo ( 2 1) y untensor de tipo ( 0 2 ), pues el razonamiento es general. Sus leyes de transformaciónson respectivamente:¯T m jl = ∂¯xj ∂¯x l ∂x p∂x i ∂x k ∂¯x m T p ik , (22)¯S qr = ∂xu ∂x v∂¯x q ∂¯x r S uv.El producto de las componentes de estos dos tensores se transforma deacuerdo a:¯T m jl ¯S qr = ∂¯xj ∂¯x l ∂x p ∂x u ∂x v∂x i ∂x k ∂¯x m ∂¯x q ∂¯x r T p ik S uv (23)lo cual es obviamente la ley de transformación de las componentes de un tensorde tipo ( 2 3), Vpuv ik = Tp ik S uv .El proceso de multiplicación puede ser combinado con el proceso de adiciónde tensores, con tal que sus respectivos tipos sean apropiados. Para estos claramentese satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva.4.3 ContracciónDado un tensor de tipo ( r s ) es posible seleccionar un superíndice y un subíndicey reemplazarlos por dos índices idénticos. Luego, en virtud de la convención desuma, la suma es implícita y las cantidades obtenidas constituyen las componentesde un tensor de tipo ( s−1 r−1 ). En efecto:¯T i1...i...irk 1...i...k s¯T i1...i...irk 1...i...k s=¯T i1...i...irk 1...i...k s¯T i1...i...irk 1...i...k s= ∂¯xi1∂x...∂¯xi...∂¯xir m1l1∂x ∂x l ...∂xm∂x lr k1∂¯x ∂¯x i ...∂xms(∂¯x∂¯xi∂x m ) ∂¯xi 1∂x...∂¯xirm1∂x l ∂¯x i l1∂x ∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯x= δ m l∂¯x i1...∂¯xirl1∂x ∂x lr∂x m1∂¯x...∂xmsk1∂¯x= ∂¯xi1 ∂x...∂¯xirm1l1∂x ∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯xl1...l...lrTks m 1...m...m sl1...l...lrTks m 1...l...m s,l1...l...lrTks m 1...m...m s(24)l1...l...lrTks m 1...m...m sla cual es la ley de transformación de un tensor de tipo ( s−1 r−1 ). Este proceso esconocido como contracción.Claramente, el proceso de contracción de un tensor de tipo ( 1 1 ) da origen aun escalar. En particular, para el caso del delta de Kronecker tenemos:δ j j = δ1 1 + ...δ n n = n. (25)7

ForumG - GesellschaftKommentarIm Zweifelfür den Staatsanwalt?Kachelmann, Wulff, Edathy.Alle Fälle eint, dass die Staatsanwaltschaft,genauer: derenPressesprecher, eine nicht ganz unwichtigeRolle für die Berichterstattungund in ihr spielten. Auch wenn derwohl spektakulärste Fall schon einigeJahre zurück liegt, im Prinzip wundertes nicht mehr, wenn eine staatliche Behördemit Ermittlungsdaten Schlagzeilenschreibt.Der Medienanwalt Jan Mönikeswies in seinem Blog nach, dass nur 48Stunden nach der Verhaftung von JörgKachelmann rund 300 Presseberichtein Google News zu finden waren, diesich explizit auf Andreas Grossmann,den Sprecher der zuständigen StaatsanwaltschaftMannheim, bezogen.Kachelmann selber, in U-Haft sitzend,hatte dagegen keine Möglichkeit, sichin ähnlicher Weise öffentlich zu erklären.Auch im Verfahren um die Vorteilsnahmeim Amt gegen den ehemaligenniedersächsischen MinisterpräsidentenChristian Wulff zeigte sich dieStaatsanwaltschaft über das laufendeErmittlungsverfahren recht auskunftsfreudig.Heute wissen wir, dass sichdiese Informationen als nicht belastbarerwiesen.Dafür reichte der StaatsanwaltschaftHannover andererseits die Medienberichterstattungüber die Mandatsniederlegungdes SPD-Politikers Edathyfür eine Hausdurchsuchung, ohne denhierfür erforderlichen förmlichen Beschlussdes Bundestages abzuwarten,wie die Tagesschau am 21. Februarberichtete. In welcher Form es hiernoch um die Informationspflicht einerBehörde gegenüber Medien oder vielmehrum die öffentliche Bestätigungeiner „Schuldvermutung“ ging, magjeder für sich entscheiden.Im Fall Hoeneß übernahm AndreaTitz, Sprecherin des OberlandesgerichtsMünchen, gleich die Rolle derGerichtsreporterin. Ich vermute, dassder Beitrag auf focus.de über die „auffälligenSchnitte“ ihrer Kleider oderihre waghalsigen Gehversuche in HighHeels nicht selbstironisch oder gar medienkritischgemeint war.„Litigation-PR“, kurz: die Werbungum Akzeptanz für Entscheidungen derStaatsanwaltschaft in der Öffentlichkeit,scheint etabliert zu sein. Denn:Wer will schon ernsthaft die Fakten einerstaatlichen Ermittlungsbehörde inFrage stellen, die zudem rechtlich verpflichtetist, Auskunft zu geben?Aus meiner Sicht steht es um denRechtsgrundsatz „im Zweifel für denAngeklagten“ und die Wahrung derUnschuldsvermutung bis zu einerrechtskräftigen Verurteilung nicht gut.Eine Staatsanwaltschaft, der es offenbargelingt, Medien zur Durchsetzungvon Interessen einzuspannen, und Medien,denen die journalistische Distanzabhandengekommen ist, genau daskritisch zu hinterfragen, verkehren einaus meiner Sicht notwendiges Gegenüber.Und dazu gehört sehr wohl zuunterscheiden, was PR ist und was derim Presserecht geregelten Informationspflichtunterliegt.Und wäre nicht gerade das Verfahrengegen den Fußballmanager Uli Hoeneßein geeignetes Thema? Oder ist esetwa normal, in einem Strafverfahrenden Streitwert „Pi mal Daumen“ zutaxieren, auf dessen Grundlage dann„Recht“ gesprochen wird?Martin FuchsAlle früheren Vorstandskommentare finden Sie im Internet unter:www.gkp.de/mitglieder/kommentare8 GKP-Informationen April 2014

4.5 Invariancia de las ecuaciones tensorialesHemos visto que los tensores pueden ser sumados, restados o, más generalmente,linealmente combinados con coeficientes escalares. Podemos formar productosentre tensores y luego contraerlos con tal que los procesos de multiplicaciónconduzcan a tensores de tipo ( r s ) con r ≥ 1 y s ≥ 1. Y todo esto es posible si ysólo si ellos se refieren al mismo punto de M.También se mencionó que un importante tensor de cada tipo es el tensorcero de ese tipo. Dicho tensor es numéricamente invariante debido a que su leyde transformación es lineal y homogénea. Por ejemplo, esto tiene como consecuenciaque una ecuación como Spq... kl... = T pq... kl... sea independiente del sistemacoordenado, ya que esto es equivalente a afirmar que Spq... kl... − Tpq... kl... es el tensornulo. Este hecho es el que garantiza el teorema de la invariancia de laspropiedades de simetría y antisimetría de los tensores. Obviamente si S y T sonde distinto tipo, o bien, si se refieren a puntos distintos, la ecuación carece detodo sentido invariante.Consideremos ahora un tensor de tipo ( r s ), r vectores covariantes, s vectorescontravariantes, y el siguiente producto contraído:S kl...pq... A kB l ...F p G q ... . (30)Entonces, de acuerdo con las reglas de producto externo e interno, estamultiplicación es un escalar.La proposición inversa es también verdadera: Supongamos que no sabemossi un arreglo de números S ... ... tiene caracter tensorial, pero sabemos que (30) esun escalar para cualquier conjunto arbitrario de vectores A...G.... Entonces S ......son las componentes de un tensor del tipo definido por sus índices.En efecto, para probar esto consideremos una transformación particular y...llamemos ¯S ... a las componentes de S transformadas como si fuera un tensor.Llamemos ˜S ... a cualquier conjunto de números que comparte con ¯S ... la......propiedad de hacer (30) un escalar. Es decir tenemos:¯S pq...Āk kl... ¯B l ... ¯F p Ḡ q ... = Spq... kl... A kB l ...F p G q ... , (31)˜S pq...Āk kl... ¯B l ... ¯F p Ḡ q ... = Spq...A kl...k B l ...F p G q ... .Estas ecuaciones expresan queobtenemos:... ... ¯S ... y ˜S ... dejan (30) invariante. Restándolas( ¯Skl... kl...pq... − ˜S pq...)Āk ¯Bl ... ¯F p Ḡ q ... = 0, (32)¯S pq... kl... kl...− ˜S pq... = 0,¯S kl...pq... =˜Skl...pq... .Es decir, usando la arbitrariedad de los vectores A...G... hemos probado queestos arreglos son iguales y por lo tanto bajo las hipótesis mencionadas S debeser un tensor.9

