Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

[C i ∂x λ ∂x δ ]]g λδ∂z m ∂z j Cm C j =[g µν B µ ∂xν∂z m Cm C i , (206)g ∗ mjC m C j = g µν B µ ∂xν∂z m Cm , (207)g ∗ mjC j = g µν B µ ∂xν∂z m , (208)C k = g ∗km g µν B µ ∂xν∂z m . (209)Es decir, a partir de la proyección definida por (205), podemos reobtener(177).14 Isometrías (simetrías de la métrica)Figure 11:Sean P y Q dos puntos cercanos de coordenadas x µ y x µ + dx µ respectivamentey ξ µ = ξ µ (x ν ) un campo vectorial sobre una cierta variedad con métrica.Como se ve en la figura, podemos construir dos nuevos puntos R y S cuyascoordenadas están dadas por:R : x µ + λξ µ (P ) (210)S : x µ + dx µ + λξ µ (Q),donde λ es un parámetro infinitesimal. Se dice entonces que ξ µ (x ν ) describeuna isometría de la variedad, si para puntos arbitrarios P y Q se cumple:dl 2 P Q = dl2 RS . (211)41