Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

congij ∗ ∂x µ ∂x ν= g µν∂z i ∂z j (172)donde gij ∗ corresponde al tensor métrico inducido sobre S R.12.2 Inducción de la conexiónSea A i un vector contravariante definido sobre S R tal que dz i = λA i . Necesitamosuna expresión para el vector asociado a A i sobre M N .Como dx µ = ∂xµ∂zdz i tenemos dx µ = ∂xµi ∂zλA i . Esto induce un vector B µ eniM NB µ = ∂xµ∂z i Ai (173)donde B µ corresponde al vector asociado a A i en M N .Como tenemos una conexión definida sobre M N podemos transportar elvector B µ desde el punto P de coordenadas x µ al punto Q de coordenadasx µ + dx µ , el cual está dado por:¯B µ (Q) = B µ − Γ µ νλ Bν dx λ . (174)Reemplazando la ec. (173) tenemos que el vector transportado es:¯B µ (Q) = ∂xµ∂z i Ai − Γ µ ∂x ν ∂x λνλ∂z i ∂z j Ai dz j . (175)Como deseamos encontrar la conexión de S R transportemos el vector A kdesde el punto P de coordenadas z i al punto Q de coordenadas z i + dz i con laconexión Γ ∗kij que deseamos encontrar.Ā i (Q) = A i − Γ ∗ijk Aj dz K . (176)Ahora debemos proyectar el vector ¯B k (Q) sobre S R e igualarlo con Āi (Q).Pero vemos de la ec. (173) que no podemos obtener directamente un vectorsobre S R a partir de un vector en M N , pues aparece un factor ∂xµ∂z, el cual noies invertible por ser una matriz no cuadrada.Por lo tanto, debemos definir algún tipo de proyección, de tal manera depoder recuperar la ec. (173). Esta proyección nos permitiría obtener un vectoren S R a partir de un vector en M N .Dado un vector B µ en M N definimos su proyección A i sobre S R como:A i ∗ij ∂xµ= g∂z j g µνB ν , (177)donde g ∗ij corresponde a la inversa de la métrica inducida.Veamos si podemos recuperar la ec. (173). Para ello multipliquemos a amboslados por gik∗ A i gik ∗ = δ j ∂x µk∂z j g µνB ν . (178)36