5 Densidades tensoriales.Consideremos un campo vectorial contravariante A k y las cuatro integrales:∫A k d n x, (33)donde d n x = dx 1 dx 2 ...dx n y la integral se toma sobre una región dada de M.Observamos que estas integrales no son invariantes bajo T.C. y por lo tanto noson las componentes de algún nuevo vector. Del mismo modo, consideremos laintegral de un campo escalar A:∫I = Ad n x. (34)Veamos ∣como transforma ∣ bajo una T.C.. El elemento de volumen queda:d n ∣∣ ∣∣x = ∣ ∂xk∂ ¯x dn¯x, donde ∣ ∂xkj ∂ ¯x es el determinante jacobiano de la transformación.jLuego:∫ ∫∣ I = Ad n x = Ā∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x j d n¯x ∫≠ Ād n¯x = Ī. (35)De este modo I no es invariante bajo una T.C. Pero nos interesa que laintegral I sí sea un escalar. Por otra parte, sabemos que si sumamos sólocantidades escalares el resultado es un escalar. En nuestro caso tenemos unaintegral en vez de una suma. Luego si Ad n x es un escalar entonces I será unescalar. Para esto la ley de transformación de A no debe ser A = Ā, sino:∣ A =∂¯x i ∣∣∣∣∂x k Ā, (36)de modo que:∫ ∫∣ ∣ ∣ I = Ad n x = Ā∂¯x i ∣∣∣ ∣∣∣ ∂x k ∣∣∣∣∂x ∂¯x j d n¯x ∫= Ād n¯x = Ī. (37)Ahora I es un escalar, pero A ya no lo es. Esto motiva la siguiente definición:Definición: Una cantidad ρ es llamada densidad escalar o pseudoescalarde peso p si bajo una T.C. esta obdece la ley:∣ ¯ρ =∂x i ∣∣∣p∣∂¯x k ρ. (38)De lo anterior se concluye que la integral de una densidad escalar de peso 1es un escalar.Vamos a extender la noción de densidad a entidades de más componentes.Definición: Un conjunto de n r+s cantidades τ i1...irk 1...k sson las componentesde una densidad tensorial de peso p y tipo ( r s ), en un punto P , si bajo una T.C.dichas componentes transforman según la ley:∣ ¯τ i1...irk 1...k s=∂x i ∣∣∣p∂¯xi 1∂x...∂¯xirm1l1...lr∣∂¯x k l1∂x ∂x lr ...∂xms Tk1 ks m∂¯x ∂¯x 1...m s. (39)10

No se debe inferir que la integral de las componentes de una densidad tensoriales un tensor, pues no lo es (salvo el caso de una densidad escalar).Consecuencias inmediatas de la definición de densidades tensoriales son:(i) Si todas las componentes de una densidad son nulas en un S.C., entoncesson nulas en cualquier S.C.(ii) La suma o diferencia de densidades del mismo tipo y referidas al mismopunto es otra densidad del mismo tipo.(iii) Ecuaciones entre densidades, referidas al mismo punto son independientesdel S.C.(iv) El producto de una densidad tensorial por un tensor es una densidadtensorial.(v) La contracción de índices puede realizarse para densidades tensorialesde tipo ( r s) con r, s ≥ 1, igual que para tensores, resultando una densidad detipo ( s−1 r−1 ).Estas propiedades residen nuevamente en el caracter lineal y homogéneo dela transformación (39).A continuación se presentan algunas consideraciones con respecto a las densidades.(1) Sea T i1...i nun tensor tipo ( 0 n ) totalmente antisimétrico. Si denotamosel valor numérico de T 123...n por τ, entonces cualquier otra componente T i1...i nserá ±τ de acuerdo a si la permutación i 1 ...i n es par o impar, o bien será nulasi se repite un índice. Escribamos la ley de transformación para T 12...n :¯T 12...n = ∂xk1∂¯x 1 ∂x k2∂¯x 2 ...∂xkn ∂¯x n T k 1...k n. (40)Escribiendo explícitamente la suma y usando las propiedades antisimétricasde T se obtiene:∣ ¯T 12...n =∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x i T 12...n , (41)es decir,∣ ¯τ =∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x i τ. (42)Esto significa que un tensor antisimétrico de tipo ( 0 n ) puede ser consideradoalternativamente como una entidad con una sola componente, la cual es unpseudoescalar.(2) Sea A un escalar y £ i1...in una entidad que en cualquier S.C. está definidocomo ±A de acuerdo con el signo de la permutación i 1 ...i n es par o impar, perocero si los índices no son todos diferentes. Una forma de expresar que A es unescalar es:∣ ¯£ i1...in =∂x k ∣∣∣ ∂¯x i1 ∂¯xin∣ ∂¯x i ...k1∂x ∂x kn £k1...kn . (43)Esto se prueba usando las propiedades de definición del objeto £. Desarrollandoexplícitamente la suma se obtiene un determinante que se cancela con el11

del lado derecho de (43):∣ ∣ ∣ ¯£ i1...in =∂x k ∣∣∣ ∣∣∣ ∂¯x k ∣∣∣∣ ∂¯x i ∂x i £ i1...in , (44)¯£ i1...in = £ i1...in . (45)Esto expresa que A es un escalar. Por lo tanto, £ es una densidad tensorialantisimétrica del tipo ( n 0 ). Es costumbre denotar el caso particular A = 1como ɛ i1...in . Esta densidad es una herramienta muy útil y recibe el nombre dedensidad tensorial de Levi-Civita.(3) Consideremos una variedad de 4 dimensiones. A partir de ɛ klmn y untensor antisimétrico de tipo ( 0 2 ), φ kl, podemos formar los siguientes productos:18 ɛklmn φ kl φ mn = φ 12 φ 34 + φ 23 φ 14 + φ 31 φ 24 , (46)12 ɛklmn φ kl = f mn .los que son una densidad escalar y una densidad tensorial de tipo ( 2 0), respectivamente.De este modo vemos que podemos obtener densidades a partirde tensores antisimétricos.(4) Consideremos el tensor antisimétrico A ikl en una variedad de 4 dimensiones.Entonces se puede probar que, en principio, el número de componentesindependientes de este tensor es 4. Si formamos la siguiente densidad vectorialcontravariante:16 ɛklmn A klm = £ n . (47)entonces las componentes de £ serán las componentes independientes de A. Porlo tanto, un tensor antisimétrico de tipo ( 0 3), A klm , puede ser mapeado a unadensidad vectorial contravariante, £ n , cuya n-ésima componente correspondea la componente klm del tensor, donde (k, l, m, n) es una permutación par de(1, 2, 3, 4).(5) A partir de un vector covariante B k se puede formar la siguiente densidadtensorial antisimétrica de tipo ( 3 0 ):£ klm = ɛ klmn B n . (48)Todo esto nos lleva al siguiente teorema:Teorema: A todo tensor antisimétrico T i1...i pde orden p ≤ n se le puedehacer corresponder una densidad tensorial τ de tipo ( n−p0 ) cuyas componentescontienen las componentes independientes del tensor. Las componentes de τestán dadas por :τ j1...j n−p= 1 p! ɛj1... jn−p i1...ip T i1...i p, (49)y recibe el nombre de densidad adjunta o dual del tensor original.12

(6) Sea g ik un tensor de tipo ( 0 2 ) cuya ley de transformación para sus componenteses:ḡ ik = ∂xl ∂x m∂¯x i ∂¯x k g lm = ∂xl∂¯x i g ∂x mlm∂¯x k . (50)Escribamos (49) en forma matricial:ḡ ik = a l i g (lm aT ) mk o bien Ḡ = AGAT , (51)con a l i = ∂xl∂¯x iy ( a T ) mk= ∂xm∂¯x k .Calculamos el determinante de ambos lados de la ecuación (50) tenemos:det Ḡ = det(A) det(G) det(AT ) (52)det Ḡ = det(A) det(G) det(A)det Ḡ = det 2 (A) det(G). (53)Si denotamos det(Ḡ) = ḡ, det(G) = g y det(A) = ∣ ∣∣ ∂x i∂ ¯x k ∣ ∣∣, tenemos:Ahora calculamos la raíz cuadrada y obtenemos:∣ ḡ =∂x i ∣∣∣2∣∂¯x k g. (54)√ḡ =∣ ∣∣∣ ∂x i∂¯x k ∣ ∣∣∣ √ g. (55)Por lo tanto, concluimos que:Proposición: (i) La raíz del determinante de cualquier tensor covariantede rango 2 es una densidad escalar de peso 1.(ii) La raíz del determinante de cualquier tensor contravariante de rango 2es una densidad escalar de peso 1.La afirmación (ii) se prueba en forma análoga al que usamos para llegar a(i).De este modo, si g ij es un tensor y su menor lo denotamos por M ij , entoncespodemos escribir:g mk M lk = δ l mg (56)g mkM lkg= δ l mNotemos que (56) es válido en cualquier sistema coordenado siempre queM lk sea el menor de g lk en ese sistema. Ahora bien:(*) las cantidades M lk /g están completamente determinadas,(*) sabemos que δ l m es un tensor de tipo (1 1 ) y g mk es un tensor de tipo ( 0 2 ),13

(*) la ecuación (56) es invariante bajo transformaciones coordenadas.Por lo tanto, las cantidades M lk /g deben ser las componentes de un tensor.Teorema: Los menores normalizados de un tensor covariante de rango 2forman un tensor contravariante de rango 2 denotado por:g lk = M lkg . (57)Se puede probar fácilmente lo inverso, es decir, si formamos los menoresnormalizados de g lk obtenemos un tensor covariante de rango 2. Más aún, esetensor es justamente g lk .Si multiplicamos (57) por la raíz del determinante de g ik obtenemos obviamenteuna densidad tensorial contravariante de rango 2:ϱ lk = M lk√ g(58)ϱ lk = √ gg lkUna importante consideración final tiene que ver con el producto externo. Siéste es puramente externo, es decir, no envuelve contracciones, entonces dichoproducto puede ser nulo si y sólo si uno de sus factores es el tensor cero. En otraspalabras, en el álgebra de tensores y densidades tensoriales no hay divisores decero.6 Análisis tensorial6.1 Derivada ordinariaSalvo el caso de un escalar, la derivada de las componentes de un tensor notiene sentido invariante (independiente de las coordenadas), ya que resulta dela sustracción de tensores referidos a puntos distintos. Aquí no importa quelos puntos sean “cercanos” pues precisamente en la derivada se contempla elcambio de la componente del tensor producido por un pequeño cambio de lascoordenadas.Veamos, por ejemplo, cómo transforma la derivada de un vector covarianteA k y que se denota por A k,i . La ley de transformación de A k es:de modo queĀ k = ∂xl∂¯x k A l, (59)Ā k,i = ∂Āk∂¯x i = ∂xl ∂x m ∂A l∂¯x k ∂¯x i ∂x m +∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l. (60)Vemos que la derivada parcial de un campo tensorial con respecto a lascoordenadas x i se comporta como un tensor tipo ( 0 2 ) excepto por el segundo. La14

