Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Desarrollemos esta expresión e intentemos llegar a (201). Si gij ∗ = g µν ∂xµ∂z ientonces∂gmi∗∂z l = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z l ∂z m ∂z i + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z l ∂z m ∂z i + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z l ∂z i ∂z m∂gli∗∂z m = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z m ∂z l ∂z i + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z m ∂z l ∂z i + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z m ∂z i ∂z l∂glm∗∂z i = ∂g µν ∂x α ∂x µ ∂x ν∂x α ∂z i ∂z l ∂z m + g ∂ 2 x µ ∂x νµν∂z i ∂z l ∂z m + g ∂ 2 x ν ∂x µµν∂z i ∂z m ∂z lReemplazando en (202) obtenemos:[Γ ∗k ∗ki ∂xµlm = g∂z ig µν∂ 2 x ν∂z m ∂z l + 1 2 (∂ αg βµ + ∂ β g αµ − ∂ µ g αβ ) ∂xα ∂x β ]∂z l ∂z m∂x ν∂z j(203a)(203b)(203c)(204)que corresponde a la ec. (201).Por lo tanto la conexión de S R es (202), que es el símbolo de Christoffelasociado a la métrica inducida sobren S R . Así, hemos demostrado el siguienteteorema.Teorema:Si una variedad dada posee una geometría de Riemann, entonces cualquiervariedad que esté contenida en ella también tendrá una geometría de Riemann.Esto explica el hecho de que la conexión asociada a una superficie inmersaen R 3 es el símbolo de Christoffel y que no es posible encontrar una superficieque posea otro tipo de conexión, respetando la proyección definida en (177)13.3 Proyección sobre un vector.Podemos definir la proyección de un vector en M N sobre un vector en S R de lasiguiente forma:Si B µ es un vector en M N y C i es un vector en S R , entonces la proyecciónde B µ sobre C i está dada por:[Bp i gµν B µ ∂xν∂zC m]= [m ]C i . (205)∂xg λ ∂x δλδ ∂z m ∂zC m C j jProbemos que a partir de esta definición podemos recuperar la expresión(177).Si queremos que B i p coincida con Ci tenemos:40