ley de transformación es lineal pero no homogénea, lo que implica que si nuestroarreglo de derivadas se anula en un S.C. entonces no se anula necesariamenteen otro.Un resultado análogo se obtiene cuando uno procede a derivar las componentesde cualquier tensor o pseudotensor. Por ejemplo, la ley de transformaciónde un tensor tipo ( 0 2 ) es:luego:Ā jk = ¯∂ j x l ¯∂k x m A lm , donde ¯∂ i = ∂∂¯x i , (61)Ā jk,i = ¯∂ i Ā jk = ¯∂ j x l ¯∂k x m ¯∂i x n ¯∂n A lm + ( ¯∂i ¯∂j x l ¯∂k x m + ¯∂ j x l ¯∂i ¯∂k x m) A lm .(62)Hay dos términos restantes que son combinaciones lineales de las componentesno derivadas, y cuyos coeficientes son segundas derivadas de las coordenadas.Vamos a considerar ahora algunas construcciones que incluyen derivadasparciales y, sin embargo, si son tensores.(I) Sabemos que la derivada de un campo escalar, φ, es un vector covariante,φ ,k . Calculamos ahora φ ,ki y φ ,ik y formemos lo que se llama rotor del gradientede φ:¯φ ,k = ¯∂ k x l ∂ l φ = ¯∂ k x l φ ,l , (63)¯φ ,i = ¯∂ i x l φ ,l , (64)¯φ ,ki = ¯∂ k x l ¯∂i x m φ ,lm + ¯∂ i ¯∂k x l φ ,l ,¯φ ,ik = ¯∂ i x l ¯∂k x m φ ,lm + ¯∂ k ¯∂i x l φ ,l = ¯∂ i x m ¯∂k x l φ ,ml + ¯∂ k ¯∂i x l φ ,l ,¯φ ,ki − ¯φ ,ik = ¯∂ k x l ¯∂i x m (φ ,lm − φ ,ml ).Notar que en la tercera línea se intercambiaron los índices mudos m y l. Asívemos que el rotor es un tensor tipo ( 0 2). Claramente el rotor del gradiente deun campo escalar es cero (asumimos que φ es de clase C ≥ 2).(II) Del mismo modo se verifica que el rotor de un campo vectorial covariantecualquiera A k : ∂ k A i − ∂ i A k es un tensor tipo ( 0 2):Ā k = ¯∂ k x l A l =⇒ Āi = ¯∂ i x l A l , (65)¯∂ i Ā k = ¯∂ k x l ¯∂i x m ∂ m A l + ¯∂ i ¯∂k x l A l ,¯∂ k Ā i = ¯∂ i x l ¯∂k x m ∂ m A l + ¯∂ k ¯∂i x l A l ,¯∂ i Ā k − ¯∂ k Ā i = ¯∂ k x l ¯∂i x m (∂ m A l − ∂ l A m ) .De este modo, el rotor de un vector covariante es un tensor antisimétrico detipo ( 0 2).(III) Formemos ahora lo que llamamos divergencia cíclica de un rotor:∂ l (∂ i A k − ∂ k A i ) + ∂ i (∂ k A l − ∂ l A k ) + ∂ k (∂ l A i − ∂ i A l ) = 0. (66)15

Vemos que la divergencia cíclica de un rotor es nula. Veremos a continuaciónque la divergencia cíclica de cualquier tensor antisimétrico tipo ( 0 2) (porsupuesto, el rotor cuenta entre ellos) es un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ). Enefecto, sea T ik un tensor antisimétrico. Entonces:¯T ik = ¯∂ i x l ¯∂k x m T lm . (67)Queremos mostrar que ∂ j T ik + ∂ i T kj + ∂ k T ji es un tensor. Para esto calculemosdichos sumandos a partir de (67):¯∂ j ¯Tik = ¯∂ i x l ¯∂k x m ¯∂j x n ∂ n T lm + (¯∂j ¯∂i x l ¯∂k x m + ¯∂ i x l ¯∂j ¯∂k x m) T lm , (68)¯∂ i ¯Tkj = ¯∂ k x l ¯∂j x m ¯∂i x n ∂ n T lm + (¯∂i ¯∂k x l ¯∂j x m + ¯∂ k x l ¯∂i ¯∂j x m) T lm , (69)¯∂ k ¯Tji = ¯∂ j x l ¯∂i x m ¯∂k x n ∂ n T lm + (¯∂k ¯∂j x l ¯∂i x m + ¯∂ j x l ¯∂k ¯∂i x m) T lm . (70)Si se suman los tres términos, se combinan adecuadamente los índices mudosl, m y n, y se usan las propiedades de antisimetría de T , se obtiene:¯∂ j ¯Tik + ¯∂ i ¯Tkj + ¯∂ k ¯Tji = ¯∂ i x l ¯∂k x m ¯∂j x n (∂ n T lm + ∂ l T mn + ∂ m T nl ) (71)lo cual prueba que la divergencia cíclica de un tensor antisimétrico tipo ( 0 2 )es un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ).Debemos tener cuidado si queremos continuar. Si formamos las derivadasparciales de las componentes de un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ) y sumamos laspermutaciones cíclicas, debemos incluír un signo (−) cuando la permutación seaimpar.Estos son casos en que combinaciones lineales de las primeras derivadas detensores tiene caracter tensorial. Así:-Si el gradiente de un campo escalar φ es nulo, entonces φ es constante.-Si el rotor de un vector covariante es nulo, entonces el vector es un gradientede alguna función escalar.Todo esto no es suficiente para establecer un análisis tensorial exhaustivo sobreuna variedad. Una simple pregunta aún no tiene respuesta: ¿Qué condicióncaracteriza un campo vectorial covariante constante? Obviamente la respuestano es A k,i = 0, pues esta ecuación no es invariante bajo T.C.6.2 Derivada invariante de tensoresQueremos establecer cuánto varía un tensor de un punto al siguiente. Consideremosnuevamente el caso de la derivada de un vector covariante:∂Āk∂¯x i= ∂xl ∂x m ∂A l∂¯x k ∂¯x i ∂x m +∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l. (72)Supongamos que tenemos razón para afirmar que A k es constante si ∂A k /∂x i =0. En otro S.C. esto se expresa como:∂Āk∂¯x i − ∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l = 0. (73)16

Pero, A l = ∂ ¯xn Ā∂x l n . Luego para expresar (73) consistentemente escribimos:Si definimos:entonces (74) se escribe:∂Āk∂¯x i− ∂¯xn∂x l¯Γ n ki = ∂¯xn∂x l∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k Ān = 0. (74)∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k , (75)∂Āk∂¯x i − ¯Γ n kiĀn = 0, (76)la cual expresa en un S.C. arbitrario que el arreglo de derivadas parciales∂A k /∂x i se anula en el S.C. original. Puesto que la T.C. ¯x k = ¯x k (x i ) es arbitraria,en particular puede ser la transformación identidad. Entonces (43) nosdice que, necesariamente en el S.C. original, Γ n ki = 0. En realidad, Γn ki = 0 en elS.C. original y en todos los que se relacionen con él mediante transformacioneslineales de coordenadas, ya que para éstas se anulan las segundas derivadas en(42). Pero el hecho de que estos sistemas sean distinguidos, por el hecho deque los Γ n kisean nulos, es un problema que milita contra la idea de invarianzageneral. Sin embargo, esto se supera de una manera muy simple: abandonamostal suposición. Esto nos lleva al concepto de conexión afín.Definición: Llamamos conexión afín o afinidad, Γ n ki, a un arreglo de n3funciones para las cuales:(i) Asumimos un conjunto de valores arbitrarios en un S.C. particular y(ii) Están sujetos a una ley de transformación que hace a la siguiente expresiónun tensor:44A k,i − A n Γ n ki ≡ A k;i (77)donde A k,i es la derivada ordinaria de A k y A k;i es llamado derivada invariantede A k con respecto a la conexión Γ n ki .Se debe notar que Γ n ki está impuesta sobre nuestra variedad, y es una nuevaentidad.Nuestra consideración inicial es un caso particular de (i) donde elegimosΓ n ki = 0.Inferimos que (ii) se satisface si adoptamos para Γ n kila siguiente ley detransformación:¯Γ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γl rs + ∂¯xn ∂ 2 x l∂x l ∂¯x i ∂¯x k . (78)El término adicional es independiente de Γ n ki , depende sólo de la transformaciónde coordenadas. Esto es coherente con el hecho de que la conexión Γ noes nula en todos los S.C. aún cuando puede serlo en algunos. Notamos que laconexión no es un tensor, puesto que (77) es lineal pero no homogénea. Además,es claro de (77) que la conexión es simétrica con respecto a los subíndices.Ahora bien, el hecho de que la parte no homogénea sea la misma paracualquier afinidad tiene consecuencias relevantes. Consideremos dos afinidades,17

Γ k lm y ˆΓ k lm, en la misma variedad. Entonces la diferencia es un tensor. En efecto,bajo una T.C. se tiene:¯Γ n ik − ˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γl rs + ∂¯xn∂x l¯Γ n ik − ˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s (∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γ l rs − ˆΓ)lrs .∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k − ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x ˆΓ l k rs − ∂¯xn∂x l∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k ,(79)Luego la diferencia Γ k lm − ˆΓ k lm es un tensor.Si ahora pensamos en una conexión Γ k lmy una variación infinitesimal de ésta,Γ k lm + δΓk lm , entonces la diferencia δΓk lm es un tensor. De este modo concluimosque la suma de una afinidad y un tensor es una afinidad. Veamos qué sucede sisumamos dos afinidades, Γ k lm y ˆΓ k lm :¯Γ n ik + ˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γl rs + ∂¯xn∂x l∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k + ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x ˆΓ l k rs + ∂¯xn∂x l¯Γ n ik + ˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s (∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γ l rs + ˆΓ) lrs + 2 ∂¯xn ∂ 2 x l∂x l ∂¯x i ∂¯x k .Luego la suma de dos afinidades no es una afinidad.números tales que λ + µ = 1 entonces tenemos:λ¯Γ n ik + µˆΓ n ik = λ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x k Γl rs + λ∂¯xn∂x lλ¯Γ n ik + µˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s ()∂x l ∂¯x i ∂¯x k λΓ l rs + µˆΓ l rs + λ ∂¯xn∂x lλ¯Γ n ik + µˆΓ n ik = ∂¯xn ∂x r ∂x s ()∂x l ∂¯x i ∂¯x k λΓ l rs + µˆΓ l rs + ∂¯xn∂x l∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k ,(80)Pero si λ y µ son∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k + µ∂¯xn ∂x r ∂x s∂x l ∂¯x i ∂¯x ˆΓ l k rs + µ∂¯xn∂x l(81)∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k + µ∂¯xn∂x l∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k .∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x kPor lo tanto, λΓ l rs + µˆΓ l rs es una afinidad si y sólo si λ + µ = 1.Las conexiones afín o afinidades son un tipo relevante de entidades, ademásde los tensores y densidades. La noción de derivada invariante introducida es(76) no es un concepto absoluto sino que se refiere a una cierta afinidad, lacual debe ser indicada. Si se han introducido más que una, entonces debemosdistinguir las derivadas tomadas con respecto a afinidades distintas.Se extenderá ahora la noción de derivada invariante a otros tensores. Parecenatural exigir a la derivación invariante lo siguiente:(i) que la regla ordinaria de la derivación de un producto se mantenga en laderivación invariante del producto de tensores,(ii) que la derivada invariante de un escalar sea la derivación ordinaria.Desde la igualdad A k = δk l A l, la regla del producto nos dice que:A k;m = δ l k;m A l + δ l k A l;m, (82)∂ 2 x l∂¯x i ∂¯x k18

6.3 Transporte paraleloUna forma interesante de introducir el concepto de derivada invariante y conexiónes la siguiente. Hemos visto que la derivada ordinaria de un campo vectorialcovariante tiene problemas:A i,j =A i (x k + dx k ) − A i (x k )limdx j →0 dx j . (89)Para que la definición sea consistente debemos transportar paralelamenteA i (x k ) desde el punto de coordenadas x k hasta x k + dx k y luego realizar ladiferencia. Denotamos por δA i al cambio en las coordenadas de A i luego detransportarlo paralelamente a lo largo de dx k , como se ve en la figura.Figure 3:Es de esperar que δA i sea proporcional al desplazamiento dx k y también aA l . Por lo tanto suponemos:δA i = Γ l ikA l dx k . (90)donde los Γ l ik son funciones de las coordenadas y caracterizan el “desplazamientoparalelo”. Estas funciones son las componentes de lo que llamamos unaconexión.Ahora sí podemos hacer la diferencia en (89):A i (x k + dx k ) − A i (x k ) − δA ilimdx j →0dx j (91)limdx j →0limdx j →0A i (x k + dx k ) − A i (x k )dx jA i (x k + dx k ) − A i (x k )dx jA i,j − Γ k ij A k.− Γ k ilA kdx ldx j− Γ k ij A k20

Esto nos lleva a la definición de la derivada invariante de un vector covariantemediante la siguiente ecuación:A i;j := A i,j − Γ k ij A k. (92)Para encontrar la expresión de la derivada invariante de un vector contravariante,debemos determinar el transporte paralelo de este vector.Para esto consideramos que el transporte paralelo del escalar A i B i es nulo:δ (A i B i ) = 0, (93)δA i B i + A i δB i = 0,Γ j ik A jdx k B i + A i δB i = 0,A i(Γijk dx k B j + δB i) = 0.Usando la arbitrariedad de A i tenemos:δB i = −Γ i jk dxk B j . (94)Por lo tanto, la derivada invariante de un vector contravariante utilizandola idea del transporte paralelo es:B i ; j := Bi ,j + Γk ij A k. (95)Para un tensor general, Tpq..., kl... aplicamos consideraciones similares al escalarTpq... kl... A kB l ...F p G q ..., con A k , B l , ...,F p , G q ...,vectores arbitrarios. Lo que ahorapedimos es que la expresión que determina el desplazamiento paralelo de dichoescalar, δTpq..., kl... sea nulo. Siguiendo el modelo anterior se obtiene:Tpq...; kl...i = T pq..., kl...i + T pq... nl... Γk ni + T pq... kn... Γl kl...ni + ... − Tnq... Γp ni − T pn... kl... Γq ni− ... . (96)7 TorsiónDada una conexión es posible definir el tensor de torsión.Definición:Se define el tensor de torsión como:T kij := Γk ij − Γk ji . (97)Notemos que éste transforma como tensor debido a que al hacer la diferenciade las conexiones, se anula el término no homogéneo de la ley de transformación.Una interesante interpretación geométrica de la torsión es la siguiente:21

Figure 4:Consideremos tres puntos P , Q , S de la variedad, infinitesimalmente cercanos,tal que las coordenadas de P son x k , dx k 1 es la diferencia de las coordenadasde los puntos P y Q, y dx k 2 es la diferencia de las coordenadas delos puntos P y S (ver figura 4). Si transportamos las diferenciales dx k 1 y dxk 2 ,ambos vectores definidos en P , de tal manera que se forme un paralelógramo,encontremos la condición para que el paralelogramo se cierre.(1) Desplacemos primero el vector dx k 2(P ) a través de dx k 1.Así tendremosqued¯x k 2 (Q) = dxk 2 + δdxk 2 = dxk 2 − Γk ij dxi 2 dxj 1 (98)es el nuevo vector transportado en Q. Éste nos permite definir las coordenadasde un nuevo punto R 1 , cuyas coordenadas son: x k +dx k 1 +dxk 2 −Γk ij dxi 2 dxj 1 .(2) Desplacemos el vector dx k 1 (P ) a través de dxk 2 .Ahora encontramos:d¯x k 1(S) = dx k 1 + δdx k 1 = dx k 2 − Γ k ijdx i 1dx j 2 . (99)Este nuevo vector transportado en S nos permite definir las coordenadas deun nuevo punto R 2 cuyas coordenadas son: x k + dx k 2 + dxk 1 − Γk ij dxi 1 dxj 2 .Si queremos que el paralelógramo se cierre es necesario que los puntos R 1 yR 2 coincidan. Igualando las coordenadas de ambos puntos, encontramos:x k + dx k 2 + dx k 1 − Γ k ijdx i 1dx j 2 = xk + dx k 1 + dx k 2 − Γ k ijdx i 2dx j 1 , (100)Γ k ij − Γ k ji = 0. (101)Por lo tanto la condición para que el paralelógramo se cierre es que la torsiónsea nula, o equivalentemente que la conexión sea simétrica en sus índices covariantes.Notemos que esta condición es independiente del sistema coordenadodebido a que la torsión es un tensor.22

Figure 5:8 Integrabilidad y CurvaturaAnteriormente definimos el transporte paralelo de un tensor desde un punto Pde coordenadas x j a un punto Q de coordenadas x j + dx j . Podemos hacer unasucesión de transportes comenzando desde un punto P de tal manera de volveral mismo punto original P, formando un circuito cerrado. La pregunta naturalque surge es si el vector transportado coincide con el vector original, es decir, siel transporte entre dos puntos es independiente de la trayectoria.Figure 6:Definición:Decimos que una conexión Γ k ij es integrable si el transporte paralelo asociadoa ella es independiente de la trayectoria.23

Encontremos las condiciones que debe satisfacer una conexión para que seaintegrable.Para ello, consideremos un vector contravariante A k asociado a un punto Pde coordenadas x j . Definamos un campo vectorial tal que el vector asociado aun punto Q coincida con el vector A k transportado desde P a Q, es decir,A k + dA k = A k + δA k , (102)como dA k = ∂Ak∂x j dx j y δA k = −Γ k ij Ai dx j tenemos que∂A k∂x j + Γk ijA i = 0. (103)Ésta es la condición que debe satisfacer un vector contravariante A k en elcaso que Γ k ij sea integrable.Las segundas derivadas parciales cruzadas de A k deben ser iguales, es decir:∂ 2 A k∂x m ∂x j =∂2 A k∂x j ∂x m . (104)De las ecuaciones (103) y (104) se obtiene la condición:∂ (Γk∂x m ij A i) −∂ (Γk∂x j im A i) = 0. (105)Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición que δA ksea una diferencial exacta. De esta forma, si transportamos A k a través deuna curva continua, obtenemos por el teorema fundamental del cálculo queel transporte es independiente de la trayectoria. Apliquemos la condición deexactitud. Como δA k = −Γ k ij Ai dx j , entonces se debe satisfacer:∂ (Γk∂x m ij A i) =∂ (Γk∂x j im A i) ,que corresponde a la ecuación (105). Desarrollando obtenemos queA i ∂ m Γ k ij + Γk ij ∂ mA i − A i ∂ j Γ k im − Γk im ∂ jA i = 0. (106)Como δA k = −Γ k ij Ai dx j es una diferencial exacta, tenemos que ∂ j A k =−Γ k ij Ai . Reemplazando ∂ j A k en (106) tenemos:A i ∂ m Γ k ij − Ai ∂ j Γ k im + Γk lm Γl ij Ai − Γ k lj Γl im Ai = 0, (107)A i ( ∂ m Γ k ij − ∂ j Γ k im + Γ k lmΓ l ij − Γ k ljΓ l im)= 0. (108)Como A i es un vector arbitrario, la condición de integrabilidad es:Definición:∂ m Γ k ij − ∂ j Γ k im + Γ k lmΓ l ij − Γ k ljΓ l im = 0. (109)24

Figure 7:Se define el tensor de curvatura como:R k imj := ∂ mΓ k ij − ∂ jΓ k im + Γk lm Γl ij − Γk lj Γl im . (110)Teorema:Una conexión es integrable si y sólo si su curvatura es igual a cero.Una interpretación geométrica de la curvatura es la siguiente:Consideremos cuatro puntos P, Q, R, S como en la figura (??), donde lascoordenadas de P son x k , dx k 1 es la diferencial que une los puntos P y Q, dxk 2 ladiferencial que une los puntos P y S. Si consideramos una conexión simétrica,es decir con torsión nula, el paralelógramo que se obtiene al transportar lasdiferenciales es cerrado. Esto nos permite definir un circuito cerrado.Sea A k (P ) un vector contravariante definido en el punto P . Traslademos estevector a través del circuito hasta volver el punto P y obtengamos la diferenciaentre el vector transportado y el vector original: Ā k − A k .(1) Transportemos A k de P a Q:B k (Q) = A k + δA k = A k − Γ k li(x j )A l dx i 1. (111)(2) Transportemos B k de Q a R:C k (R) = B k + δBk = B k − Γ k mn (Q)Bm (dx n 2 + δ (dxn 2 )), (112)donde transportamos B k a través del vector dx n 2 + δ (dxn 2 ) que corresponde adx k 2 transportado hasta el punto Q. Como la conexión está evaluada en el puntoQ, de coordenadas x k + dx k 1 , debemos hacer una expansión en serie, es decir:Γ k mn(x i + dx i 1) = Γ k mn(x i ) + ∂Γk mn(x i )∂x j dx j 1 , (113)25

donde despreciamos los términos de segundo orden. Reemplazando en la ecuación(112) y utilizando (111) obtenemos:C k (R) = A k − Γ k liA l dx i 1 − Γ k mnA m dx n 2 + Γ k mnΓ n rsA m dx s 1dx r 2 (114)− ∂ j Γ k mn Am dx j 1 dxn 2 + Γk mn Γm li Al dx i 1 dxn 2 .(3) Traslademos el vector C k (R) al punto S realizando el mismo procedimientoanterior, pero a través del vector −(dx 1 + δ(dx 1 ))(R),tal que D k (S) =C k + δC k .(4) Finalmente, traslademos el vector D k hasta el punto P . Así, finalmentese obtiene:Ā k − A k = ( ∂ s Γ k qr − ∂ rΓ k qs + Γk ms Γm qr − Γk pr Γp qs)A q dx r 1 dxs 2 . (115)Pero el término entre paréntesis corresponde a la curvatura. Por lo tantopodemos escribir:Ā k − A k = R k rsq dxr 1 dxs 2 Aq . (116)Es decir, la diferencia entre el vector transportado y el original es proporcionala la curvatura.Notemos de la ecuación (116) que Rimjk debe transformar como un tensor,por lo tanto si la curvatura se anula en un sistema coordenado, entonces seanulará en todos los demás.En el caso de un plano con coordenadas cartesianas, sabemos que el transporteno modifica el vector, es decir Γ k ∗ij = 0 ( utilizamos el símbolo = ∗ paradenotar que ésta igualdad es válida en un sistema coordenado paricular ). Eneste caso, según (110), tenemos que la curvatura se anula, Rijkl = 0, por lotanto, la conexión es integrable.En general, si existe un sistema coordenado donde Γ k ij ≡ 0 en todo punto deuna región dada, entonces la curvatura es idénticamente cero Rijk l ≡ 0 en esaregión. Además, como la curvatura es un tensor, ésta se anulará en cualquiersistema coordenado.El contrarecíproco también es válido. Si existe un sistema coordenado en elcual la curvatura sea distinto de cero, Rijk l ≠ 0 , entonces no existirá ningúnsistema coordenado en el cual la conexión se anule idénticamente en la regióndada.Podemos expresar esto diciendo que la condición necesaria y suficiente paraencontrar un sistema coordenado donde la conexión se anule idénticamente Γ k ij ≡0, es que Rijk l ≡ 0 y T ij k ≡ 0.Al considerar la derivada covariante de un tensor se encuentra que ésta, engeneral, no es independiente del orden de derivación. Al estudiar las condicionespara que ésta sea independiente del orden de derivación encontramos que ellatambién está relacionada con la curvatura y la torsión.La derivada covariante de un vector contravariante es:∇ λ A ν = ∂ λ A ν + A α Γ ν αλ . (117)26

Consideremos la segunda derivada covariante de A ν :∇ µ ∇ λ A ν = ∂ µ ∂ λ A ν +∂ µ A α Γ ν αλ +Aα ∂ µ Γ ν αλ +∂ λA α Γ ν αµ +Aα Γ β αµ Γν βλ −∂ αA ν Γ α λµ −Aα Γ ν αβ Γβ µλ .(118)Permutemos los índices µ ←→ λ, obtenemos∇ λ ∇ µ A ν = ∂ λ ∂ µ A ν +∂ λ A α Γ ν αµ +Aα ∂ λ Γ ν αµ +∂ µA α Γ ν αλ +Aα Γ β αλ Γν βµ −∂ αA ν Γ α µλ −Aα Γ ν αβ Γβ λµ .(119)Haciendo la diferencia entre (118) y (119) obtenemos:( )∇ µ ∇ λ A ν − ∇ λ ∇ µ A ν = RαλµA ν α + Γ β λµ − Γβ µλ∂ β A ν . (120)Por lo tanto, la derivada covariante es independiente del orden de derivaciónsi y sólo si R ν αλµ = 0 y T β µλ = 0.9 La geodésica de una conexión afínFigure 8:Consideremos dos puntos infinitesimalmente cercanos P (x k ) y P ′ (x k + dx k )en una variedad provista de una conexión Γ. Como se ve en la figura (??), elvector dx k que une dichos puntos se transporta paralelamente a P ′ resultandoel vector dx ′k . Con el punto P ′ y el vector dx ′k podemos construir el nuevopunto P ′′ (x k + dx k + dx ′k ) y luego transportar dx ′k desde P ′ a P ′′ resultandoel vector dx ′′k , y así sucesivamente.De este modo, se obtiene una línea poligonal que se aproxima a una curvaen el límite infinitesimal, es decir, cuando dx k es realmente infinitesimal y elnúmero de pasos se incrementa sin límite. Esta curva se denomina geodésicaafín y posee la siguiente propiedad:(*) Si A k (x i ) es un vector tangente a la curva en P y se transporta de acuerdoa la conexión Γ al punto P ′ , entonces el vector resultante en P ′ también esparalelo a la curva.En general, una curva es representada dando sus coordenadas como funcionesde un parámetro continuo λ (“en general” quiere decir que en lugar de27

λ podemos escoger cualquier función continua de λ). Así tenemos la curva representadapor x i = x i (λ) y A k = dx k /dλ el vector que indica en cada punto ladirección de la curva. Para que esta curva tenga la propiedad (*) se exige queel vector Ãk transportado de P a P ′ sea proporcional a A k (P ′ ):Ã k (x i + dx i ) = MA k (x i + dx i ), (121)A k (x i ) + δA k = M [ A k (x i ) + d ( A k)] ,donde M es una constante de proporcionalidad, que en general depende deλ. Perod(A k ) = d( dxkdλ ) = d2 x kdλ, (122)dλ2 yδA k = −Γ k lm Al dx m = −Γ k dx llmdλ dxm = −Γ k dx llmdλde modo que (121) queda:dx mdλ, (123)dλM d2 x kdλ 2 dλ + dx l dx mΓk dxklm dλ = (1 − M)dλ dλ dλ , (124)[M d2 x kdλ 2 + dx l dx m ] Γk lm dλ = (1 − M) dxkdλ dλdλ .Resulta natural que la diferencia entre M y la unidad debe ser del ordende dλ, por lo cual podemos reemplazar M por 1 en el primer término de(124). Además, esta diferencia puede cambiar de un punto a otro, de modoque podemos dejar el factor 1 − M dependiendo de λ. Para esto escribimos1 − M = φ(λ)dλ, de modo que:[ d 2 x kdλ 2+ dx lΓk lmdλd 2 x kdλ 2dx m ]dλ = φ(λ)dλ dxkdλdλ , (125)+ dx l dx mΓk lmdλ dλ= φ(λ)dxk dλ .Bajo el cambio de parámetro s = s(λ), la ecuación (125) se transforma en:d 2 x kds 2+ dx l dx mΓk lmds ds = φs′ − s ′′ dx ks ′2 ds , (126)donde s ′ = ds/dλ. El segundo miembro de esta ecuación se anula si y sólosi φs ′ − s ′′ = 0, es decir, si:[ ∫ ]λ′s =∫ λexpφ(u)dudλ ′ . (127)28

De este modo, siempre es posible escoger un parámetro tal que el segundomiembro de (127) se anule:d 2 x kds 2+ dx l dx mΓk lm = 0. (128)ds dsSe verifica directamente que esta ecuación se mantiene bajo cualquier transformaciónlineal de parámetro (ŝ = as+b, con a, b constantes). De este modo, lassoluciones de la ecuación (128), x i = x i (s), son representaciones paramétricasde las geodésicas afín.10 MétricaLa métrica es el instrumento matemático que permite introducir el concepto dedistancia.Definición: Se denomina espacio métrico al espacio que cuenta con unaley para medir distancias.Sean x k y x k +dx k las coordenadas de dos puntos infinitesimalmente cercanosen una variedad. La expresión para la distancia entre estos puntos puede sermuy general, pero se le debe exigir que sea un escalar, es decir, que su valor seaindependiente del sistema coordenado. El caso más estudiado es el que suponeque la distancia elemental entre dichos puntos está dada por una expresión dela forma:ds 2 ≡ g µν dx µ dx ν , (129)donde las g µν son funciones de las coordenadas x α . Además, por definición, lasg µν son las componentes de un tensor covariante de segundo orden, simétrico yrecibe el nombre de tensor métrico. Esto asegura que ds sea efectivamenteun escalar y se denomina elemento de línea.A continuación veremos que una métrica introducida sobre la variedad esuna poderosa herramienta.Definición: Longitud de una curva:Definition 1 Sea C una curva en la variedad dada por x i = x i (λ), con λ i ≤λ ≤ λ f . Definimos la longitud de la curva como el escalar∫ λf∫ λf∫√ λf√L := ds = gµν dx µ dx ν dx= g µ dx νµν dλ. (130)dλ dλλiDefinición: Longitud de un vector:λiDefinition 2 Sea A µ un vector contravariante definido en un punto P de lavariedad. Llamamos módulo de A µ al escalar:λi|A| 2 ≡ g µν A µ A ν . (131)Obviamente en la ecuación (131) g µν , A µ y A ν deben estar evaluados en elmismo punto P .Definición: Producto escalar:29

Definition 3 Sean A µ y B µ dos vectores contravariantes definidos en un puntoP de la variedad. Se define el producto interno entre dichos vectores como:A · B ≡ g µν A µ B ν . (132)Definición:Ángulo entre vectores:Definition 4 Se define el ángulo ∢(A, B) entre los vectores A µ y B µ mediantela relación:cos ∢(A, B) := A · B|A| |B| = g µν A µ B ν√gµν A µ A ν√ g µν B µ B . (133)νDefinición: Los espacios métricos en los cuales la distancia elemental sedefine por una expresión de la forma (129) con det(g µν ) ≡ g ≠ 0 se llamanespacios de Riemann.Además si det(g µν ) ≠ 0 se dice que g µν es ”no-degenerada”.Por ejemplo, en el espacio euclidiano n-dimensional y en coordenadas cartesianasla métrica es g µν = δ µν , de modo que:ds 2 = ∑ µdx µ dx µ , (134)donde µ = 1, 2, ..., n. La longitud de una curva C está dada por:L =∫ λfλi√ ∑µdx µdλdx µdλ, (135)dλel módulo de un vector A, el producto escalar de dos vectores A y B y elángulo entre ellos están dados por:|A| 2 ≡ ∑ µA · B ≡ ∑ µA µ A µ , (136)A µ B µ ,cos ∢(A, B) =∑µ Aµ B µ√∑ν Aν A ν√∑ λ Bλ B λ .Ahora bien, si det(g µν ) ≡ g ≠ 0, entonces existe g µν (x i ) un tensor contravarianteg µν tal que:g µν g νλ = δ µ λ . (137)y recibe el nombre de métrica inversa de g µν .Consideremos ahora un vector contravariante A µ . Es posible definir un vectorcovariante A ′ µ como:A ′ µ ≡ g µνA v . (138)30

Con g µν podemos definir un vector A ′′µ como:A ′′µ ≡ g µν A ′ ν. (139)De este modo vemos que usando la métrica podemos mapear vectores contravariantes(en el espacio tangente) en vectores covariantes (en el espacio cotangente)y viceversa.Además, si usamos (138) en (139) obtenemos:A ′′µ = g µν A ′ ν = g µν g νλ A λ = δ µ λ Aλ = A µ , (140)lo cual prueba que hay una relación uno a uno entre vectores del espaciotangente y cotangente. En espacios en que g ≠ 0 se puede hablar por tantode vectores como objetos geométricos, cada uno de los cuales puede definirsetanto por sus componentes covariantes como contravariantes. Por ejemplo, el∗espacio Euclidiano es un espacio de Riemann en el cual g µν = δµν , de modo quelas componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden ennuméricamente en coordenadas cartesianas. De aquí que no sea necesaria taldistinción en espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas.Figure 9:La utilidad del tensor métrico para “subir” o “bajar” índices también valepara tensores en general. Por ejemplo, a partir del tensor Tµν λρ podemos definirel tensor:= g µα Tαν λρ . (141)T µλρν10.1 La geodésica métricaConsideremos dos puntos P y Q en una variedad provista de métrica. Se definela geodésica como la curva de longitud mínima entre P y Q.31

Si C es una curva representada paramétricamente por x µ = x µ (λ), entoncesC es una geodésica entre P y Q si y sólo sies extremal, es decir, si y sólo si:L =∫ λfλids (142)δL = 0. (143)Pero (143) es equivalente a las ecuaciones de Lagrange:( )δLδx µ = ∂S∂x µ − d ∂Sdλ ∂ ( ) = 0, (144)∂x µ∂λdondeS =√g µνdx µdλSe puede probar que (144) es equivalente a la ecuación:donded 2 x µdλ 2dx νdλ . (145)+ { να u } dxν dx αdλ dλ = f(λ)dxµ dλ , (146){ }βµλ≡ 1 2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] , (147)es llamado símbolo de Christoffel de segunda especie. La función f, análoga ala función φ(λ) de la ecuación (125), siempre puede ser elegida f = 0 eligiendoun parámetro s adecuado:d 2 x µds 2 + { να µ } dxν dx αds ds= 0. (148)Obvservamos que (148) tiene la misma forma que la ecuación (128) para lageodésica afín, de donde se deduce que { να µ } debe ser una conexión.Por ejemplo, en el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas { να} µ = ∗ 0,de modo que según (148) las geodésicas de este espacio son rectas con ecuacionesx µ (λ) = x µ o + uµ λ, con x µ o y λ constantes.11 Introducción a la geometría de RiemannPara empezar vamos a demostrar dos importantes teoremas.Teorema: Sea M n una variedad con una métrica g µν y una conexión Γ λ µν .Entonces, la longitud de un vector bajo transporte paralelo es conservada si ysólo si:∇ λ g µν = 0. (149)32

En efecto, sea A µ (x α ) un vector definido en P (x α ) y Āµ (x α + dx α ) el vectorque resulta de transportar A µ desde P a Q(x α + dx α ), es decir:(Ā µ (Q) = A µ − Γ µ αβ Aα dx β) . (150)PLas longitudes de A µ y µ son respectivamente:pero|A| 2 = (g µν A µ A ν ) P, (151)∣ Ā ∣ ∣ 2 = ( g µν Ā µ Ā ν) Q , (152)g µν (Q) = (g µν + ∂ α g µν dx α ) P, (153)por lo tanto:∣ ∣ [Ā 2 = [g µν + ∂ α g µν dx α ] A µ − Γ µ αβ Aα dx β] [A ν − Γ ν αβA α dx β] . (154)Desarrollando el producto y despreciando los términos de segundo orden endx α , se obtiene:∣ Ā ∣ ∣ 2 = g µν A µ A ν − g µν Γ ν λγ Aµ A λ dx γ − g µν Γ µ αβ Aα A ν dx β + ∂ ρ (g µν ) A µ A ν dx ρ .(155)Igualando (151) y (155) se obtiene:−g µν Γ ν λγ Aµ A λ dx γ − g µν Γ µ αβ Aα A ν dx β + ∂ ρ (g µν ) A µ A ν dx ρ = 0. (156)Intercambiando adecuadamente los índices mudos se obtiene:∂ λ (g µν ) A µ A ν dx λ − g µρ Γ ρ νλ Aµ A ν dx λ − g ρν Γ ρ µλ Aµ A ν dx λ = 0 (157)()∂ λ g µν − g µρ Γ ρ νλ − g ρνΓ ρ µλA µ A ν dx λ = 0.Usando la arbitrariedad de A µ y dx µ obtenemos:∂ λ g µν − g µρ Γ ρ νλ − g ρνΓ ρ µλ = 0 (158)∇ λ g µν = 0,lo cual demuestra el teorema.Teorema: La única conexión que satisface:(i) Tµν λ = 0 (torsión nula o equivalentemente Γ simétrico)(ii) ∇ λ g µν = 0 (o equivalentemente que conserva la longitud de un vectorbajo transporte paralelo)es el símbolo de Christoffel:{ }βµλ≡ 1 2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] . (159)33

En efecto, de (ii) tenemos:Luego:∇ λ g µν = ∂ λ g µν − g µρ Γ ρ νλ − g ρνΓ ρ µλ= 0. (160)∂ λ g µν = g ρν Γ ρ µλ + g µρΓ ρ νλ . (161)Escribamos las ecuaciones que se obtienen por permutación circular de losíndices λ, µ, ν:∂ µ g νλ = g ρλ Γ ρ νµ + g νρΓ ρ λµ(162)∂ ν g λµ = g ρµ Γ ρ λµ + g λρΓ ρ µν . (163)Sumando (161) a (162) y restando (163) se obtiene:( )∂ λ g µν +∂ µ g νλ −∂ ν g λµ = g ρν(Γ ρ µλ + Γρ λµ)+g µρ Γ ρ νλ − ( Γρ λµ+g ρλ Γρνµ − Γ ρ µν).(164)Usando la condición (ii) tenemos:∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ = 2g ρν Γ ρ µλ , (165)g ρν Γ ρ µλ = 1 2 [∂ λg µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] ≡ [νµλ] . (166)Los símbolos [νµλ] se denominan símbolos de Christoffel de primera especie.Multiplicando por g νβ , obtenemos:δρ β Γρ µλ = 1 2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] , (167)Γ β µλ = 1 }2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] ≡ .{βµλEsta particular conexión, se denomina símbolo de Christoffel de segundaespecie. Si suponemos que existe otra conexión ˆΓ ≠ Γ que satisface las hipótesisdel teorema se llega a una contradicción, pues se obtiene que ˆΓ es un símbolode Christoffel. De este modo,{βµλ}es la única conexión que satisface (i) y (ii).Es directo verificar que la derivada covariante de la métrica con respecto a laconexión métrica (símbolo de Christoffel) es idénticamente nula. Para la inversatambién se tiene ∇ λ g µν = 0. En efecto, g µν g νλ = δ µ λ =⇒ ∇ ρ (g µν g νλ ) = 0 =⇒∇ ρ g µν = 0. Sin embargo, de la derivada covariante de la métrica con respectoa otras conexiones no podemos decir nada.Un espacio posee geometría de Riemann si satisface:yT λ µν = 0 (168)∇ λ g µν = 0. (169)Corolario: Si en un espacio de Riemann existe un sistema coordenado en elcual las componentes de la métrica son constantes, entonces el espacio es plano,es decir tiene curvatura cero.34

{ }En efecto, g µν = cte =⇒ βµλ= 0 =⇒ R ρ µνλ= 0. Ejemplos de estosespacios son el espacio de Minkowsky de la relatividad especial o el espacioeuclidiano.Por supuesto el contrarrecíproco es verdadero:Si R ρ µνλ ≠ 0 entonces no existe un sistema coordenado donde g µν = cte yΓ λ µν = 0.12 Métrica y conexión inducidasSea M N una variedad de dimensión N y sea S n una variedad de dimensiónn ≤ N tal que S n esté contenida en M N . Representaremos la subveriedadparamétricamente por x µ = x µ (z i ), µ = 1, 2, .., N, i = 1, 2, .., n. Utilizaremosletras griegas cuando los índices corren hasta N, y letras latinas cuando losindices corren hasta R.Si M N posee una métrica g µν y una conexión Γ λ µν, deseamos encontrar lamétrica y la conexión que se induce sobre S R .Figure 10:12.1 Inducción de la métricaUn elemento de línea en M N está dado por:ds 2 = g µν dx µ dx v . (170)Como x µ = x µ (z i ), tenemos que dx µ = ∂xµ∂zdz i . Por lo tanto, sobre S i R elelemento de línea inducido esds 2 = g µν∂x µ∂z i ∂x ν∂z j dzi dz j = g ∗ ij dzi dz j , (171)35

congij ∗ ∂x µ ∂x ν= g µν∂z i ∂z j (172)donde gij ∗ corresponde al tensor métrico inducido sobre S R.12.2 Inducción de la conexiónSea A i un vector contravariante definido sobre S R tal que dz i = λA i . Necesitamosuna expresión para el vector asociado a A i sobre M N .Como dx µ = ∂xµ∂zdz i tenemos dx µ = ∂xµi ∂zλA i . Esto induce un vector B µ eniM NB µ = ∂xµ∂z i Ai (173)donde B µ corresponde al vector asociado a A i en M N .Como tenemos una conexión definida sobre M N podemos transportar elvector B µ desde el punto P de coordenadas x µ al punto Q de coordenadasx µ + dx µ , el cual está dado por:¯B µ (Q) = B µ − Γ µ νλ Bν dx λ . (174)Reemplazando la ec. (173) tenemos que el vector transportado es:¯B µ (Q) = ∂xµ∂z i Ai − Γ µ ∂x ν ∂x λνλ∂z i ∂z j Ai dz j . (175)Como deseamos encontrar la conexión de S R transportemos el vector A kdesde el punto P de coordenadas z i al punto Q de coordenadas z i + dz i con laconexión Γ ∗kij que deseamos encontrar.Ā i (Q) = A i − Γ ∗ijk Aj dz K . (176)Ahora debemos proyectar el vector ¯B k (Q) sobre S R e igualarlo con Āi (Q).Pero vemos de la ec. (173) que no podemos obtener directamente un vectorsobre S R a partir de un vector en M N , pues aparece un factor ∂xµ∂z, el cual noies invertible por ser una matriz no cuadrada.Por lo tanto, debemos definir algún tipo de proyección, de tal manera depoder recuperar la ec. (173). Esta proyección nos permitiría obtener un vectoren S R a partir de un vector en M N .Dado un vector B µ en M N definimos su proyección A i sobre S R como:A i ∗ij ∂xµ= g∂z j g µνB ν , (177)donde g ∗ij corresponde a la inversa de la métrica inducida.Veamos si podemos recuperar la ec. (173). Para ello multipliquemos a amboslados por gik∗ A i gik ∗ = δ j ∂x µk∂z j g µνB ν . (178)36

Reemplazando la ec. (171) tenemos:A i g νµ∂x ν∂z i ∂x µ∂z k = ∂xµ∂z k g µνB ν , (179)A i ∂xν∂z i = B ν . (180)Donde la ec. (180) es igual a la ec. (173). Por lo tanto nuestra definición deproyección satisface la condición requerida. Notemos que para esta definiciónde proyección es necesario utilizar la métrica. Por lo tanto, en espacios que noposeen métrica no podemos realizar este procedimiento.Proyectemos ahora el vector ¯B µ sobre S R .Si C i corresponde a la proyección de ¯B µ satisface:Igualemos C i con ĀiC i (Q) = g ∗ij (Q) ∂xµ∂z j (Q)g µν(Q) ¯B ν . (181)g ∗ ij(z k + dz k )Āj = g µν (Q) ∂xν∂z i (Q) ¯B µ . (182)Expandiendo en serie g µν (x λ + dx λ ) y ∂xν∂z i (z k + dz k ),encontramos:g µν (x λ + dx λ ) = g µν (x λ ) + ∂ α g µν dx α , (183)∂x ν∂z i (zk + dz k ) = ∂xν∂z i (zk ) +∂2 x ν∂z j ∂z i dzj . (184)Reemplazando en (182) y expandiendo en serie g ∗ ij (zk + dz k ) obtenemos:( ∂x(gij ∗ + ∂ sgij ∗ dzs )(A j − Γ ∗jlm Al dz m ) = (g µν + ∂ α g µν dx α ν)∂z i +(gij ∗ Aj − gij ∗ Γ∗j lm Al dz m + ∂ s gij ∗ Aj dz s) ∂x=(g νµν∂z i + g µν∂2 x ν )∂z j ∂z i dzj ¯B µ ,(185))∂z i dxα∂ 2 x ν∂x ν∂z j ∂z i dzj + ∂ α g µν(186)¯B µ .Reemplazando ¯B µ de (175) y multiplicando tenemos:(gij ∗ Aj − gij ∗ Γ∗j lm Al dz m + ∂ s gij ∗ Aj dz s) ∂x ν ∂x µ= g µν∂z i ∂z l Al + g µν∂ 2 x ν ∂x µ∂z j ∂z i ∂z l Al dz j(187)∂x ν ∂x µ+ ∂ α g µν∂z i ∂z l Al dx α − Γ µ αβ g ∂x ν ∂x α ∂x βµν∂z i ∂z m ∂z n Am dz n .37

Desarrollando la expresión ∂ s g ∗ ij , llegamos a :(∂ s gij ∗ ∂x µ ∂x ν )= ∂ s g µν∂z i ∂z j∂x=(∂ µ ∂x ν ∂x αα g µν∂z i ∂z j ∂z s + g µν(188)∂ 2 x µ ∂x ν∂z s ∂z i ∂z j + g ∂ 2 x ν ∂x µ )µν∂z s ∂z j ∂z i .Reemplazando en (187) y reduciendo los términos semejantes, encontramosg ∗ ijΓ ∗jlm Al dz m ∂ 2 x ν ∂x µ= g µν∂z s ∂z j ∂z i Aj dz s + Γ µ αβ g ∂x ν ∂x α ∂x βµν∂z i ∂z m ∂z n Am dz n . (189)Cambiando algunos índices mudos y factorizando, llegamos agij ∗ Γ∗j lm Al dz m ∂x µ ( ∂ 2 x ν= g µν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m A l dz m , (190)gijΓ ∗ ∗jlm = g ∂x µ ( ∂ 2 x νµν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m . (191)Finalmente despejando Γ ∗jlm , encontramosΓ ∗klm = g ∗ki ∂x µ ( ∂ 2 x νg µν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m . (192)La ecuación anterior nos entrega la conexión inducida sobre S N .13 Resultados de la conexión y métrica inducidas13.1 Aplicación a la teoría de superficiesEn la teoría de superficies, consideramos una variedad bidimensional sumergidaen R 3 , por lo tanto, debemos ser capaces de encontrar la teoría de superficies apartir de los resultados anteriores.Para ello debemos considerar el hecho que la conexión de R 3 en coordenadascartesianas es cero, y la métrica es la métrica euclidiana δ µν . En este caso losíndices griegos toman los valores 1, 2, 3 y los índices latinos 1, 2. Apliquemosestas condiciones primero al caso de la métrica y luego al de la conexión.13.1.1 Primera forma fundamentalSabemos por la ecuación (171) que la métrica inducida esg ∗ ij = g µν∂x µ∂u i ∂x ν∂u j (193)38

Utilizando la notación vectorial, y considerando los subíndices como derivadastenemos:g ∗ ij = x i · x j . (194)Por lo tanto, el elemento de línea sobre la superficie es:I = ds 2 = (x i · x j ) du i du j (195)que corresponde a la primera forma fundamental de la teoría de superficies.13.1.2 Ecuaciones de GaussUtilicemos la ecuación (191), en notación vectorial toma la forma:x i · x ml = (x i · x j ) Γ ∗jml . (196)si existe N tal que x i · N =0 podemos escribir la ecuación anterior como:x ml = Γ ∗jml x j + b ml N, (197)que corresponden a las ecuaciones de Gauss de la teoría de superficies.13.2 Características de una variedad que está contenidadentro de un espacio con geometría de RiemannQueremos ver qué sucede con la conexión inducida si M N posee una geometríade Riemann. Es decir, queremos saber si S R posee también una geometríade Riemann. Para ello supongamos que la conexión de M N es el símbolo deChristoffel:Γ ν αβ = 1 2 gνλ (∂ α g βλ + ∂ β g αλ − ∂ λ g αβ ). (198)Reemplazando en (192), obtenemos:Γ ∗klm = g∗ki g µν∂x µ∂z i= g ∗ki g µν∂x µ∂z i[∗ki ∂xµ= g∂z i∂ 2 x ν∂z m ∂z l + 1 ∂x µ2 g∗ki g µν∂z i gνλ (∂ α g βλ + ∂ β g αλ − ∂ λ g αβ ) ∂xα∂z l(199)∂ 2 x ν∂z m ∂z l + 1 ∂xµg∗ki2 ∂z i (∂ αg βµ + ∂ β g αµ − ∂ µ g αβ ) ∂xα ∂x β∂z l ∂z m(200)∂ 2 x ν∂z m ∂z l + 1 2 (∂ αg βµ + ∂ β g αµ − ∂ µ g αβ ) ∂xα ∂x β ]∂z l ∂z m . (201)g µνSi S R posee una geometría de Riemann debe satisfacer que su conexión esel símbolo de Christoffel, es decir:Γ ∗klm = 1 2 g∗ki (∂ l g ∗ mi + ∂ m g ∗ li − ∂ i g ∗ lm) (202)∂x β∂z m39

Desarrollemos esta expresión e intentemos llegar a (201). Si gij ∗ = g µν ∂xµ∂z ientonces∂gmi∗∂z l = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z l ∂z m ∂z i + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z l ∂z m ∂z i + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z l ∂z i ∂z m∂gli∗∂z m = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z m ∂z l ∂z i + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z m ∂z l ∂z i + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z m ∂z i ∂z l∂glm∗∂z i = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z i ∂z l ∂z m + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z i ∂z l ∂z m + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z i ∂z m ∂z lReemplazando en (202) obtenemos:[Γ ∗k ∗ki ∂xµlm = g∂z ig µν∂ 2 x ν∂z m ∂z l + 1 2 (∂ αg βµ + ∂ β g αµ − ∂ µ g αβ ) ∂xα ∂x β ]∂z l ∂z m∂x ν∂z j(203a)(203b)(203c)(204)que corresponde a la ec. (201).Por lo tanto la conexión de S R es (202), que es el símbolo de Christoffelasociado a la métrica inducida sobren S R . Así, hemos demostrado el siguienteteorema.Teorema:Si una variedad dada posee una geometría de Riemann, entonces cualquiervariedad que esté contenida en ella también tendrá una geometría de Riemann.Esto explica el hecho de que la conexión asociada a una superficie inmersaen R 3 es el símbolo de Christoffel y que no es posible encontrar una superficieque posea otro tipo de conexión, respetando la proyección definida en (177)13.3 Proyección sobre un vector.Podemos definir la proyección de un vector en M N sobre un vector en S R de lasiguiente forma:Si B µ es un vector en M N y C i es un vector en S R , entonces la proyecciónde B µ sobre C i está dada por:[Bp i gµν B µ ∂xν∂zC m]= [m ]C i . (205)∂xg λ ∂x δλδ ∂z m ∂zC m C j jProbemos que a partir de esta definición podemos recuperar la expresión(177).Si queremos que B i p coincida con Ci tenemos:40

[C i ∂x λ ∂x δ ]]g λδ∂z m ∂z j Cm C j =[g µν B µ ∂xν∂z m Cm C i , (206)g ∗ mjC m C j = g µν B µ ∂xν∂z m Cm , (207)g ∗ mjC j = g µν B µ ∂xν∂z m , (208)C k = g ∗km g µν B µ ∂xν∂z m . (209)Es decir, a partir de la proyección definida por (205), podemos reobtener(177).14 Isometrías (simetrías de la métrica)Figure 11:Sean P y Q dos puntos cercanos de coordenadas x µ y x µ + dx µ respectivamentey ξ µ = ξ µ (x ν ) un campo vectorial sobre una cierta variedad con métrica.Como se ve en la figura, podemos construir dos nuevos puntos R y S cuyascoordenadas están dadas por:R : x µ + λξ µ (P ) (210)S : x µ + dx µ + λξ µ (Q),donde λ es un parámetro infinitesimal. Se dice entonces que ξ µ (x ν ) describeuna isometría de la variedad, si para puntos arbitrarios P y Q se cumple:dl 2 P Q = dl2 RS . (211)41

Ahora, veremos qué condición debe satisfacer el campo ξ µ para que describauna isometría. Tenemos:dl 2 P Q = g µν(P )dx µ dx ν , (212)dl 2 RS = g µν(R) [dx µ + λ (ξ µ (Q) − ξ µ (P ))] [dx ν + λ (ξ ν (Q) − ξ ν (P ))] ,dondeg µν (R) = (g µν + λξ α ∂ α g µν ) P, (213)ξ µ (Q) = ( ξ µ + dx β ∂ β ξ µ) P .Reemplazando (213) en (212), desarrollando el producto y despreciandotérminos de orden superior, obtenemos:dl 2 RS = g µν dx µ dx ν + λ [g µν dx µ dx γ ∂ γ ξ ν + g µν dx γ dx ν ∂ γ ξ µ + ξ γ dx µ dx ν ∂ γ g µν ] .(214)Cambiando adecuadamente los índices mudos, la ecuación (214) toma laforma:dl 2 RS = g µνdx µ dx ν + λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν , (215)de modo que la condición (211) nos queda:λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν = 0. (216)Aquí λ, dx µ y dx ν son infinitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν = 0. (217)Ésta es una ecuación diferencial parcial que debe satisfacer ξ γ para describiruna isometría. Si esta ecuación tiene más de una solución linealmente independiente,entonces existe más de una dirección de isometría, y los vectores ξ γ sedenominan vectores de Killing.15 Aplicaciones15.1 Plano euclidiano: Métrica, curvatura, geodésicas ysimetríasEn el plano euclidiano y en coordenadas cartesianas (x 1 = x, x 2 = y), la métrica∗es g µν = δµν . Luego, de la ecuación (147) tenemos que los símbolos de Christoffelson nulos y por lo tanto la curvatura también es nula.La ecuación de las geodésicas (148) esd 2 x µdλ 2 = 0.Por lo tanto, las geodésicas en el plano son rectas.42

Para las simetrías tenemos que la ecuación (217) queda:δ µγ ∂ ν ξ γ + δ γν ∂ µ ξ γ = 0, (218)∂ ν ξ µ + ∂ µ ξ ν = 0.Escribimos explícitamente estas ecuaciones:∂ 1 ξ 1 + ∂ 1 1ξ = 0, (219)∂ 1 ξ 2 + ∂ 2 ξ 1 = 0, (220)∂ 2 ξ 2 + ∂ 2 ξ 2 = 0. (221)De (219) y de (221) se obtiene respectivamente que ξ 1 = ξ 1 (y) y ξ 2 = ξ 2 (x).De este modo la ecuación (220) toma la forma:dξ 2dx + dξ1dy= 0. (222)Usando el hecho de que x e y son coordenadas independientes, vemos queesta ecuación se satisface si y sólo si:de modo que:dξ 1= α = cte, (223)dydξ 2dx = −α,ξ 1 = αy + β, (224)ξ 2 = −αx + γ.Esta solución se puede expresar como combinación lineal de tres solucionesindependientes:dondeξ µ = ( ξ 1 , ξ 2) = (αy + β, −αx + γ) , (225)ξ µ = α (y, −x) + β (1, 0) + γ (0, 1) ,ξ µ = αξ µ (1) + βξµ (2) + γξµ (3) ,ξ µ (1)ξ µ (2)ξ µ (3):= (y, −x) , (226):= (1, 0) ,:= (0, 1) .43

Figure 12:15.2 La esfera: Métrica inducida, curvatura, geodésicas ysimetríasConsideremos como segundo ejemplo la métrica que el espacio euclidiano tridimensionalE 3 induce sobre la esfera unitaria. Sabemos que en coordenadascartesianas la métrica de E 3 es g µν = δ µν y la restricción a los puntos de laesfera es:x 1 = sin θ cos φ, (227)x 2 = sin θ sin φ,x 3 = cos θ,de modo que las coordenadas sobre la esfera son θ y φ. Usamos (172) paracalcular ĝ θθ :∂x µ ∂x νĝ θθ = δ µν∂θ ∂θ = ∂xµ ∂x µ= 1. (228)∂θ ∂θAnálogamente, se obtienen las otras componentes:( ) 1 0ĝ ij =, (229)0 sin θdonde i, j = θ, φ. Usando (147) obtenemos que las componentes no nulasdel símbolo de Christoffel son:{ θ}φφ = − sin θ cos θ, (230)} }{φθφ={φφθ= cot θ.De este modo, se obtiene directamente que las ecuaciones para las geodésicassobre la esfera son:d 2 ( ) 2θdφdλ 2 − sin θ cos θ = 0, (231)dλd 2 φ dθ dφ+ 2 cot θdλ2 dλ dλ = 0.44

También, mediante un cálculo directo, encontramos que las componentes nonulas de la curvatura de la esfera son:R θ φθφ = −Rθ φφθ = sin2 θ, (232)R φ θθφ = −Rφ θφθ = −1.A continuación se estudiarán las simetrías de la esfera. El sistema de ecuacionespara los vectores de Killing sobre la esfera unitaria, según (217) es:g 1γ ∂ 1 ξ γ + g γ1 ∂ 1 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 11 = 0, (233)g 1γ ∂ 2 ξ γ + g γ2 ∂ 1 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 12 = 0,g 2γ ∂ 2 ξ γ + g γ2 ∂ 2 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 22 = 0.Puesto que la métrica sobre la esfera es:( 1 0g µν =0 sin θtenemos:), (234)Luego:g 11 ∂ 1 ξ 1 + g 11 ∂ 1 ξ 1 + ξ γ ∂ γ g 11 = 0, (235)g 11 ∂ 2 ξ 1 + g 22 ∂ 1 ξ 2 + ξ γ ∂ γ g 12 = 0,g 22 ∂ 2 ξ 2 + g 22 ∂ 2 ξ 2 + ξ γ ∂ γ g 22 = 0.∂ 1 ξ 1 + ∂ 1 ξ 1 = 0, (236)∂ 2 ξ 1 + sin θ∂ 1 ξ 2 = 0,2 sin θ∂ 2 ξ 2 + ξ 1 ∂ 1 (sin θ) = 0.La primera ecuación nos dice que ξ 1 = ξ 1 (φ), de modo que la segunda ytercera ecuación nos queda:∂ 2 ξ 1 + sin θ∂ 1 ξ 2 = 0, (237)2 sin θ∂ 2 ξ 2 + cos θξ 1 = 0.Se puede verificar, reemplazando directamente en estas ecuaciones, que elsistema tiene por solución:ξ µ = ( ξ 1 , ξ 2) = (0, α) = α (0, 1) , (238)donde α es una constante. Esta solución representa una rotación en la direcciónφ.45